精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2025-2026学年高二下学期阶段性检测数学学科试卷

2026年春学期金坛第一中学高二阶段性检测数学学科试卷 总分：150分 时长：120分钟 命题人：朱自成审核人：景庆 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 直线与曲线相切于点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 4. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 2 B. 7 C. 2或7 D. 3或9 6. 如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分，选错不得分） 9. 若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在处有最大值 B. 1是的一个极值点 C. 当时，方程有两个不同的实根 D. 当时，方程有一根 11. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 13. 已知点，则在上的投影向量的模为______ 14. 设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____. 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：； （2）若，设，分别为棱，的中点，为内一点，且满足，求直线与所成角的余弦值． 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 17. 已知函数． （1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 18. 如图，长方体中，，，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期金坛第一中学高二阶段性检测数学学科试卷 总分：150分 时长：120分钟 命题人：朱自成审核人：景庆 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 设，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由向量的关系列等式求解x，y的值，再运用向量加法的坐标表示公式，结合向量的模计算得出结果. 【详解】向量，且， ∴，解得， ∴， ∴， 故选：B 2. 直线与曲线相切于点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直线与曲线相切于点, 可得求得的导数,可得,即可求得答案. 【详解】直线与曲线相切于点 将代入可得: 解得: 由,解得:. 可得, 根据在上 ,解得: 故选:. 3. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选D． 考点：利用导数研究函数的单调性. 4. 如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 5. 已知函数在处取得极值0，则（ ） A. 2 B. 7 C. 2或7 D. 3或9 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到导函数，根据题意得到且，解得答案并验证即可. 【详解】，， 根据题意：，， 解得或， 当时，，函数单调递增，无极值点，舍去. 当时，， 在和时，，函数单调递增； 在时，，函数单调递减，故函数在出有极小值，满足条件. 综上所述：. 故选：B. 6. 如图，在直三棱柱中，，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值. 【详解】因为三棱柱是直三棱柱，且， 所以以B为原点、AB所在直线为x轴、BC所在直线为y轴、所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 因为，所以， 故． 设为平面的一个法向量， 则， 令，得． 设直线与平面，所成的角为， 则， 故选：A． 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，，利用导数分析其单调性，结合单调性比较大小即可. 【详解】令，，则，，， 因为， 可知在内单调递减，且， 则，所以. 8. 已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 因为，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增， 所以， 因为，则， 所以. 故选：A. 二、多选题（每题6分，共18分，选对部分得部分分，选错不得分） 9. 若函数，在区间上单调，则实数m的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调区间，在结合题意即可得解. 【详解】， 令，得，令，得， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为， 因为函数在区间上单调， 所以或，解得或. 故选：AC. 10. 函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在处有最大值 B. 1是的一个极值点 C. 当时，方程有两个不同的实根 D. 当时，方程有一根 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于AB，由导数法研究函数的极值及最值判断；对于CD，由导数法研究函数的单调性，由数形结合判断交点个数. 【详解】对于AB：已知，则，令，则，解得. 当时，；当时，， 所以在上单调递增；在上单调递减， 所以在处有最大值，且1是的极值点，故AB正确. 对于CD：，又，，，. 故当时，的图象与的图象有两个交点，即方程有两个不同的实根. 当时，的图象与的图象无交点，即方程无实根，故C正确，D错误. 11. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意可得两两互相垂直，以此建系，由空间向量的坐标运算结合法向量，求解即可. 【详解】连接，由题意得，， 因为是直二面角，且平面平面, 所以平面，因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 不妨设正方形边长为2，则， 则， 因为为中点，则，即， 因为为中点，则，即， 对于A，， 则， 因为， 则， 解得，则，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，易得平面的法向量为，与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，因为点到点的距离都是， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用导数的运算法则求得，再代入计算求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知点，则在上的投影向量的模为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义结合向量的坐标运算求解. 【详解】因为， 可得，， 所以在上的投影向量的模为. 故答案为：. 14. 设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”；已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求出和，由题中所给定义，将参数分离，构造函数求解即可. 【详解】∵， ∴，， 若在为“凸函数”， 则，， 即，， 设，则， ∴在区间单调递增， 当时，， ∴实数的取值范围是. 故答案为：[2,+∞) 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，平面，． （1）求证：； （2）若，设，分别为棱，的中点，为内一点，且满足，求直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理与性质定理证明即可． （2）建立空间直角坐标系，得到相关点及向量的坐标，求出点，进而得到与，利用向量夹角公式求解即可． 【小问1详解】 因为平面，平面，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，两两垂直， 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 所以，所以， 所以. 设直线与所成角为， 则. 故直线与所成角的余弦值为. 16. 已知函数在处取得极值. （1）求函数的解析式及单调区间； （2）求函数在区间的最大值与最小值. 【答案】（1），单调递增区间为，单调递减区间为； （2）最大值为2，最小值为. 【解析】 【分析】（1）求导，根据，求出，求出解析式，并解不等式，求出单调区间； （2）在（1）基础上，得到函数极值情况，和端点值比较后得到答案. 【小问1详解】 ， 由题意得，即，解得， 故解析式为，定义域为R， 令，令得或， 令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 显然为极小值点，故， 单调递增区间为，单调递减区间为， 【小问2详解】 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 表格如下： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 又， 故的最大值为2，最小值为. 17. 已知函数． （1）若，求曲线的斜率等于3的切线方程； （2）若在区间上恰有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，令求得切点坐标后可得切线方程； （2）求导函数，利用导数求出函数的单调区间，得到函数的极值点，依题意结合零点存在定理，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 当时，，，则， 设切点为，则，解得或（舍）， ∴，故切点为， ∴所求切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 令，得， ①当，即时，在上， ∴在上单调递减，此时在上不可能存在两个零点； ②当，即时， 在上，递减；在上，递增， 则在时取得极小值， 结合零点存在定理，要使在区间上恰有两个零点， 则，得． ∴综上的取值范围是． 18. 如图，长方体中，，，点在线段上，且. （1）求证：平面； （2）求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而得证； （2）求出平面和平面的法向量，利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， ，，， 则有， 显然，因此平面. 【小问2详解】 平面的法向量为，又， 由，， 则有， 设平面和平面夹角为， 则有. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）求当时，函数在区间上的最小值； （3）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：． 【答案】（1）极大值为，极小值为 （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果； （2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨论即可求出结果； （3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不同实根，满足，，两式化简得到，不妨设，利用分析证明法和换元法即可证明结果． 【小问1详解】 当时，函数． ， 令，得或 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则在处取得极大值，在处取得极小值． 极大值为，极小值为． 【小问2详解】 函数的定义域是， ． 当时，令有两个解，或． 当，即时，，在上单调递减， 在上的最小值是， 当，即时， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在上的最小值是， 当，即时，，，在上单调递增， 在上的最小值是． 综上，． 【小问3详解】 关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根， 得，令，， 令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 时，取得最大值，且，当时， 得的大致图象如下： ． 即当时，有两个不同实根． 两根满足，， 两式相加得：，两式相减得：， 上述两式相除得． 不妨设，要证：， 只需证：， 即证， 设，令， 则， 函数在上单调递增，且． ，即，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $