精品解析：江西新余市第四中学2025-2026学年九年级下学期第三次周末数学作业（3.30）

初三数学第三次周练 一、单选题 1. 已知 a，b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据完全平方公式，将变形，然后利用整体代入计算即可． 【详解】∵a+b=3，ab=2， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记公式是解题的关键． 2. 一次函数与一次函数交于x轴上同一点，则a和b满足（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可得：，由可得：，根据一次函数与一次函数交于x轴上同一点，可得，问题随之得解． 【详解】当时， 由可得：， 由可得：， ∵一次函数与一次函数交于x轴上同一点， ∴，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了求解一次函数与x轴的交点问题，理解“一次函数与一次函数交于x轴上同一点”的含义是解答本题的关键． 3. 如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 4. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点O位似，且相似比为，若点B的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，利用位似的性质得到，则，所以，从而得到E点坐标． 【详解】解：∵正方形与正方形是位似图形，点为位似中心，位似比为， ∴， ∵， ∴． 5. 如图,在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】延长交网格于，连接，得直角三角形ACD，由勾股定理得出、，由三角函数定义即可得出答案． 【详解】解：延长交网格于，连接，如图所示： 则， ，， 的正切值； 故选：D． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 6. 已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的概念及其运算、二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．①可通过分析单项式条件判断；②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证；③通过是列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：∵整式：，其中和为自然数，为正整数，且， ∴当时，， ∴， ∴当时，整式为单项式； 当时，， ∴， ∵整式为单项式，为正整数， ∴， ∴， 此时整式，满足题意； 当时，为正整数，那么整式至少有两项，不是单项式， ∴满足条件的单项式有2个，①错误， 当时，， 那么， ∵， ∴，或，，， ∴满足条件的整式为、、、， ∴满足条件的整式的和为：，故②错误； 当时，， 那么， ∵整式为二次三项式中，， ∴，，或，，， ∴满足条件的整式为、、、、、， 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值不一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 当整式为时，且，那么其值一定是非负数； 故满足条件的整式有5个，故③正确； 综上，正确的个数是1个， 故选：B． 二、填空题 7. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【详解】解：． 8. 已知，是一元二次方程的两根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2＝4，x1x2＝3，然后利用整体代入的方法计算x1+x2﹣2x1x2的值． 【详解】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝3， x1+x2﹣2x1x2＝4﹣2×3＝﹣2． 故答案为﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，掌握根与系数的关系是解题的关键． 9. 新型冠状病毒的直径约是，将用科学记数法表示是________． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数用科学记数法表示的一般形式为，其中，为原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数． 【详解】解：计算得，根据科学记数法的定义，可得． 10. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】如图，点D是点B关于直线的对称点，连接交于点P，则此时y取得最小值，即，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点P， 则点D是点B关于直线的对称点， 根据点的对称性，，则为最小， 故， 设正方形的边长为x，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得： (负值已舍去)， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理和一元二次方程的求解，得出的长为最小值是解题的关键． 11. 在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是__________ （结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，涉及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形的面积公式等知识，综合程度较高．设交于点，连接、、，由切线的性质得，则，因为，所以，则，由，得，则是等边三角形，可证明是等边三角形，求得，则，所以，则，由求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点，连接、、，则， 以点为圆心，为半径的圆与相切于点， ， ， ，且， ， ， ， ， ， ，而， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 【答案】5或或 【解析】 【分析】因为等腰三角形的腰不确定，所以分三种情况分别计算即可． 【详解】解：①当AO=AB时，AB=5； ②当AB=BO时，AB=5； ③当OA=OB时，则OB=5，B（5，0）， 设A（a，）（a>0）， ∵OA=5， ∴， 解得：，， ∴A（3，4）或（4，3）， ∴AB=或AB=； 综上所述，AB的长为5或或． 故答案为：5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，考查分类讨论的思想，当时，求出点的坐标是解题的关键． 三、解答题 13. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算． （1）先计算乘方，再计算括号里的减法，计算乘法，最后计算减法即可； （2）先计算立方根，乘方，绝对值，再计算加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先通分，因式分解，然后进行乘除运算得到化简结果，最后代值求解即可． 【详解】解：原式= 当时，原式= 【点睛】本题考查了分式的化简求值，分母有理化．解题的关键在于熟练运用因式分解进行分式的化简． 15. 如图，点A，B，C在上，请仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，在上找一点P，使得． （2）在图2中，在上找一点Q，使得． 【答案】（1） 如图所示为所求： （2） 如图所示为所求： 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-无刻度直尺作图，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角及直角三角形两锐角互余． （1）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再延长至上交点P，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，而，点P在上即为所求； （2）利用圆的直径所对的圆周角是的性质，先连接，再连接，并延长至上交点D，此时为圆的直径，直径所对的圆周角为，即，则，连接，此时所对的圆周角为和，根据同弧所对圆周角相等可知，而与交于点Q，点Q在上即为所求． 【小问1详解】 解：作法： ①连接，并延长至上交点P， ②连接，此时满足，点P即为所求． 【小问2详解】 解：作法： ①连接， ②连接，并延长至上交点D， ③连接，此时线段与线段交点Q，满足，点Q即为所求． 16. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， （2）解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 【答案】（1），，， （2） 在图2的正方形网格中画出如下： 的面积为3 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理可求出的长，利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积； （2）先利用勾股定理和网格特点分别画出，再利用正方形的面积减去三个小直角三角形的面积即可得的面积． 【小问1详解】 解：由图可知，， ， ， 的面积为， 故答案为：，，，． 【小问2详解】 解：的面积为． 17. 某校为开设足球、篮球、排球选修课程，现对该校学生就“你最喜欢的球类运动”进行抽样调查（要求在“足球”、“篮球”、“排球”中选择一种），将调查数据绘制成如下的两幅统计图． 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）共调查了_________名学生，把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有名学生，请你估计其中最喜欢排球的学生人数． 【答案】（1）， 补全条形统计图如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）喜欢足球的有人，所占的百分比是，据此即可求得总人数，进而补全统计图； （2）利用乘以对应的百分比即可求解； （3）利用总人数乘以对应的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：调查的总人数是：（人）， 故答案为：． 【小问2详解】 °． ∴“足球”所对应的扇形圆心角度数为． 【小问3详解】 （人）． ∴估计该校学生中，最喜欢排球的人数约为人． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 18. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F． （1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB； （2）在（1）条件下，求△DEF的面积； （3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围． 【答案】 （1）证明：四边形是矩形， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）； （3），3＜x＜ 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得∠B=90°，AD∥BC，则∠DAF=∠AEB，再由AAS即可证明△ADF≌△EAB； （2）由全等三角形的性质得DF=AB=3，再由勾股定理求出AF=4，则EF=AE-AF=1，然后由三角形面积公式求解即可； （3）由三角形面积公式得S△ADE=AD•CD=AE•DF，则AE•DF=AD•CD，得出，再由AB＜AE＜得3＜x＜即可． 【详解】解：（1）略 （2）解：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ； （3）解：四边形是矩形， ，，，， ， 则， 即 ， 是上一点（不包括，两端点）， ， ， 自变量的取值范围：． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理以及三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点的直线与反比例函数的图象交于点. （1）求此反比例函数的解析式； （2）若点的纵坐标为1，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，掌握反比例函数和一次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键． （1）利用待定系数法求反比例函数解析式； （2）先根据反比例函数图象上点的坐标特征求出及点C坐标，然后再利用待定系数法求直线的解析式； （3）作轴，交直线于点，先求出点的坐标，然后利用割补法求三角形面积． 【小问1详解】 ∵一次函数的图象过点， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 ∵点是反比例函数图象上一点且纵坐标是1， 把代入，则， ∴， 把代入得， ； 设直线的解析式为， 则有， 解得， 故直线的解析式为； 【小问3详解】 作轴，交直线于点，则点的纵坐标为1， 代入得，， 解得， ∴， ∴， ∴． 20. 如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： （1）弹袋B转过的路程． （2）杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 【答案】（1）弹袋B转过的路程为米 （2）杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，求弧长： （1）根据弧长公式求解即可； （2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可． 【小问1详解】 解：∵米， ∴弹袋B转过的路程（米）， 答：弹袋B转过的路程为米； 【小问2详解】 解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E， 在中，∵米， ∴（米）， ， 在中， ∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米． 21. 如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，要证明是的切线，只要证明即可； （2）连接，在中，求得，，在中，求得，证明，利用相似三角形的性质，列式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵为直径， ∴， 在中，，， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 解得， 即． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理及其推论、勾股定理、等腰三角形的性质以及解直角三角形等，注意准确作出辅助线是解此题的关键． 22. 把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为与折痕交于点N，然后展平． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形是正方形． （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中证明型三角形； 探索发现 （4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 【答案】（1） 证明：四边形是矩形， ． 由折叠知，， ， 四边形是矩形． ， 矩形是正方形． （2） ．证明如下： 如图所示，连接． 由折叠知，． 四边形是正方形， ． ， ． 在和中， ， ， ． （3） 证明：四边形是正方形， ， 由折叠知， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 即， 解得：， ，， ∴， 是型三角形． （4），，是型三角形 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得到，由折叠的性质得到，，据此可证明结论； （2）连接，由折叠的性质得到，，证明，即可得到； （3）由折叠知，设，则，，由勾股定理得，解方程即可证明结论； （4）由于是型三角形，故只要与相似的三角形都是型三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 （4）图4中还有，，是型三角形． 解：， ，， ∴， ， ， 是型三角形； 又∵， ∴， ∴同理可得，是型三角形． 23. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3）①，在抛物线上② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【小问1详解】 解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 ①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学第三次周练 一、单选题 1. 已知 a，b 满足 a+b=3，ab=2，则 a2+b2的值为（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 9 2. 一次函数与一次函数交于x轴上同一点，则a和b满足（　　） A. B. C. D. 3. 如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系的第一象限内，正方形与正方形关于原点O位似，且相似比为，若点B的坐标为，则点E的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图,在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的正切值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知整式：，其中和为自然数，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当取任意实数时，其值一定是非负数的整式共5个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题 7. 计算：______． 8. 已知，是一元二次方程的两根，则__________． 9. 新型冠状病毒的直径约是，将用科学记数法表示是________． 10. 如图①，在正方形中，点是的中点，点是对角线上一动点，设，，图②是关于的函数图象，且图象上最低点的坐标为，则正方形的边长为________． 11. 在中，，点是上一点，且，以点为圆心，为半径的圆与相切于点，与相交于点，若，则图中阴影部分的面积是__________ （结果保留） 12. 已知点A在反比例函数的图象上，点B在x轴正半轴上，若为等腰三角形，且腰长为5，则的长为__________． 三、解答题 13. 计算 （1）； （2）． 14. 先化简，后求值：，其中． 15. 如图，点A，B，C在上，请仅用无刻度的直尺画图． （1）在图1中，在上找一点P，使得． （2）在图2中，在上找一点Q，使得． 16. 问题情境：在综合与实践课上，同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展数学活动，小颖想到借助正方形网格解决问题，图1、图2都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 操作发现：小颖在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点A，B．她借助此图求出了的面积． （1）在图1中，小颖所画的的三边长分别是____________________，__________，的面积为__________， （2）解决问题：已知在中，，，，请你根据小颖的思路，在图2的正方形网格中画出，并求出的面积． 17. 某校为开设足球、篮球、排球选修课程，现对该校学生就“你最喜欢的球类运动”进行抽样调查（要求在“足球”、“篮球”、“排球”中选择一种），将调查数据绘制成如下的两幅统计图． 请根据图中的信息，解答下列问题： （1）共调查了_________名学生，把条形统计图补充完整； （2）求扇形统计图中“足球”对应的扇形圆心角的度数； （3）该校共有名学生，请你估计其中最喜欢排球的学生人数． 18. 如图，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，E是BC上一点（不包括B，C两端点），连结AE和DE，作DF⊥AE于点F． （1）若AE＝AD，求证：△ADF≌△EAB； （2）在（1）条件下，求△DEF的面积； （3）设AE＝x，DF＝y，请求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围． 19. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点的直线与反比例函数的图象交于点. （1）求此反比例函数的解析式； （2）若点的纵坐标为1，求直线的解析式； （3）在（2）的条件下，求的面积. 20. 如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时． 求： （1）弹袋B转过的路程． （2）杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米． （参考数据：） 21. 如图，中，，以为直径的圆交于点E，过点E作于于点F，交的延长线于点D． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 22. 把三边的比为的三角形称为型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或，，的三角形就是型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形． 实践操作如图1，在矩形纸片中，，． 第一步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点D落在上的点E处，折痕为，再沿折叠，然后把纸片展平． 第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点D与点F重合，折痕为，然后展平，隐去． 第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿折叠，得到，再沿折叠，折痕为与折痕交于点N，然后展平． 问题解决 （1）请在图2中证明四边形是正方形． （2）请在图4中判断与的数量关系，并加以证明； （3）请在图4中证明型三角形； 探索发现 （4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是型三角形？请找出并直接写出它们的名称． 23. 如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； （3）点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $