安徽淮北市第十二中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试卷

淮北市第十二中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟 数学试卷答案 一、单选题： 1. 【分析】 本题主要考查集合的运算． 利用解指数不等式得集合，可得解． 【解答】 解：解不等式，如下图所示， 得，所以集合，因为画出数轴如下： 如数轴所示，， 故选． 2.【解析】解：设复数  ，，所以 ． 又因为复数  满足  ， 所以  ，整理可得  ，解得  ， 所以  ，所以 ． 故选D． 3. 解：的三个内角，，的对边分别为，，， 向量，，若， 则， 由正弦定理得． 即． 即． ，． ，即，，， ，． 故选：． 先利用向量垂直的条件，得到关于，，与，，的关系式，然后利用正弦定理，将原式化归为关于的方程，即可求出． 本题考查数量积的应用，正弦定理得应用等基础知识，同时考查学生运用方程思想解决问题的能力．属于中档题． 4. 解：因为， 所以向量在向量上的投影向量为， 所以． 故选：． 5. 解：抛物线对应，故焦点，准线方程为。 设，第一象限、， 则，。由得： 由、，代入得，即。 联立得： 代入抛物线方程得，结合得，， 故， 过作准线垂线，垂足的横坐标为准线方程，纵坐标与相同，即。直线的斜率为： 6. 【分析】 本题考查二面角的大小关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是拔高题． 推导出，，从而面，推导出，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出． 【解答】 解：如图所示： 面，面， ， 由，，，面， 面， 即是直角三角形， ， 在中，，，， ， ． ． 如图以为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，， 由题意得二面角的平面角为， ，， 设面的法向量为， 由 得， 面的法向量为， ． ， 设平面的法向量为， 即 可得， ，． 综上，． 故选A． 7. 【分析】 本题考查组合数公式的运用，解本题采用了正难则反的原则进行解题． 根据题意，选用排除法；分步，计算从人中，任取人参加环保知识竞赛，计算选出的全部为男生或女生的情况数目，由事件间的关系，计算可得答案． 【解答】 解：分步来计算， 从人中，任取人参加环保知识竞赛，分析可得，这是组合问题，共种情况； 选出的人都为男生时，有种情况，因女生只有人，故不会都是女生， 根据排除法，可得符合题意的选法共种． 故选D． 8. 解：由恒成立， 得恒成立， 对于对所有成立， 令，得。 当时，，递增，无最大值，不满足， 当时，令，得， 当时，，递增， 当时，，递减， 所以当时，取最大值， 因此， 对于对所有成立， 令，得， 当时，，递增，无最小值，不满足； 当时，令，得， 当时， ，递减， 当时，，递增， 所以当时，取最小值， 因此， 得， 整理得： 解得的取值范围是． 故选D． 二、多选题： 9. 对于选项，由正弦定理，，是的外接圆的半径， 代入条件得， 由余弦定理，， 又，故C，故A正确 对于选项，将代入，得， 由余弦定理，， 故A，，B错误 对于选项，若， 由基本不等式可得的面积， 当且仅当时取等号， 故面积的最大值为，C错误 对于选项，由，得， 由，得，又为锐角三角形， 所以， 所以， 所以，故，D正确． 故选： 10. 解：双曲线：的渐近线方程为，可得，所以B正确； ，所以A正确； 双曲线与双曲线有相同渐近线，所以C正确； 过双曲线实轴和虚轴端点的椭圆，满足，椭圆的离心率，所以不正确． 故选：． 利用渐近线方程，综合求解离心率，判断的正误；推出的关系，判断的正误；求解渐近线方程判断的正误；求解椭圆的离心率判断的正误． 本题考查椭圆与双曲线的位置关系的应用，是中档题． 11. 解：因为数列的前项和为， 所以当时，， 整理得， 所以， 当时，数列是常数列，因此，， 当时，，解得，满足上式， 当时，，解得，满足上式， 所以数列的通项公式为， 所以逐一分析各个选项如下： 对，，A正确； 对，，B错误； 对，当时，， 因此，C正确； 对，，， 则，即， 因此，D正确． 故选：． 根据给定的递推公式，利用，及构造法求出，进而判断；利用裂项相消法求和及放缩法推理判断． 本题考查数列通项公式的求解，裂项求和法的应用，化归转化思想的应用，属中档题． 三、填空题： 12. 【分析】 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题． 【解答】 解：由题意得，， 故答案为． 13. 【分析】 本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系、指对数运算、指数函数的性质，涉及分段函数函数图象的运用，属于中档题． 作出分段函数的图象，结合图形得到，进行对数运算求得， ，最后利用指数函数的单调性求出结果． 【解答】 解：如下图所示 若方程有三个不同的实根，，，则必有． 因为，所以，则，得， 所以，则． 因为，所以，所以，所以， 所以故所求取值范围为． 14. 【分析】 本题考查排列、组合以及两个计数原理的应用，属于中档题． 根据题意可得三年修完五门课程，则每位同学每年所修课程数为，，或，，或，，，结合先分组再分配的原则即可求解． 【解答】 解：由题意可知三年修完门课程，则每位同学每年所修课程数为，，或，，或，，， 若是，，，则先将门学科分成两组共 种不同方式， 再分配到三个学年共有 种不同分配方式， 由乘法原理可得共有   种 若是，，，则先将，门学科分成三组共  种不同方式， 再分配到三个学年共有 种不同分配方式， 由乘法原理可得共有 种 若是，，，则先将门学科分成三组共 种不同方式， 再分配到三个学年共有 种不同分配方式， 由乘法原理可得共有 种． 所以每位同学的不同选修方式有种． 故答案为．  四、解答题： 15. 解：Ⅰ当日需求量时，利润； 当日需求量时，利润； 利润关于当天需求量的函数解析式 Ⅱ由Ⅰ得，，，， 这天的日利润的平均数为： ， 当天的利润不少于元，当且仅当日需求量不少于个， 故当天的利润不少于元的概率为．   16. 解：将代入，解得； 将代入，解得， 所以点的坐标为， 将，代入， 可得，解得， 所以函数的解析式为； 存在点，使得， 分两种情况： 若点在上方，设交轴于点，则， 则， 设直线的方程为，代入，可得， 联立方程组，解得，或， 所以； 若点在下方，设交轴于点，则， 所以， 设直线的方程为，代入点，可得， 联立方程组，解得，或， 所以． 综上所述，点的坐标为或． 故抛物线上存在点或，使得  17. 解：圆锥的底面半径，高， 母线长， 则圆锥的侧面积， 体积； 连接，为底面直径所对弧的中点， ， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， ． 异面直线与所成角的大小为．  18. 解：函数的定义域为， ，令． 当，即时，， 则对任意的恒成立， 此时函数在上单调递增 当时，即，故对任意的恒成立， 此时函数在上单调递增 当时，有两个正根， 分别为，， 当或时，， 当时，， 此时函数在，上单调递增，在上单调递减， 综上可得： 当时，函数的单调递增区间是，无递减区间 当时，函数的单调递增区间是，， 单调递减区间是 由可知，是关于的二次方程的两根， 由韦达定理可得，，，， ，， ， ， ， 令，则，设， ， 当时，，当时，． 所以，函数在单调递增，在单调递减， 因此的取值范围是．  19. 解：由题意可知对任意，，，均成立， ，， ，解得即． 且对，，，均成立， ，， 即，， ，，，， ，， 又，， 存在，使得对，，，均成立 当时，， 设，则，， 设， ， 单调递增， ， ， 设，， 且设，则， ，， ，在上恒成立，即单调递减，又， ， 对均成立， 数列，单调递减， 的最大值为，的最小值为， 的取值范围是  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮北市第十二中学2025-2026学年高三下学期第一次模拟数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设集合，则下列集合运算正确的是(    ) A. B. C. D. 2.已知复数满足，则(    ) A. B. C. D. 3.已知的三个内角，，的对边分别为，，向量，，若，则(    ) A. B. C. D. 4.已知向量为单位向量，向量在上的投影向量为，则(    ) A. B. C. D. 5.过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点点在第一象限，且，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，则直线的斜率为 A. B. C. D. 6.如图，矩形中，，将沿对角线翻折至，使顶点在平面的投影恰好落在边上，连结设二面角，，大小分别为，则(    ) A. 　　　 B. 　　　 C. D. 7.从名同学其中男女中选出名参加环保知识竞赛，若这人中必须既有男生又有女生，则不同选法的种数为(    ) A. B. C. D. 8.若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.在中，角，，的对边分别为，，，且，则(    ) A. B. 当时， C. 当时，面积的最大值为 D. 当为锐角三角形时，的取值范围是 10.若双曲线：的渐近线方程为，则下列结论正确的有(    ) A. 双曲线的离心率为 B. 双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C. 双曲线与双曲线有相同渐近线 D. 过双曲线实轴和虚轴端点的椭圆的离心率为 11.已知数列的前项和为，则(    ) A. B. C. D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 12.设复数满足，则           ． 13.已知函数若关于的方程有三个不同的实根，，，且，则的取值范围是________． 14.某双一流大学为提高数学学院学生的数学素养，特开设了“模糊数学”、“复变函数”、“微分几何”、“数值分析”、“拓扑学”五门选修课程，要求学院每位同学每学年至多选门，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有          种 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为元，当天以每个元售出，若当天白天售不出，则当晚后以元个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完．    Ⅰ若蛋糕店每天做个生日蛋糕，写出当天的利润单位：元关于当天蛋糕需求量  单位：个，的分段函数关系式；    Ⅱ蛋糕店记录了天生日蛋糕的日需求量单位：个整理得下表： 日需求量                 频数   天                 日利润  假设蛋糕店在这天内每天制作个生日蛋糕，求，，，及这天的日利润单位：元的平均数；  若蛋糕店一天制作个生日蛋糕，以天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于元的概率． 16. 本小题分 如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点． 求的值； 求函数的解析式； 抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 17.本小题分 如图，圆锥的底面半径，高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点． 求圆锥的侧面积和体积； 求异面直线与所成角的大小．结果用反三角函数表示 18.本小题分  已知函数，． 讨论的单调性； 若有两个极值点，求的取值范围． 19.本小题分 设是首项为，公差为的等差数列，是首项为，公比为的等比数列． 设，，，若对，，，均成立，求的取值范围； 若，，，证明：存在，使得对，，，均成立，并求的取值范围用，，表示． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $