精品解析：贵州遵义市2026届高三下学期4月模拟测试数学试卷

遵义市2026届高三年级模拟测试试卷 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，清用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分：在试卷上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 已知抛物线，则焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知函数，则的一条对称轴方程可以为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆经过点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，点是的内心，过作直线的垂线，垂足为，则到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 样本数据，则（ ） A. 这组数据的极差为1.6 B. 这组数据的平均数为4 C. 这组数据的中位数与众数相等 D. 去掉最大值和最小值后，所得新数据的方差小于原数据的方差 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 11. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时， D. 三棱锥的外接球半径的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 13. 已知正项等比数列满足，则公比__________. 14. 已知有序实数组满足下列条件： （1）是3的倍数； （2）是3的倍数； （3）对任意，.若中恰有三个数取2025，则符合条件的有序实数组的个数为__________；若对于任意，都有，其中，则符合条件的有序实数组的个数为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且底面. （1）求证：四边形是矩形： （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 16. 已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. （1）求曲线的方程： （2）过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足： （1）证明：； （2）求的取值范围. 18. 某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. （1）求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； （2）记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 19. 已知函数，点在函数的图象上.且. （1）设，求在的最大值： （2）设. （i）证明：； （ii）若，试比较与0.3的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市2026届高三年级模拟测试试卷 数学 （满分：150分，时间：120分钟） 注意事项： 1.考试开始前，清用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码. 2.选择题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后再选涂其他选项；非选择题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给分：在试卷上作答无效. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡的相应位置上. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 2. 设复数，则（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】由题设. 3. 已知抛物线，则焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出其焦点坐标及准线方程，即可得到焦点到准线的距离. 【详解】抛物线的焦点坐标为， 准线方程为. 所以焦点到准线的距离为. 故选:B. 4. 已知函数，则的一条对称轴方程可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的对称轴方程，然后逐项验证可得答案. 【详解】令，则， 对于A，当时，即，解得，故错误； 对于B，当时，即，解得，故错误； 对于C，当时，即，解得，故正确； 对于D，当时，即，解得，故错误； 5. 设函数，则的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 6. 已知圆经过点，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理、向量数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以. 所以. 又在中，， 所以. 所以. 8. 已知双曲线的左、右焦点分别为是左支上一点，点是的内心，过作直线的垂线，垂足为，则到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】作图分析图形关系，作出的延长线，利用中点和垂直关系进行边关系的转化，最后根据双曲线定义可求距离. 【详解】 如图所示，点是的内心，所以是的角平分线， 延长交直线于点， 在中，又因为，所以是等腰三角形， 所以是线段的中点， 在中，又因为是的中点，所以， 最后求， 由等腰三角形可得， 所以， 所以. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分. 9. 样本数据，则（ ） A. 这组数据的极差为1.6 B. 这组数据的平均数为4 C. 这组数据的中位数与众数相等 D. 去掉最大值和最小值后，所得新数据的方差小于原数据的方差 【答案】BD 【解析】 【分析】求出极差判断A；求出平均数判断B；求出众数与中位数判断C；根据方差的意义判断D. 【详解】对于A，由题意可知这组数据的极差为，故A错误； 对于B，由题意可得这组数据的平均数为：，故B正确； 对于C，由题意可得这组数据的众数为，中位数为， 所以众数和中位数不相等，故C错误； 对于D，去掉最大值和最小值后，所得数据比去掉之前的数据波动性更小， 由方差的意义可得去掉最大值和最小值后，所得新数据的方差小于原数据的方差，故D正确. 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，在处的切线斜率为 B. 当时，最大值为 C. 当时，在定义域上单调递减 D. 当时，存在一个极大值点和一个极小值点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，代入可判断A；利用导数研究函数单调性可判断B；举反例可判断C；利用零点存在定理结合函数单调性可判断D. 【详解】已知函数（），分析各选项如下： A选项：当时，在定义域内， 求导得 代入得，故A正确； B选项：当时，，求导得 令得，当时，当时， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在处取得最大值，且最大值为，B正确； C选项：当时，的定义域为， 由，，得在定义域上不单调递减， 故C错误； D选项：当时，函数的定义域为， 求导得， 令， 分母，故的符号由分子决定， 先研究的单调性： 当时，，即在上严格递增； 当时，，即在上严格递减。 计算， 由于，，故， 区间上的情况： 当时，， 又在上连续且严格递增，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递减； 在上，，即，递增， 因此是的极小值点； 区间上的情况： 当时，， 又因为在上连续且严格递减，且， 故存在唯一的使得， 在上，，即，递增； 在上，，即，递减， 因此是的极大值点， 综上，当时，在定义域内存在一个极小值点和一个极大值点， 故D选项正确. 11. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时， D. 三棱锥的外接球半径的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，计算各个选项即可. 【详解】以为原点为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得：，，，， 设，则向量， 由长度条件：，即， 由与的夹角为， 得：，故； 由与的夹角为， 得， 故，因此， 代入(1)式：，即， 由于，此时，故， 通常取（点在底面上方），所以 故. 选项A：当时，，，可得：， 由，得不垂直于直线，故不垂直于平面，A错误； 选项B：当时，，， 则，， 所以，B正确； 选项C：由， 得， 化简得，又因为，所以，C正确； 选项D：设三棱锥的外接球的半径为， 三棱锥的外接球球心在过底面三角形外心的垂线上， 设球心，由得， 解得，半径平方， 由于，此时，故，故， 所以当时，，有，此时取到最小值， 故， D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数是__________. 【答案】5 【解析】 【详解】的展开式通项为， 令解得， 所以展开式中的系数是. 13. 已知正项等比数列满足，则公比__________. 【答案】2 【解析】 【详解】由，则，得到， 可得，解得或 而在正项等比数列中，则为正数，故. 14. 已知有序实数组满足下列条件： （1）是3的倍数； （2）是3的倍数； （3）对任意，.若中恰有三个数取2025，则符合条件的有序实数组的个数为__________；若对于任意，都有，其中，则符合条件的有序实数组的个数为__________. 【答案】 ①. 20 ②. 51 【解析】 【分析】第1空：恰有三个数取2025，判断满足条件（1）的情形，确定这三个数的位置，再分析剩余两个数的位置，判断是否满足条件（2），利用组合计数方法计算符合条件的数组个数. 第2空：判断满足条件（1）的情形，分别计算每种情形满足条件（2）的个数，累加即可. 【详解】1、满足条件（1），则数组由1个2024，3个2025，1个2026组成. 验证条件（2），因为数组中有3个2025，任意三个连续元素乘积中，只要包含至少一个2025，则乘积即为3的倍数. 任意三个连续元素中必包含至少一个2025，因此条件（2）满足. 从5个位置中选1个放2024，剩下4个位置中选1个放2026，其余放2025， 则排列数为：. 2、满足条件（1）的情形：①4个2024,1个2026；②1个2024,4个2026；③2个2024,1个2025,2个2026；④3个2024,2个2025；⑤2个2025,3个2026；⑥1个2024，3个2025，1个2026；⑦5个2025. 情形①：不存在满足条件（2）的数组. 情形②：不存在满足条件（2）的数组. 情形③：若，则是3的倍数，故，，均是3的倍数， 要使原式的和为3的倍数，只需为3的倍数，即为3的倍数， 此时可为，，，， 故共有（种）. 情形④：若，剩余3个数为2024均满足条件， 类似，若，，，均满足条件， 故共有5（种）. 情形⑤：同情形④，共5种. 情形⑥：同1，共20种. 情形⑦：5个数均为2025，满足条件，共1种. 综上，符合条件的有序实数组的个数为（种）. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，且底面. （1）求证：四边形是矩形： （2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 由题意底面，可得. 又，平面，且交于点， 平面，. 又∵底面是平行四边形，∴四边形是矩形. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理以及性质求解即可. （2）法一，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解线面夹角的正弦值即可；法二，利用几何法求出线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）可知，，且底面，则可建立如图所示的空间直角坐标系. 由，可得. 因为为的中点，则点坐标为， 则. 设平面的法向量为， 则取. 则取. ， 记直线与平面所成角为， 则. 方法二：取的中点分别为，连接， 则，所以四边形是平行四边形， 过点作于，连接，由， 平面，得平面， 而平面，则，又平面， 因此平面，与平面所成角的大小为. 由 ，可得. 又，所以 ． 即与平面所成角的正弦值为. 16. 已知曲线上一点到的距离与到直线的距离之比为. （1）求曲线的方程： （2）过点的直线与曲线相交于两点，求的最大值. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据题意列出表达式，化简即可； （2）方法一：设，表示出，通过 ，的范围即可求出；方法二：设，分情况讨论，若直线的斜率存在且设为，联立得，再设，通过函数的单调性判断即可；方法三：设，直线为，联立得到，设，通过函数的单调性即可判断. 【小问1详解】 由题意知，化简得， 故曲线的方程为； 【小问2详解】 方法一：设，由题意知 所以， 因为，所以，又， 又是直线被椭圆截得的弦在轴上投影的长度， 当直线为轴时，该弦为长轴，投影长度取最大值4，故， 所以，当或时取等. 故的最大值为2. 方法二：设，由题意知 若直线的斜率存在设为，则， 联立，消去得， 易知，所以. 所以， 故， 设，则， 所以， 易知在递减，所以时的最大值为2， 若直线的斜率不存在时，易知，故的最大值为2 方法三：设，由题意知 由题意知直线设为，则， 联立，化简得， 易知，所以， 所以 故， 设，则， 设则 因为在递减，所以 当直线的斜率为0时，易知，故的最大值为2. 17. 在锐角中，角所对的边分别为，且满足： （1）证明：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 在中，因为，由正弦定理可得，. 由余弦定理知，，则， 所以，即，所以， 所以或. 若，因为，所以，与已知条件矛盾，不满足. 故. （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理，结合为锐角三角形证明即可. （2）根据为锐角三角形及（1）求出的范围，结合正弦定理对进行化简，进而求范围即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当为锐角三角形时，， 即：，所以. . 令，，则. 令，由对勾函数性质可知在上单调增， 所以，则， 所以，即， 所以 18. 某AI模型的商用部署需依次完成任务执行与性能测试两个核心环节，规则如下： 环节一（任务执行）：按任意顺序执行3项独立的任务，每项任务最多执行一次，每项任务执行成功后可获得对应分数，失败则不得分，当总分达到40分时立即进入环节二，任务参数如下： 任务 单次执行成功率 0.9 0.5 0.8 任务成功后得分/分 10 25 15 环节二（性能测试）：由测试员对模型的性能进行测试后得到性能指标，已知性能指标服从正态分布，企业自主设定指标阈值，当时，模型成功商用，收益为万元：当时，模型不可商用，收益为万元：若未进入性能测试，则收益为万元. （1）求模型进入环节二的概率最大值，并写出此时任务的最优执行顺序； （2）记，两个环节结束后模型总收益的数学期望为. （i）在第（1）问的执行顺序下，请用和表示； （ii）求当为何值时，取得最大值. 参考数据：当时，. 【答案】（1）或 （2）（i）万元；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件同时发生的概率计算公式，分情况讨论总分达到40的概率，可确定进入环节二的概率的最大值. （2）（i）根据期望的计算公式，可求期望的表达式； （ii）利用导数，结合正态分布的性质，可分析的单调性，进而可求的最大值及对应的的值. 【小问1详解】 由题意，记环节一（任务执行）获得的总分为，下求不同顺序的值， 要使，至少要保证执行成功，否则不可能进入环节二，讨论如下： 以的顺序执行任务时， 当成功时，， 当不成功时，， 以或的顺序执行任务，则， 故进入性能测试的概率最大值为0.4，则最优执行顺序为或. 【小问2详解】 （i）由题意因为， 由（1）可知执行顺序为或， 此时进入性能测试的概率均为0.4，则未进入性能测试的概率为0.6， 在进入环节二条件下，模型成功商用的概率为，模型不可商用的概率为. 则两个环节结束后模型总收益为的概率是0.6， 模型总收益为的概率是，模型总收益为的概率是. 则 万元， （ii）由（i）可知，，其中， 满足正态分布，则， 在时不断递减，则在上恒成立， 在上单调递减. 在上单调递减. 又， 而，则， 在上恒成立， 则在上单调递减，故当时，取得最大值. 19. 已知函数，点在函数的图象上.且. （1）设，求在的最大值： （2）设. （i）证明：； （ii）若，试比较与0.3的大小. 【答案】（1）最大值为0； （2）（i）证明如下： 由（1）当时，有， 因为，所以，假设，则 所以由数学归纳法知数列，所以， 所以数列单调递减，所以 . （ii） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，得到函数的单调性，再求最大值即可. （2）（i）利用数学归纳法得到数列的单调性，再利用三角函数的性质进行放缩即可. （2）（ii）根据前两问的结论，以及三角函数的性质将进行放缩，再进行比较. 【小问1详解】 由题意知，则， 由知， 所以在递减，所以的最大值为0. 【小问2详解】 （i）略 （ii） ， 所以 ， 由于， ， 所以 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $