精品解析：江西赣州市赣县中学2025-2026学年高二下学期三月份阶段课后巩固作业数学试题

赣县中学2026年春学期高二数学三月份阶段课后巩固作业 一、单选题 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数列前项和与第项的关系求出. 【详解】数列的前项和，则. 故选：A 2. 数列满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由题中递推公式可求出数列为周期为2的周期数列，从而可求解. 【详解】由题意知，所以， 所以可得是周期为2的周期数列，则．故A正确. 故选：A. 3. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】首先对已知等式进行变形，得到数列的性质，判断出它是等差数列，然后根据等差数列的通项公式以及已知的来逐步求出的值. 【详解】已知，等式两边同时除以（因为是正项数列，）， 可得.这表明数列是公差为的等差数列. 已知，那么. 对于等差数列，其通项公式为（为公差），这里. 当时，. 把代入上式，可得，解得. 故选：A. 4. 数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】设出等差数列的公差，由，，构成公比为q的等比数列，列式求出公差，则由化简得答案 【详解】解：设等差数列的公差为d， 由，，构成等比数列， 得：， 整理得： 即． 化简得：，即． ． 故选A． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题． 5. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等比数列与等差数列性质计算可得、，再计算余弦即可得解. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，则， 设等差数列的公差为， 由，得，则， 所以． 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知求原数据的样本中心，再确定增加数据后的样本中心，进而得到修正后的回归直线，估计的对应值，最后由残差的定义求解. 【详解】由题设，则， 增加数据后，，，且回归直线为， 所以，则， 所以，有，故残差的绝对值为. 故选：A 7. 已知等比数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 17 B. 18 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设的公比为q，根据等比数列的片段和的性质，求得公比即可求解． 【详解】设的公比为q，则， 所以，又， 所以，解得或（舍）， 所以， 故选：A． 8. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题目所给信息及图形可得，后由椭圆定义及条件可得，.最后由可得答案. 【详解】如图，由椭圆的光学性质可得三点共线. 设，则，. 故，解得.又，所以，. 所以. 故选：A. 二、多选题 9. 设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先由求出，根据各个选项的条件及等比等差数列的性质即可判断． 【详解】当时，； 当时，， 所以， 对于A，若，则， 故，则，故A选项正确； 对于B，若，则， 故，则，故B选项错误； 对于C，若为等差数列，则当时，是与无关的常数， 故只能有，即； 同时也是与无关的常数，且根据等差数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故， 所以，C选项正确； 对于D，若为等比数列，则当时，，这是一个与无关的常数； 同时也是与无关的常数，且根据等比数列的定义可知，这两个常数是同一个数， 故，得，故D选项正确， 故选：ACD． 10. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式推导出、，结合不等式的基本性质可判断A选项；根据A选项可得出关于的不等式组，解出的范围，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；分析数列的单调性，可判断D选项. 【详解】等差数列的公差为，前项和为，，，， 对于A选项，，可得， ，可得，则，A对； 对于B选项，，解得， ，解得， 因此，的取值范围是，B错； 对于C选项，因为，所以，数列为单调递减数列，且， 当且时，， 当且时，， 所以，的最大值为，C错； 对于D选项，因为数列为单调递减数列， 且当且时，，此时，，则， 当且时，，此时，数列单调递减， 当且时，，此时，， 当且时，，此时，， 所以，要考虑的最小值，只需考虑即可， 当时， ，即，此时数列单调递增， 所以，的最小值为，D对. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项要考查的最小值，最好是确定的符号，锁定取负值时的取值，再结合数列的单调性分析即可. 11. 以下命题正确的有（ ） A. 设等差数列的前项和分别为，若，则 B. 数列满足，则 C. 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为 【答案】BD 【解析】 【分析】设，由等差数列的求和公式，分别求得，可判定A不正确；由，得到，结合叠加法求得数列的通项公式，可判定B正确；当时，，两式相减，求得，结合，求得数列的通项公式，可判定C错误；由，求得； 化简得到，结合等差数列的求和公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，等差数列的前项和分别为，且， 由等差数列前的性质，可设， 则， 可得，所以，所以A不正确； 对于B中，由，得， 则当时，， 所以 ， 显然满足上式，因此，所以B正确； 对于C中，因为， 当时，， 两式相减，可得，即， 当时，可得，此时不满足， 所以数列的通项公式为，所以C错误； 对于D中，由，当时，，即，解得； 当时，，于是，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的前项和，所以D正确. 故选：BD 三、填空题 12. 在数列中，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】直接由递推关系进行累乘运算即可. 【详解】由题意知． 故答案为：. 13. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 【答案】6 【解析】 【分析】首先要求出抛物线上的点到圆上及抛物线的焦点的距离最小的位置，然后根据三点共线求出相应的点的坐标，进一步求得最小值，进而求得答案． 【详解】 抛物线准线方程为, 过点作抛物线准线的垂线，垂足为， 则， 当过圆心作抛物线准线的垂线时，三点共线时，且在线段上时， 最小，且. 故答案为：6. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件求出，，再根据探索数列的通项公式，代入，根据，分为奇数、偶数讨论的取值范围，最后根据为非零整数确定它的值. 【详解】因为，且 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，则， 可得， 即，则， 可得， 且，则， 且，可知数列是首项和公差均为1的等差数列， 则，可得， 对任意，有恒成立，则恒成立， 因为， 即， 若是奇数时，则，即，可得； 若为偶数时，则，即，可得； 综上可得：， 又因为是非零整数，所以． 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 【答案】（1）； （2）30 【解析】 【分析】（1）设出公差，根据通项公式和求和公式基本量得到方程组，求出首项和公差，得到通项公式； （2）分组求和，得到答案. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 所以. 16. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 （1）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （2）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 【答案】（1），具有较强的线性相关程度 （2），预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元 【解析】 【小问1详解】 ， ， 又因为， 所以， 所以具有较强的线性相关程度. 【小问2详解】 因为， 则，所以关于的线性回归方程为， 将代入线性回归方程，得， 所以预测研发投入10亿元时产品的经济收益为亿元． 17. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意得，为等边三角形， 又为中点，所以，，故. 又因为，所以平面. 又因为平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，判断二面角对应的平面角，求出相关点的坐标，结合线面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，以为原点，，以及垂直于平面的直线为，，轴，建立空间直角坐标系， 由（1）知，， 又，所以即为二面角的平面角，即. 则，，，. ，，， 设平面的法向量， 则，即，取， 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 【答案】（1） 因为，所以， 因为，，所以， 由以上递推关系可知，，则， 故是以为首项，为公比的等比数列； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求证； （2）结合（1）求出的通项公式，再利用求出为等比数列，利用等比数列的通项公式即可； （3）利用错位相减法求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， 因为，所以，则， 即， 因为，所以由以上递推关系可知，，则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，； 【小问3详解】 由（2）可知，，则，则， 设，则， 则， 则 ， 则. 19. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 【答案】（1） （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）由双曲线的定义，根据整体思想，可得答案； （2）由斜率之和为零，可得倾斜角的大小，从而求得直线方程，利用三角形面积公式，可得答案； （3）分斜率存在与不存在两种情况，表示出直线方程，联立双曲线方程，写出韦达定理，结合题意建立方程，可得答案. 【小问1详解】 根据双曲线定义得：，， 两式相加得，即， 由已知得，所以的周长为， 【小问2详解】 设直线的倾斜角分别为， 由已知得，不妨设，则， 则可求得，， 所以直线解得， 直线解得， 所以的面积为. 【小问3详解】 设，由知 若直线斜率不存在，则，此时与点重合，不符题意，舍去； 设直线方程为：， 与双曲线联立化简得， 显然成立，设交点， 由韦达定理： 由得， 从而，即， 将韦达定理代入 化简得（※）， 因为，即， 由已知在双曲线上，得， 从而得代入（※）式， ， 化简得，即， 解得，则点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 赣县中学2026年春学期高二数学三月份阶段课后巩固作业 一、单选题 1. 设数列的前项和，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 数列满足，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 3. 已知正项数列满足，，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 数列是等差数列，若，，构成公比为q的等比数列，则　　 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等比数列与等差数列，满足，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知变量线性相关，其一组样本数据，满足，用最小二乘法得到的经验回归方程为.若增加一个数据后，得到修正后的回归直线的斜率为2.1，则数据的残差的绝对值为（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 7. 已知等比数列的前n项和为，若，且，则（ ） A. 17 B. 18 C. D. 8. 椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点（如图）.已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于点A，B，过点作椭圆的切线，点关于的对称点为，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 设数列的前项和为，且（为常数），则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若为等差数列，则 D. 若为等比数列，则 10. 设等差数列的公差为，前项和为．已知，，，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 以下命题正确的有（ ） A. 设等差数列的前项和分别为，若，则 B. 数列满足，则 C. 数列满足：，则 D. 已知为数列的前项积，若，则数列的前项和为 三、填空题 12. 在数列中，，，则_________． 13. 已知是抛物线上一点，为其焦点，点在圆上，则的最小值是________. 14. 已知各项均为正数的数列的前n项和，且满足.设（非零整数，），若对任意，有恒成立，则的值是__________. 四、解答题 15. 已知等差数列的前项和为，满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求． 16. 近些年来，促进新能源汽车产业发展政策频出，新能源市场得到很大发展，销量及渗透率远超预期，新能源几乎成了各个汽车领域的热点．某车企通过市场调研并进行粗略模拟，得到研发投入（亿元）与经济收益（亿元）的数据，统计如下： 研发投入/亿元 1 2 3 4 5 经济收益/亿元 2.5 4 6.5 9 10.5 （1）依据表中统计数据，计算样本相关系数（结果保留3位小数），并判断研发投入与经济收益之间是否有较强的线性相关性；（若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较强） （2）求出关于的线性回归方程，并预测研发投入10亿元时的经济收益． 参考数据：． 附：相关系数，线性回归方程的斜率，截距． 17. 如图，在菱形中，，，为的中点，将沿翻折至，得到四棱锥. （1）证明：平面平面； （2）当二面角为120°时，求和平面所成角的正弦值. 18. 已知数列满足，，． （1）求证：是等比数列． （2）记，求数列及的通项公式； （3）设，求． 19. 已知双曲线分别是其左、右焦点，直线与双曲线的右支交于两点. （1）当直线过点，且时，求的周长； （2）已知点，若直线的斜率之和为，且，当分别与轴交于点时，求的面积； （3）已知直线过点，是双曲线上一点且位于第一象限，且满足的点在线段上，若，求点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $