精品解析：湖北武汉市东西湖区2025-2026学年九年级下学期3月阶段学情自测数学试题

数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “射击运动员射击一次，成绩为10环”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 3. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. “悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（ ） A. B. C. D. 7. 将写有质数2，3，5的三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，点D为边上一点，的垂直平分线交于点F，交于点E，和的延长线交于点G，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 随着人民生活水平的日益提高，我国居民超重和肥胖问题愈发严重．国家卫健委联合多部门于2024年启动为期三年的“体重管理年”活动，为响应活动倡议，小宇对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________kg． 12. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 13. 如果，那么的值为_____． 14. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 15. 已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 16. 已知二次函数（m为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点 ②若，则当时，y随x的增大而增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点 ④若，则关于x的方程有一个根大于且小于0； ⑤若，则关于x的不等式的解集是． 其中正确的是________（填写序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，与交于点O．求证：． 19. 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题： （1）抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？ 20. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点A、的分别交边、于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条． （1）在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； （2）在图①中，在上画一点E，使得； （3）在图②中，先画点B关于的对称点F； （4）在图②中，在上画点G，使得． 22. “武汉的六月火辣辣，街上的孩子们汗直流，吃冰激凌喝红茶，不如来把水枪打！”在听到这句顺口溜以后，某同学借此情境结合二次函数知识编制了一道题：小明和小亮打水仗，两人相距7米远，身高都是米．以水平线为x轴，小明的站立线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，点是小明水枪的喷水口，他的水枪喷出的水柱为抛物线． （1）请通过计算说明小明能否喷到小亮； （2）小亮反击时，为了喷到小明，他抬高手臂，使得水枪的喷水口坐标为，小亮水枪喷出的水柱为抛物线． ①如果过点，请通过计算说明小亮能否喷到小明； ②如果小亮能喷到小明，请直接写出b的取值范围为________． 23. 如图，在中，，D是上一点，，连接． （1）基础问题：如图①，求证：（温馨提示：用“两边夹角法”证明）． （2）问题探究：如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； （3）问题拓展：如图③，作交的延长线于点F，若，，且点D为的中点，请直接写出的值是________． 24. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号抹黑． 1. 围棋是中华民族发明的博弈活动．下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2. “射击运动员射击一次，成绩为10环”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 确定事件 C. 随机事件 D. 不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件、不可能事件及必然事件的概念逐项判断即可，熟练掌握随机事件、不可能事件及必然事件的概念是解此题的关键． 【详解】解：“射击运动员射击一次，成绩为10环”这一事件是随机事件， 故选：C． 3. 如图是一个由大小相同的5个小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图.找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中. 【详解】解：从正面看易得第一层有3个正方形，第二层中间有1个正方形. 故选：A. 4. “悟空”号全海深AUV是中国哈尔滨工程大学自主研发的无人无缆潜水器．具备在11000米深海自主作业的能力．数据11000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数的绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的运算性质，计算判断即可． 本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除法、幂的乘方以及积的乘方。需逐一验证各选项是否符合相关运算法则． 【详解】A. ，但选项A结果为，错误． B. ，但选项B结果为，错误． C. ，符合积的乘方法则，正确． D. ，但选项D结果为，错误． 故选：C． 6. 学校生物兴趣小组观察记录了校园共享果园里橘树苗的生长，将橘树苗的高度与观察时间x（天）的关系记录如下图所示，那么橘树苗在第50天的高度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出y关于x的解析式，再代入求出y即可． 【详解】设解析式为 ， 将和代入，得， 解得， 因此一次函数解析式为， 将代入解析式，得 ， 所以橘树苗在第50天的高度是． 7. 将写有质数2，3，5的三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用列举法列出所有可能的三位数，根据5的倍数的特征找出符合条件的结果，再利用概率公式计算概率即可． 【详解】∵将2，3，5三张卡片任意摆成一个三位数， ∴所有可能的三位数为，共6种等可能结果， ∵5的倍数的个位数字必须是5， ∴符合条件的结果为，共2种， ∴摆出的三位数是5的倍数的概率为． 8. 如图，在中，，，点D为边上一点，的垂直平分线交于点F，交于点E，和的延长线交于点G，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用等腰三角形的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，再利用线段的垂直平分线的性质求出，求出，最后利用三角形外角性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，半圆O的直径，弦，平分，则的长为（ ） A. 9 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，作于E，于F，利用，证明，证明，得出，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】连接，作于E，于F， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴． 10. 如图1，在中，点沿方向从点移动到点，设点移动路程为，线段的长为，图2是点运动时随变化的关系图象，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4.8 D. 4.4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，掌握平行四边形的性质，根据点运动规律，结合函数图象解题是解题关键．根据平行四边形的性质，再结合运动时随的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图1，过点作于，连接， 根据图2知：当点与点重合时，， 当与重合时，， ， ， 当点到达点时，， ， ． 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 随着人民生活水平的日益提高，我国居民超重和肥胖问题愈发严重．国家卫健委联合多部门于2024年启动为期三年的“体重管理年”活动，为响应活动倡议，小宇对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________kg． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知的正方向规定，推导相反意义的量的表示方法. 【详解】解：由题意可知，体重增加记为正，因此体重减少应记为负， 所以体重减少应记作. 12. 关于x的反比例函数的图象位于第二、四象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数图象经过第二、四象限，所以，求出m范围即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 得：． 故答案为：． 13. 如果，那么的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的求解，先通过移项化简方程，再将分式方程转化为整式方程求解，最后进行检验是解题的关键． 【详解】解： 移项得： 即 两边同时乘以（）得： 去括号得： 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 检验：当时， 故是原分式方程的解． 14. “二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知，，是上一点，，在处测得点的俯角为，，，那么___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题及勾股定理，根据题意可得，解直角三角形求出，进而得到，再利用勾股定理求出，由即可求解． 【详解】解：根据题意可得， 在中，， ， ， 在中，，则， ， ． 故答案为：． 15. 已知中，，，，点D为边上一动点，点E是点B关于的对称点，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点E是点B关于的对称点，得出点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分，过点作于点，得出，可知当最大时，的值最小，可知当与相切时最大，此时点为切点，再进行计算即可． 【详解】解：∵点E是点B关于的对称点， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆上部分， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当最大时，的值最小， 由圆心到直线的距离，且与有交点（E是上的点），可知当与相切时，最大， 此时为切点，如图， 则， ∴， ∴， 即的值最小为． 16. 已知二次函数（m为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点 ②若，则当时，y随x的增大而增大； ③该函数与x轴有两个不同的公共点 ④若，则关于x的方程有一个根大于且小于0； ⑤若，则关于x的不等式的解集是． 其中正确的是________（填写序号）． 【答案】 ①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，逐一验证每个结论的正误即可． 【详解】解：对于①，当时，， 该函数图象经过点，故①正确； 对于②，当时，二次函数解析式为， 开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，故②错误； 对于③，一元二次方程的判别式， 当时，，函数图象与轴有两个不同的公共点，当时，，函数图象与轴只有一个公共点，故③错误； 对于④，解方程， 得，， ， ， 方程有一个根大于且小于，故④正确； 对于⑤，令，则，原不等式化为， 抛物线开口向下，方程的两根为，，且， 不等式的解集为 ， 又 ，  不等式的解集为 ，即， 解得，故⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解两个不等式，即可求解． 【详解】解：解不等式①得 ， 解不等式② 得， ∴不等式组的解为 ． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，与交于点O．求证：． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】证明，即可求证． 【详解】略 19. 学校八年级开展了一次交通知识竞赛，成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．现抽取部分学生的竞赛成绩整理并绘制成如下不完整统计图，请根据提供的信息解答下列问题： （1）抽取了______名学生的竞赛成绩，这些成绩的中位数为______分，众数是______分，扇形图中D级对应扇形的圆心角为______； （2）补全条形统计图； （3）该校八年级共有1000人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有多少人？ 【答案】（1）40，9，9，36 （2） 补全条形图如下： （3）估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，求中位数、众数和圆心角的度数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据A组人数除以A组所占的百分比即可求出抽取的学生总人数，根据中位数、众数的定义即可求出中位数，众数；求出D级人数所占的百分比，再利用乘以这个百分比，即可求出D级对应扇形的圆心角的度数； （2）用被调查总人数减去A、B、D三个等级的人数，得到C等级人数，即可补全条形图； （3）根据总人数乘以优秀学生所占的百分比即可求出本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生人数． 【小问1详解】 解：一共抽取了人， 则中位数为第20位和第21位的平均数， ∵第20位和第21位的成绩都为9分， ∴中位数为分； C等级人数为：（人）， ∵40个数据中，9分出现的次数最多， ∴众数为9； ∵D级所占的百分比为：， ∴D级对应扇形的圆心角为：； 故答案为：40，9，9，36． 【小问2详解】 解：C等级人数为：（人） 【小问3详解】 解：（人）， ∴估计八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生有人． 20. 如图，在中，，平分交于点，为上一点，经过点A、的分别交边、于点、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：如图，连接，则， ， 是的平分线， ， ， ， ∴， 是的半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，则，利用等腰三角形的性质和角平分线证明，则，得到，又由是的半径，即可得到结论； （2）由求得，，则，由求出，根据即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了切线的判定、解直角三角形、扇形面积公式等知识，熟练掌握切线的判定、解直角三角形是解题的关键． 21. 如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点．仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条． （1）在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； （2）在图①中，在上画一点E，使得； （3）在图②中，先画点B关于的对称点F； （4）在图②中，在上画点G，使得． 【答案】（1） 如图， （2） 如图即为点E． （3） 如图即为点， （4） 如图点G即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用格点进行旋转即可； （2）主要是构造的中位线，取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E． （3）主要的思路是连接，通过格点三角形构造，再利用直角三角形斜边中线的性质可知构造即可，简化步骤为分别连接格点、和格点、，与的交点即为点． （4）主要思路是同（3）构造点C关于的对称点G，多补两行，同（3）的思想构造出，由此可知、、共线，则只需连接格点、，延长即可找到点，简化步骤为分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E． 由平行线分线段成比例可得，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分别连接格点、和格点、，与的交点即为点， 如下图，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设小方格边长为1，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由图可知、、共线，且， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，即点F是B关于的对称点； 【小问4详解】 解：如图，分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求． 如下图，连接，，， 由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， 设小方格边长为1，由图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由图可知点、、共线，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 22. “武汉的六月火辣辣，街上的孩子们汗直流，吃冰激凌喝红茶，不如来把水枪打！”在听到这句顺口溜以后，某同学借此情境结合二次函数知识编制了一道题：小明和小亮打水仗，两人相距7米远，身高都是米．以水平线为x轴，小明的站立线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，点是小明水枪的喷水口，他的水枪喷出的水柱为抛物线． （1）请通过计算说明小明能否喷到小亮； （2）小亮反击时，为了喷到小明，他抬高手臂，使得水枪的喷水口坐标为，小亮水枪喷出的水柱为抛物线． ①如果过点，请通过计算说明小亮能否喷到小明； ②如果小亮能喷到小明，请直接写出b的取值范围为________． 【答案】（1）能喷到小亮 （2）①不能喷到小明；② 【解析】 【分析】（1）将代入，求出，再求当时，，由，即可判断； （2）① 将和代入，求出，当时，得，即可判断； ②将代入，得，由时，会喷到小明，得，求解即可． 【小问1详解】 解：将代入， 得， 解得， 因此， 当时，， ∵，水柱高度在小亮身高范围内，  ∴小明能喷到小亮； 【小问2详解】 解：①将和代入， 得， 解得， 因此， 小明站立位置为，将代入得， ∴小亮不能喷到小明； ②将代入， 得， 化简得， ∵时，会喷到小明， ∴， 解得． 23. 如图，在中，，D是上一点，，连接． （1）基础问题：如图①，求证：（温馨提示：用“两边夹角法”证明）． （2）问题探究：如图②，若，，当点D移动到使时，求的长度； （3）问题拓展：如图③，作交的延长线于点F，若，，且点D为的中点，请直接写出的值是________． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由，得出，，可得，即可证明； （2）由（1）可知，结合，证明，再证明，得出，即可求解； （3）由，得，，再证明，得出，可证，设，利用，求出得，再求出，可得，则可得，作于点，求出，再由，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（1）知，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， 设， ∵，即， 解得（负值舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 作于点，则， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 24. 如图①，已知抛物线交x轴于A，B两点（点B在点A右边），交y轴于点C． （1）直接写出A，B，C三点的坐标； （2）如图②，若点F为对称轴右侧抛物线上的点、直线AF交直线BC于点E，若，求点F的坐标； （3）如图③，若点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上，连接，交于点P，，求点P的横坐标． 【答案】（1），，； （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）令，得，可求解，的坐标，令，可求出的坐标； （2）作交于点G，可得，得出，可求出，求出直线的解析式为，设，可得点的坐标为或，则可得出或，求出f即可； （3）作轴交于点S，轴交于点T，设，，求出直线的解析式为，直线的解析式为，联立，解得，再得出，，分别得出，，利用，化简求出，代入即可求解． 【小问1详解】 解：令，得， 解得，， ∴，， 令，得， ∴； 【小问2详解】 解：作交于点G， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得，解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴点的横坐标为或， 对应点的纵坐标分别为或， 则点的坐标为或， ∵， ∴或， 即或， 解得，，，， ∵F在抛物线的对称轴直线的右侧， ∴或， 当时，； 当时，； 所以点F的坐标为和； 【小问3详解】 解：作轴交于点S，轴交于点T， 设，， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得， 令，则， 则， 令，则， 则， ∴， ， ∵， ∴， 即， ∵点M，N分别在第二象限和第一象限的抛物线上， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故点P的横坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $