7.3.3 余弦函数的性质与图象-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第三册教用课件（人教B版）

该高中数学课件聚焦余弦函数的性质与图象，涵盖“五点法”“图象变换法”作图及周期、单调区间、最值等性质。通过过山车情境导入，关联正弦函数平移知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以情境激发兴趣，题型分层设计，落实逻辑推理（如五点法作图）、直观想象（图象变换）、数学运算（单调区间求解）等核心素养。例如用换元法求余弦型函数最值，帮助学生提升思维能力，也为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

7.3.3　余弦函数的性质与图象 1 1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数y＝ cos x和y＝A cos （ωx＋φ）的图象（逻辑推理）. 2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值（直观 想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令 不少人着迷.过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时 巧妙地运用了这些原理.如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交 织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言.一个基本的过山车构造中， 包含了爬升、滑落、倒转（儿童过山车没有倒转）等几个循环路径. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【问题】　（1）函数y＝ cos x的图象也像过山车一样“爬升”“滑 落”，这是它的什么性质？ （2）过山车爬升到最高点，接着滑落到最低点，然后再爬升，对应y＝ cos x的什么性质？y＝ cos x在什么位置取得最值？ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点一　余弦函数的图象 1. 余弦函数 对于任意一个角x，都有 确定的余弦 cos x与之对应，所以y＝ cos x是一个函数，一般称为 ⁠. 唯一　 余弦函数　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 余弦函数y＝ cos x图象的画法 （1）平移法：由 cos x＝ sin 知，余弦函数y＝ cos x 的图象可以通 过将正弦曲线y＝ sin x向 平移 个单位得到； （2）五点法：函数y＝ cos x在[0，2π]内的图象的五个关键点分别是： （0，1）， ， ， 　 　，（2π，1）. 左　 　 （π，－1）　 　 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　　提醒：正（余）弦函数图象的说明：比较正弦函数y＝ sin x、余弦函 数y＝ cos x，x∈[0，2π]的图象，二者的图象的最低点都只有一个；余弦 函数的图象与x轴的交点有两个，而正弦函数的图象与x轴的交点有三个； 余弦函数图象的最高点有两个，而正弦函数图象的最高点只有一个. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 　函数y＝ sin x的图象向右平移能得到函数y＝ cos x的图象吗？ 提示：能.向右平移 个单位. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 　用“五点法”作函数y＝ cos 2x，x∈R的图象时，首先应描出的五个点 的横坐标是（　　） A. 0， ，π， ，2π B. 0， ， ， ，π C. 0，π，2π，3π，4π D. 0， ， ， ， 解析： 　令2x＝0， ，π， 和2π，得x＝0， ， ， ，π，故选B. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 知识点二　余弦函数的性质 函数 y＝ cos x 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； 当x＝（2k＋1）π（k∈Z）时，ymin＝－1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 函数 y＝ cos x 周期性 是周期函数，最小正周期为2π 奇偶性 是偶函数，图象关于y轴对称 单调性 当x∈[（2k－1）π，2kπ]（k∈Z）时，函数单调递 增； 当x∈[2kπ，（2k＋1）π]（k∈Z）时，函数单调递减 数学·必修第三册（B 版） 目 录 函数 y＝ cos x 零点 ＋kπ（k∈Z） 图象的 对称性 对称中心为点 ，k∈Z； 对称轴为直线x＝kπ，k∈Z 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【想一想】 1. 余弦函数的零点对应正弦函数的哪个性质？ 提示：余弦函数的零点对应正弦函数的对称轴. 2. 余弦型函数y＝A cos （ωx＋φ）的周期是多少？ 提示：T＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）余弦函数在区间 上是单调递增的. （　×　） （2）方程2 cos x＋3＝0一定有解. （　×　） （3）函数y＝ cos 的一条对称轴为 . （　×　） × × × 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝1－2 cos x的最小值，最大值分别是（　　） A. －1，3 B. －1，1 C. 0，3 D. 0，1 解析： 　∵－1≤ cos x≤1，∴－1≤y≤3. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝ cos 的单调递减区间是 　　 ⁠. 解析：由2kπ≤x－ ≤2kπ＋π可得：2kπ＋ ≤x≤2kπ＋π＋ ，即2kπ＋ ≤x≤2kπ＋ （k∈Z）. （k∈Z） 数学·必修第三册（B 版） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜余弦型函数的图象 【例1】　用“五点法”作函数y＝3－2 cos x，x∈[0，2π]的简图. 解：按五个关键点列表、描点画出图象（如图）. x 0 ​ π ​ 2π cos x 1 0 －1 0 1 y＝3－2 cos x 1 3 5 3 1 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. “五点法”作余弦函数y＝ cos x图象的策略 （1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别 找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位 置和形状.连线要保持光滑，注意凸凹方向； （2）五个关键点的确定：使函数中x取0， ，π， ，2π，然后求出相应 的y值，再作出图象. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 余弦函数图象变换技巧 当函数不是同名函数时，要先化为同名函数，再进行图象变换.在变换 时要注意两点：一是平移变换的规则，“左加右减”“上加下减”； 二是对于先伸缩后平移变换中，要注意函数y＝ cos （ωx＋φ）（ω＞ 0）中ω的值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 　用“五点法”作出函数y＝ cos （x＋ ），x∈［－ ， π］的简图. 解：列表如下： x － ​ ​ ​ ​ μ＝x＋ 0 ​ π ​ 2π y＝ cos μ 1 0 －1 0 1 描点作图（如图）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型二｜余弦型函数的单调性 【例2】　（1）函数f（x）＝5 cos 的一个单调递减区间是 （　B　） A. B. C. D. 解析： f（x）＝5 cos ，由2kπ≤3x＋ ≤π＋2kπ （k∈Z），得 － ≤x≤ ＋ （k∈Z），所以 是f （x）的一个单调递减区间. B 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）设a＝ cos ，b＝ sin ，c＝ cos ，则（　A　） A. a＞c＞b B. c＞b＞a C. c＞a＞b D. b＞c＞a 解析： sin ＝ sin ＝－ sin ＝ sin ＝ cos ， cos ＝ cos ＝ cos ＝ cos ，因为y＝ cos x在 上是减函数， 所以 cos ＞ cos ＞ cos ，即a＞c＞b. A 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 1. 余弦型函数单调区间的求法 （1）如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正； （2）将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围； （3）若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条 件的单调区间. 2. 关于三角函数值比较大小 利用诱导公式，统一成正弦或余弦函数，统一化到一个单调区间内，利用 单调性比较大小. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数y＝ cos （ －2x）的单调递增区间是 　［－ ＋kπ， ＋ ⁠. 解析：函数y＝ cos （ －2x）＝ cos （ 2x－ ），令－π＋2kπ≤2x－ ≤2kπ，k∈Z，解得－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，∴函数y＝ cos （ －2x）的单调递增区间是［－ ＋kπ， ＋kπ］，k∈Z. ［－ ＋kπ， ＋ kπ］，k∈Z 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 将 cos （－1）， cos （－2）， cos （－3）按大小顺序排列，则 ⁠ .（用“＜”连接） 解析：y＝ cos x在区间（－π，0）上递增， ∵－π＜－3＜－2＜－1＜0， ∴ cos （－3）＜ cos （－2）＜ cos （－1）. cos （－3）＜ cos （－2）＜ cos （－1） 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型三｜余弦函数的最值问题 角度1　定区间上求值域 【例3】　求函数f（x）＝ cos x，x∈ 上的值域. 解：由余弦函数的性质可知，f（x）＝ cos x在 上递增，在 上递减， 又因为f ＝ ，f（0）＝1，f ＝ ， 所以函数的最大值为1，最小值为 ， 故值域为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【母题探究】 　（变条件）若将本例中的函数变为g（x）＝ cos （2x－ ），区间不 变，求函数的值域. 解：因为－ ≤x≤ ，所以－ ≤2x－ ≤ ， 令t＝2x－ ，则y＝ cos t在区间 上递增，在 上递减， 所以y＝ cos t的最大值为1，因为 cos ＝ cos ＜ cos ， 故最小值为 cos ＝－ ， 故原函数的值域为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 求定区间上余弦函数的值域 　　求定区间上的值域：可先计算t＝ωx＋φ的范围，根据y＝ cos t在所求 出的范围内的单调性求值域. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 角度2　与二次函数结合求最值 【例4】　求函数y＝ sin 2x＋ cos x的值域. 解：y＝ sin 2x＋ cos x＝1－ cos 2x＋ cos x ＝－ cos 2x＋ cos x＋1＝－ ＋ ， 令t＝ cos x，则y＝－ ＋ ，t∈[－1，1]. 因为－1≤t≤1，所以当t＝ 时，ymax＝ ； 当t＝－1时，ymin＝－ . 因此函数y＝ sin 2x＋ cos x的值域为 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 与余弦函数有关的最值问题 （1）求在R上的值域：当余弦在1或－1处取得最值，可直接代入验证，或 分情况代入； （2）关于余弦的二次式求最值：可用换元法，配方法求最值. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 函数f（x）＝－ cos （ 2x＋ ）＋1，x∈［－ ， ］的值域为 （　　） A. ［－ ， ］ B. ［1－ ，－ ］ C. ［1－ ， ］ D. ［1－ ， ］ 解析： 　因为x∈［－ ， ］，所以2x＋ ∈［－ ， ］，则 cos （ 2x＋ ）∈［－ ，1］，故－ cos （ 2x＋ ）∈［－ ， ］， 故f（x）的值域为［1－ ， ］. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 函数y＝ sin 2x＋ cos x 的值域为 　​ 　　. 解析：设 cos x＝t，因为－ ≤x≤ ，则t∈ ，所以y＝1－ cos 2x ＋ cos x＝－（t－ ）2＋ ，t∈［ ，1］，故当t＝ ，即x＝± 时， y的最大值为 ；当t＝1，即x＝0时，y的最小值为1.所以函数的值域 为 . ​ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 题型四｜余弦型函数的奇偶性与对称性 【例5】　已知函数y＝2 cos . （1）在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程； 解： 令2x＋ ＝kπ，k∈Z，解得x＝ － （k∈Z）.令k＝0，x ＝－ ；令k＝1，x＝ .∴函数y＝2 cos 的对称轴中离y轴最近 的一条对称轴的方程是x＝ . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）把该函数的图象向右平移φ个单位后，图象关于原点对称，求φ的最 小正值. 解： 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f（x），则f（x）＝ 2 cos ＝2 cos （2x＋ －2φ）.∵y＝f（x）的图象关于 原点（0，0）对称，∴f（0）＝2 cos ＝0.∴ －2φ＝kπ＋ ， k∈Z. 解得φ＝ － （k∈Z）.令k＝0，得φ＝ ，∴φ的最小正值是 . 数学·必修第三册（B 版） 目 录 通性通法 　　关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论 （1）f（x）＝A sin （ωx＋φ）（或A cos （ωx＋φ））的图象关于x＝x0 对称⇔f（x0）＝A或－A； （2）f（x）＝A sin （ωx＋φ）（或A cos （ωx＋φ））的图象关于点 （x0，0）中心对称⇔f（x0）＝0. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 【跟踪训练】 1. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R，则f（x）是（　　） A. 最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数 C. 最小正周期为 的奇函数 D. 最小正周期为 的偶函数 解析： 　∵ sin ＝－ sin ＝－ cos 2x，∴f（x）＝－ cos 2x.又f（－x）＝－ cos （－2x）＝－ cos 2x＝f（x），∴f（x）是 最小正周期为π的偶函数. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 将函数f（x）＝ cos （ 2x－ ）图象上所有的点向左平移φ（φ＞0）个 单位长度，所得图象关于直线x＝ 对称，则φ的最小值为（　　） A. B. C. D. 解析： 　依题意，f（x＋φ）＝ cos ［2（x＋φ）－ ］＝ cos （ 2x＋2φ － ）的图象关于直线x＝ 对称，则2· ＋2φ－ ＝kπ，k∈Z，解得φ＝ － ＋ ，k∈Z，而φ＞0，则k∈N*，所以当k＝1时，φ取得最小值 . √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 1. 函数y＝1－ cos x，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） 解析： 　可根据x∈[0，2π]取x＝0，π，2π验证知选D. √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 〔多选〕下列函数中，最小正周期为π的有（　　） A. y＝ cos ｜2x｜ B. y＝｜ cos x｜ C. y＝ cos D. y＝ sin 解析： 　y＝ cos ｜2x｜＝ cos 2x的最小正周期为π；y＝｜ cos x｜的 最小正周期为π；y＝ cos （2x＋ ）的最小正周期为π；y＝ sin 的 最小正周期为2π. √ √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 〔多选〕已知函数f（x）＝ cos （ 2x－ ），则（　　） A. f（x）的最小正周期为π B. f（x）在（ － ，0）上单调递增 C. f（x）的图象关于直线x＝－ 对称 D. 若x∈（ 0， ），则f（x）的最小值为－1 √ √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　因为f（x）＝ cos （ 2x－ ），所以f（x）的最小正周期T ＝ ＝π，故A正确；当x∈（ － ，0），则2x－ ∈（ －π，－ ）， 因为y＝ cos x在（ －π，－ ）上单调递增，所以f（x）在（ － ，0） 上单调递增，故B正确；因为f（ － ）＝ cos （ － ）＝0，所以f（x） 的图象不关于直线x＝－ 对称，故C错误；当x∈（ 0， ），则2x－ ∈ （ － ， ），所以 cos （ 2x－ ）∈（ ，1］，所以f（x）在（ 0， ）上不存在最小值，故D错误. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 求函数y＝3－2 cos 的对称中心坐标，对称轴方程. 解：由于y＝ cos x的对称中心坐标为 （k∈Z），对称轴方程 为x＝kπ（k∈Z）， 又由2x－ ＝kπ＋ ，得x＝ ＋ （k∈Z）； 由2x－ ＝kπ，得x＝ ＋ （k∈Z）， 故y＝3－2 cos 的对称中心坐标为 （k∈Z），对称 轴方程为x＝ ＋ （k∈Z）. 数学·必修第三册（B 版） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1. 函数y＝ cos x＋｜ cos x｜，x∈[0，2π]的大致图象为（　　） √ 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意得 y＝ 显然只有D合适. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 2. 下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（　　） A. y＝ cos ｜x｜ B. y＝ cos ｜－x｜ C. y＝ sin D. y＝－ sin 解析： 　y＝ cos ｜x｜在 上是减函数，排除选项A；y＝ cos ｜ －x｜＝ cos ｜x｜，排除选项B；y＝ sin ＝－ sin ＝－ cos x，是偶函数，且在（0，π）上单调递 增，选项C符合题意；y＝－ sin 在（0，π）上是单调递减的.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 3. 函数y＝｜ cos x｜的一个单调减区间是（　　） A. B. C. D. 解析： 　作出函数y＝｜ cos x｜的图象如图 所示，由图象可知，A、B都不是单调区间，D 是单调增区间，C是单调减区间. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 4. 函数y＝2 sin 2x＋2 cos x－3的最大值为（　　） A. －1 B. 1 C. － D. －5 解析： 　由题意，得y＝2 sin 2x＋2 cos x－3＝2（1－ cos 2x）＋2 cos x－ 3＝－2 － .因为－1≤ cos x≤1，所以当 cos x＝ 时，函数有 最大值－ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 5. 〔多选〕设函数f（x）＝ cos ，则下列结论正确的是（　　） A. f（x）的一个周期可为－2π B. f（x）的图象关于直线x＝ 对称 C. f（x）在 上单调递减 D. f（x＋π）的一个零点为x＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　函数f（x）＝ cos ，则函数的周期为π的倍数，故A 正确.当x＝ 时，f ＝－1，故f（x）的图象关于直线x＝ 对称， 故B正确.f（x）的单调递减区间为 ，故C错误.f ＝ cos ＝0，故f（x＋π）的一个零点为x＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 6. 方程 sin （ 2x＋ ）－ cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 4 解析： 　方程 sin （ 2x＋ ）－ cos x＝0在[0，4π]上的解的个数， 即是函数y＝ sin （ 2x＋ ）与函 数y＝ cos x图象在[0，4π]上的交点个数.在同一平面直角坐标系内，作出两函数图象如下：由图象可得，函数y＝ sin （ 2x＋ ）的图象与函数y＝ cos x的图象在[0，4π]上共8个交点，则方程 sin （ 2x＋ ）－ cos x＝0在[0，4π]上的解的个数为8. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 7. 函数ƒ（x）＝3 cos （ω＞0）的最小正周期为 ，则ƒ（π） ＝ ⁠. 解析：由已知 ＝ 得ω＝3，∴ƒ（x）＝3 cos ，∴ƒ（π）＝3 cos ＝3 cos ＝－3 cos ＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 8. 已知函数f（x）＝2 cos （2x＋φ）－1的一个零点是 ，则｜φ｜的最小 值是 ⁠. 解析：函数f（x）＝2 cos （2x＋φ）－1的一个零点是 ，则有f（ ）＝2 cos （ ＋φ）－1＝0，即 cos （ ＋φ）＝ ，则 ＋φ＝± ＋2kπ （k∈Z），即φ＝± － ＋2kπ（k∈Z），所以当φ＝－ 时，｜φ｜有最 小值 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 9. 函数y＝A cos （ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0，｜φ｜＜ ）的图象在同 一周期内有最高点 ，最低点 ，则该函数的解析式 为 ⁠. y＝4 cos －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：∵2A＝3－（－5）＝8，∴A＝4. ∵2b＝3＋（－5）＝－2，∴b＝－1. 又 ＝ － ＝ ，∴T＝π，∴ω＝ ＝2. ∴y＝4 cos （2x＋φ）－1. 又函数的图象过点 ，从而3＝4 cos （2× ＋φ）－1，∴ cos ＝1，即 ＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－ ＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜ ，∴φ＝－ ，∴y＝4 cos －1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 10. （2025·淄博期末）已知函数f（x）＝A cos （ωx＋φ）（ A＞0，ω＞ 0，｜φ｜＜ ）的部分图象 （如图所示）. （1）求函数f（x）的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 观察图象，得f（x）的最小正周期T＝2×［ －（ － ）］＝ ，解得ω＝2. 由f（ ）＝0，且x＝ 在f（x）的单调递减区间内， 得2× ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z， 又｜φ｜＜ ，则k＝0，φ＝ ，f（x）＝A cos （ 2x＋ ），由f（0）＝ A＝1，得A＝2， 所以函数f（x）的解析式为f（x）＝2 cos （ 2x＋ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）当x∈［－ ， ］时，求函数y＝f（x）的最大值和最小值. 解： 当x∈［－ ， ］时，2x＋ ∈［－ ， ］，当2x＋ ＝ ，即x＝ 时，f（x）min＝－1， 当2x＋ ＝0，即x＝－ 时，f（x）max＝2， 所以当x∈［－ ， ］时，函数y＝f（x）的最大值、最小值分别为2，－1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 11. 〔多选〕对于函数f（x）＝ 下列说法中不正确 的是（　　） A. 该函数的值域是[－1，1] B. 当且仅当x＝2kπ＋ （k∈Z）时，函数取得最大值1 C. 当且仅当x＝2kπ－ （k∈Z）时，函数取得最小值－1 D. 当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋ （k∈Z）时，f（x）＜0 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　画出函数f（x）的图象（如 图），由图象容易看出：该函数的值域是 ；当x＝2kπ＋ 或x＝2kπ，k∈Z 时，函数取得最大值1；当且仅当x＝2kπ＋ ，k∈Z时，函数取得最小值－ ；当且仅当2kπ＋π＜x＜2kπ＋ ，k∈Z时，f（x）＜0，可知A、B、C不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 12. 已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，则满足条件 ［f（x）－f（ － ）］·［f（x）－f（ ）］＞0的最小正整数x 为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析：由图可知 T＝ － ＝ ，即T＝ ＝π，所以ω＝2.由五点法可 得2× ＋φ＝ ，即φ＝－ ，所以f（x）＝2 cos （ 2x－ ）.因为f（ － ）＝2 cos （ － ）＝1，f（ ）＝2 cos ＝0，所以由［f（x）－f （ － ）］［f（x）－f（ ）］＞0可得f（x）＞1或f（x）＜0.因为 f（1）＝2 cos （ 2－ ）＜2 cos （ － ）＝1，所以最小正整数应该满足 f（x）＜0，即 cos （ 2x－ ）＜0，解得kπ＋ ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 令k＝0，可得 ＜x＜ ，可得x的最小正整数为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 13. 已知函数f（x）＝ cos （ 2x－ ），x∈R. （1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间； 解： f（x）的最小正周期T＝ ＝ ＝π. 当2kπ≤2x－ ≤2kπ＋π，即kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z时，f（x）单 调递减， ∴f（x）的单调递减区间是［kπ＋ ，kπ＋ ］，k∈Z. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）求函数f（x）在区间［－ ， ］上的最小值和最大值，并求出取得 最值时x的值； 解： ∵x∈［－ ， ］，则2x－ ∈［－ ， ］，故 cos （ 2x－ ）∈［－ ，1］， ∴f（x）max＝ ，此时2x－ ＝0，即x＝ ， f（x）min＝－1，此时2x－ ＝ ，即x＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （3）求不等式－1≤f（x）≤1的解集. 解： －1≤ cos （ 2x－ ）≤1，即－ ≤ cos （ 2x－ ）≤ ， ∴2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ－ 或2kπ＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z， 即kπ－ ≤x≤kπ或kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z， ∴不等式的解集为［－ ＋kπ，kπ］∪［ ＋kπ，kπ＋ ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 14. 重庆朝天门长江大桥是世界第一大拱桥，其主体造型为：拱桥部分 （开口向下的抛物线）与主桁（图中粗线）部分（可视为余弦函数一个周 期的图象）相结合.已知桥拱部分跨度长552 m，两端引桥各长190 m，主 桁最高处距离桥面89.5 m，则下列函数中，将其图象上每一点的横、纵坐 标等倍扩大后所得到的图象，与朝天门长江大桥主桁形状最接近的是（　） A. y＝0.45 cos x B. y＝4.5 cos x C. y＝0.9 cos x D. y＝9 cos x √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解析： 　由题意，建立平面 直角坐标系，如图所示： 则f（x）＝A cos ωx，其中A ＝ ≈45，T＝552＋190＋ 190＝932≈900，若按100∶1的比例缩小，则A'＝0.45，T'＝9，ω＝ ≈ ＝ ，所以函数y＝0.45 cos x.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 15. 已知函数f（x）＝2 cos ωx（ω＞0），且函数y＝f（x）的图象的相 邻两条对称轴间的距离为 . （1）求f 的值； 解： 由题意可知 ＝π，故ω＝2，则f（x）＝2 cos 2x，故f ＝2 cos ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 （2）将函数y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度后，再将得到的函数 图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数y＝g （x）的图象，求y＝g（x）的单调递减区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 解： 将y＝f（x）的图象向右平移 个单位长度后，得到y＝ f 的图象，再将得到的函数图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍 （纵坐标不变），得到y＝f 的图象，故g（x）＝f（ － ）＝2 cos ＝2 cos . 当2kπ≤ － ≤2kπ＋π（k∈Z），即4kπ＋ ≤x≤4kπ＋ （k∈Z） 时，y＝g（x）单调递减，故y＝g（x）的单调递减区间为［4kπ＋ ， 4kπ＋ ］（k∈Z）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第三册（B 版） 目 录 $