专题07因式分解专项训练(16大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解逆用-整体代入求值 题型16.因式分解与新定义运算 题型01.因式分解的判断 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断哪个选项的变形是将多项式化为整式乘积的形式． 【详解】解：因式分解是将多项式化为几个整式积的形式， 选项A、右边是，是和的形式，不是积的形式，故不是分解因式， 选项B、右边是，含有和的形式，不是乘积的形式，故不是分解因式， 选项C、右边是，是整式积的形式，且左边等于右边，故是分解因式， 选项D、右边是，但左边，故不是分解因式， 故选：C． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列由左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项即可． 【详解】解：因式分解的要求是将多项式最终变形为几个整式乘积的形式． 选项A，是将整式乘积变形为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，该项错误； 选项B，将多项式变形为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，该项正确； 选项C，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误； 选项D，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 题型02.因式分解的参数问题 4．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的逆运算，解题的关键是得出，的值．将展开，得到，的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：B． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式因式分解的结果为，则，的值分别是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的互逆关系，掌握因式分解与整式乘法互为逆运算，通过展开比较系数求参数是解题的关键． 通过因式分解结果展开后与原多项式比较系数，求出和的值． 【详解】解：展开因式分解结果 ，得 ， 与多项式 比较系数得 ，． 故答案为：． 6．（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握十字相乘因式分解是解题的关键． 根据，求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故选：D． 题型03.公因式 7．（25-26八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了提公因式法分解因式． 公因式是多项式中各项都含有的因式，需取系数的最大公因数和形同字母的最低次幂． 【详解】解：∵多项式中，各项系数为2和（绝对值最大公因数为2），字母部分为和（最低次幂为）， ∴公因式为． 故选：D． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）多项式各项的公因式是______． 【答案】x 【分析】本题主要考查公因式的确定，熟练掌握公因式的定义及确定方法是解题的关键． 根据公因式的定义，找出系数的最大公约数，相同字母的最低指数次幂，然后即可确定公因式． 【详解】解：∵， ∴多项式各项的公因式是x． 故答案为：x． 9．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分解因式，观察可知两个单项式的公因式为，据此可得答案，解答本题的关键要明确：确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；③定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 【详解】解：， ∴多项式分解因式，应提的公因式是， 故选：C． 题型04.提公因式法分解因式 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）将多项式因式分解，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，通过提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， 故选：C． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法因式分解，通过观察多项式的两项，找出公因式，然后进行因式分解． 【详解】解：． 故答案为：． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查的是因式分解，掌握利用提公因式法因式分解是解决此题的关键．先因式分解，然后利用整体代入法求值即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 故选：D． 13．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知x、y满足方程组，求的值． 【答案】1584 【分析】本题考查了因式分解的应用，整体思想求代数式的值等知识，正确分解因式是解题的关键；提取公因式得，再整体代入即可求解． 【详解】解： ， ∵x、y满足方程组 ∴原式． 题型05.公式法分解因式判断 14．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式和完全平方公式的特征判断即可． 【详解】解：A、-x2+y2=（y+x）（y-x），故该选项不符合题意； B、-y2-2xy-x2=-（y+x）2，故该选项不符合题意； C、x2-2xy+y2=（x-y）2，故该选项不符合题意； D、x2+y2，不能用公式法分解，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特征是解题的关键． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的知识，理解并掌握平方差公式的结构特征是解题关键．结合平方差公式的结构特征，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； B. ，能用平方差公式进行分解因式，本选项符合题意； C. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意； D. ，不能用平方差公式进行分解因式，本选项不符合题意． 故选：B． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，能用完全平方公式分解因式的式子的特点是：有三项；平方项的符号必须相同；有两底数积的2倍．据此逐个判断即可． 【详解】解：①，符合用完全平方公式分解因式； ②不符合用完全平方公式分解因式； ③符合用完全平方公式分解因式； ④不符合用完全平方公式分解因式； ⑤不符合用完全平方公式分解因式； ⑥符合用完全平方公式分解因式． 