7.3.3余弦函数的性质与图像课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

该高中数学课件聚焦余弦函数的图像与性质，通过“平移法”（由正弦函数图像平移得到）和“五点法”作图，结合与正弦函数的联系（cosx=sin(x+π/2)）搭建学习支架，系统呈现定义域、值域、周期性等性质，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于以“探究新知”引导学生自主思考研究方法，通过换元法、整体代换等培养数学思维（推理能力），利用图像分析和性质应用发展几何直观（数学眼光），规律总结部分系统归纳解题策略（如周期、单调性求法），助力学生用数学语言表达。例题与练习结合，既提升学生逻辑思维与应用能力，也为教师提供结构化教学资源。

第七章 三角函数 7.3.3余弦函数的性质与图像 《人教B版2019高中数学必修第三册》 知识点 2.余弦函数的性质 定义域：R; 值域:[-1,1]; 周期性:T=2π； 奇偶性：偶函数； 单调性：在[2kπ−π,2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)上单调递减； 最值：当x=2kπ(k∈Z)时，ymax=1；当x=2kπ+π(k∈Z)时，ymin=−1； 对称性：对称中心为(kπ+,0)(k∈Z)；对称轴为直线x=kπ(k∈Z) 1.余弦函数的图象 方法1：要得到y=cosx的图象，只需把y=sinx的图象向左平移个单位长度即可，这是由于cosx=sin(x+). 方法2：用“五点法”：画余弦曲线y=cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个关键点分别为(0,1),(,0),(,-1),(,0),(2π,1)再用光滑的曲线连接． 探究新知 因为对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cosx与之对应，所以y=cosx是一个函数，一般称为余弦函数. 显然,像通过正弦线研究正弦函数的性质一样,我们可以通过余弦线来研究余弦函数的性质.不过,由cosx=sin(x+)可知,y=cosx的性质与图象和正弦型函数y=sin(x+)的相同,因此余弦函数的定义域为R；值域为[-1,1]；余弦函数也是周期函数,且其周期为2π；在区间[-π+2kπ,2kπ] (k∈Z)上递增,在［2kπ，π+2kπ](k∈Z)上递减；函数的零点为(+kπ,0)(k∈Z).另外,由诱导公式cos(-x)=cosx可知,y=cosx是一个偶函数. 探究新知 函数y=cosx的图象称为余弦曲线.由于y=cosx=sin(x+)，因此余弦曲线可由正弦曲线向左平移个单位得到，如图所示． 由图可以看出，余弦曲线的对称轴为x=kπ，对称中心为(+kπ,0)，其中k∈Z. 探究新知 例1 求下列函数的值域． (1) y=-3cosx+1; (2)y=(cosx+)2−3. 解(1) 因为-1≤cosx≤1,所以3≥-3cosx≥-3, 且-2≤-3cosx+1≤4, 即-2≤y≤4. 当y=cosx=1时,ymin=−2; 当y=cosx=-1时,ymax=4. 因此y=-3cosx+1的值域为[-2, 4]. 解(2)令t=cosx，则y=(t+)2−3,t∈[-1,1]. 因为-1≤t≤1时， −≤t+≤，所以0≤(t+)2≤，因此−3≤((t+)2−3≤−. 当t=1时， ymax=−;当t=−时， ymin=−3. 因此y=(t+)2−3的值域为[−3,−] 探究新知 例2 判断下列函数的奇偶性． (1) y=cosx+2, (2) y=sinxcosx. （1）把函数y=cosx+2记作f(x)=cosx+2,，因为定义域为R，且 f(-x)=cos(-x)+2=cosx+2=f(x), 所以y=cosx+2是偶函数. （2）把函数y=sinxcosx记作f(x)=sinxcosx，因为定义域为R，且 f(-x)=sin(-x)cos(-x)=(-sinx)cosx=-f(x), 所以y=sinxcos 是奇函数. 探究新知 例3 求函数y=2cos( − )的周期和其图象的对称轴方程. 解 因为y=2cos( − ) =2sin[( − )+] =2sin( + ） 所以T==6π. 令 + = +kπ(k∈Z)解得x=+3kπ(k∈Z) 所以函数y=2cos( − )的周期为6π，其图象的对称轴方程为x=+3kπ(k∈Z) 探究新知 余弦型函数的性质 函数 定义域 值域 周期性 是周期函数，最小正周期 奇偶性 当 时，函数为奇函数； 当 时，函数为偶函数； 单调性 单调递增区间由 求得 单调递减区间由 求得 探究新知 例4  求函数f(x)=cosx,x∈[−,]的最大值和最小值. 解 （方法一）由余弦函数的性质可知， f(x)=cosx在[−,0]递增，在[0,]递减，又因为f(−)=cos(−)=,,f(0)=cos0=1，f()=cos=−， 所以函数的最大值为1，最小值为−. （方法二）如图7-3-14所示,作出示意图,其中OP为角−的终边,OP′为角的终边.区间[− ]内的角的终边只能在直线PP＇的右上方，因此当角的余弦线为时,f(x)取得最大值f(0)=cos0=1;角的余弦线为时,f(x)取得最小值f()=cos=− 练习A 下列等式能否成立？为什么？ (1) 2cosx=3; (2)cos2x= 1 不求值，分别比较下列各组余弦值的大小. （1)cos 160°和 cos 170° (2)cos和cos 2 解析：（1）不成立，cosx的最大值是1，所以2cosx的最大值是2，故不成立 （2）成立，cosx的值域为[-1,1]内的所有实数，所以可以取到值± 解析：函数y=cosx在(0°,180°)上单调递减 所以，160°> cos 170° cos > cos 练习A 3 求下列函数的周期. (1)y=cos (2)y=2cos(−3x+) 所以，（1）的周期为 ；（2）的周期为 4 求函数y=2−cos的最大值和最小值，并分别求出函数取最大值和最小值时x的值. 首先，cos​的取值范围是[−1,1] 最大值： 当cos​=−1时，y取得最大值： ymax​=2−(−1)=3此时​​=π+2kπ（k∈Z）， 解得：x=3π+6kπ (k∈Z) 最小值： 当cos​=1时，y取得最小值： ymin​=2−1=1此时​=2kπ（k∈Z），解得：x=6kπ (k∈Z) 巩固提升练习 1.用“五点法”作三角函数的图像 画出函数， 的图象. 解析:按关键点列表： 0 0 1 0 0 巩固提升练习 2.余弦函数的周期问题 （1）已知集合A={x|x=cos,k∈N}，则中元素的个数为（   ） A.1 B.2 C.3 D.4 解析：因为集合A={x|x=cos,k∈N}， 分别算出k=0,1,2,3,4时x的值分别为1，0，-1，0，1 可以看出cos的周期为4 所以的取值集合为（-1，0，1} 故选择C C 巩固提升练习 2.余弦函数的周期问题 （2）求函数的最小正周期 解析： 方法一：=|-cosx|=|cosx|,在[0,]上，|cosx|=cosx,不存在更小的周期，故函数的最小正周期为 方法二：先画出函数, 的图象 有图像可知最小正周期为 规律总结 求函数周期的方法 ① 定义法：紧扣周期函数的定义，寻找对任意实数x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T。该方法主要适用于抽象函数。 ② 公式法：对于形如y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)（其中A,ω,φ是常数，且A=0,ω>0）的函数，可利用T=​来计算周期。 ③ 图象法：可以画出函数的图象，借助图象来判断函数的周期，尤其是含绝对值的函数一般会使用这种方法。 巩固提升练习 3.单调性 （1）求函数 的单调递增区间. 解析: 由 , 得, , 即函数的单调递增区间为, . 巩固提升练习 3.单调性 （2）求函数 || 的单调递增区间. 解析: 设 t=x+​，则 y=∣sint∣ 的大致图象如图所示，函数的周期是π。 当 t∈[kπ,kπ+​](k∈Z) 时，函数 y=∣sint∣ 单调递增，所以 kπ≤x+​≤kπ+​,k∈Z解得 kπ−​≤x≤kπ+​,k∈Z， 所以函数 y=||的单调递增区间是[kπ−​,kπ+​](k∈Z) 巩固提升练习 3.单调性 （3）已知ω>0，函数 f(x)=sin(ωx+​) 在 (​,π) 上单调递减，则ω的取值范围是 . [,] 解析：由 <x<π 得 ​ω+​<ωx+4π​<πω+​。由题意知（​ω+​，πω+） ⊆ (​​+2kπ,​​+2kπ),k∈Z， ∴ k∈Z，解的 ，即ω的取值范围为[,] ​ω+≥​​+2kπ， ​πω+≤​​+2kπ 规律总结 求正、余弦型函数的单调区间的策略 (1) 结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间。 (2) 求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函数的单调区间时，应采用 “换元法” 整体代换，将 “ωx+φ” 看作一个整体 “t”，根据 “同增异减” 的法则，通过求y=Asint的单调区间从而求出原函数的单调区间。求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0, ω>0) 的函数的单调区间，方法同上。 (3) ①若 ω<0，一般用诱导公式转化为 -ω>0 后求解；②若 A<0，则单调性相反；③若含有绝对值，一般要借助图象来解决。 巩固提升练习 4.不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) cos(−​) 与 cos(−​)；(2) cos870∘ 与 sin980∘； (3) 设 a=sin(cos1)，b=cos(cos1)，c=cos1，d=cos(sin1)，则 a,b,c,d 的大小顺序为______。 解析：(1) cos(−​)=cos​=cos(4π+​)=cos​， cos(−​)=cos​=cos(4π+​)=cos​。 因为 0<<​<π，且函数 y=cosx 在区间 [0,π] 上单调递减， 所以 cos​>cos​，即 cos(−​)>cos(−​)。 巩固提升练习 4.不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) cos(−​) 与 cos(−​)；(2) cos870∘ 与 sin980∘； (3) 设 a=sin(cos1)，b=cos(cos1)，c=cos1，d=cos(sin1)，则 a,b,c,d 的大小顺序为______。 解析：(2) cos870∘=cos(720∘+150∘)=cos150∘，sin980∘=sin(720∘+260∘)=sin260∘=sin(90∘+170∘)=cos170∘. 因为 0∘<150∘<170∘<180∘，且函数 y=cosx 在区间 (0∘,180∘) 上单调递减， 所以 cos150∘>cos170∘，即 cos870∘>sin980∘. 巩固提升练习 4.不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) cos(−​) 与 cos(−​)；(2) cos870∘ 与 sin980∘； (3) 设 a=sin(cos1)，b=cos(cos1)，c=cos1，d=cos(sin1)，则 a,b,c,d 的大小顺序为______。 解析：(3) ∵0<cos1<sin1<1<​(cos=sin)，又函数 y=cosx 在 [0,​] 上是减函数，∴cos(cos1)>cos(sin1)>cos1，即 b>d>c。 又 ∵0<cos1<​，∴sin(cos1)<cos1(单位圆中的正弦线小于弧长），即 c>a。 综上可得 b>d>c>a。 规律总结 比较三角函数值大小的方法： 利用诱导公式转化为锐角三角函数值。 不同名的函数化为同名函数。 自变量不在同一单调区间的化至同一单调区间。 巩固提升练习 5.奇偶性与对称性 将函数的图象向右平移 个单位长度后，得到函 数的图象，若为偶函数，则___;若为奇函数，则 __. 解析： 函数的图象向右平移个单位长度，则 变为 . （1）若为偶函数，则 ， 即 ，，从而，.由,得 的值为 . （2）若为奇函数，则 ， 即 ，，从而,.由,得 的值为 . 巩固提升练习 5.奇偶性与对称性 函数的图象与函数 的图象( ) A.有相同的对称轴但无相同的对称中心 B.有相同的对称中心但无相同的对称轴 C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心 D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴 解析： 由,,可得函数 的图象的对称轴为直线, . 由 ,,可得函数的图象的对称轴为直线 , . 当 时，二者有相同的对称轴. 由 ,,可得函数 的图象的对称中心为点, . 由,,可得函数 的图象的对称中心为点, . 令,,,解得,与, 矛盾. 故两个函数的图象没有相同的对称中心. 规律总结 (1) 有关三角函数奇偶性问题的解题思路 ① 要使y=Asin(ωx+φ) (Aω≠0)为奇函数，则φ=kπ (k∈Z)。 ② 要使y=Asin(ωx+φ) (Aω≠0)为偶函数，则φ=kπ+​ (k∈Z)。 ③ 要使y=Acos(ωx+φ) (Aω≠0)为奇函数，则φ=kπ+​ (k∈Z)。 ④ 要使y=Acos(ωx+φ) (Aω≠0)为偶函数，则φ=kπ (k∈Z)。 (2) 求三角函数对称轴和对称中心的方法 对于函数y=sin(ωx+φ) (ω≠0)（或y=cos(ωx+φ) (ω≠0)）的图象的对称性，应将ωx+φ看成一个整体，利用整体代入思想： 令ωx+φ等于kπ+​（或kπ）(k∈Z)，解出的x的值即为对称轴与x轴交点的横坐标； 令ωx+φ等于kπ（或kπ+）(k∈Z)，解出的x的值即为对称中心的横坐标。 巩固提升练习 6.正、余弦型函数的最值（值域） 函数f(x)=−cos（x+）,x∈[−,]的值域为 . [-1，] 解析： 因为x∈[−,]，所以x+∈[-,]， 则cos（x+）∈[-,1], 故f(x)的值域为[-1，] 巩固提升练习 6.正、余弦型函数的最值（值域） y=3+2cos(2x+​)的最大值与最小值分别为______；若x∈[−​,​]，则此函数的 最大值与最小值分别为______。 解析： ① 因为 −1≤cos(2x+​)≤1，所以当 cos(2x+​)=1 时，ymax​=5； 当 cos(2x+​)=−1 时，ymin​=1。 ② 因为 x∈[−​,​​]，所以 0≤2x+​≤​，所以 0≤cos(2x+​)≤1， 所以当 cos(2x+​​)=1 时，ymax​=5；当 cos(2x+​​)=0 时，ymin​=3。 所以函数 y=3+2cos(2x+​​),x∈[−​,​] 的最大值为5，最小值为3。 巩固提升练习 6.正、余弦型函数的最值（值域） 求 y=cos2x+4sinx 的最值及取到最大值和最小值时的x的集合。 解析： y=cos2x+4sinx=1−sin2x+4sinx， 令t=sinx，则t∈[−1,1]，所以y=−t2+4t+1=−(t−2)2+5， 所以当t=1，即x=2kπ+​,k∈Z时，ymax​=4， 此时x的取值集合是{x∣x=2kπ+​,k∈Z}； 当t=−1，即x=2kπ−​,k∈Z时，ymin​=−4， 此时x的取值集合是{x∣x=2kπ−​,k∈Z}。 规律总结 三角函数最值问题的求解方法 (1) y=asinx+b (a=0), x∈R 型 当 a>0 时，ymax​=a+b，ymin​=−a+b； 当 a<0 时，ymax​=−a+b，ymin​=a+b。 (2) y=Asin(ωx+φ)+b (A,ω≠0) 型 可先换元，令 t=ωx+φ，由定义域求得 t 的范围，然后求得 sint 的范围，最后得 y=Asint+b 的最值。 (3) y=asin2x+bsinx+c (a≠0) 型 可利用换元思想，设 t=sinx，转化为二次函数 y=at2+bt+c (a≠0) 求最值，t的范围需要根据定义域来确定。 $