精品解析：辽宁沈阳市第七中学2025-2026学年九年级下学期阶段考试数学试题

假期作业调研 （满分100分，时长60分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义和中心对称图形的定义． 根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，则此项不符合题意； D、是轴对称图形，是中心对称图形，则此项符合题意； 故选：D． 2. 据媒体公布的信息，2025年春节假期，沈阳聚焦“冰雪十”融合发展，精心组织推出2025年“冬日雪暖阳，撒欢在沈阳，欢喜过大年”6大主题200多项新春文体旅活动，呈现“年味浓、供给足、场景火、流量大、口碑好”的繁荣景象．在大年初五，沈阳接待游客超218万人次，创单日接待游客历史新高．将数据“218万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定和的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．据此即可获得答案． 【详解】解：218万． 故选：D． 3. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由俯视图的定义可知，“斗”的俯视图，如图所示： 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A： ，∴ A错误； 选项B： ，∴ B正确； 选项C： ，∴ C错误； 选项D：，∴ D错误； 故选：B． 5. 在一个不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个蓝球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：把4个球中的白球记为1、2，红球记为3，蓝球记为4，画树状图得： ∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的只有4种情况， ∴两次都摸到白球的概率是． 【点睛】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 6. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据点平移后的对应点为，得出平移的方式，再根据平移的规律，即可得出答案． 【详解】解：∵点平移后的对应点为， ∴平移方式为向左平移个单位，向下平移4个单位， ∴点平移后的对应点的坐标是． 8. 某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，空白部分的面积相当于一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 9. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质和平分，容易证得，则．运用勾股定理求出，最后用直角三角形的性质求出． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∴， ∵为的中点， ∴． 10. 如图，已知直角，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线．分别交于点．依据以上作图，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先由①、②、③判定是角平分线，由④、⑤判定是的垂直平分线，连接，设与相交于点O，然后可证，则有，进而根据线段垂直平分线的性质可得，再根据勾股定理求出，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：连接，设与相交于点O，如图所示： 由题意得：是角平分线，是的垂直平分线，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴的面积为， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，先通过移项化简方程，再将分式方程转化为整式方程求解，最后进行检验是解题的关键． 【详解】解： 移项得： 即 两边同时乘以（）得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 检验：当时， 故是原分式方程的解． 12. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据k的几何意义，得，结合图象分布解答即可． 【详解】解：根据k的几何意义，得， ∴． ∵图象在第二、四象限，即， ∴故． 13. 如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】证明，推出，构建方程求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的对称性，可先根据二次函数的对称轴公式求出对称轴，再结合二次函数图象与x轴交点的对称特征计算另一个交点坐标． 【详解】对于二次函数，其中，， 根据二次函数对称轴公式， 可得对称轴为直线． 因为二次函数图象与轴的两个交点关于对称轴对称， 设另一个交点坐标为，则， 解得， 所以与轴另一个交点坐标为． 故答案为： 15. 如图，是边长为12的等边三角形，以为边在上方作，使得，，连接，交于点，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，先通过三角函数以及勾股定理求出的长，然后根据等边三角形三线合一及勾股定理求出，再证得，最后利用比例式计算即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点， ∴，为直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值已舍）， ∴， ∵是边长为12的等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， 即． 三．解答题（本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值、算术平方根、立方根、平方的法则进行运算即可； （2）先计算括号内的加法，再计算除法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作于点，延长交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）由，，可推出，根据，可得，即可证明； （2）连接，根据圆周角定理可得，，结合，可得，根据三角函数可求出，进而求出，最后根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【小问1详解】 证明：，， ， ， ， ， 为的切线； 【小问2详解】 解：连接， 是的直径， ，即，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 18. 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心．逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值．这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到．这个旋转相似变换记为（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为_____； （2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：． （3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为_____． 【答案】（1），； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据新定义的意义直接写出答案为即可； ②根据旋转相似变换，得到，再通过勾股定理解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到． （3）将经过得到，又将经过得到，得到的四边形恰好是正方形时，计算即可． 【小问1详解】 解：①解：根据新定义的意义，得答案为； ②解：根据旋转相似变换，得到，， 是边长为的等边三角形， ，， ． 【小问2详解】 证明：∵经过得到， ∴． ∴，； ∵经过得到， ∴． ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【小问3详解】 解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接， 则， 四边形恰好是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ． ． ∴将经过得到． ． ∵， ∴． ，， ∴． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，新定义问题，圆周角定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 假期作业调研 （满分100分，时长60分钟） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 据媒体公布的信息，2025年春节假期，沈阳聚焦“冰雪十”融合发展，精心组织推出2025年“冬日雪暖阳，撒欢在沈阳，欢喜过大年”6大主题200多项新春文体旅活动，呈现“年味浓、供给足、场景火、流量大、口碑好”的繁荣景象．在大年初五，沈阳接待游客超218万人次，创单日接待游客历史新高．将数据“218万”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 如图1，中国古代叫“斗”，是当时重要的粮食度量工具，如图2，是它的几何示意图，下列图形是“斗”的俯视图的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 在一个不透明的袋子中装有2个白球、1个红球和1个蓝球，它们除颜色外其余都相同，从袋子中随机地摸出一个球记下颜色放回，再随机地摸出一个球，则两次都摸到白球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点平移后的对应点为，则点平移后的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 某停车场为了解决新能源汽车充电难的问题，将长为，宽为的长方形停车场进行改造．如图，将长方形停车场的长和宽分别划分出相等的宽度，划分出的这部分区域（阴影部分）用于修建充电桩，若剩余停车场（空白部分）的面积为，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，平分交于点，连接，点为的中点，连接，若．则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，已知直角，①以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；③作射线交于点；④分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；⑤作直线．分别交于点．依据以上作图，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果，那么的值为_____． 12. 如图，已知点是反比例函数在第四象限内图象上的点，轴，垂足为点，若，则的值为_____． 13. 如图，点光源射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_____． 14. 若二次函数图象与轴有一个交点为，则与轴另一个交点坐标为_____． 15. 如图，是边长为12的等边三角形，以为边在上方作，使得，，连接，交于点，则的长为_____． 三．解答题（本题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）． （2） 17. 如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作于点，延长交于点，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 18. 在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心．逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为负值．这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． （1）填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到．这个旋转相似变换记为（_____，_____）； ②如图2，是边长为的等边三角形，，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为_____； （2）如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：． （3）如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $