精品解析：湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高二下学期起点数学练习试题

郧阳中学2024级高二下起点 数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 6. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 10. 记为数列的前项和，且，，则（ ） A. B. 为等比数列 C. 数列单调递减 D. 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记函数的导数为，若，则_____. 13. 在平面直角坐标系中，点，直线：，圆：，点为直线上一个动点，点为圆上一个动点，则的最小值为______. 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 16. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点D到平面的距离 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）P为椭圆C上一动点，求的最大值； （2）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2），点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点． 记，解答下面问题． （i）证明：数列是等比数列； （ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郧阳中学2024级高二下起点 数学练习 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的定义计算进行求解. 【详解】由， 则. 故选：D. 2. 在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算计算即可. 【详解】由题意 ， 所以，解得， 故选：B 3. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则和复合函数求导的法则，准确运算，即可求解. 【详解】对于A，由 ，所以A错误； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由，所以C错误； 对于D，由，所以D错误. 故选：B. 4. 设数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据首项和递推式求出，观察归纳得出是周期为3的周期数列，再确定除以3的余数，进而求解． 【详解】已知，则，， ，， 可见此数列为周期是3的周期数列， ， ，故D正确． 故选：D． 5. 已知等差数列的前n项和为，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式和等差中项求解. 【详解】因为数列是等差数列， 所以 解得 ， 所以， 故选：C 6. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 7. 设斜率为的直线与抛物线交于，两点，若为线段的中点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用点差法，设出和两点坐标代入抛物线方程作差，结合中点坐标求出直线斜率，再用点斜式得到直线方程. 【详解】设，，则，由：作差得， 得，所以直线方程为，即. 故选：C 8. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合，借助勾股定理进行运算即可. 【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：， 又因为，且分别为，的中点，所以, 所以到渐近线的距离为， 所以，，结合，可得：① 因为，所以即， 整理得：，将①代入，，所以. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知圆与圆，则（ ） A. 点在圆内 B. 两圆相交，公共弦的方程为 C. 圆与圆有三条公切线 D. 圆平分圆的周长 【答案】BD 【解析】 【分析】把两个圆的方程通过配方法变成圆的标准方程， 结合点与圆的位置性质、两圆的位置关系逐一判断即可. 【详解】圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. 圆， 则圆的圆心坐标为，半径为. A：因为， 所以点在圆外，因此本选项说法不正确； B：, 因为， 所以两圆相交， ， 所以本选项说法正确； C：由上可知两圆相交，故公切线有两条，所以本选项说法不正确； D：因为， 所以圆心在圆上， 又因为， 所以圆心在公共弦所在直线上， 因此圆平分圆的周长，所以本选项说法正确， 故选：BD 10. 记为数列的前项和，且，，则（ ） A. B. 为等比数列 C. 数列单调递减 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】令得出可判断AC；利用降标作差得出，再根据等比数列的定义证明判断B；利用分组求和判断D. 【详解】令，则，即， 因为，所以，故A正确，C错误； 因为，所以， 两式作差得， 当时，符合上式，故，则， 因为，由以上递推关系可知，所以， 则是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； 得，则， 则，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为，是线段的中点，是底面正方形内的动点（包含边界），则下列说法中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若点在线段上运动，则与平面所成角正弦的最大值为 D. 若与所成的角为，则动点的轨迹为双曲线的一部分 【答案】ABD 【解析】 【分析】由平面平面，得到点到平面的距离为定值，结合锥体的体积公式，可判定A正确；连接,交于点，证得平面，当为底面正方形中心时，得到平面，可判定B正确；以为原点，建立空间直角坐标系，设，得到，结合向量的夹角公式，可判定C错误；设，由与所成的角为，列出方程，得到动点的轨迹为双曲线的一部分，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为平面平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，所以A正确； 对于B中，连接,交于点，连接， 则为的中点，因为为的中点，所以， 在正方体中，可得， 因为，且平面，所以平面， 所以平面，当为底面正方形中心时，平面，所以B正确. 对于C中，以为原点，所在直线为轴、轴和轴建立空间直角坐标系， 则, , ，可得，， 设，其中，则， 可得平面的法向量， 设直线与平面所成角为，当时，与重合，此时，； 当时，， 当且仅当时取等号， 综上可得，与平面所成角的正弦值最大为，所以C错误. 对于D中，设，则,， 因为与所成的角为，所以， 所以，可得，所以动点的轨迹为双曲线的一部分，所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 记函数的导数为，若，则_____. 【答案】7. 【解析】 【分析】求，将代入，求出，从而求出，继而求出. 【详解】因为，故， 故，解得，所以，故. 故答案为：. 13. 在平面直角坐标系中，点，直线：，圆：，点为直线上一个动点，点为圆上一个动点，则的最小值为______. 【答案】9 【解析】 【分析】设点关于直线的对称点为，则可转化为，而，通过求对称点的坐标结合两点间距离即可求解. 【详解】根据题意，设点关于直线的对称点为，则，， 当、、三点共线时，取得最小值， 则， 又由，设点， 则，解得，则， 又因为圆：，其圆心为，半径， 则，所以. 故答案为：9. 14. 已知数列的第一项为1，第二项为，第三项为，，依此类推.记数列的前项和为，，若数列单调递减，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用题意求出，然后再求出，再利用递推关系结合单调性可得到不等式恒成立，最后可求出参数的范围. 【详解】由题意得： ， 又因为， 所以有， 因为数列单调递减，所以有对于恒成立， 即对于恒成立， 再取，则由， 可知数列单调递减，则， 所以要使得不等式对于恒成立， 则满足，即实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15. （1）已知函数，若曲线在处的切线也与的图象相切，求a的值． （2）过点作曲线的切线，若这样的切线有且仅有两条，求实数a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先求曲线在处的切线方程，再设切线方程与的图象相切于点，利用公切线即可求解； （2）设切点坐标为，利用斜率公式得，进而得，利用二次方程即可求解. 【详解】（1），，又， 曲线在处的切线方程为． 设直线与的图象相切于点， ，， 切线方程为，即， ，解得， 所以； （2）对求导得， 设切点坐标为，则过点的切线的斜率， 化简得， 依题知，关于的方程有两个不相等的实数根， ，解得或， 故实数a的取值范围是． 16. 记为数列的前n项和.已知. （1）证明：是等差数列； （2）若，，成等比数列，令，且的前n项和为，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）证明：由可得， 当时，， 故， 化简可得， 由于，故，即为常数， 因此为等差数列， （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）根据裂项求和可得的表达式，进而利用单调性求解的取值，即可求解. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 由（1）知为等差数列，且公差为， 又，，成等比数列，故，解得， 故， 故， 故， 单调递减，故单调递增，因此， 恒成立，故，解得， 17. 如图，四棱锥的底面为直角梯形，其中，，且平面平面，，，E为中点． （1）求证：平面； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求点D到平面的距离 【答案】（1） 取中点F，连接，． ∵E为中点，F为中点，∴且． 又且，∴且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面，平面， ∴平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线可证四边形是平行四边形，再由线面平行的判定定理得证； （2）取中点O，连接，过O作．建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面夹角的余弦值，进而求得四棱锥的高，从而求得点D到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点O，连接，过O作． ∵，∴． 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面． 以O为原点，分别以、、为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设，则， 设平面的法向量， ，则，取，则， 所以平面的一个法向量为， 因为平面的法向量， 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，解得， 又， 所以点D到平面的距离为 . 18. 已知椭圆的左、右顶点分别为，过椭圆的右焦点且斜率不为0的直线交于两点，点． （1）P为椭圆C上一动点，求的最大值； （2）设直线与直线交于点，记直线，，的斜率分别为，，，若成等差数列，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，可得，代入两点间距离公式结合二次函数的性质即可求解. （2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，，进而结合直线斜率公式，一元二次方程的根与系数关系、等差数列的性质进行求解即可. 【小问1详解】 设为椭圆上一点， 则，且 ， 则 ， 所以当时，. 【小问2详解】 椭圆右焦点，设直线，，， 联立直线与椭圆方程，可得， 由韦达定理得，， 而直线的方程为，把代入方程中，得， 所以，于是，，， 因为，，成等差数列， 所以， 化简得， 把代入化简，得， 把代入， 得，因为，所以有，即. 19. 已知双曲线的焦距为，且点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2），点列按如下规则构造：①点为的右顶点；②过点作斜率为的直线，交双曲线于另一点；③点为点关于轴的对称点． 记，解答下面问题． （i）证明：数列是等比数列； （ii）若为数列的前项和，设，数列的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2） （i）双曲线的右顶点为，故，， 过点作斜率为的直线，方程为， 联立直线与双曲线方程得，整理得， 设， 由韦达定理得，解得，， 点为点关于轴的对称点，故，， ， ， ， 是首项为2，公比为3的等比数列； （ii）， ， ， 当时，， 当时，，， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由焦距得出，利用双曲线的性质得出的关系，结合已知点构造方程求出，进而求出，得出双曲线方程； （2）根据已知条件，设点列出直线方程，联立双曲线方程结合韦达定理求出坐标，进而得出递推关系，证明结论；求出的通项公式，进而求出，利用放缩法证明结论． 【小问1详解】 双曲线的焦距为，得， ， 又点在双曲线上， ，即，解得，则， 双曲线的方程为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $