两个计数原理的综合应用、相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦排列组合三大核心模块，以题载理构建从原理应用到特殊问题再到综合分配的递进式训练体系，培养数学逻辑思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两个计数原理的综合应用|6例+6变式|多情境下分类加法与分步乘法原理结合，涉及涂色、分配、数列等问题|以计数原理为基础，延伸至复杂情境的分类讨论与分步计算| |相邻问题与不相邻问题|6例+6变式|元素位置限制（相邻/不相邻）的排列，含捆绑法、插空法应用|从基本排列拓展到特殊元素处理策略，强化逻辑推理| |分组分配问题|6例+6变式|名额/人员分组与分配，含平均分组、有限制条件分配|综合计数原理与排列组合，构建分组-分配的完整解题链条|

两个计数原理的综合应用、相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 两个计数原理的综合应用、相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 两个计数原理的综合应用 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 两个计数原理的综合应用 例1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 【答案】D 【分析】分①②③④四边同色、①②③④只有三边同色另一边不同色和①②③④每两个同色三种情况分别求解即可. 【详解】如图所示：    当①②同色时，矩形A另外两边有1种方法染色； 当①②不同色时，矩形A另外两边有2种方法染色； 同理其他区域也一样， 所以：①②③④四边同色，此时共有种； 当①②③④只有三边同色时，另一边与其不同色时， 此时共有种； 当①②③④每两个同色时，此时共有种； 综上，共有种. 例2．（2026·四川遂宁·模拟预测）5月14日至16日，“2026成都国际友城合作与发展大会”（以下简称大会）在成都举行．大会期间，需从4位志愿者中选3位安排到三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在岗位，则不同的安排方法共有（     ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】D 【分析】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排岗位，再安排岗位；方法二：运用分类加法计数原理，分为甲入选和甲不入选两种情况． 【详解】方法一：运用分步乘法计数原理，先安排岗位，再安排岗位， 则不同的安排方法共有（种）． 方法二：运用分类加法计数原理，若甲不入选，有（种）安排方法； 若甲入选，则有（种）安排方法，所以共有（种）不同的安排方法． 例3．（24-25高二下·重庆·期中·多选）现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（   ） A．若自由放置，共有3125种不同的放法 B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 【答案】ACD 【分析】结合组合数、排列数由分步乘法计算原理逐项计算即可求解； 【详解】对于选项A：每个小球都有5种选择，所有共有种，故A正确； 对于选项B：第一步，选择一个盒子不放球，由, 第二步，5个小球分成4组，分别放入4个盒子有：， 所以共有种，故B错误； 对于选项C：第一步选择两个盒子使得编号与小球相同，有， 第二步，剩下3个球，3个盒子使得盒子编号与小球编号不相同共有2种， 所以共有20种，故C正确； 对于选项D：第一步，确定哪个盒子不放球，有， 第二步，剩下四个盒子确定哪个盒子放两个球，即可； 所有共有20种，故D正确； 故选：ACD. 例4．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测·多选）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 【答案】ABC 【分析】利用加法计数原理判断选项A；利用乘法计数原理判断选项B；利用乘法及加法计数原理判断选项C；利用间接法并结合乘法计数原理判断选项D. 【详解】对于A，选1人为负责人的选法种数：，故A正确； 对于B，每组选1名组长的选法：，故B正确； 对于C，2人需来自不同的小组的选法：，故C正确； 对于D，依题意：若不考虑限制，每个人有4种选择，共有种选择，若第一组没有人选，每个人有3种选择，共有种选择， 所以不同的选法有：，故D错误； 故选：ABC. 例5．（2026·重庆·模拟预测）已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 【答案】414 【分析】设这 9 个 中，有个0，个1，个2，列出约束条件，求解出三种不同情况对应的排列数，再将三种情况的排列数相加. 【详解】数列共有 10 项，，，且 ，， 对递推式累加可得：，所以 设这 9 个 中，有个0，个1，个2，则满足： 由第二个方程得，代入第一个方程： 由 为非负整数，得， 因此 的可能取值为 ，对应三组解： 当，，排列数是, 当，，排列数是, 当，，排列数是, 将三种情况的排列数相加： 因此，满足条件的不同数列有414个. 例6．（2026·湖南怀化·三模）将一个正n边形的顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个三角形区域并按1～n编号，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则__________． 【答案】2040 【分析】根据题意，分析可得数列是以2为公比的等比数列，即可得其通项公式，分组求和，即可得答案. 【详解】当时，三个区域两两相邻，则三种颜色都要使用，所以， 当时，若和区域同色时，不同方案有种， 若和区域不同色时，不同方案有种，所以， 当有个区域时，若和区域同色时，可以理解为对n个区域涂色，有种方案， 此时区域有2种不同的颜色可用，即共有种方案； 若和区域不同色时，可以理解为对n+1个区域涂色，有种方案， 综上， 所以，即， 所以数列是以2为公比的等比数列，又， 所以， 则 . 变式1．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【详解】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 变式2．（2026·浙江·二模）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 【答案】A 【详解】满足条件的3位数可由或或或构成， 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个； 由构成的偶数有个；由构成的偶数有个. 故共有个. 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（   ） A．B．C． D． 【答案】ACD 【分析】根据已知新定义判断A，C，D，再根据连续完美分割得出图形判断B. 【详解】A，C，D可“连续完美分割”如图： 对于B，对于4×4的方格，其可行的“连续完美分割”，仅有以下5种情形或其旋转图形， 经验证，符合条件的分割方式不存在. 变式4．（2025·四川成都·模拟预测·多选）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 【答案】ACD 【分析】由特殊位置优先的原则，结合两个计数原理逐个判断即可. 【详解】对于AB，四位数的首位不能为0，有4种选项，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字的四位数个，A正确， B错误； 对于C，若个位数为0，则有个，若个位数不为0，则有个， 所以可以组成无重复数字的四位偶数个，C正确； 对于D，四位数的首位有3种选择，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位， 可以组成无重复数字且大于2000的四位数个，D正确． 故选：ACD 变式5．（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【答案】24 【详解】 方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（），边上中间8个格有3个格相邻（），中间4个格有4个格相邻（）．方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论． ①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案． ②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块． （i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． （ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． 综上所述，共有种种植方案． 方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下：                                                     共有种． 变式6．（2026·山东泰安·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 【答案】36 【分析】先确定的百位数字，共有种选择，再按的十位数字比的十位数字小，分类进行讨论，即可求解. 【详解】由题意，设的百位数字为，的百位数字为， 因为的百位数字比的百位数字大3， 所以在中，满足条件的只有组：，，， 因为，所以的十位数字比的十位数字小， 假设剩余的个数字为、、、，且， ①若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ②若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， ③若的十位数字取，则的十位数字有种选择，的个位数字有种选择，的个位数字有种选择，共有种选择， 综上所述，满足条件的、共有种. 考点二 相邻问题与不相邻问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（    ） A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 【答案】D 【详解】先捆绑洪崖洞与解放碑共有种， 再与剩下3个景点排，又长江索道不能排在第一位， 则共有种． 例2．（2026·江苏·模拟预测）3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】5个空位中，2个空位恰好相邻的组合为：，共4种； 剩余3个座位安排3人进行全排列，共有：种， 安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为：． 例3．（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 【答案】C 【详解】采用捆绑法，将两节相邻的体育课视为一个整体. 此时需排列的元素为语文、数学、外语、体育整体，共4个元素. 4个元素的全排列数为. 由于两节体育课为相同课程，内部无需再排列. 因此，不同的排课种数为24. 例4．（2026·河南·三模）中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 【答案】2640 【分析】先算7 个不同古都的全排列数，再算至少有一对相邻的排列数，最后得到两对都不相邻的排列数. 【详解】7 个不同古都的全排列:, 西安与洛阳相邻的排列数:, 同理，南京与杭州相邻的排列数也是1440, 西安洛阳相邻且南京杭州相邻的排列数:, 至少有一对相邻的排列数: 两对都不相邻的排列数:. 例5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有________.（用数字作答） 【答案】 8 【分析】先将甲乙捆绑，再将甲乙整体和丁排列，最后得到丙位置的情况即可求解. 【详解】首先将甲、乙看成一个整体，甲、乙两人相邻的排列有种， 将甲乙整体和丁排列，有种，此时形成3个空位， 由乙、丙两人不相邻，则丙不能在乙的旁边，所以丙只有2个位置， 综上：不同的排法种数共有. 例6．（2026·甘肃金昌·三模）有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 【答案】108 【详解】当两男生在两端时，坐法有种，当两女生在两端时，坐法有种， 当一男生一女生在两端时， 先选出这两人有种选法，两端的男女生可以交换位置，有种坐法， 再考虑中间四个位置的坐法,若挨着男生的是另一名女生，此时中间另3个位置有种坐法， 若挨着男生的是机器人，此时中间另3个位置有种坐法， 故当一男生一女生在两端时坐法有种， 所以不同坐法总数为. 变式1．（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 【答案】A 【分析】把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列，结合排列数的公式，即可求解. 【详解】根据题意，把两位老师捆绑在一起，看成一个元素，进行全排列， 则不同的排法种数共有种. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 【答案】C 【分析】根据题意，节目甲被安排在前两个节目演出，可分节目甲被安排在第一个节目演出和节目甲安排在第二个节目演出，两种情况分类讨论，结合节目乙、丙前后出场，利用排列数公式，即可求解. 【详解】节目甲被安排在前两个节目演出，可分两种情况讨论： ①节目甲被安排在第一个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则此时共有四个元素全排列，有种安排方法， 因为节目乙、丙须考虑两者的顺序，有2种情况，则有种安排方法； ②节目甲安排在第二个节目演出， 因为节目乙、丙必须前后出场，可以把节目乙、丙当成一个整体， 则节目乙、丙前后出场的位置有3个，且须考虑两者的顺序，有2种情况， 将剩下的3个节目全排列，安排在其他三个位置，有种安排方法， 则此时有种安排方法， 由分类计数原理得，共有种安排方法． 变式3．（2025·江西萍乡·二模）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用捆绑法可求得结果. 【详解】由题意可知，将与捆绑，形成一个大元素，并与其他三个字母进行排序， 因此不同的排法种数为种. 变式4．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 【答案】24 【详解】因为丙、丁相邻，所以将丙、丁“捆绑”，可得丙、丁的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊的排列方法有种； “丙、丁”整体与戊排列后，形成3个空位，从这3个空位中选2个安排给甲、乙，排列方法有； 所以，满足甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为种. 变式5．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 【答案】36 【分析】利用甲乙不相邻问题，去掉甲乙不相邻且乙丙相邻的情况即可. 【详解】5人中甲乙不相邻的排列数为种，其中甲乙不相邻，且乙丙相邻的排列数为， 所以所求不同的排法种数为. 变式6．（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 【答案】60 【分析】先排4个数字（两个2、两个3），形成5个空隙（含两端），再从5个空隙中选2个放1，根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】先排4个数字（两个2、两个3），从 4 个位置中选2个放2，剩余位置放3，用组合数表示为：种， 排好4个数字后，形成5个空隙（含两端），从5个空隙中选2个放 1（1无需排序），表示为：种 根据分步乘法计数原理，两个1不相邻的六位数个数为：种. 考点三 分组分配问题 例1．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 【答案】B 【详解】10个名额为相同元素，可用隔板法，10个相同元素分为8组，即将7个隔板插入9个空，． 例2．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将 人按分组，分甲单独一组、甲和他人一组两类，分别用组合排列算出对应方法数，结合甲不参加围棋苑的限制排除不合情况，两类相加得到总方法数为. 【详解】五名同学参加四个社团，每个社团至少一人，必为分组，分两类讨论： ①甲单独一组：从其余人中选人成组，有种. 甲不参加围棋苑，有种选择，剩余组全排列. 方法数为. ②甲与另一人成组：选同伴有种，四组分到四社团，排除甲组去围棋苑. 方法数为. 总计方法数为. 例3．（2026·重庆·模拟预测）某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 【答案】C 【分析】根据相同元素的分组分配问题进行求解，先分组后分配，常规法和隔板法都可以解答. 【详解】方法一（常规法）：因为甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额， 所以先给四个部门各分配2个名额，剩 个名额未分配，接下来分配这4个名额. 第一类，当甲不增加名额时，还剩4个名额分配给乙､丙､丁， 当4个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门时，若一个部门有1个名额，另一个部门有3个名额，有种分法，若这两个部门都有2个名额，有种分法； 当4个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且两个部门各分配1个名额，另一个部门分配2个名额时，有种分法. 所以第一类共有 种方案. 第二类，当甲再增加1个名额时，还剩3个名额分配给乙､丙､丁， 当3个名额分配给乙､丙､丁中的任意一个部门时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁中的两个部门，且一个部门有1个名额，另一个部门有2个名额时，有种分法； 当3个名额分配给乙､丙､丁这三个部门，且三个部门各分配1个名额时，有1种分法. 所以第二类共有 种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 方法二（隔板法）：第一类，当甲分配2个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩7个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在7个名额形成的6个空隙中插入2块隔板，有种方案； 第二类，当甲分配3个名额时，先给乙､丙､丁三个部门各分配1个名额，还剩6个名额分配给乙､丙､丁三个部门，且每个部门至少1个名额， 在6个名额形成的5个空隙中插入2块隔板，有种方案. 综上，不同的分配方案共有种. 例4．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 【答案】 【分析】先计算所有满足每个家庭至少1人的总分配方法数，再计算甲恰好被安排在A家庭的分配方法数，二者的比值即为所求概率. 【详解】先从5人中任选2人组成1组，剩余3人各自成组，再将4组全排列分配到4个家庭，总方法数为种. 志愿者甲恰好被安排在A家庭有两种情况： ① A家庭仅分配甲1人：剩余4人分配到另外3个家庭，每个家庭至少1人，先从4人中任选2人组成1组，剩余2人各自成组，再将3组全排列分配到3个家庭，方法数为种； ② A家庭分配甲和另外1名志愿者：先从其余4人中选1人与甲共同分配到A家庭，剩余3人全排列分配到另外3个家庭，方法数为种. 因此甲恰好被安排在A家庭的总方法数为种. 故所求概率为. 例5．（2026·山东聊城·三模）高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答） 【答案】192 【分析】先将5名同学分成4组，再将分好的4组全排列安排到4个社区，同时要考虑同一班级的同学不去同一个社区这一限制条件，最后用分步乘法计数原理计算总数即可. 【详解】5人分配到4个社区，且每个社区至少1人，则分组模式为2，1，1，1型（1个2人组，3个1人组）， 不考虑限制时，从5人中选2人的组合数：， 剔除同班同学同组的无效组合：{甲，乙}、{丙，丁}，共2种，有效2人组有种， 再将1个2人组和3个1人组分配到4个不同社区进行全排，则不同的安排方法共有种. 例6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 【答案】12 【详解】由题意知，第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有种. 变式1．（2026·江西·模拟预测）现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（     ） A．90 B．150 C．240 D．300 【答案】B 【分析】先分类，再应用分组分配结合组合数及排列数计算求解. 【详解】将5个不同的任务分3组，有两种不同的方式， ①：“1，1，3”型，则有种分法；②：“2，2，1”型，则有种分法， 共有25种分法，将分好的3组分配给3个不同的“综合素质评价小组”，共有种分配方法． 变式2．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 【答案】C 【分析】先得到分配方案有或，分两种情况，结合排列组合知识得到答案 【详解】由已知可得5个人分三个班，每班至少1人，则可能的分配方案有或， 若分配方案为，则分配方案有种， 若分配方案为，则分配方案有种， 则不同分配方式共有种． 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．40 B．36 C．30 D．12 【答案】B 【详解】张连号有，，，；张连号有，，， 若有两组2张连号和一张单牌，则连号组合可以是，或，或，共种， 再将其分给三个人共有种； 若有一组3张连号和两张单牌，则连号组合可以是或或， 则分给三个人共有种， 故不同的分法种数为. 变式4．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 【答案】540 【分析】法一：可将6本书分成3份，按2，2，2；或1，2，3；或1，1，4分，利用分组分配问题计算；法二：间接计算：将6本书分给3个人不考虑每人至少一本的情况，减去不符合题意的情况进行计算． 【详解】法一：将6本书按2，2，2分成3份，共有种； 将6本书按1，1，4分成3份，共有种； 将6本书按1，2，3分成3份，共有种； 分配给3个人，共有：种； 法二：总的分配方式(不考虑每人至少一本，每种书有3种选择)为种， 减去“指定1个人没有得到书”的情况总和(选1个没得到书的人，剩余2人分书)： 种(包含恰有2人没得到书的情况)， 加上“有2个人没得到书”的情况(选2个没得到书的人，剩余1人分书)：种， 故由容斥原理计算：共种． 变式5．（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 【答案】 196 141 【分析】先判断分组方式，再计算每种分组的方案数，相加即可；利用间接法，排除甲乙两人在同一小组的分配方法即可． 【详解】（1）由题意可知，分组的人数分配情况共有以下三类：，，. 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 当人数分配为时，分组方法有种； 故所有不同的分组方法有种. （2）考虑其对立事件，即甲、乙两名志愿者在同一小组的情况： ①若分配方案为，甲、乙必在5人组， 此时从剩余5人中选3人进入该组，共有种； ②若分配方案为，若甲、乙在2人组，则该组已满， 只需将余下5人分成两组，有种； 若甲、乙在3人组，则需从余下5人中选1人，其余4人均分为两组，有种； 故此方案下甲、乙同组的方法数为种； ③若分配方案为，甲、乙不可能在1人组，必在其中一个3人组， 从剩余5人中选1人加入该组，余下4人分成两组，共有种； 故甲、乙在同一小组的分组方法有种， 则甲、乙不在同一小组的分组方法有种. 变式6．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 【答案】10 【分析】先计算甲负责第一关时的情况，再减去乙、丙在同一关卡的情况即可. 【详解】已知甲负责第一关，从剩余4人中选2人去第四关，共种选法，剩下2人全排列去第二、三关，共种排法，总方案数为 6 × 2 = 12， 不符合条件（乙丙同关卡）的情况：因为第二、三关都只有1个位置，乙丙只能同时在第四关，此时剩下2人全排列去第二、三关，共种， 因此符合条件的方案数为 12 − 2 = 10 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $两个计数原理的综合应用、相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 两个计数原理的综合应用、相邻问题与不相邻问题、分组分配问题专项训练 考点目录 两个计数原理的综合应用 相邻问题与不相邻问题 分组分配问题 考点一 两个计数原理的综合应用 例1．（2026·上海杨浦·模拟预测）一个边长为5的正方形被分割成四个不同的小矩形（如图），现用红蓝两种颜色对小矩形的边进行染色，若要使每个小矩形均有2条红色边和2条蓝色边，则不同染色的方法数为（   ）    A．32 B．48 C．64 D．82 例2．（2026·四川遂宁·模拟预测）5月14日至16日，“2026成都国际友城合作与发展大会”（以下简称大会）在成都举行．大会期间，需从4位志愿者中选3位安排到三个不同的工作岗位，每个岗位1人，其中甲不能安排在岗位，则不同的安排方法共有（     ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 例3．（24-25高二下·重庆·期中·多选）现有5个编号为1，2，3，4，5的不同的球和5个编号为1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（   ） A．若自由放置，共有3125种不同的放法 B．恰有一个盒子不放球，共有240种放法 C．每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有20种 D．将5个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有20种 例4．（25-26高三上·山东枣庄·阶段检测·多选）现有4个兴趣小组，第一、二、三、四组分别有6人、7人、8人、9人，则下列说法正确的是（    ） A．选1人为负责人的选法种数为30 B．每组选1名组长的选法种数为3024 C．若推选2人发言，这2人需来自不同的小组，则不同的选法种数为335 D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则不同的选法有35种 例5．（2026·重庆·模拟预测）已知数列共有10项，其中，，，，则满足条件的不同数列有________个． 例6．（2026·湖南怀化·三模）将一个正n边形的顶点分别与其中心相连接，把这个多边形分成n个三角形区域并按1～n编号，现给这些区域涂色，相邻区域涂不同颜色．若有3种颜色可供选择，记所有不同涂色方案的种数为，则__________． 变式1．（2026·海南儋州·二模）用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 变式2．（2026·浙江·二模）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（   ） A．13个 B．15个 C．16个 D．18个 变式3．（2026·陕西榆林·模拟预测·多选）对于一个方格图，定义“连续完美分割”：当且仅当方格图可被互不重叠且连通的四个形状相同的区域完全分割，且每个区域恰含有1个M和1个N．给出下列方格图，可“连续完美分割”的是（   ） A．B．C． D． 变式4．（2025·四川成都·模拟预测·多选）用数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的有（   ） A．一共可以组成96个数 B．一共可以组成120个数 C．一共可以组成偶数60个 D．一共可以组成72个大于2000的数 变式5．（2026·山东泰安·模拟预测）某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 变式6．（2026·山东泰安·二模）将随机排成一行，前三个数构成三位数，后三个数构成三位数，已知的百位数字比的百位数字大3，则满足的不同排列的个数为__________.（用数字作答） 考点二 相邻问题与不相邻问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某游客计划一天内游览重庆 5 个景点: 洪崖洞、解放碑、长江索道、磁器口古镇、李子坝轻轨站，每个景点仅游览一次，要求洪崖洞与解放碑必须相邻， 且长江索道不能排在第一位， 则不同的游览顺序共有（    ） A．24 种 B．28 种 C．32 种 D．36 种 例2．（2026·江苏·模拟预测）3人观看表演，现有5个空位，则安排座位时两空位恰好相邻的坐法数为（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆渝中·三模）给某班级星期一上午排课，一共 5 节课，语数外各一节，体育课两节（两节体育课相同），要求两节体育课必须相邻， 则不同的排课种数有（    ） A．48 B．60 C．24 D．12 例4．（2026·河南·三模）中国七大古都是指西安、洛阳、北京、南京、开封、杭州、安阳这七座古代都城.为弘扬民族文化，某校社团开展“中国七大古都”讲座活动，每座古都安排1次讲座，共安排7次.讲座次序要求“西安”“洛阳”讲座不相邻，“南京”和“杭州”讲座也不相邻，则“中国七大古都”讲座不同的次序共有________种. 例5．（2026·湖北黄冈·模拟预测）甲、乙、丙、丁共4人站成一排，若甲、乙两人相邻，而乙、丙两人不相邻，则不同的排法种数共有________.（用数字作答） 例6．（2026·甘肃金昌·三模）有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 变式1．（2026·吉林延边·三模）春节期间四位同学回母校看望两位老师，看望结束合影留念，若两位老师相邻，则不同的排法种数共有（    ） A．240 B．300 C．360 D．480 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）某文艺演出共有六个节目，其中节目甲须被安排在前两个节目演出，节目乙、丙必须前后出场，则这六个节目不同的安排方法共有（   ） A．68种 B．72种 C．84种 D．96种 变式3．（2025·江西萍乡·二模）某同学需将、、、、这个字母排成一排，若与必须相邻，则不同的排法种数为（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·河南开封·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊5名同学排成一列，甲、乙不相邻，且丙、丁相邻，则不同的排法种数为________．（用数字作答） 变式5．（2026·湖南浙江·模拟预测）甲、乙、丙、丁、戊共5人站成一排，若甲、乙两人不相邻，乙、丙两人也不相邻，则不同的排法种数共有_____．（用数字作答） 变式6．（2026·山东菏泽·二模）将两个1，两个2，两个3组成一个六位数，则两个1不相邻的六位数个数为________.（用数值表示） 考点三 分组分配问题 例1．（2026·河南·模拟预测）某中学要在五一假期期间组织学生参加爱国主义教育活动，需要挑选10名志愿者，10个志愿者名额要分给该校高一年级的八个班，每个班至少一个名额，则名额分配方法有（   ） A．45种 B．36种 C．28种 D．8种 例2．（2026·云南玉溪·模拟预测）我省高中学校自实施素质教育以来，学生社团得到迅猛发展．某校高一新生中的五名同学打算参加“春晖文学社”、“舞者轮滑俱乐部”、“篮球之家”、“围棋苑”四个社团．若每个社团至少有一名同学参加，每名同学至少参加一个社团且只能参加一个社团，且同学甲不参加“围棋苑”，则不同的参加方法的种数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·重庆·模拟预测）某单位将12个表彰名额分配给甲､乙､丙､丁四个部门，其中甲部门至少2个名额至多3个名额，乙､丙､丁三个部门每个部门至少2个名额，则不同的分配方案共有（    ） A．15种 B．19种 C．25种 D．46种 例4．（2026·上海·三模）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到A、B、C、D四个特殊家庭开展帮扶，每个家庭至少安排一名志愿者，则志愿者甲恰好被安排在A家庭的概率为________． 例5．（2026·山东聊城·三模）高一年级安排一班的甲、乙，二班的丙、丁，三班的戊共5名同学去Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个社区做志愿者，每名同学只去1个社区，每个社区至少1名同学，且同一班级的同学不去同一个社区，则不同的安排方法共有________种．（用数字作答） 例6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 变式1．（2026·江西·模拟预测）现有5项不同的寒假实践任务（社区志愿服务、家庭劳动打卡、阅读报告、科技创新小制作、传统文化调研）要全部分配给3个不同的“综合素质评价小组”（小组、小组、小组），每个小组至少承担1项任务．则不同的分配方法数是（     ） A．90 B．150 C．240 D．300 变式2．（2026·辽宁朝阳·三模）某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行数学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（   ） A．30种 B．90种 C．150种 D．180种 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（    ） A．40 B．36 C．30 D．12 变式4．（2026·江苏扬州·模拟预测）某书店有6本书，其中的书各不相同，分给甲，乙，丙三位同学，每人至少分一本，则共有______种不同的分法．(用数字作答) 变式5．（2026·河北·三模）将含甲、乙在内的7名志愿者分成三个小组，要求每个小组至少一人，有且仅有两个小组的人数相等. （1）则所有不同的分组方法有________种（用数字作答）； （2）若甲、乙两名志愿者不在同一个小组，则不同的分组方法有________种（用数字作答）. 变式6．（2026·福建宁德·模拟预测）某高中举行益智闯关团队赛，共4个关卡，现有包含甲、乙、丙在内的5名选手组团参赛，每一个选手参加一个关卡的闯关，每一个关卡至少一个选手参加，若甲负责第一关，最后一关由2名选手共同完成，且乙、丙不在同一关卡，则不同的参赛方案有______种. 2 学科网（北京）股份有限公司 $