综上，能用完全平方公式分解因式有①③⑥，一共有3个． 故选：B． 题型06.平方差公式分解因式 17．（25-26八年级上·全国·期中）老师在课堂上布置了如下所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，根据平方差公式的结构特征计算判断即可． 【详解】解：①； ②不能用平方差公式因式分解； ③； ④， 综上所述，第②道题错误， 故选：B． 18．（2025·江苏泰州·二模）分解因式：_________________ ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了用平方差公式因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式因式分解是解题的关键．利用平方差公式将表达式因式分解为，由于n为自然数，为整数，因此表达式一定能被4整除． 【详解】解： ， 为自然数， 为整数， 能被4整除， 因此，原式一定能被4整除． 故选：B． 20．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查公式法分解因式． （1）用完全平方公式分解因式即可； （2）用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 题型07.完全平方公式分解因式 21．（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，熟记完全平方公式是解答的关键．根据完全平方公式为，判断各选项是否符合该结构即可． 【详解】解：A、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； B、可写为，符合形式，分解为，故此选项符合题意； C、平方项为和，中间项应为，但实际为，不符合完全平方公式，故此选项不符合题意； D、常数项为负数，无法构成完全平方公式，故此选项不符合题意； 故选：B． 22．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的二次三项式可以用完全平方公式因式分解，则m的值为_______ ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方式为是解答的关键．根据完全平方式结构特征求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 23．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 【答案】D 【分析】此题考查了运用完全平方公式进行因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值． 【详解】解：∵可以用完全平方公式来分解因式， ∴， 解得： 或． 故选：D． 24．（24-25八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查因式分解，掌握提公因式法、运用公式法这两种因式分解的方法是解题的关键． 先根据单项式乘多项式法则计算，再利用完全平方公式分解因式即可； 先变形，再提公因式即可； 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型08.综合运用公式法分解因式 25．（23-24七年级·全国·假期作业）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平方差公式因式分解可得，又因为可得，进而求得． 【详解】解：∵ ，， ∴ ∴ 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握乘法公式是快速解决本题的关键． 26．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得______． 【答案】 【分析】本题考查了公式法分解因式：综合运用公式法分解因式，把一个多项式通过因式分解法为几个整式乘积的形式，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意， 故答案为： 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． （1）先提公因式，再根据平方差公式分解因式即可； （2）先根据平方差公式分解因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09.综合法分解因式 29．（2025·贵州铜仁·模拟预测）多项式因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解中的提公因式法和公式法，对于多项式的因式分解，先看能不能提公因式，再看能不能套用平方差和完全平方公式，然后考虑十字相乘，多项式项数大于3项的就要考虑分组分解法．先提取公因式a，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故选：D． 30．（2025·广西钦州·中考真题）因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得答案． 【详解】解：． 31．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 32．（23-24八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提取公因式3，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）直接根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式． 题型10.实数范围内分解因式 33．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的应用．判断二次三项式能否在实数范围内分解因式的方法：把二次三项式看成方程的形式，可以在实数范围内分解，即方程有实根，即．若二次三项式可以在实数范围内分解，则二次三项式等于0时，，计算各选项中的值，根据的符号判断即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； B、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程有实数解， ∴在实数范围内能因式分解，故本选项不符合题意； D、， ∵， ∴方程没有实数解， 在实数范围内不能因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 34．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式：_____． 【答案】 【分析】利用平方差公式分解即可． 本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 35．（2024九年级上·贵州·月考）在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用平方差公式将分解为，然后对再次应用平方差公式在实数范围内分解． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型11.因式分解与有理数简算 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是__________． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，将利用平方差公式进行因式分解后，再根据乘法法则，比较大小即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴； 故答案为：． 37．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分母的有理化、求代数式的值、因式分解，解题关键是熟练掌握相关运算法则． 先对，进行分母有理化，再对进行因式分解后，将，的值代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 38．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 【答案】，4047，感受是先分解因式后再计算本题较为简便 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法．后三项结合，利用完全平方公式计算，再利用平方差公式分解因式即可，再将a、b的值代入计算即可． 【详解】解： ； 当时， ， 感受是先分解因式后再计算较为简便． 题型12.十字相乘法 39．（23-24八年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ___________．（写出满足条件的一个答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】对多项式进行因式分解，然后分别求出每个式子的值，然后组成密码即可． 【详解】解： 当时， 即3→3，a→15，→3，→11， 可得密码为：． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过因式分解，得到对应的结果是解题的关键． 40．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是关键．根据提公因式法和十字相乘法因式分解各项，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 41．（23-24九年级上·江苏南京·月考）二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为_______． 【答案】x﹣3y＝0；x+y＝0 【分析】把等号左边的二次三项式因式分解即可求得． 【详解】解：∵x2﹣2xy﹣3y2＝0， ∴（x﹣3y）（x+y）＝0． ∴x﹣3y＝0或x+y＝0． 故答案为：x﹣3y＝0；x+y＝0． 【点睛】本题考查了因式分解法解方程等知识点．解决本题的关键是利用合适的方法把等号左边的多项式因式分解． 42．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 【拓展应用】（3）分解因式：． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解及其应用，解题关键是熟练掌握利用十字相乘法进行分解因式． （1）按照已知条件中方法进行分解因式即可； （2）先找出乘积为的两个整数有哪些，然后按照条件中的方法，求出的值即可； （3）按照已知条件中的方法，先把分解成，然后把多项式进行第一次分解因式，再把分解成，分解成，进行第二次分解因式即可． 【详解】解：（1） ， ， 故答案为：； （2）∵， ∴， ， ， ， ∴或 或或 ， 整数的值可能是或， 故答案为：或； （3）， ， ， ， ． 题型13.分组分解法 43．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，由题意先利用已知条件计算出，然后利用分组分解的方法把因式分解，再利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴两式相加可得， ∵ ， ∴. 故答案为：． 44．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解和代数式求值，解题的关键是对进行因式分解． 由已知条件得到，将分解因式，再将，代入计算即可． 【详解】解：因为，， ∴ ， 将，代入得： ， 故选：C． 45．（23-24八年级上·重庆合川·期末）下列因式分解中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式，分组分解法，十字相乘法，平方差公式因式分解即可 【详解】解：A.     ，故该选项正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，符合题意；     D. ，故该选项正确，不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 题型14.因式分解的应用 46．（23-24八年级下·福建宁德·期中）若，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【详解】解：∵， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，考查了用完全平方公式分解因式，掌握整体代入的方法是解题的关键． 47．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____． 【答案】（带不带括号均给分） 【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键．设另一个因式为，整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【详解】解：设另一个因式为 ，根据题意得： ； 所以， 解得， 所以另一个因式为； 故答案为：（带不带括号均给分）． 48．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由，可得，然后通过等腰三角形定义及勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴的形状是等腰三角形或直角三角形． 49．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 【答案】(1)； (2)48或． 【分析】将式子分成两组，然后后面的3项运用完全平方公式，式子整体运用平方差公式分解因式； （2）利用完全平方公式将式子分解因式，求出，因为三角形为等腰三角形，求出或，然后求出底边上的高，求出三角形的面积即可． 【详解】（1）解： （2）因为， 所以， 即， 所以， 因为a，b，c为等腰的三边长， 所以或， 当时，腰长为，底边为， 由三线合一性质可知：底边长一半的平方加上高长的平方等于腰长的平方， 底边上的高是：， 面积是：， 当时，腰长为，底边为， 同理可得：底边上的高是：， 面积是： 答：等腰的面积是48或 题型15.因式分解逆用-整体代入求值 50．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键． 先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 51．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解的应用，利用平方差公式把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选B． 52．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解、代数式求值，先将所求代数式因式分解，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用整体思想代入求值是解题关键． 将原式提取公因式并利用完全平方公式分解因式得，结合已知条件代入计算． 【详解】解： 代入已知条件 和 ，得： ， 故选C． 题型16.因式分解与新定义运算 54．（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴a，b的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 55．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 【答案】(1)是“双一次可分解式”，理由见解析 (2)是“双一次可分解式”，理由见解析 (3) 【分析】本题考查多项式的因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）把用完全平方公式进行因式分解即可； （2）把多项式变形为，提公因式即可； （3）根据常数项，设另一个因式为，则，解得． 【详解】（1）， 是“双一次可分解式”； （2）， 是“双一次可分解式”； （3）根据常数项，设另一个因式为，则， ，， 解得：， 则． 56．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 【答案】(1)淇淇的说法错误，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式，提公因式法分解因式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以灵活运用是解题的关键． （1）利用平方差公式及有理数的乘法运算律进行计算即可得出结论； （2）利用完全平方公式将展开，然后合并同类项，再提公因式，将其变形为，于是结论得证． 【详解】（1）解：淇淇的说法错误，理由如下， ， 不是“4倍数”，故淇淇的说法错误； （2）解： ， 是整数， 是整数， 这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 57．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 【答案】(1)①2或5或8②是 (2)或 (3)见解析 【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）①根据新定义，写出一个对称数即可；②，即可得出结论； （2）结合完全平方公式，将转化为的形式，进行求解即可； （3）设，求出，并进行转化，判断即可． 【详解】（1）解：①； 故这个“对称数”可以是2或5或8； ②∵， ∴45是“对称数”； 故答案为：是； （2）， ∵M为“对称数”， ∴为一个完全平方数， ∵， ∴或． （3）设， 则： ； ∴也是“对称数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解专项训练 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解逆用-整体代入求值 题型16.因式分解与新定义运算 题型01.因式分解的判断 1．（25-26八年级上·北京·期中）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁沈阳·期中）下列由左到右的变形属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型02.因式分解的参数问题 4．（24-25八年级下·贵州贵阳·期中）若多项式因式分解的结果为，则的值为（    ） A． B． C．19 D．21 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）若多项式因式分解的结果为，则，的值分别是_______． 6．（23-24八年级下·重庆·期中）已知有一个因式为，则的值为（    ） A．1 B． C．5 D． 题型03.公因式 7．（25-26八年级上·山东泰安·期中）甲、乙两名同学在用提公因式法对多项式进行因式分解的过程中，出现了分歧，请你在下列四个选项中帮他们选出正确的公因式（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）多项式各项的公因式是______． 9．（23-24八年级下·陕西汉中·期末）把多项式分解因式，应提的公因式是（    ） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 10．（25-26八年级上·湖南株洲·期中）将多项式因式分解，结果正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级上·吉林长春·期中）分解因式：______． 12．（24-25七年级下·河北保定·期末）已知，求的值．（   ） A． B．0 C．1 D． 13．（23-24八年级上·河南新乡·期中）已知x、y满足方程组，求的值． 题型05.公式法分解因式判断 14．（23-24八年级上·湖北鄂州·期末）下列多项式不能用公式法分解因式的是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型06.平方差公式分解因式 17．（25-26八年级上·全国·期中）老师在课堂上布置了如下所示的题目，小亮马上发现其中有一道题目错了，你知道是哪道题目吗？（ ） 用平方差公式分解下列各式： ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 18．（2025·江苏泰州·二模）分解因式：_________________ ． 19．（25-26八年级上·福建福州·期中）当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 20．（23-24八年级下·贵州贵阳·期中）分解因式 (1) (2) 题型07.完全平方公式分解因式 21．（24-25七年级下·北京顺义·期末）下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·山东淄博·月考）若关于x的二次三项式可以用完全平方公式因式分解，则m的值为_______ ． 23．（25-26八年级上·湖南怀化·期中）若可以用完全平方公式来分解因式，则常数的值为（   ） A．5 B．1或5 C．1 D．7或 24．（24-25八年级下·四川成都·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型08.综合运用公式法分解因式 25．（23-24七年级·全国·假期作业）若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）在实数范围内将分解因式可得______． 27．（23-24八年级上·全国·单元测试）将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·陕西西安·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型09.综合法分解因式 29．（2025·贵州铜仁·模拟预测）多项式因式分解的结果为（    ） A． B． C． D． 30．（2025·广西钦州·中考真题）因式分解：___________． 31．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1)； (2)． 题型10.实数范围内分解因式 33．（24-25八年级上·上海·期中）下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 34．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在实数范围内分解因式：_____． 35．（2024九年级上·贵州·月考）在实数范围内分解因式：__________． 题型11.因式分解与有理数简算 36．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设，，则数a，b，c的大小关系是__________． 37．（23-24八年级下·湖北武汉·期中）已知，，求的值是___________． 38．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）先将分解因式，然后当时，求A的值，并写出你对本题求值过程的感受． 题型12.十字相乘法 39．（23-24八年级下·四川成都·期中）因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，是解决许多数学问题的有力工具，七中育才帅虎同学设计了一种“因式分解密码”：对多项式进行因式分解得到，若取，则2→2，x→12，y→7，→14，可得密码为，对于代数式，若取，可能得到的密码是 ___________．（写出满足条件的一个答案即可） 40．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各式因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·江苏南京·月考）二元二次方程x2﹣2xy﹣3y2＝0分解为两个一次方程的结果为_______． 42．（23-24八年级上·贵州遵义·期末）【提出问题】某数学活动小组对多项式乘法进行如下探究： ①； ②； ③． 通过以上计算发现，形如的两个多项式相乘，其结果一定为(为整数 因为因式分解是与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有，即可将形如的多项式因式分解成(为整数． 例如：． 【初步应用】（1）用上面的方法分解因式： ______； 【类比应用】（2）规律应用：若可用以上方法进行因式分解，则整数的所有可能值是______； 【拓展应用】（3）分解因式：． 题型13.分组分解法 43．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式的值为______． 44．（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知，，则整式的值为（   ） A． B． C． D．3 45．（23-24八年级上·重庆合川·期末）下列因式分解中错误的是（    ） A． B． C． D． 题型14.因式分解的应用 46．（23-24八年级下·福建宁德·期中）若，则的值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 47．（25-26八年级上·河南驻马店·期中）已知二次三项式有一个因式是，则另一个因式为_____． 48．（24-25八年级下·河南周口·期中）已知a，b，c是的三边，且满足，则的形状是（   ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形 49．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解法，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是分组，二是分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用分组；若无法构成，则采用“2，2”分组． 例如： 像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法． 【学以致用】： (1)因式分解：． 【拓展延伸】 (2)已知a，b，c为等腰的三边长，且满足，求等腰的面积． 题型15.因式分解逆用-整体代入求值 50．（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　） A． B． C．2 D． 51．（23-24八年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 52．（24-25八年级上·福建泉州·期中）已知，则的值是（   ） A．8 B． C．2 D． 53．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C．12 D．6 题型16.因式分解与新定义运算 54．（25-26八年级上·福建泉州·期中）定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 55．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期末）定义：如果一个多项式能写成两个一次多项式相乘的形式，我们就称这个多项式为“双一次可分解式”．例如，多项式，它是“双一次可分解式”；而不能写成两个一次多项式相乘的形式，所以它不是“双一次可分解式”． 问题： (1)判断多项式是否为“双一次可分解式”，并说明理由． (2)判断多项式是否为“双一次可分解式”并说明理由． (3)已知多项式是“双一次可分解式”，且其中一个一次因式为，求的值． 56．（24-25八年级下·福建漳州·期中）【新定义】如果a，b都是非零整数，且，那么就称a是“4倍数”． (1)【验证】淇淇说：是“4倍数”，通过简便计算判断他说得对错． (2)【证明】设三个连续偶数的中间数是（是整数），通过计算说明这三个连续偶数的平方和是“4倍数”． 57．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）定义：若一个整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“对称数” 例如：因为，所以13是“对称数”； 再如：因为，所以也是“对称数”． (1)填空： ①请直接写出一个小于10的“对称数”，这个“对称数”是______； ②判断45是否为“对称数”______（请填写“是”或“否”）； (2)已知（x是整数，k是常数，且），要使M为“对称数”，求出k值； (3)如果数m，n都是“对称数”，试说明也是“对称数”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $