精品解析：辽宁省辽宁沈阳第七中学2025-2026学年度下学期九年级阶段作业调研 数学试卷

2025—2026学年度下学期九年级阶段作业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相同，则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图是甲、乙两位学生五次数学作业成绩统计图，甲、乙两位同学成绩的方差记作、，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为、，可得到方程为（ ） A. B. C. D. 9. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 10. 因式分解：2a2﹣8=_____． 11. 一元二次方程的根为______． 12. 如图，某商场有一段自动扶梯，其坡度为，高米，则自动扶梯的长为______米． 13. 如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 14. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 16. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 17. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 18. 如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． （1）求图2中点的坐标； （2）求图1中线段的长． 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 20. 等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 21. 如图1，将矩形（）沿对角线折叠，点落在处，交边于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，设． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，连接，当四边形为菱形时，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点为菱形边的中点，点为其对边上一动点，将四边形沿线段折叠得到四边形，点，的对应点分别为点，． ①当时，则为______； ②当时，四边形的面积与菱形面积之比为______． 22. 已知二次函数，因为，所以我们把一次函数和叫做它的两个分解函数，例如：的两个分解函数是和，若抛物线关于直线对称，它的一个分解函数经过点． （1）求，的值； （2）二次函数为，它的两个分解函数分别为和，这三个函数组成一个新函数记作． ①当时，，求的值； ②将射线绕原点旋转，当旋转后的射线与直线所夹锐角为时，请直接写出旋转后的射线与新函数的图象的交点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期九年级阶段作业调研 数学试卷 （满分：120分 时间：120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题：（本题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如图是电视台播放的天气情况，下列数中，既不是正数，也不是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正负数的定义，根据既不是正数，也不是负数即可求解，正确理解正负数的定义是解题的关键． 【详解】解：选项中的数，既不是正数，也不是负数的是， 故选：． 2. 某阅览室的椅子如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了三视图，根据从左边看到的图形是左视图进行解答即可. 【详解】解：的左视图是 ， 故选：D 3. “中国天眼”是世界上最大的单口径球面射电望远镜，它发现的一个脉冲星是至今世界上发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星．其自转周期为0.00519秒．将0.00519用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面0的个数所决定． 【详解】解：． 故选：C． 4. 下列图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意． 5. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每位同学可从中随机抽取一个作为纪念品．若抽到每一款的可能性相同，则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用列表法确定所有等可能结果数和符合题意的结果数，然后用概率公式计算即可． 【详解】解：设 “智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别用A、B、C表示： 根据题意列表如下： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 则共有9种等可能结果，其中甲、乙两位同学抽到同款文创产品的结果数为3， 则甲、乙两位同学抽到同款文创产品的概率是． 6. 如图，在中，过点分别作，的垂线段，垂足为，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质求得，据此计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7. 如图是甲、乙两位学生五次数学作业成绩统计图，甲、乙两位同学成绩的方差记作、，则（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了折线图，方差的运用，理解折线图的含义是关键． 根据折线图的波动情况分析即可． 【详解】解：根据图示，乙的成绩波动更大， ， 故选：B． 8. 一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质、脂肪的含量分别为、，可得到方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，等量关系式：碳水化合物的含量蛋白质的含量脂肪的含量，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故选：B． 9. 在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A. 24 B. 27 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，代入求值的计算方法是解题的关键． 先求出关于的函数解析式，再分别求出，时的函数值，然后根据反比例函数的性质求出的取值范围，即可判断． 【详解】解：由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题：（本题共5小题，每题3分，共15分） 10. 因式分解：2a2﹣8=_____． 【答案】2（a+2）（a－2）． 【解析】 【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可． 【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）． 故答案为2（a+2）（a－2）． 考点：因式分解． 【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键． 11. 一元二次方程的根为______． 【答案】， 【解析】 【分析】先将方程整理为一般形式，再利用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：移项得， 提取公因式得， 即或， 解得，． 12. 如图，某商场有一段自动扶梯，其坡度为，高米，则自动扶梯的长为______米． 【答案】 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，再根据勾股定理求出． 【详解】解：自动扶梯的坡度为， ，即， 解得，， 由勾股定理得，（米）． 13. 如图，中，，将绕点顺时针旋转角得到，点和点是对应顶点，设，当时，与之间的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质求得，由旋转的性质得到，，再根据等边对等角和三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， 由三角形内角和定理得， ∴， ∴． 14. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上，点坐标．连接，以点为圆心作弧分别交边于点，交线段于点，再分别以点，为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作射线，将正方形沿着射线方向平移得到正方形．当点的对应点落在射线上时，点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形性质得出点 C和点 A 的坐标，进而确定直线 的解析式；根据作图痕迹判断为 的角平分线；根据平移性质得出四边形是平行四边形，进而判断出，根据平移得出直线的解析式，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵ 四边形 是正方形，点 B 坐标为  ， ∴，， 设直线 的解析式为， 将，代入，得：， 解得， ∴， 由平移得，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由作图知为 的角平分线， ∴， ∴， ∴， 由题意知，直线向下平移4个单位长度得到， ∴直线的解析式为， 设， 则， 解得， ∴点的坐标为． 三、解答题：（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 15. 计算 （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算负整数指数幂、零次幂、绝对值以及特殊角的三角函数值，进一步计算即可求解； （2）根据分式的加减混合运算法则计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． （1）求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； （2）若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】（1）无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 （2）无人机的速度至少提高到48千米/时 【解析】 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【小问1详解】 解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． 【小问2详解】 解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 17. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 18. 如图1，中，点是边的中点，点从的顶点出发，沿的路线以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点，在运动过程中，线段的长度随时间（秒）变化的关系图象如图2所示，点是曲线部分的最低点． （1）求图2中点的坐标； （2）求图1中线段的长． 【答案】（1）点的坐标为； （2）． 【解析】 【分析】（1）先根据图象得出，，再根据勾股定理列方程求解； （2）求得，得到是等边三角形，，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由题意和函数的图象得：， 过D作于点H，则， 设，则， 由勾股定理得， 即， 解得：， ∴， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是等边三角形，∴， ∴， ∴． 19. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．（结果精确到，参考数据：，，，） （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面l的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险？请说明理由． 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点， 在中， ，， ， ， 平行线间的距离处处相等， ， 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 如图，过作，垂足为点， ，， ， ， ， 在中，， ． 平行线间的距离处处相等， 到地面的距离为． ， 没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 20. 等腰中，，点为边中点，如图1，以为圆心作圆与相切于点． （1）求证：是的切线； （2）如图2，点为上一点，，连接并延长交于点．若半径为3，求弧的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）作于点，连接，，证明，求得，据此即可证明是的切线； （2）连接，利用切线的性质结合圆周角定理求得，再利用弧长公式求解即可． 【小问1详解】 证明：作于点，连接，， ∵，点为边中点， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接，， ∵是的切线，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵半径为3， ∴弧的长度． 21. 如图1，将矩形（）沿对角线折叠，点落在处，交边于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，设． （1）求证：； （2）如图2，延长交于点，连接，当四边形为菱形时，求的值； （3）如图3，在（2）的条件下，点为菱形边的中点，点为其对边上一动点，将四边形沿线段折叠得到四边形，点，的对应点分别为点，． ①当时，则为______； ②当时，四边形的面积与菱形面积之比为______． 【答案】（1）证明过程见解析； （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质，结合折叠的性质，可得，，证明，即可证得结论； （2）与的交点记为点，由菱形的性质，结合折叠的性质可得点与点重合，可得，即可得的值； （3）由折叠的性质，结合矩形的性质可得，证明，可得，设，由勾股定理可得，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，连接，四边形为矩形，由矩形的性质，结合勾股定理可得，即可得；设，则，，由角所对的直角边与斜边的关系，结合勾股定理，可得，，连接，四边形为矩形，连接，交直线于点，连接，交直线于点，由折叠可知，四边形与四边形关于直线对称，由锐角三角函数，结合勾股定理，可得，，，即可得四边形的面积与菱形面积之比． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠可得，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：与的交点记为点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， 由折叠可得，， ∴点与点重合， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由折叠可得，， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵点为菱形边的中点， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴， ∴ ∴， 连接， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴点在边上，， ∴， ∴， ∴， ∴； 点为菱形边的中点， 设，则，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 连接，由知，四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 连接，交直线于点，连接，交直线于点， 由折叠可知，四边形与四边形关于直线对称， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形的面积， 菱形面积为， ∴四边形的面积与菱形面积之比为． 22. 已知二次函数，因为，所以我们把一次函数和叫做它的两个分解函数，例如：的两个分解函数是和，若抛物线关于直线对称，它的一个分解函数经过点． （1）求，的值； （2）二次函数为，它的两个分解函数分别为和，这三个函数组成一个新函数记作． ①当时，，求的值； ②将射线绕原点旋转，当旋转后的射线与直线所夹锐角为时，请直接写出旋转后的射线与新函数的图象的交点坐标． 【答案】（1），； （2）①；②，，． 【解析】 【分析】（1）由题意将点代入，得，由对称轴可得联立求解即可； （2）①先确定，画出图象，结合图象分当时，当时，当时，三种情况讨论最大值，即可求解；②射线绕原点旋转后有两种情况，分别是射线和射线，设两射线分别交直线于点和，作轴于点C，轴于点D，设直线与y轴交于点E，证明，设，得出，，，，利用列式求出m，求出和坐标，求出直线解析式，联立，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得抛物线的分解函数为和， 将点代入，得， ∵抛物线关于直线对称， ∴， ∴，解得； 【小问2详解】 解：①由（1）得， ∴，，， ∴，其图象如图， 当时，时，取得最大值， ∴，解得（舍）； 当时，时，取得最大值， ∴，解得； 当时，时，取得最大值， ∴，解得（舍）； 综上，； ②如图，射线绕原点旋转后有两种情况，分别是射线和射线，设两射线分别交直线于点和， 作轴于点C，轴于点D，设直线与y轴交于点E， 由题意可得， ∴是等腰直角三角形，，， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 当时，， ∴， 设， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， ∴，， ∴，， 设直线解析式为，代入， 得，得， ∴设直线解析式为， 联立， 解得，， ∴射线与新函数的图象的交点坐标为，； 射线与新函数的图象的交点坐标为， 综上，与新函数的图象的交点坐标为，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $