精品解析：辽宁省朝阳市第七中学2025-2026学年度第二学期九年级数学学科三月份限时作业

2025-2026学年度第二学期九年级数学学科三月份限时作业 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 2. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待公众超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（ ） A B. C. D. 5. 下列计算正确是（　　） A. B. C. D. 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）． A. B. C. D. 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：__________． 12. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 13. 某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，设增长率为，则根据题意可列方程为___________． 14. 如图，四边形是菱形，，平分，过点D作，，则对角线的长是_______． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高人数一共有多少人． 19. 四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径 20. 某商店购进一批单价为40元的旅游纪念品，如果销售单价定为44元，那么每天可销售300件．经调查发现，这种旅游纪念品的销售单价每提高1元，其每天销售量相应减少10件．现商店决定提价销售，设每天销售量为y件，销售单价为x元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）将销售单价定为多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． （1）求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； （2）若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 22. 在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， （1）如图1，当的面积为3时，求的值； （2）在（1）的条件下，求的面积； （3）当时，求的度数； （4）如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 23. 定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 （1）点在的图象上，“域差值”，求m的值； （2）已知函数，求证该函数的“域差值”； （3）点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级数学学科三月份限时作业 （本试卷共23道题 试卷满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解． 【详解】解：∵主视图是直角三角形， 故A，C，D选项不合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键． 2. 下列各曲线是根据不同的函数绘制而成的，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图中心对称图形，故本选项符合题意； D、该图不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：C． 3. 十年砥砺，春华秋实．据2025年5月6日《辽宁日报》报道，辽宁省科学技术馆作为我省重要的科普宣传阵地和科学文化交流平台，自2015年开馆以来，累计接待公众超1900万人次．数据19000000用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 如图，在中，是斜边上的中线，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题关键．首先根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进而可得，再根据三角形外角的定义和性质可得，然后结合，由求解即可． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查幂的运算，合并同类项，解决本题的关键是要熟练掌握幂的运算法则．根据同底数幂相乘、合并同类项、积的乘方、幂的乘方运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、根据同底数幂相乘．底数不变指数相加可得：，原计算错误，该选项不符合题意； B、根据合并同类项，系数相加，字母及指数不变可得：，原计算错误，该选项不符合题意； C、根据积的乘方，因数分别乘方再相乘可得：，原计算错误，该选项不符合题意； D、根据幂的乘方，底数不变，指数相乘可得：，正确，该选项符合题意； 故选：D． 6. 不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：画树状图得： ∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为， 故选：A． 【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键． 7. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数解析式，得， ∴电流． 8. 我国古代数学著作《孙子算经》中有“雉兔同笼”问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”其大意是：鸡兔同笼，共有35个头，94条腿，问鸡兔各多少只？设鸡有只，兔有只，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找出等量关系是解题关键．设鸡有只，兔有只，根据“鸡兔同笼，共有35个头，94条腿”列二元一次方程组即可． 【详解】解：设鸡有只，兔有只， 由题意得：， 故选：D． 9. 函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 10. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式．熟悉公因式的结构特征是解题的关键． 利用提公因式将提取出来，分解因式即可． 【详解】解：． 12. 若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是___． 【答案】0或1##1或0 【解析】 【详解】分类讨论： ①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点； ②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数， 根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1． ∴当m=0或m=1时，函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点． 故答案为：0或1 13. 某公司5月份的营业额为100万，7月份的营业额为121万，已知6、7月的增长率相同，设增长率为，则根据题意可列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x， 根据题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 14. 如图，四边形是菱形，，平分，过点D作，，则对角线的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点O，先根据菱形的性质得到以及角平分线的定义推导出，，，，然后利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可求解． 【详解】解：连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案：． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键． 15. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点在抛物线上，点在轴左侧的抛物线上，且，则点的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关性质，作出合适的辅助线是解题的关键．延长交轴于点，过点作轴，利用，证得为等腰三角形，求得点坐标，求出直线解析式，然后联立抛物线解析式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点，过点作轴，如图所示， 点在抛物线上，代入， 解得， 点， ，令，即， 解得， ， ， ， ， ， ， 点, 设直线解析式为，将点，点，代入解析式求得 直线解析式为， 联立直线和抛物线解析式得， 解得，， 其中即为点的坐标， 点D坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式运算、零指数幂运算、分式化简运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先进行二次根式化简、零指数幂和乘方运算以及化简绝对值，再合并同类项计算即可； （2）先利用平方差公式和提取公因式法化简式子，将除法转化为乘法，再计算分式加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套，且经费预算不超过5000元，则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； （2）学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元，根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍，列出分式方程，解方程即可； （2）设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套，根据经费预算不超过5000元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价是x元，则乙种点茶器具套装的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲种点茶器具套装的单价是148元，乙种点茶器具套装的单价是178元； 【小问2详解】 解：设学校购进乙种点茶器具套装m套，则购进甲种点茶器具套装套， 根据题意得：， 解得：， ∴整数m的最大值为18， 答：学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套． 18. 第九届亚冬会于2月14日在哈尔滨市闭幕．某校为了解七、八年级学生对本届亚东会的关注程度，从这两个年级各随机抽取n名学生进行了亚东会知识竞赛，竞赛成绩分六组（x表示得分），A：，B：，C：，D：，E：，F：．成绩整理后绘制了如下统计图表： 已知八年级竞赛成绩D组的全部数据如下：86，85，87，86，85，89，88． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）__________，__________； （2）求八年级竞赛成绩的中位数； （3）已知该校七、八年级各有500名学生，若竞赛成绩不低于90分认定对亚东会关注程度高，请估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有多少人． 【答案】（1）20，4 （2） （3）估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、用样本估计总体等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解答． （1）根据八年级D组人数及其所占百分比即可得出n的值，用n的值分别减去其它各组的频数即可得出a的值； （2）根据中位数的定义解答即可； （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：八年级测试成绩D组：的频数为7，由扇形统计图知D组占， ∴进行冬奥会知识测试学生数为（人）， ∴， 解得， 故答案为：20，4； 【小问2详解】 解：A、B、C三组的频率之和为， A、B、C、D四组的频率之和为， ∴中位数在D组，将D组数据从小到大排序为85，85，86，86，87，88，89， ，第10与第11两个数据为86，87， ∴中位数为； 【小问3详解】 解：八年级E：，F：三组占， 共有人 七年级E：，F：两组人数为人， 两年级共有人 占样本 ∴（人）， 估计该校这两个年级学生对亚运会关注程度高的人数一共有275人． 19. 四边形 内接于，为直径， E 在 的延长线上，且与相切．平分． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的半径 【答案】（1） 解：，理由如下：如下图，连接，， ∵四边形 内接于， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点B在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线段， ∴； （2）5． 【解析】 【分析】（1）连接，，先证，得点B在线段的垂直平分线上，再证点O在线段的垂直平分线上，从而有垂直平分线段，即可得解； （2）连接，，先证，得，，从而求得，，，再利用勾股定理求得，，从而即可得解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解∶ 连接，， ∵与相切， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴的半径为． 【点睛】本题主要考查了切线的性质、线段垂直平分线的判定、圆周角定理、直角三角形的判定、勾股定理以及相似三角形的判定以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的判定以及相似三角形的判定及性质是解题的关键． 20. 某商店购进一批单价为40元的旅游纪念品，如果销售单价定为44元，那么每天可销售300件．经调查发现，这种旅游纪念品的销售单价每提高1元，其每天销售量相应减少10件．现商店决定提价销售，设每天销售量为y件，销售单价为x元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）将销售单价定为多少元时，商店每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售单价定为57元时，每天获得的利润最大，最大利润是2890元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10个可列出y与x之间的函数关系式； （2）根据销售利润销售量（售价进价），列出每天的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴y关于x的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设商店每天获得的利润为w元， ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w有最大值，最大值为2890， 答：将销售单价定为57元时，商店每天销售获得的利润最大，最大利润2890元． 21. 如图，某轮船以的速度由东向西航行至处，测得灯塔在它的北偏西方向上，继续航行后到达处，测得灯塔在它的西北方向上． （1）求轮船在处时与灯塔的距离(精确到)； （2）若灯塔周围内有暗礁，且轮船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ (参考数据，，，，，，) 【答案】（1）约； （2）有触礁的危险． 【解析】 【分析】（1）先计算的长度，过作的延长线于，由“西北方向”得出是等腰直角三角形，设，在中解三角函数建立方程求出，再利用等腰直角三角形的边长关系求出． （2）比较与的大小关系，若，则轮船继续航行有触礁危险，反之则没有． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意，，，． 在中，，， ∴，设，则， ∴． 在中，，， ∴，解得． 在中，． 答：轮船在处时与灯塔的距离约为． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵， ∴轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 答：轮船不改变航线继续向西航行，有触礁的危险． 22. 在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， （1）如图1，当的面积为3时，求的值； （2）在（1）的条件下，求的面积； （3）当时，求的度数； （4）如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 【答案】（1） （2）8 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案； （2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案； （3）当时，分别求出，，长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案； （4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 【小问2详解】 解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ． 【小问3详解】 解：由题可得，当时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：过点作，交于， ∵， ，，由折叠的性质可得： ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 23. 定义：若函数图象上存在点，，且满足，则称t为该函数的“域差值”．例如：函数，当时，；当时，则函数的“域差值”为2 （1）点在的图象上，“域差值”，求m的值； （2）已知函数，求证该函数的“域差值”； （3）点为函数图象上的一点，将函数的图象记为W1，将函数的图象沿直线翻折后的图象记为当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时，求a的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 证明：设函数图象上存在点，且满足， 当时，， 当时，， ， ， ， ， 即， 故该函数的“域差值”； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到的值，再由，列方程解答，即可； （2）设函数图象上存在点，且满足，，可得，再利用不等式的性质即可得出，即； （3）当两部分组成的图象上所有的点满足“域差值”时，则，可得，对于函数的图象沿直线翻折后的图象即为：，利用对称性可得，即可解答． 【小问1详解】 解：∵点，在的图象上， ∵“域差值”， ， 即， 整理，得：， 解得：，， 经检验，，均是方程的解， ∴m的值为或； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵点为函数图象上的一点， ， 由（2）得：， 当两部分组成的图象上所有的点都满足“域差值”时， 则， 解得：， ∴如图，当时，函数的图象上所有的点都满足“域差值”． 对于函数的图象沿直线翻折后的图象记为， 可得：， ∴． 【点睛】本题是函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象和性质，反比例函数的图象和性质，数形结合思想，解题的关键是正确理解题意并运用新定义解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $