原创题目汇编1 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

高中数学原创题目汇编1（解析版） 1.（函数与圆锥曲线综合题目，15分） 已知函数( )，( )， 其中 . （1） 求和的值域； （2）证明：以点(，)为圆心、1为半径的圆恒与椭圆 1相切 （参考公式：椭圆 1在点处的切线方程为 1） 解析：（1）令，则 [1,1]，( ) + + ∴在[1,1]上单调递增，则有 + 1 ∴的值域为[, + 1]，同理可得的值域为[, + 1] （2）以(，)为圆心、1为半径的圆的方程为 设为该圆与椭圆的切点，则有 展开得① 则 1在点处的切线方程为 1，切线的斜率 ，直线的斜率 ，易知该切线也是圆的切线 则 1，即 1，整理得② 又有点 1③ 现在我们只要证明：给定，使得①②③式同时成立， 注意到，如果取 ， ，容易证明满足③式 现证 ， 也能满足①、②式 将 ， 代入①式，整理得 ④ 我们令 ，则 ，并将 ( )，( )写成 ( )，( )，代入④式得 ( ( (( )( )) ( ) ( )1，因此①式成立 再证明②式，将 ， 代入②式得 ( )( ) 即，因此②式成立 故以点(，)为圆心、1为半径的圆恒与椭圆 1相切，得证. 2.（立体几何建系计算类压轴小题） 如图所示，直六棱柱的底面是边长为的正六边形，已知该直六棱柱的所有棱长之和为，点为底面上的动点（包含边界且不与重合），若存在点，使得二面角为直二面角，则的取值范围为 A. B. C. 参考答案：C 3.（解析几何创新多选压轴题） 1966年，加拿大数学家罗·摩瑟在一篇论文中提出了一个著名的“移沙发”问题： 假设你的家中有一个90度转角的走廊，走廊的宽度是1,那么你能搬进去的最大的沙发面积是多少? “移沙发”问题引发了许多数学家的思考，但至今没有人能证明其所设计的沙发的面积是最大的.显然，一个面积为1的正方形通过简单的平移运动就可以实现；若考虑图形的旋转运动，一个面积为0.5的半圆也可以实现.数学家哈默斯利在此基础上利用组合的方法设计了面积更大的“哈默斯利沙发（）”，将一个半径为1的半圆从中间切开，插入一个边长为1的正方形，再挖去一个直径为1的小半圆，得到的图形就是哈默斯利沙发.如图所示，将该图形放入平面直角坐标系中，下列说法正确的是 2 1 3 1 1 3 A.哈默斯利沙发的面积为（）. B.若一动圆在图中哈默斯利沙发区域内运动，且与该区域的圆弧边界相切，则该动圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分，且该椭圆的离心率为. C.若一动圆在图中哈默斯利沙发区域内运动，且与该区域的上下边界相切，则该动圆的圆心的轨迹为抛物线的一部分，且该抛物线的方程为 （1）. D.若直线与该图形有2个交点，则实数的取值范围是. 参考答案：ABD 4.（导数压轴题，17分）已知函数 ，其中. （1）设为曲线图象上任意两点（0），为的导函数，且满足. （）证明：为定值.（3分） （）若分别过作曲线的两条切线，设与轴的交点分别为， 证明：当 时，不可能重合.（6分） （2）已知1，若关于（ 且）的方程1（且 1）有3个不同的实数根，求实数的取值范围.（8分） 答案解析 （1）（） . ∵ ∴ ∴为方程的两根，即方程的两根. 由韦达定理知，为定值. （）在点处的切线方程为. 同理在点处的切线方程为. 令，得到的纵坐标分别为，. 若重合，则有，即， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴若存在重合，函数 在存在零点 . 令，△ 若△，即0 ，，，则存在，使得，当时，，，在上单调递增；当时，在上单调递减 ∵当 0时，，而，则， ∴在上存在一个零点，即当0 ，可以重合. ②若△，即 ，恒成立，在上单调递增，而，故在上不存在零点，即不可能重合，结论得证. （2）当1时，∵ ， ∴ 而 恒成立，在上单调递增 ∵ 1， 1 ∴，又有在上单调递增得 ∴关于的方程 1有3个不同的实数根等价于方程有3个不同的实数根 方程左右两边同时取自然对数得12，整理得 令 ，只需讨论直线与 的交点个数 作出 的图象如图所示，， ∴当时，直线与 有3个交点， 故实数的取值范围为 5.（导数压轴题，17分）已知函数（、），（ ，）. （1）当，时，求的极小值（5分） （2）若在（0，）内有2个极值点. （）已知2， 2，求实数的值（4分） （）若6，求的取值范围（8分） 答案解析 （1）当，时，，（ ，） 令，易知， 令，则或1（舍去），即 ， 或 ∴当（0，）时， ，，在（0，）上单调递减 当（，）时， ，，在（，）上单调递增 ∴ 是的极小值点，极小值 ，由于为奇函数，根据对称性知 是的极大值点 综上所述，的极小值为 （2）（）当时， 令，易知，令，由韦达定理得 ，，即 ∵ 2 ∴， ∴ ∴4 （）当6时， 令，易知，令，由韦达定理得 即 ∵ ∴ ∵在（0，）内有2个极值点 ∴方程在有两个根，而 当，为开口向上的抛物线，若要保证两个根落在（0，1）上，则同时满足 联立解得9 当，为开口向下的抛物线，则两个根不可能同时落在（0，1）上 综上所述，实数的取值范围为（9，∞） ∵ 在（9，∞）上单调递减， ， ∴的取值范围为（，） ∴的取值范围为（1 + ，） 6.（立体几何压轴小题） 如图所示，三棱锥△是边长为2的等边三角形，，侧面 内（包含边界）一点 = 2，且点的轨迹与侧棱只有一个交点，则三 棱锥的体积为 A. B. C. D. 答案解析 如图所示，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，则各点的坐标分别为（0，0，0） （2，0，0）（1，，0）,设点的坐标（，，），由 = 2得 4 ，整理得3，进一步整理得 ，则点在以（ ，，0）为球心，为半径的球面上 由于题目中明确说明点内（包含边界），因此对于本题，点的轨迹是一段 不完整的圆弧，球心到平面的距离为，根据勾股定理，点的轨迹圆弧的半径为 ，点的轨迹圆弧的圆心的坐标为（ ，0，0），点的轨迹与侧棱只有一个 交点，说明轨迹圆弧与侧棱相切，经过计算可知，当且仅当三棱锥的高 时，满足题意，则三棱锥的体积为 ，故选B . 7.（数列大题，15分） 已知各项均不为0的数列满足2其中为数列的前项和，.数列满足，. （1）求数列的通项公式（8分） （2）证明：（7分） 答案解析 （1）∵2，等式左右两边降标得2（） ∴2（）（），即2（）（） ∵ ∴2（） ∵，2 ∴ 令（），则2 ∴数列是以为首项，2为公差的等差数列 ∴，即（，） 令（），则2 ∴数列是以为首项，2为公差的等差数列 ∴，即（，） 因此数列的通项公式为（） ∴， 令，，则 则 5 则当时，（++）（++）（++） （） ，即5（，） 当时，，510（，） 当时，，10（，） ∴，5， （2）当时，（++）（++）（++） （），即（，） 当时，，（，） 当时，，（，） ∴ ∴ ∵， ， ∴， ∵ ∴，（当且仅当时，等号成立） ∴ ，结论得证 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学原创题目汇编1 1.（函数与圆锥曲线综合题目，15分） 已知函数( )，( )， 其中 . （1） 求和的值域； （2）证明：以点(，)为圆心、1为半径的圆恒与椭圆 1相切 （参考公式：椭圆 1在点处的切线方程为 1） 2.（立体几何建系计算类压轴小题） 如图所示，直六棱柱的底面是边长为的正六边形，已知该直六棱柱的所有棱长之和为，点为底面上的动点（包含边界且不与重合），若存在点，使得二面角为直二面角，则的取值范围为 A. B. C. 3.（解析几何创新多选压轴题） 1966年，加拿大数学家罗·摩瑟在一篇论文中提出了一个著名的“移沙发”问题： 假设你的家中有一个90度转角的走廊，走廊的宽度是1,那么你能搬进去的最大的沙发面积是多少? “移沙发”问题引发了许多数学家的思考，但至今没有人能证明其所设计的沙发的面积是最大的.显然，一个面积为1的正方形通过简单的平移运动就可以实现；若考虑图形的旋转运动，一个面积为0.5的半圆也可以实现.数学家哈默斯利在此基础上利用组合的方法设计了面积更大的“哈默斯利沙发（）”，将一个半径为1的半圆从中间切开，插入一个边长为1的正方形，再挖去一个直径为1的小半圆，得到的图形就是哈默斯利沙发.如图所示，将该图形放入平面直角坐标系中，下列说法正确的是 2 1 3 1 1 3 A.哈默斯利沙发的面积为（）. B.若一动圆在图中哈默斯利沙发区域内运动，且与该区域的圆弧边界相切，则该动圆的圆心的轨迹为椭圆的一部分，且该椭圆的离心率为. C.若一动圆在图中哈默斯利沙发区域内运动，且与该区域的上下边界相切，则该动圆的圆心的轨迹为抛物线的一部分，且该抛物线的方程为 （1）. D.若直线与该图形有2个交点，则实数的取值范围是. 4.（导数压轴题，17分）已知函数 ，其中. （1）设为曲线图象上任意两点（0），为的导函数，且满足. （）证明：为定值.（3分） （）若分别过作曲线的两条切线，设与轴的交点分别为， 证明：当 时，不可能重合.（6分） （2）已知1，若关于（ 且）的方程1（且 1）有3个不同的实数根，求实数的取值范围.（8分） 5.（导数压轴题，17分）已知函数（、），（ ，）. （1）当，时，求的极小值（5分） （2）若在（0，）内有2个极值点. （）已知2， 2，求实数的值（4分） （）若6，求的取值范围（8分） 6.（立体几何压轴小题） 如图所示，三棱锥△是边长为2的等边三角形，，侧面 内（包含边界）一点 = 2，且点的轨迹与侧棱只有一个交点，则三 棱锥的体积为 A. B. C. D. 7.（数列大题，15分） 已知各项均不为0的数列满足2其中为数列的前项和，.数列满足，. （1）求数列的通项公式（8分） （2）证明：（7分） 学科网（北京）股份有限公司 $