精品解析：湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期3月数学练习试卷

郧阳中学2024级高二下3月 数学练习 命题教师：孟祖国 审题教师：胡文涛 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）． A. B. C. D. 1 2. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 3. 斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 5. 已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 有最大值 D. 数列是公差为lg2的等差数列 10. 已知双曲线的左､右焦点为､，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有不相等的离心率 B. 若，则的周长为 C. 若则的面积为2 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 11. 已知则下列结论正确的是（ ） A. 若点P的坐标为，则过点P与相切的直线只有一条 B. 若存在两个极值点，且则与有3个交点 C. 若，则 D. 若的图象与x轴交于A，B，C三点，且在三点处的切线的斜率分别为，则 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有__________个. 13. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______． 14. 已知若，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最大值. 16. 已知数列的前n项和为，若对任意向量有 （1）求数列的通项公式； （2）已知，若，求数列的前项和. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，点E是CD上靠近点D的三等分点，现将沿着AE折起，使得点D到达点P的位置，且如图2. （1）求证：平面 （2）若点为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面AEF与平面PAB所成角的余弦值. 18. 已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 19. 已知函数.. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立的最大偶数a； （3）当时，设函数，若在定义域内有三个不同的极值点；且满足，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2024级高二下3月 数学练习 命题教师：孟祖国 审题教师：胡文涛 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）． A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由可得抛物线标准方程为：，由焦点和准线方程即可得解. 【详解】由可得抛物线标准方程为：， 所以抛物线的焦点为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为， 故选：B 【点睛】本题考了抛物线标准方程，考查了焦点和准线相关基本量，属于基础题. 2. 计算：（ ） A. 120 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】. 3. 斐波那契数列可以用如下方法定义：且若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列，则数列的第项为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出数列的前几项，确定数列的周期，求出数列的项. 【详解】由题意有，且， 若此数列各项除以的余数依次构成一个新数列， 则， 则数列是以为周期的周期数列，则. 4. 定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】构造函数，根据可知，得到在上单调递减；根据，可将所求不等式转化为，根据函数单调性可得到解集. 【解答】令，则 在上单调递减 则不等式可化为 等价于，即 即所求不等式的解集为： 本题正确选项： 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系． 5. 已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方法一：由三角形面积公式可得当时，的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解；方法二：利用弦心距公式求出弦长，得出面积的表达式，得出最大值，从而得出答案；方法三：利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，得出最大值，从而得出答案. 【详解】方法一： 因为， 所以当，即时，的面积最大， 此时是等腰直角三角形， 点到直线的距离为． 方法二： 设点到直线的距离为， 则， 因为与圆相交，且不经过点，所以， 所以当时，取最大值，即取最大值， 此时， 即点到直线的距离为． 方法三： 设点到直线的距离为． 则， 联立 化简，得， 则， 因为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值， 此时． 故选：D 6. 已知等差数列的前n项和为，且，，给出以下结论：①数列是递减数列；②；③；④当时，取得最大值.其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件不等式，利用等差数列求和公式推出，，即可对选项逐一判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可得：，， 即，，且，即②、③正确； 因，故数列是递减数列，故①正确； 因，，即当时，取得最大值，故④正确. 综上所述：正确结论的个数为4. 7. 已知椭圆与双曲线有相同的左焦点和右焦点，P为椭圆与双曲线在第一象限内的一个公共点，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，且，若，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设椭圆及双曲线的方程，根据椭圆及双曲线的离心率公式及定义，求得，进而得，，利用余弦定理即可求得，根据双曲线的渐近线方程，即可求得答案． 【详解】设椭圆的方程：，双曲线的方程：，， 焦点，， 由，，由，则，则， 由定义：，， 则，， 由余弦定理可知：， 则， ，，则， 双曲线的渐近线方程， 8. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 有最大值 D. 数列是公差为lg2的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合等比数列的下标和性质解方程得，进而求得判断A；求解等比数列的首项，结合求和公式求解得，再根据等比数列定义判断B；根据直接判断C；求解通项公式，结合等差数列定义判断D. 【详解】对于A，在等比数列中，，或， ，，∴，故选项A正确； 对于B，由得，， 数列是等比数列，故选项B正确； 对于C，，则，无最大值，故选项C错误； 对于D，， ，故选项D正确. 10. 已知双曲线的左､右焦点为､，点P为C右支上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线C与双曲线有不相等的离心率 B. 若，则的周长为 C. 若则的面积为2 D. 若为圆上一点，则的最大值为7 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接求解离心率判断A；结合双曲线的定义求解即可判断B；设，则，结合勾股定理得，再求解面积判断C；根据题意得为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义求解即可. 【详解】对于A：双曲线，离心率为； 双曲线的离心率为，故A正确； 对于B：由题意得，， 由双曲线的定义得，，故的周长为，故B正确； 对于C：在右支上，设，则， 因为，所以，解得（负值舍去）， 所以的面积为，故C错误； 对于D：圆的圆心的坐标为，半径为1， 易知为双曲线的左焦点；故， 则， 当为线段的延长线与圆的交点时等号成立， 所以的最大值为7，故D正确. 11. 已知则下列结论正确的是（ ） A. 若点P的坐标为，则过点P与相切的直线只有一条 B. 若存在两个极值点，且则与有3个交点 C. 若，则 D. 若的图象与x轴交于A，B，C三点，且在三点处的切线的斜率分别为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求出切线方程求解判断A；利用极值点的意义分析判断B；利用方程根的意义求解判断C；设出点的横坐标，利用导数的几何意义计算判断D. 【详解】对于A，由点为的对称中心，得， ，设过点P的直线与相切的切点为， 切线方程为，则， 即， 整理得，解得，因此过点P与相切的直线只有一条，A正确； 对于B，依题意，为的两个不等实根，则， 设，即，由， 得 ，而， 因此方程有两个解，即与有两个交点，B错误； 对于C，依题意，1和2是的两根，设， 则，C正确； 对于D，设三点的横坐标分别为，则， ， 则， 因此，D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有__________个. 【答案】10 【解析】 【详解】能被5整除的三位数末位数字是0或5， 当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数， 当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数，因此一共有个. 13. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的递推公式可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】有题意可知，时，， 当时， 由， 得， 两式相减得：， 所以，当，也满足此式， 故，， 则=， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 即， 即对恒成立， 设，则 当时，， 当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且， 则. 故答案为：. 14. 已知若，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用同构思想构造方程，再根据函数的单调性求解方程. 【详解】由题意可得，所以，即， 对于函数，在其定义域内为增函数，所以， 即，所以. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或者演算步骤. 15. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在区间上的最大值. 【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间和上单调递增，在区间上单调递减. （2）当时，函数在上的最大值为，当时，函数在上的最大值为0. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论和两种情况讨论导数的正负，判断函数的单调性； （2）根据（1）的结果，讨论的取值，判断区间的单调性，求函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为，因为，所以 当时，恒成立，函数在定义域内单调递增； 当时，由得，由得或， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，当时，函数在上单调递增，故； 当时，在上单调递减，在上单调递增，又 所以，当时，；当时， 当时，函数在上单调递减，， 综上，当时，函数在上的最大值为， 当时，函数在上的最大值为0. 16. 已知数列的前n项和为，若对任意向量有 （1）求数列的通项公式； （2）已知，若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量的数量积得，根据与的关系得到递推关系，再由累乘法求出通项公式； （2）当为奇数时，，利用裂项相消法求和，当为偶数时，，利用错位相减法求和，即可得解. 【小问1详解】 因为，即：.① 当时，，所以. 当时，，② 由①—②整理得：，整理得， 所以， 当时，，符合上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 当为奇数时，， 当为偶数时，， 对任意的正整数，有， 设，① 所以，② 所以由①②得：， 所以，即， 所以， 所以数列的前项和为. 17. 如图1，在直角梯形ABCD中，点E是CD上靠近点D的三等分点，现将沿着AE折起，使得点D到达点P的位置，且如图2. （1）求证：平面 （2）若点为线段上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求平面AEF与平面PAB所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在平面内过点P作于点H，连接，利用面面垂直的判定定理即可得证； （2）过点H作的平行线交于点G，易得，以H为原点，建立空间直角坐标系，设，，利用线面角求出，进而得点的坐标，求平面与平面的法向量，再利用夹角公式即可求解. 【小问1详解】 在平面内过点P作于点H，连接， 在梯形中，由， 易得，则，即. 在中，由余弦定理， 得. ，且， 又平面， 平面平面平面； 【小问2详解】 过点作的平行线交于点G，易得， 以为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建 立空间直角坐标系， 由已知得， 设，由，得 ，则. ，易知平面的法向量为 所以直线与平面所成角的正弦值为： ， 解得. 在平面中， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为， 在平面中，， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 平面与平面所成角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左右焦点间的距离为2，椭圆C的左顶点到左焦点的距离为1. （1）求椭圆C的方程； （2）如图，斜率存在且不为0的直线l与C相交于点A，B（A在B的左侧），设直线的斜率分别为且 ①求证：直线l过定点； ②设直线相交于点M，求证：为定值. 【答案】（1）； （2）①直线过定点，证明见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意有，求出，可得椭圆C的方程； （2）①联立直线和椭圆的方程可得，利用和韦达定理化简整理可得，即可求得直线过定点； ②联立直线与的方程可得，进而求得和，再求解即可 【小问1详解】 因为焦距为2，所以， 又左顶点到左焦点的距离为1，所以，所以， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 ①设直线方程为， 与椭圆联立，消去得， 则即. 设，由韦达定理得：； 直线的斜率，直线的斜率， 因此， ， 即，整理得， 所以，故直线过定点. ②直线的方程，因为， 故直线可写为，即， 直线过和，其方程为， 联立直线与的方程，消去后解得，即； 同理，，由题知在的左侧，易得在左半椭圆，故， 所以 19. 已知函数.. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，求使恒成立的最大偶数a； （3）当时，设函数，若在定义域内有三个不同的极值点；且满足，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）对给定不等式分离参数，构造函数，利用导数求出函数最大值范围即可. （3）求出函数及导数，确定的零点并用表示，再将用表示，构造函数并用导数确定单调性即可求出范围. 【小问1详解】 当时，，则，而， 所以所求切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，不等式， 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则，使，即， 当时，；当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 函数，而， 所以使恒成立的最大偶数为. 【小问3详解】 依题意，，其定义域为， 求导得，由，得或， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 且当时，；当时，，因此的大致图象如图： 由在定义域内有三个不同的极值点，且为的一个根， 得的图象与直线有两个不同的交点（且不等于1），则， 即在上有两个不同的正根（且不等于1），不妨设，则， 即，即，亦即， 因此 令函数，求导得， 由函数在上单调递增，得在上单调递增， 则，又，于是， 函数在上单调递增，而， 则当时，，即当时，恒成立， 所以实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $