函数与数列新定义问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦函数与数列新定义问题，通过典例与变式系统覆盖抽象概念应用，强化数学抽象、逻辑推理与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数新定义问题|3例+3变式|切线支撑点、性质P、伴生函数等新定义，结合导数、单调性|以函数导数、单调性为基础，延伸双自变量、集合定义等抽象概念| |数列新定义问题|3例+3变式|M序列、构造法、生成数列等新定义，涉及递推关系、求和|以数列递推、求和为核心，拓展序列性质、源生成数列等应用|

函数与数列新定义问题专项训练 函数与数列新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 数列新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其导函数为.对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为. (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若.求； (3)若，其定义域为，其中均为正实数，且.证明：. 【答案】(1)不是，理由如下： ，， 令， 则， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 有，所以， 不满足对于任意恒成立, 因此不是函数的“切线支撑点”. (2) (3)由题，，则存在，使得对任意恒成立， 即对任意恒成立， 不等式左侧：，为有界函数，值域； 不等式右侧：，其中，是一次函数； 若，则在时必然趋向，无法被有界函数恒大于等于，所以必须为0，即①； 不等式化简为，即对于任意恒成立， 因为，所以②， 由②可得，，即，其中， 故，显然，也满足①， 因此 【分析】（1）构造差函数，但，与定义矛盾，故不是支撑点； （2）在处取最小值0，任意都满足不等式，因此； （3）不等式右边含一次项，欲有界三角函数恒大于该式，必先令一次项系数为0；再使三角函数在处取得最小值，由此比存在满足条件的，证得 【详解】（1）略 （2）由题，令， 又，故时，，函数严格单增； 时，，函数严格单减； 因此，，即对任意，对任意恒成立， 由此可得. （3）略 例2．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【答案】(1)； (2)； (3)若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 【分析】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）利用性质对任意s、t成立，先取和知与均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数为常值函数，则存在两点使与的增量比值不同，从而可构造s、t使在两点处单调性相反，产生矛盾，因此必存在线性组合为常值函数. 【详解】（1）因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． （2）由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． （3）略 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，其中为非零实数． (1)讨论的单调性； (2)定义双自变量函数（，均为自变量，定义域均为），证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减． (2)（ⅰ）由（1）可得当时，在上递减，在是递增， 所以（*）． 要证原式成立，只需证：．当a，b中至少有一个不小于1时，上式显然成立； 当a，b都小于1时，在（*）式中，令，则，同理可得． 所以， 综上，． （ⅱ）由（*）式得， 令，则， 故， 令， 则， 作差得， 所以， 所以，即． 【分析】（1）求导得，根据的正负和与1的大小关系，分类讨论定义域及单调区间。 （2）（i）由（1）中时的最小值不等式，推出. 对分别代入，相加即证；若至少一个不小于1，显然成立. （ii）利用（i）中不等式变形，令，，得. 求和放缩，并对右端的数列求和，最终小于. 【详解】（1）由题意可得当时，函数的定义域为， 当时，函数的定义域为， 且， 当时，，在单调递增； 当时， 时，，在上递减； 时，，在递增； 当时，的定义域为， 时，，在上递增； 时，，在递减 综上，当时，在单调递增； 当时，在上单调递减，在单调递增； 当时，在上单调递增，在单调递减． （2）（i）略. （ii）略. 变式1．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 【答案】(1)不是函数， 说明如下（举反例）：记，取， 则 即， 所以不是函数； (2)1 (3)先证充分性，若“存在实数，使得恒成立”， 则有，则恒成立． 充分性得证． 再证必要性，若“存在非零实数，使得恒成立”， 不妨设，记，则有 ， 因为， ， 故对于任意整数， 有 ，假设存在实数，使得， 显然 ，则存在整数，使得 ， 一方面，取，则 ， ， 即， 另一方面，取，则， 所以，即，所以， 与矛盾，假设不成立， 所以恒成立，必要性得证． 【分析】(1)通过代入特殊值到函数条件中判断. (2)先对的情况分析，若成立则对进一步分析. (3)证明充分性时代入特殊值即可， 证明必要性时利用反证法，先对函数的特征进行归纳，设出特殊值后通过函数的特性联立不等式推翻原本的假设. 【详解】（1）略 （2）记， 当时，当时，， 对任何实数以及中的任意两个实数， 即， 所以是函数． 当时，取 ， 又， 所以 即， 所以 不是函数． 综上所述，的最大值为1． （3）略 变式2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 或 ； (2) 或 . (3)存在 ，证明见解析. 【分析】（1）代入计算得，再求解即可； （2）分、和讨论即可； （3）写出，再证明即可. 【详解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在． 证明：. 变式3．（2026·江苏盐城·模拟预测）定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． (1)请求出的一个“伴生区间”； (2)若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据“伴生函数”定义，先求的导函数，再计算，结合“伴生性质”的条件，直接得出时满足，因此是一个伴生区间，核心是对新定义的理解与导数的基础应用； （2）（i）先化简方程，将问题转化为函数 的零点问题，通过求导分析其单调性，结合零点存在定理，得到 的取值范围，关键是利用导数研究函数的单调性与零点存在条件； （ii）本题通过等价转化要证的不等式，构造辅助函数、，利用导数分析函数的单调性与不等式关系，结合是方程的解的条件，通过放缩与单调性证明不等式，体现了导数在证明不等式中的构造与放缩技巧． 【详解】（1）当时， 的“伴生函数”为 ， ， 当时， ，，具有“伴生性质”． 故的一个“伴生区间”为． （2）（ⅰ） ，故，                                  设，， 令，解得；令，解得， 故当时，单调递减；时，单调递增． 因为方程有两个不同的实数解． 所以在上有两个零点，故，即   ，                     当时， ，因为 ， 所以． 若，所以，令 ，则 ． 当时， ，所以在 上恒成立， 因此 在 上单调递增，所以，即在上恒成立， 则在上单调递增，则，即当时，． 若，所以，则在上单调递减， 则，所以当时，． 当时，．                            当时， ，即 ． 因为 所以 ， 综上，的取值范围． （ⅱ）由为方程的两个解可知：， 要证，即证，                     令，， 令，， 则在单调递增，故 ， 所以时，，故M（x）在上单调递增， 则 ． 设 ，令 ， ， 令 ，则 ． 因为，所以，则，所以． 则在上单调递增，，即， 则在上单调递增，所以，即，成立， 因为，则 ， 又，，由（i）的单调性可知在单调递减， 则，即， 故，所以，所以 . 考点二 数列新定义问题 例1．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 【答案】(1)，，， (2) 以序列中的项为坐标的点记作，连接这9个点共形成8条单位线段． 每条单位线段水平或者竖直． 因此8条单位线段中至少有4条同为水平或同为竖直． 不妨设至少有4条水平单位线段． 由于9个点排成3行，而每一行至多含2条水平单位线段，故至少有一行含2条水平单位线段． 这样该行3个点必被依次经过，于是中间那个点的前后两个相邻点都与它在同一行，因此该点对应的项具有性质． 故中存在具有性质的项． (3) 将序列中相邻两项连接，得到120条单位线段.把连续同为水平方向的若干条单位线段合并为一个水平线段，把连续同为竖直方向的若干条单位线段合并为一个竖直线段. 在序列对应的线段中，水平线段与竖直线段交替出现． 设水平线段数为，竖直线段数为，因为单位线段总数为120， 所以序列中具有性质的项的个数为． 要证． 只需证明． 因为每一行有11个点，每个水平段至少包含两个点，因此第行的水平线段数满足，即． 所以． 同理． 所以， 故序列中具有性质的项的个数不少于10． 【分析】（1）根据序列相邻两项对应点的距离为1，逐步确定，，，. （2）把序列中的项看成方格中的点，连接相邻点得到水平或竖直单位线段，再用抽屉原理证明一定存在连续三点共行或共列； （3）把连续同方向的若干条单位线段合并为一个水平线段或竖直线段，通过估计水平线段数和竖直线段数的总数，得到具有性质的项的个数不少于10． 【详解】（1）当时，，所以 . 由题意，相邻两项对应点的横坐标差的绝对值与纵坐标差的绝对值之和为1. 第一项为，第二项为，所以 . 即 .解得. 所以第二项为. 第二项为，第三项为，所以 . 即 .解得. 所以第三项为. 中共有4个不同元素，前三项已经是，，，剩下的一个元素为，所以第四项为. 因此 . （2）略 （3）略 例2．（2026·江苏·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题： 已知数列满足，记为的前项和. (1)若，求的值； (2)若，求满足不等式的所有正整数； (3)若，证明：当时，. 【答案】(1)1013 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先通过对已知等式变形构造新数列，根据新数列性质确定其周期，再结合周期计算. （2）先通过对递推式变形构造数列求出，再进一步变形求出的通项公式，最后根据求解的范围. （3）先通过已知等式变形构造数列递推关系，求出数列通项公式，再根据通项公式放缩求的范围. 【详解】（1）因为，所以， 由和， 得， 因为，所以， 所以. （2）因为，所以， 即， 因为，所以，即， 所以，因为，所以， 所以. 因为，所以，化简得，解得， 所以满足不等式的所有正整数为. （3）因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 又因为， 所以， 又因为，所以. 令， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 因为 ， 所以， 综上所述，. 例3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设函数，. (1)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明：由题意知，，故， 构造函数， 则， 当时，均单调递增，所以函数在上单调递增， 而，则在上恒成立， 故在上单调递增， 故， 即， 当时， ， 综上所述， 恒成立，即； （ii）不存在，在数列中不存在连续三项构成等差数列.理由如下： ，则，， 设，即，可得， 因为在上单调递增， 对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 又是递增数列，故. 假设数列中存在连续三项构成等差数列，则， 故， 整理得，该方程无正整数解. 故假设不成立，即不存在连续三项构成等差数列. 【分析】（1）将已知不等式分离参数，转化成a大于等于一个函数，求出这个函数的最大值即可； （2）（i）将求出，再构造一个函数，求出这个函数在的n的取值范围的最小值是否大于等于0；（ii）将求出，并假设存在连续三项构成等差数列，看是否能求出具体值. 【详解】（1）对，都有恒成立， 即，， 所以，， 所以，. 令，，即，， 令，，则. 当时，，单调递增， 所以当时，， 所以当时，，单调递增， 所以当时，. 所以， 综上，实数的取值范围为. （2）略 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 【答案】(1)证明： 由题意得 ， 对任意，，且前项和 要证成等差数列，只需证， 当时，代入递推式得， 又，， 代入得： ，化简得， 两边同乘3得，整理得， 因为， 所以，故成等差数列，证毕.； (2)证明： 因为数列，对任意，令 所以，对任意，，，， 所以，前项和， 所以①， 因为，对任意，②， 将②代入①得：， 移项化简得，证毕.； (3)数列是等差数列，理由如下： 由（2）的结论，对任意整数，均有， 令（），得， 因为， 所以， 验证时也成立， 所以，对所有， ， 当时， ， 两式相减得： ， 展开整理得， 令，代入上式得（）， 可变形为， 又因为当时，，即 所以数列在时为常数列，即， 所以时，，其中为常数，（显然时也成立）， 所以，，即是首项为1，公差为的等差数列. 【分析】（1） 先利用递推公式结合的定义验证满足等差中项性质即可证明； （2）结合前项和与的关系推导第二问的等式即可证明； （3）通过与的递推关系推导的通项公式，判断其为等差数列 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 变式2．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 【答案】(1)数列是“数列” (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据“数列”定义，判断已知数列； （2）根据 “数列”定义，构造数列，利用数列的单调性，结合已知条件证明结论； （3）根据 “数列”定义，利用反证法证明，利用放缩法证明． 【详解】（1）已知，则 ， 当时，，即，满足定义， 数列是“数列”． （2）已知数列为“数列”，则， 变形可得，令，则单调递增， 已知任意不相等的正整数满足， 不妨设， 则， ， 单调递增，则， ，即， ，命题得证． （3）由定义得，数列递增， 若存在使得，则持续递增， ，时，与矛盾， ，即； 设，则单调递减， 对任意有，， ， ， 结合可得， ， ， ， 解得，故， 综上可得，． 变式3．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ｉ）；（ⅱ）存在，满足条件的只有． 【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式，联立方程组即可求解； （2）（ｉ）先分析数列的分组结构，算出前21项包含的和的项数，分别求和后相加即可； （ⅱ）先求出前组的和的表达式，再结合的特殊情况验证，最后用放缩法证明时和不在等比数列中，从而得出所有符合条件的. 【详解】（1）设的公差为，的公比为， 由，得：，即， 整理得，所以或（舍），从而，所以. （2）（ｉ）新数列， 可以看作是：第1组：，共1项， 第2组：，共2项， 第3组：，共3项， 第组：，共项， 因此前组共有项， 且第组的和为， 由于时，，因此前6组共有21项， 因此 . （ⅱ）由（ｉ）可知，到为止，数列的项数为, 此时和为 , ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意： 当时，，则是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项， 设，其中，则， 当时，，只能取2，， 即是数列中的项，符合题意； 当时，，只能取4或5，， 即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 在两个相邻的2的幂和之间，没有其他的2的幂， 因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有． 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与数列新定义问题专项训练 函数与数列新定义问题专项训练 考点目录 函数新定义问题 数列新定义问题 考点一 函数新定义问题 例1．（2026·江苏无锡·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，其导函数为.对于，若对任意恒成立，则称为函数的“切线支撑点”，记函数的所有切线支撑点构成的集合为. (1)若，判断是否为函数的“切线支撑点”，并说明理由； (2)若.求； (3)若，其定义域为，其中均为正实数，且.证明：. 例2．（2026·上海·三模）设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． (1)设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； (2)设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； (3)设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 例3．（2026·重庆·模拟预测）已知函数，其中为非零实数． (1)讨论的单调性； (2)定义双自变量函数（，均为自变量，定义域均为），证明： （ⅰ）； （ⅱ）． 变式1．（2026·上海·三模）设是定义在上的函数，若对任何实数以及中的任意两个实数，恒有，则称为函数． (1)判断函数是否为函数，说明理由； (2)已知是实数，函数是函数，求的最大值； (3)若是定义域为的函数，求证：“存在实数，使得恒成立”是“存在非零实数，使得恒成立”的充要条件． 变式2．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 变式3．（2026·江苏盐城·模拟预测）定义函数（）为的“伴生函数”，其中为的导函数．若区间满足，都有成立，则称在上具有“伴生性质”且为的“伴生区间”．已知（），设的“伴生函数”为． (1)请求出的一个“伴生区间”； (2)若方程有两个不同的实数解，（）． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：．（参考数据：，） 考点二 数列新定义问题 例1．（2026·北京东城·二模）已知集合，.将M中的个不同元素排成一列，得到序列：，其中称为该序列的第项，若该序列的相邻项满足，则称该序列为序列.若序列中的项满足或，则称该项具有性质. (1)已知，，，为序列，写出x，y，z，w的值； (2)求证：序列中存在具有性质的项； (3)求证：序列中具有性质的项的个数不少于10. 例2．（2026·江苏·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题： 已知数列满足，记为的前项和. (1)若，求的值； (2)若，求满足不等式的所有正整数； (3)若，证明：当时，. 例3．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）设函数，. (1)若对，都有恒成立，求实数的取值范围； (2)对于函数和数列，，若，，则称为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”. （i）若为函数的“源数列”，证明：对任意正整数，均有； （ii）若为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问：在数列中是否存在连续三项构成等差数列？请说明理由. 变式1．（2026·甘肃嘉峪关·模拟预测）设数列，对任意，令，已知，对任意整数，均有． (1)证明：，，三项成等差数列； (2)证明：对任意整数，均有； (3)数列是否为等差数列?并说明理由． 变式2．（2026·山东青岛·二模）若数列满足：，则称为“数列”． (1)已知，判断数列是否为“数列”； (2)已知数列为“数列”，若任意不相等的正整数满足．证明：； (3)若数列为“数列”，，且满足．证明：． 变式3．（2026·天津西青·三模）已知是公差不为0的等差数列，是等比数列．． (1)求和的通项公式； (2)在之间插入得到新数列， 记数列的前项和为． （ｉ）求； （ⅱ）是否存在使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $