第二章 相交线与平行线（必备知识+12题型+分层检测）（复习讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学相交线与平行线复习讲义通过知识框架图系统梳理核心内容，用对比表格呈现同位角、内错角、同旁内角的位置特征与图形结构，清晰构建对顶角、垂线、平行线判定及性质的内在逻辑，突出几何直观与空间观念。 讲义亮点在于分题型设计，如三角板旋转、光线反射等实际问题，培养推理意识与应用意识。基础巩固与能力提升分层练习，帮助不同学生掌握角度计算与几何推理，为教师精准教学提供支持。

第二章 相交线与平行线（复习讲义） 1. 了解对顶角、余角、补角的概念及性质，体会相交线中角度关系的相互联系，理解垂线性质与平行公理的区别与联系。 2. 能用对顶角相等、同角（等角）的余角（补角）相等进行角度推理与计算，能准确识别同位角、内错角、同旁内角。 3. 理解并利用垂线性质1（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）和平行公理及其推论进行几何作图与推理。 4. 掌握平行线的三种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）及其性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能综合运用它们解决几何证明与计算问题。 5. 理解点到直线的距离的概念，能准确作出点到直线的垂线段并度量其长度。 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别】 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【变式1-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C．D． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【题型二 利用对顶角相等求角】 【例2】（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是 ． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 【变式2-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【题型三 求一个角的余角、补角】 【例3】（2026七年级上·江苏南京·专题练习）已知，则∠1的余角是 °，∠1的补角是 ° ′． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个角比它的补角少，则这个角的度数为 ． 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆·期末）若一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角的度数是 ． 【题型四 利用对顶角、余角、补角垂线的定义求角的度数】 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知点、、在同一条直线上，． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，平分，求； (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【题型五 点到直线的距离与垂线段最短】 【例5】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【变式5-4】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【题型六 添加一条件使两条直线平行】 【例6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【变式6-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有 ．（填序号） 【题型七 平行线的判定和性质多结论题】 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【变式7-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型八 平行线的性质在生活中的应用】 【例8】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【变式8-2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【变式8-3】（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【题型九 平行线的判定和性质综合问题】 【例9】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【变式9-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【变式9-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【题型十 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 【例10】如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【变式10-1】已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 【变式10-2】【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 【题型十一 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】 【例11】跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【变式11-1】综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 【变式11-2】如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【题型十二 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 【例12】【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 【变式12-1】若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【变式12-2】如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 3．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）度数为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知和互为余角，若，则 ． 6．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，，点在同一条直线上，若，则的度数是 ． 7．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是 ． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 11．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 12．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，在直线上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若，，则；④若，，点是线段上任意一点（包含端点），则点到点的距离之和最大值为29，最小值为19，其中说法正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知，则的补角为 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 8．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为 ． 9．（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“余角”；若两个角的和为，则称这两个角互为“补角”． (1)若，则的余角为　　　，补角为　　　； (2)若一个角的补角比它的余角的倍少，求这个角的度数； (3)如图，已知是直角，也是直角，且（）． ①请直接写出图中所有互余的角（除和外）； ②试说明与互补． 13．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）综合与探究： 如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题： (1)若，，，求证：． (2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作． ①若，，则 ． ②请用含和的代数式表示，并说明理由． (3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 15．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 相交线与平行线（复习讲义） 1. 了解对顶角、余角、补角的概念及性质，体会相交线中角度关系的相互联系，理解垂线性质与平行公理的区别与联系。 2. 能用对顶角相等、同角（等角）的余角（补角）相等进行角度推理与计算，能准确识别同位角、内错角、同旁内角。 3. 理解并利用垂线性质1（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）和平行公理及其推论进行几何作图与推理。 4. 掌握平行线的三种判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）及其性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），并能综合运用它们解决几何证明与计算问题。 5. 理解点到直线的距离的概念，能准确作出点到直线的垂线段并度量其长度。 【知识点1】对顶角、余角、补角 1.对顶角的概念：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线且这两个角有公共顶点，这样的两个角叫做对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 3.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 4.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 【知识点2】垂线及性质、点到直线的距离 （1）垂线的定义： 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.如图1所示，符号语言记作： AB⊥CD，垂足为O. 特别提醒： 要判断两条直线是否垂直，只需看它们相交所成的四个角中，是否有一个角是直角，两条线段垂直，是指这两条线段所在的直线垂直. （2）垂线的性质： 垂线性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记). 垂线性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.简称：垂线段最短. （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，如图2：PO⊥AB，点P到直线AB的距离是垂线段PO的长. 特别提醒：垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条. 【知识点3】同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于截线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 【知识点4】平行线 1.平行线的定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.平行线的画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的边画直线. 3.平行线的公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【知识点5】平行线的判定和性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，内错角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 【题型一 对顶角、同位角、内错角、同旁内角的辨别】 【例1】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 【变式1-1】（25-26七年级上·山西临汾·期末）下列各图中，和是对顶角的是（   ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查对顶角的定义与判定，掌握对顶角的判定条件是解题关键． 根据对顶角的判定条件依次判断各选项． 【详解】解：选项：和的两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和没有公共顶点，不是对顶角； 选项：和两边不互为反向延长线，不是对顶角； 选项：和有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角． 故选：． 【变式1-2】（25-26七年级下·全国·单元测试）滑雪项目图标抽象出的几何图形如图所示．有下列判断：①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查同位角、内错角、同旁内角，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解决本题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义解决此题． 【详解】解：①根据对顶角的定义（角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角），与是对顶角，①正确． ②根据同旁内角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线同一侧的两个角是同旁内角），与是同旁内角，②正确． ③根据同旁内角的定义以及邻补角的定义，与不是同旁内角，而是邻补角，③错误． ④根据内错角的定义（两条直线被第三条直线所截，在被截线之间并且在截线两侧的两个角是内错角），与是内错角，④正确． 综上：正确的有①②④，共个． 故选：C． 【变式1-3】（25-26七年级上·河南南阳·期末）如图，下列说法不正确的是（   ） A．与是直线，被所截得的内错角 B．与是对顶角 C．和互为补角 D．与是直线，被直线所截得的同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义，熟练掌握各类角的定义并准确识别图形中的角是解题的关键． 先明确内错角、对顶角、补角、同旁内角的定义，再逐一分析每个选项是否符合这些定义，从而找出不正确的说法． 【详解】解：选项，∵与是直线，被所截，且在截线两侧、被截线之间， ∴与是内错角， 故项正确，不符合题意； 选项，∵与是两条直线相交形成的对顶角， ∴与是对顶角， 故项正确，不符合题意； 选项，∵和并非由一条直线与另一条直线相交形成的邻补角，也不满足和为， ∴和不互为补角， 故项不正确，符合题意； 选项，∵与是直线，被直线所截，且在截线同侧、被截线之间， ∴与是同旁内角， 故项正确，不符合题意； 故选：． 【题型二 利用对顶角相等求角】 【例2】（25-26七年级下·全国·期中）如图，直线，相交于点O，，则的度数是 ． 【答案】/48度 【分析】本题考查了对顶角相等． 直接根据对顶角相等作答即可． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 【变式2-2】（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）如图，直线与交于点O，平分，，，那么 °． 【答案】52 【分析】根据垂直的定义可得，，又由可得，由角平分线的定义可得，则可得，由对顶角的性质可得．本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，对顶角的性质，以及角的和差．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵直线与交于点O， ∴． 故答案为：52． 【变式2-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是 ． 【答案】，， 【分析】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，掌握角平分线的定义和补角的定义是解题关键． 根据角平分线的定义找到相等角，再通过等量代换和角的和差计算，找到与之和为的角即可． 【详解】解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， 故答案为：，， ． 【题型三 求一个角的余角、补角】 【例3】（2026七年级上·江苏南京·专题练习）已知，则∠1的余角是 °，∠1的补角是 ° ′． 【答案】 61.4 151 24 【分析】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角． 根据余角和补角的定义，余角为减去已知角，补角为减去已知角，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴∠1的余角； ∠1的补角． 故答案为：61.4、151、24． 【变式3-1】（25-26七年级上·江苏常州·月考）已知，则的余角为 ，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角的度数和补角的度数，度数之和为90度的两个角互余，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为，的补角为 故答案为：；． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）一个角比它的补角少，则这个角的度数为 ． 【答案】/80度 【分析】本题主要考查了补角的定义，熟练掌握补角的定义是解题的关键． 设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解． 【详解】解：设这个角的度数为，则它的补角为， 根据题意，得， 解得． 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级上·重庆·期末）若一个角的余角等于这个角的补角的，则这个角的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程解决问题，涉及互余定义、互补定义，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 设这个角为，根据余角和补角的定义，列出一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，这个角的补角为， 这个角的余角等于这个角的补角的， ， 解得， 故答案为：． 【题型四 利用对顶角、余角、补角垂线的定义求角的度数】 【例4】（25-26七年级上·陕西西安·期末）如图，已知点O是直线上一点，是直角，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)猜想和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了余角、补角的定义，角平分线的性质及角度的和差关系． （1）设，利用角平分线的性质得到，再由已知条件及角平分线的性质得到，进而通过余角的定义求得的度数，从而得到的度数； （2）利用补角的定义求得的度数，由（1）可知，从而比较和之间的数量关系即可得出结论． 【详解】（1）解：设， ∵是的平分线， ∴， 又∵，是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：∵，，， ∴， 由（1）知，， ∴， 即． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，已知点O为直线上一点，，平分． (1)求的度数； (2)若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差关系，余角、补角和角平分线的定义： （1）根据补角、角平分线的定义及角的和差关系求解； （2）根据与互余求出即可求解． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：与互余，， ， ∴； 【变式4-2】（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）如图，点O是直线上的一点，射线在直线的上方，射线在直线的下方，且平分， ． (1)请写出的一个余角． (2)若，求的度数． (3)若，求的度数． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】本题主要考查几何中角度的和差计算，角平分线的定义，互余的概念及计算． （1）根据余角的概念，结合图形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，再根据角平分线的定义即可求解； （3）根据题意得到，结合题意得到，根据平角等于列式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的一个余角是（或）； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 【变式4-3】（25-26七年级上·山东临沂·期末）已知点、、在同一条直线上，． (1)如图1，若，求； (2)如图2，若，平分，求； (3)如图3，若与互余，也与互余，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)； (2)； (3)或 【分析】本题结合余角定义、补角定义及角平分线的定义考查角的和差计算，关键是利用角的和差关系建立等式计算． （1）先根据补角求出的度数，再结合，通过角的差计算的值； （2）先结合表示出，再根据表示出，利用角平分线的性质列方程求解； （3）根据互余定义得到，，分与在同侧、异侧两种情况，利用角的和差计算． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 平分， ， ，解得； （3）解：与互余，与互余， ， 分两种情况： ①当和在直线的两侧时， ； ②当和在直线的同侧时， ， ； 综上所述，或． 【题型五 点到直线的距离与垂线段最短】 【例5】（25-26七年级上·北京延庆·期末）如图，点是直线l外一点，点、、、在直线l上，于点，在线段、、、中，最短的线段是 ，测量点P到直线l的距离是 （精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了线段的性质，掌握垂线段最短是解题关键． 由题意可知，，则最短的线段是，点P到直线l的距离是的长，再测量出的具体数值即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，在线段、、、中，最短的线段是， 点P到直线l的距离是的长，测量值为， 故答案为：，． 【变式5-1】（25-26七年级上·河南南阳·期末）运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为 米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【变式5-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直角三角形ABC中，，，，，点D从点A到点B沿AB方向运动．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】点在点时，值最大，当点运动到时，值最小，求出的值即可． 【详解】解：根据题意，当时，取得最小值， 此时； 当点与点重合时，取得最大值，最大值为4． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 【变式5-3】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，，若，，，那么A，B两点之间的距离为 ，点A到直线的距离为 ，点C到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】此题考查两点间的距离，点到直线的距离，解题关键在于掌握点到直线的距离是指垂线段的长度，难度适中． 根据两点间的距离，点到直线的距离解答即可． 【详解】解：∵， ∴A，B两点之间的距离为， ∵，， ∴点A到直线的距离为的长，即， ∵，， ∴点C到直线的距离为的长，即． 故答案为：4；；3 【变式5-4】（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【知识点】点到直线的距离、画出直线、射线、线段、两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 【题型六 添加一条件使两条直线平行】 【例6】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，，则的度数为 时，． 【答案】 【分析】设中间的一条直线为直线，当时，，首先证明，再证明，进而得到． 【详解】解：如图， 当时，. 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60°． 【变式6-1】（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式6-2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，已知直线，与直线相交于点，，于点．若，则 时，． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行是解题的关键． 当时，．先通过邻补角的定义得到，然后根据垂直的定义，结合平角的定义得到，即可根据同位角相等，两直线平行，得到，从而得到所加条件是正确的． 【详解】解：当时，． 理由如下：， ， ， 又， ， ， ． 故当时，． 故答案为：． 【变式6-3】（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，点在的延长线上，给出下列条件：；：；．其中能判定的有 ．（填序号） 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 逐一判断条件是否能得到即可． 【详解】解：，，故①不符合题意； ，，故②符合题意； ，得不出任何平行，故③不符合题意； ，，故④符合题意； 故答案为：②④． 【题型七 平行线的判定和性质多结论题】 【例7】（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差运算，掌握三角尺的固定角度特征，以及平行线判定与性质的互逆关系是解题的关键． 先明确两块三角尺的固定角度，再对每个结论分别利用平行线的判定与性质、角的和差关系逐一验证其正确性． 【详解】解：由题意得，，，． ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故②结论正确，符合题意； ∵，， ∴，故③结论正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ，故④结论正确，符合题意． 故选：D． 【变式7-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④平分．其中正确结论的是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了角平分线的定义和平行线的性质．延长交于，根据角平分线的定义和平行线的性质即可解答． 【详解】解：延长交于， ， ，， ， ， 平分，， ， ， ， ， ， ， ，故①错误；②正确； ，， ，故③正确； 平分， ， ， ， ，故④不一定正确． 其中正确结论的是②③， 故选：C． 【变式7-2】（25-26七年级上·江苏南京·月考）如图，，平分交于点，，，、分别是，延长线上的点，和的平分线交于点．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的有（    ） A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，角平分线的定义，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 先根据平行线的性质得到，再根据等角的余角相等得到，则利用得到，于是可对①进行判断；所以，由于，则，然后利用1不能确定等于可对②进行判断；根据平行线的性质得到即所以从而得到，于是可对③进行判断；根据角平分线的定义得到，，而，所以由，然后根据四边形的内角和可计算出，从而可对④进行判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，①正确； ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵不能确定等于， ∴不成立，②错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，③正确； ∵和的平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， 在四边形中， ，④正确． 故选：A． 【变式7-3】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，∥，平分，，下列结论：①∥；②；③；④若，则，其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，即，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵∵平分， ∴ 又，， ∴ ， 故④正确． 综上所述，正确的选项①②④共3个， 故选：C． 【题型八 平行线的性质在生活中的应用】 【例8】（24-25七年级下·安徽宿州·期末）杆秤是中国文化瑰宝，体现社会主义价值观中的“诚信”，在购物时，大家都喜欢商家“翘高高”称物．如图，此时，，则的度数为 ． 【答案】/106度 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用．根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为： 【变式8-1】（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图①，“二八大杠”传统老式自行车承载了一代人的回忆，图②是它的几何示意图．已知，，当时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据两直线平行，同旁内角互补，求得，再根据两直线平行，内错角相等，即得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式8-2】（24-25六年级下·山东泰安·期中）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被平面镜反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行．若，则的大小为 ． 【答案】/32度 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，由题意得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意，得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-3】（2025·江西新余·模拟预测）某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为 ． 【答案】/49度 【分析】本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 【题型九 平行线的判定和性质综合问题】 【例9】（25-26七年级下·全国·单元测试）如下图，平分，，． (1)若，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质以及平行公理的推论，掌握平行线的判定与性质的互推关系和平行公理的推论是解题的关键． （1）利用角平分线定义得到角的等量关系，结合已知推出，再由平行线的同旁内角互补求出，最后根据角平分线求出． （2）由推出，结合（1）中已证的，根据平行公理的推论得出． 【详解】（1）解：∵平分， ∴． ∵， ∴， ， ∴． ∵， ∴，． （2）证明：∵， ∴． 由（1），得， ∴． 【变式9-1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）如图，，平分，平分． (1)证明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义，结合已知得到，然后根据平行线的判定可得结论； （2）先求得，再证明，利用平行线的性质求得，再根据角平分线的定义和平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 ； （2）解： ， 平分 ． 【变式9-2】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而可判定； （2）由，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行即可判定； （3）由，可得，则，再由直接计算即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十 根据平行线的判定与性质探究角的关系】 【例10】如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D． (1)若，求的度数； (2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义； （1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论； （2）先证明，，，再进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分交于点C、平分交于点D， ∴，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵BD平分， ∴， ∴． 【变式10-1】已知：如图，点是直线上一动点，连接，过点作交直线于点．(图2，图3为备用图) (1)如图1，当点在线段上时， ①依题意，在图1中补全图形； ②若，则__________(填度数)． (2)当点在线段的延长线上时，请写出的数量关系，并证明． (3)当点在直线上时，请直接写出的数量关系，不需要证明． 【答案】(1)①见解析；② (2) (3)当点D在上时，；当D点在的延长线上时，；当D点在的延长线上时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）①根据几何语言画出对应的几何图形； ②根据平行线的性质得到，，所以； （2）当D点在的延长线上时，；根据平行线的性质分别进行证明即可； （3）分三种情况进行讨论：当点D在线段上时，当点D在线段延长线上时，当点D在线段的延长线上，分别根据平行线的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：①补全图形如图1所示： ②∵， ∴，， ∴； （2）解：当D点在的延长线上时，如图2，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴； （3）解：当点D在上时，； ∵， ∴，， ∴； 当D点在的延长线上时，根据解析（2）可知，； 当D点在的延长线上时，如图3，； 理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∴． 【变式10-2】【问题背景】 如图，线段的端点M、N分别在直线，上，E为，之间一点，连接NE，过点E作，交于点F，． 【问题探究】 (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点P，若平分，交于点Q． ①若，求的度数； ②判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，推得，根据平行线的判定即可证明； （2）①根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质和可得，，即可求得．②根据角平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，推得根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）①∵，， ∴． ∵NM平分， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． ②． 理由如下： ∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 【题型十一 根据平行线的判定与性质接解决光线问题】 【例11】跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 【变式11-1】综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解； （2）根据平行线的性质可求解； （3）过点、作，，根据平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题可知， ∴ ∴ 由题可知， ． （3）解：如图所示，分别过点、作， ，，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ． 【变式11-2】如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 【题型十二 根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题】 【例12】【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ， ， ； （2）解∶ ，理由如下： 如图2，过点B作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解∶ ，理由如下： ， ， ，， ， ． 【变式12-1】若将一副三角板按如图1所示的方式放置（其中，，），将三角形固定不动，三角形绕点逆时针旋转，旋转角为．    (1)如图2，若，则 ， ． (2)如图3，若于点，则与平行吗？请说明理由． (3)如图4，若，则图中有哪两条线平行？请说明理由． 【答案】(1)； (2)平行，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角板中角度计算问题、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】（1）先求出，再求出； （2）先证明，根据内错角相等即可证明； （3）先求出，进而可证，然后可证． 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴． 故答案为：；． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）． 理由：，， ， ， ． ， ， ． 【变式12-2】如图，直线，一副三角尺（）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形绕点B以每秒3度的速度按逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（s）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒2度的速度按顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请直接写出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①在旋转过程中，若边，t的值为；②满足条件的t的值为或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】（1）利用平行线的性质角平分线的定义即可解决问题； （2）①首先证明，由此构建方程即可解决问题； ②分两种情形：当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题；当时，延长交于．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图①中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：①如图②中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴在旋转过程中，若边的值为． ②如图③中，当时，延长交于． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图③﹣1中，当时，延长交于R． ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 综上，当边时，的值为或． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图所示，与是一对（     ） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角的定义，熟练掌握知识点是解题的关键．根据同旁内角的定义作答即可． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得到的同旁内角， 故选：C． 2．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，A，B，C三点在直线上，点在直线外，于点，若，，则点到直线的距离是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴点到直线的距离是， 故选：A． 3．（25-26八年级上·广东云浮·期末）如图，在水平桌面上放置着一把直尺和一个圆规，且圆规的两脚恰好接触直尺的两边，此时圆规的张角（）度数为．若，则的度数为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，关键是熟练应用知识点解题；由三角形外角的性质得出，再由平行线的性质得到的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C ． 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图，某公园的中心广场为点O，望江亭A在点O北偏西方向，荷花池B在点O南偏东的方向，儿童乐园C在点O的西南方向，则下列结论错误的是（   ） A．与互为补角 B．平分 C．与互为余角 D． 【答案】C 【分析】本题考查方向角的定义，准确识别方向角对应的角度是解题关键．明确各角的位置关系，结合余角、补角、角平分线的定义及角的和差运算，对每个选项逐一分析判断． 【详解】解：选项A：由方向角可知， B在南偏东， 则，， 故， 则，满足互补角定义，故A选项正确； 选项B：儿童乐园C在西南方向，即， ∵A在北偏西， 则， 故， ∵B在南偏东， 则，， 故， ∴， ∴平分，故B选项正确；   选项C：，，   两角和为，不满足余角定义，故C选项错误；   选项D：∵B在南偏东， 故，   ， ， ∴，故D选项正确． 故选：C． 二、填空题 5．（25-26七年级上·福建厦门·期末）已知和互为余角，若，则 ． 【答案】 43 【分析】本题考查了余角的定义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角． 根据互余两个角的和等于求解即可． 【详解】解：因为和互为余角， 所以． 因为， 所以． 故答案为43． 6．（25-26七年级上·河北保定·期末）如图，，点在同一条直线上，若，则的度数是 ． 【答案】/105度20分 【分析】本题考查了余角和补角的计算，几何图形中的角度计算，解决本题的关键是求解出的角度． 先根据余角的计算可求解的度数，再由补角的计算即可求解的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： ． 7．（25-26八年级上·江西宜春·期末）为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是关键．过点E作，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的传递性，证明，可求得，即可进一步求得答案． 【详解】解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 8．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）同一平面内，直线，相交于点，是的角平分线，，于点，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查相交线的相关知识，涉及垂直的定义，角平分线的性质，对顶角相等以及角的和差计算．弄清楚角之间的和差关系是解题关键．分在两侧两种情况，利用角平分线、垂直及平角性质求． 【详解】解：情况一：在内部， 设，则， ∵平分， ∴， 由， 得， 即， ∵， ∴， 则， 因此； 情况二：在内部， 同上，， ∴（对顶角相等）， ∵， ∴， 因此； ∴的度数有两种可能：或． 故答案为：或． 三、解答题 9．（25-26七年级上·湖南长沙·期末）如图，点是直线上的一点，，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差、与角平分线有关的计算，熟练掌握角的和差运算是解题关键． （1）由角平分线定理可得，再根据即可求解； （2）由题可知，进而可得，继而得到，再由角平分线定理即可求解． 【详解】（1）解：平分， ， ， ， ； （2）解：， ， 解得：， ， ， ， 平分， ． 10．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图，是的边上的一点，点、、都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为；并完成填空： ①线段__________的长度表示点到直线的距离； ②__________（填“”“”或“”）；理由是__________． (2)过点画的平行线，点在格点上． 【答案】(1)①；②；点到直线的距离，垂线段最短； (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，点到直线的距离，垂线段最短，画平行线、垂线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意即可作出垂线，①根据点到直线的距离的定义判断即可；②根据垂线段最短，可得结论； （2）取格点E，作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求；直线即为所求； ①线段的长度表示点到直线的距离； ②根据垂线段最短得到，理由是点到直线的距离，垂线段最短； 故答案为：①；②；点到直线的距离，垂线段最短； （2）解：如图，直线即为所求． 11．（2025七年级上·重庆·专题练习）（1）如图，、，，求证：． （2）如图，直线分别与直线交于点B、F，且．的角平分线交直线于点E，的角平分线交直线于点C．求证：． 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，解题关键是利用垂直得直角、对顶角相等、角平分线分角等条件，结合平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行）进行推理． （1）由、得，结合推出，利用内错角相等，两直线平行，证． （2）由对顶角相等得，结合得，证，得；再由角平分线定义得、，推出，利用内错角相等，两直线平行，证． 【详解】（1）证明：， ， ，，， ， ． （2）证明：与是对顶角， ， ， ， ， ， 平分平分， ， ， ． 12．（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，直线的平分线交于点P． (1)求证：． (2)若，求的度数． (3)若的平分线交于点Q，连接．若，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，角度的和差关系计算． （1）根据角平分线得，再根据得，由此可得出结论； （2）设，则，由（1）知，，根据得，然后根据得，由此解出α即可得出的度数； （3）由平分，，得到，从而推出，再由已知条件结合角平分线的性质证得，最终利用角度的和差关系可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：设， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的度数为． （3）解：∵平分，， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，直线c与直线a，b都相交．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，关键是识别与的位置关系，利用“两直线平行，内错角相等”求解． 【详解】解：∵，直线为截线， ∴与是内错角， ∴得； 故选：B． 2．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）如图，直线与相交于点O，射线在内部，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、对顶角相等，熟练掌握垂直的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，若，，，，则的度数为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何图形中角度计算，平行线的性质，根据可得，进而即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26七年级上·四川遂宁·期末）如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行．抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质与判定. 过点P作，则，根据平行线的性质可得，，据此先求出的度数，再求出的度数，即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．（25-26七年级上·四川南充·期末）如图，在直线上，下列说法：①直线上以为端点的线段共有6条；②图中有4对互补的角；③若，，则；④若，，点是线段上任意一点（包含端点），则点到点的距离之和最大值为29，最小值为19，其中说法正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查线段、角的和差、补角及角的计算，难度不大，解题的关键是熟练掌握有关知识点．①根据线段的定义即可判断；②根据补角的定义即可判断；③根据角的和差计算机可判断；④分两种情况讨论：当点与点重合时距离之和最大，当点在之间时，距离之和最小，即可判断． 【详解】解：∵直线上以为端点的线段有：、、、、、， ∴直线上以为端点的线段共有6条，①说法正确； ∵互补的角有：和，和，和，和， ∴图中有4对互补的角，②说法错误； ∵，， ∴，③说法错误； ∵，， ，，， 当点与点重合时，点到点的距离之和最大， ， 当点在之间时，点到点的距离之和最小， ， ∴④说法正确， 故选：A 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知，则的补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的补角的度数为：． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图，，是上一点，直线与的夹角为．要使，则直线绕点按逆时针方向至少旋转 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据，运用两直线平行，同位角相等，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】解：， ， ． 则直线绕点按逆时针方向至少旋转． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·四川乐山·期末）如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出，已知，，则的度数为 ． 【答案】65 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． 根据题意得到，进而得到，，再根据得到，进而计算即可． 【详解】解：∵从位于O点的灯泡发出的两束光线、经灯碗反射以后沿着与平行的方向射出， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即 ∴． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·重庆荣昌·期末）已知点B、O、C在同一条直线上，如图1，（），若，，则 .若图2中与互余， 与互余，直接写出的度数为 .（用含的式子表示） 【答案】 或 【分析】本题考查平角的性质，两角互余的性质和相关角度计算，分类讨论是解题的关键； （1）根据点B、O、C共直线和互余的性质解答即可； （2）分点E在内部或外部两种情况解答即可． 【详解】（1）解：∵，，点B、O、C在同一条直线上， ∴，即； （2）解：如图， 当点E在内部时， ∵与互余， 与互余， ∴， ∴， 当点E在外部时，即 同理得， ∵与互余， ， ∴，， ∴， ∴的度数为或． 10．（25-26八年级上·陕西西安·期末）将两块不同的三角尺按如图1所示的方式摆放，边重合，，．保持三角尺不动（如图2），将三角尺绕着点顺时针转动后停止．在转动的过程中，当三角尺有一条边与三角尺的一条边恰好平行时，的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．分三种情况，根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：分三种情况：①当时，如图： ， ②当时，如图： ， ③当时，过C作，如图， ， 故答案为或或． 三、解答题 11．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与相等吗？为什么？ (3)若，，求的大小． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， 理由见解析 (3) 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）由对顶角相等得到， 等量代换得到， 即可判定； （2）根据平行线的性质即可求解； （3）由平行线的性质得到， 再根据已知条件得出，最后根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）定义：若两个角的和为，则称这两个角互为“余角”；若两个角的和为，则称这两个角互为“补角”． (1)若，则的余角为　　　，补角为　　　； (2)若一个角的补角比它的余角的倍少，求这个角的度数； (3)如图，已知是直角，也是直角，且（）． ①请直接写出图中所有互余的角（除和外）； ②试说明与互补． 【答案】(1)； (2) (3)①与；与 ②见解析 【分析】本题考查余角和补角的概念，角的和差运算，熟练掌握相关知识是关键． （1）根据余角和补角的概念进行计算即可； （2）设这个角的度数为，由题意可列方程，解方程求出的值即可； （3）①根据余角的定义，进行寻找即可； ②根据补角的定义，结合与都是直角，进行证明即可． 【详解】（1）解：的余角为：； 的补角为：． 故答案为；． （2）解：设这个角的度数为，则它的余角为，补角为， 根据题意，可列方程：， 解得，， ∴这个角的度数为． （3）解：①∵， ∴与互余， ∵， ∴与互余， 故答案为：与；与． ②∵，， ∴， ∵， ∴， ∴与互补． 13．（24-25七年级下·辽宁盘锦·月考）综合与探究： 如图1，M为射线上一点，，（）根据以上条件解答下列问题： (1)若，，，求证：． (2)如图2，点E在射线（不含B点）上，过点E作． ①若，，则 ． ②请用含和的代数式表示，并说明理由． (3)在（2）的条件下，过点E作射线，若，，请直接写出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)①;②，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差计算以及分类讨论思想的应用．解题的关键是根据图形特点合理作辅助线（如作平行线），利用平行线的传递性和性质（同位角相等、同旁内角互补等）建立角之间的关系，同时在多情况问题中注意分类讨论． （1）通过计算求出的度数，结合的度数，利用同位角相等证明； （2）①作辅助线构造平行线，利用平行线性质将转化为与的和，进而求出②借助辅助线得到角之间的和差关系，推导出关于和的代数式； （3）根据（2）的结论确定的度数，结合的条件，分点F在左侧和右侧两种情况计算的度数． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． （2）如图，作，则， ①解：∵，即， ∵，即， ∴． 故答案为：． ②解：． 理由：∵ ∴， ∴， 即 ∴， ∴ ∴． （3）如图，由（2）结论知，，当时，分两种情况： 情况1：当点F位于左侧时，， 情况2：当点F位于右侧时， ． 14．（24-25七年级下·辽宁大连·月考）综合与实践 【问题背景】 数学活动课上，同学们用一副三角尺展开了探究活动，同学们发现可以用平行线的知识计算三角尺摆放过程中出现的一些角度，和探究一些角之间的数量关系． 【准备材料】如图，①三角尺中，，； ②三角尺中，，，． 【活动前提】已知：直线． 【活动一】 （1）“飞腾小组”选择三角尺按图1放置，当恰好平分时，则的度数是 ． 【活动二】 （2）“卓越小组”选择三角尺，三角尺按图2放置，点E、C、F、A在同一条直线上，则的度数是可求的，请你帮助他们求出答案并说明理由； 【活动三】 （3）“创新小组”将“卓越小组”的想法进行创新继续变化，将图2中三角尺固定不动，三角尺中的点A位置不动，重新摆放三角尺． 摆放方法①：当线段所在直线与线段所在直线垂直时，请求出的度数． 摆放方法②：当线段与三角尺的直角边平行时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）摆放方法①：或；摆放方法②：或或或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得的度数，根据平行线的性质得到的度数，据此可得答案； （2）过点E作，则，由平行线的性质得到，据此求出的度数即可得到答案； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H，由平行线的性质可得；可证明，得到，则；如图3-1所示，当时，延长交于点H，证明，根据平行线的性质可求出，则； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或；如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则；如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H，由平行线的性质可得，则． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）摆放方法①：如图3所示，当时，延长交于点H， 由（2）可得， ∵， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， ∴； 如图3-1所示，当时，延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或； 摆放方法②：当，即时，由摆放方法①可知，此时的度数为或； 如图3-2所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 如图3-3所示，当时，过点A作，延长交于点H， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 15．（25-26七年级上·甘肃天水·期末）【问题背景】 已知，点P为平面内一点，连接、． 【问题再现】 （1）如图1，当点P在平行线、之间时，平分，平分，过点作．若，，求的度数； 【问题推广】 （2）如图2，当点P在的上方时，若，，和的角平分线交于点，过点作．求的度数；（用含、的代数式表示） 【拓展提升】 （3）如图3，当点P在的上方时，点M、F分别在、的延长线上，点H为和的交点，平分，的反向延长线与的角平分线交于点E，过点E作．试说明． 【答案】（1）；（2）（3）见解析 【分析】本题考查了平行线性质与判定，角平分线的定义，角的和差，掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行线的判定可知，利用平行线的性质可证，，再根据角之间的位置关系可得； （2）先推导出，得到，，继而证明，，则，即可解答． （3）先推导出，，得到， 继而推导出，，代入计算即可解答． 【详解】解：（1）如图1， ，， ∴， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ，， ； （2）如下图所示， ，， ∴， ，， 和分别是和的角平分线， ，， ，， ． （3）如图 ，， ，， ，， ，（2小题的结论） 平分，平分， ，， 即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $