精品解析：广东揭阳市实验中学2025-2026学年九年级下学期第一阶段数学试题

2025-2026学年九年级下数学第一阶段练习卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查求一个数的相反数，数轴，根据数轴得到点P表示的数为，根据只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：点P表示的数为， ∴数轴上点P表示的数的相反数是， 故选：A． 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，据此逐一判断即可求解，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是关键． 【详解】解：、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不合题意； 故选：． 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示方式作答即可． 【详解】解：， 故选：B． 4. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图：从正面观察物体所得到的视图是主视图，熟练掌握主视图的定义是解题关键．根据主视图的定义解答即可得． 【详解】解：正六棱柱的主视图是， 故选：C． 5. 已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判断直线和圆的位置关系的方法：设的半径为，圆心到直线的距离为． ①直线和相交 ②直线和相切 ③直线和相离． 根据直线与圆的位置关系的判断的方法可求解． 【详解】解：和直线相交， ， 又圆心到直线的距离为， ， 故选：D． 6. 如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 7. 若一元二次方程的两根之和为，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，反比例函数的图象性质，掌握韦达定理和反比例函数性质是解题关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求两根之和，再根据的符号判断反比例函数图象的象限． 【详解】解：∵方程中，， ∴两根之和， ∴反比例函数为， ∵， ∴反比例函数图象在第二、四象限． 故选：． 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键．直接根据一次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象的下方， ∴关于的不等式的解集是． 在数轴上表示的解集，只有选项C符合， 故选：C． 9. 根据民间传统，腊月二十四被称为“扫尘日”，家家户户会进行大扫除．这一天小壮和爸爸妈妈一起进行了大扫除．如果一个人单独做完，小壮需，爸爸需，妈妈仅需．三人一起做后，爸爸去采购年货，剩下的打扫工作小壮和妈妈还需多少小时才能完成？设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，能够读懂题意是解题关键； 先通过题意写出小壮、爸爸、妈妈三人打扫卫生的效率，然后再根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可知：小壮打扫卫生的效率为，爸爸打扫卫生的效率为，妈妈打扫卫生的效率为， 设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成， ∴， 故选：D． 10. 如图，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可知点在上运动时，此时不断增大，而从向运动时，先变小后变大，从而可求出和的长度，由此得到答案． 【详解】解：根据图象可知点在上运动时，此时线段不断增大， 由图象可知：点从向运动时，的最大值为 5 ，即， 由于是曲线部分的最低点， ∴此时最小，即时，， ∴由勾股定理，得， 由于图2的曲线部分是轴对称图形，曲线右端点纵坐标为 5 ， ， ∴最小时（三线合一）， ∴， ∴的周长为． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂和立方根．先化简零指数幂，立方根，再运算减法，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法、换元法等）是解题关键．利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，对于二次函数（其中a、b、c是常数且）其对称轴为直线，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是y轴， ∴， ∴， 故答案为：3． 14. 如图，、、、均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据网格的特点证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得， 由网格的特点可知， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质．利用平行线的性质求得，，再利用证明，根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， 作的高，的高，的高， 由平行线间的距离处处相等， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：12． 三、解答题（每题7分共21分） 16. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）C；D （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：C；D； 【小问2详解】 解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 17. 河北省拥有众多的非物质文化遗产，诸如衡水内画、蔚县剪纸、玉田泥塑等等，是中华民族优秀传统文化的重要组成部分．甲、乙两名同学在某社交平台上进行了六次“河北省级非物质文化遗产知识测试”，部分成绩如图所示，已知甲、乙两名同学六次成绩的平均数相等． （1）求甲同学成绩的平均数，并通过计算补全乙同学成绩的折线统计图； （2）甲同学成绩的中位数和众数分别记作，，乙同学成绩的众数记作．若在数，，中随机抽取两个数字，通过画树状图或列表的方法求抽到的两个数字恰好相等的概率． 【答案】（1）甲同学的平均分为分， 补全乙同学成绩的折线统计图如图， （2）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图求概率、折线统计图、众数、中位数等知识，掌握列表法或树状图、概率公式是解题的关键． （1）由平均数的定义求出甲同学成绩的平均数，再求出乙同学的第次成绩，补全乙同学成绩的折线统计图即可； （2）列表得出共有种等可能的结果，抽到的两个数恰好相等的结果有种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵由图可知：甲同学的六次成绩分别是， ∴甲同学成绩的平均数为：， ∵甲、乙两名同学六次成绩的平均数相等， ∴乙同学第六次成绩为（分）， 【小问2详解】 解：∵甲同学的六次成绩分别是， 乙同学的六次成绩分别是， ∴，，，列表如下， 共有种等可能的结果，其中抽到的两个数恰好相等的结果有种， ∴抽到的两个数字恰好相等的概率为． 18. 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 【答案】（1），两点间的距离为米；（2）② 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，灵活应用知识点是解本题的关键； （1）如图，过作于，先求解，，再求解及即可； （2）由全等三角形的判定方法可得，可得，从而可得答案. 【详解】解：如图，过作于， ∵米，，，， ∴， ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴（米）； 即，两点间的距离为米； （2）∵，，当，，在同一条直线上时， ∴， ∴， ∴， ∴只需测量即可得到长度； ∴乙小组的方案用到了②； 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 定义：在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中．若：，则称点Q为点P的“等和点”． （1）如图1，已知点，求点P在直线上“等和点”的坐标； （2）如图2，的半径为1，圆心A坐标为．若点在上有且只有一个“等和点”，求m的值； 【答案】（1）点P在直线上“等和点”的坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据“等和点”的定义进行解答即可； （2）设点在上“等和点”的坐标为，由定义可知：，点P的“等和点”在直线上，根据点P在上有且只有一个“等和点”，得出直线与相切，即可求解； 【小问1详解】 解：设点P在直线上“等和点”的坐标为， 由题知：， 解得， ∴点P在直线上“等和点”的坐标为． 【小问2详解】 设点在上“等和点”的坐标为， 由题知：， ∴点P的“等和点”在直线上， ∵点P在上有且只有一个“等和点”， ∴直线与相切， 如图所示， ， 将分别代入， 得或 解得或． 20. 如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质可得，然后利用三线合一得出，证明，求出即可； （2）先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据垂径定理和勾股定理求出，然后计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设与交于点E， ∵，D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，垂径定理和勾股定理等知识点，灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键． 21. 折纸的思考． （1）【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． （2）【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 【答案】（1） 由折叠的性质得：是的垂直平分线， 是的垂直平分线， ，， ， 是等边三角形； （2） 如图⑤所示； 在矩形中把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到； 再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上， 得到； （3）；； 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质和线段垂直平分线的性质可得是等边三角形； （2）利用旋转把绕点逆时针方向旋转适当的角度，得到，再以点为位似中心，将放大，使点的对应点落在上得到； （3）利用等边三角形的性质和勾股定理分别计算出三种不同图形中的取值范围即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图所示， 是等边三角形， ， 过点作，则， ， ； 如下图所示， 是等边三角形， ， ， ， ， 解得：， ； 如下图所示，． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； 【小问3详解】 解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 23. 如图，点是边上的一点，，（），交于点． （1）求证：； （2）若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由； （3）已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：过点作， 则，， 又， ， ， ． （2）可以， （3）存在， 【解析】 【分析】（1）过点F作，由平行线的性质可得，易得，再根据求证即可； （2）构建一线三等角全等模型，在的延长线上截取，连接，易证，进而可得是等腰三角形，再利用建立方程求解即可； （3）延长到J，使得，延长到K，使得．易证，，所以，所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动．进而得到点M的运动轨迹，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在的延长线上截取，连接． ∴， 由（1）知， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：延长到J，使得，延长到K，使得． 由（2）中方法可得， ∴， ∴， 所以点E在上运动时，点F在与所在直线成角的线上运动． 即点M在与平行的线上运动（L为的中点，把绕点C旋转度得到，点N为的中点．点M在上运动）， 过点L作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴与D重合，即， ∴， 过D作于点O， ∴点D到线段的最小值等于点D到线段垂线段的长， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下数学第一阶段练习卷 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 如图，数轴上点P表示的数的相反数是（ ） A. B. -1 C. 0 D. 2. 我国有56个民族，民俗文化丰富多彩，下面是几幅具有浓厚民族特色的服饰图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 3. 著名的数学家苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约的行星命名为“苏步青星”．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 发展新能源汽车是我国汽车强国与绿色发展的核心战略，比亚迪是该战略下技术领先、全球领跑的龙头企业．如图1是其位于深圳坪山的全球总部一六角大楼，该建筑主体是一个正六棱柱（如图2），其示意图的主视图是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离为6，则⊙O的半径可能为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 7. 若一元二次方程的两根之和为，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限 8. 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了了解关于x的不等式的解集，某同学绘制了与（m，n为常数，）的函数图象如图所示，通过观察图象发现，该不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 根据民间传统，腊月二十四被称为“扫尘日”，家家户户会进行大扫除．这一天小壮和爸爸妈妈一起进行了大扫除．如果一个人单独做完，小壮需，爸爸需，妈妈仅需．三人一起做后，爸爸去采购年货，剩下的打扫工作小壮和妈妈还需多少小时才能完成？设剩下的打扫工作小壮和妈妈还需才能完成，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点P从的顶点B出发，沿方向匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段的长度y随运动时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的周长是（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 计算：______． 12. 分解因式：______． 13. 若抛物线的对称轴是y轴，则a的值是______． 14. 如图，、、、均为正方形网格的格点，线段和相交于点，则的值是______． 15. 如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作交于点．若的面积为24，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（每题7分共21分） 16. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 17. 河北省拥有众多的非物质文化遗产，诸如衡水内画、蔚县剪纸、玉田泥塑等等，是中华民族优秀传统文化的重要组成部分．甲、乙两名同学在某社交平台上进行了六次“河北省级非物质文化遗产知识测试”，部分成绩如图所示，已知甲、乙两名同学六次成绩的平均数相等． （1）求甲同学成绩的平均数，并通过计算补全乙同学成绩的折线统计图； （2）甲同学成绩的中位数和众数分别记作，，乙同学成绩的众数记作．若在数，，中随机抽取两个数字，通过画树状图或列表的方法求抽到的两个数字恰好相等的概率． 18. 【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具 【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图 【问题解决】（1）计算，两点间的距离． （参考数据：，，，，） 【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案： 如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可． （2）乙小组的方案用到了________．（填写正确答案的序号） ①解直角三角形 ②三角形全等 【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案． 四、解答题（每题9分，共27分） 19. 定义：在平面直角坐标系中，P、Q为平面内不重合的两个点，其中．若：，则称点Q为点P的“等和点”． （1）如图1，已知点，求点P在直线上“等和点”的坐标； （2）如图2，的半径为1，圆心A坐标为．若点在上有且只有一个“等和点”，求m的值； 20. 如图，与的边相切于点D，与边交于点B，D为的中点，连接，，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的面积． 21. 折纸的思考． （1）【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片（）（图①），使与重合，得到折痕，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点落在上的处，并使折痕经过点，得到折痕，折出，，得到． 说明是等边三角形． （2）【数学思考】 如图④，小明画出了图③的矩形和等边三角形，他发现，在矩形中把经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为，另一边长为，对于每一个确定的的值，小明在矩形中都能画出最大的等边三角形，请根据画出的不同情形的示意图，写出对应的的取值范围． 五、解答题（22题13分，23题14分，共27分） 22. 已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． （1）求出抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； （3）如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 23. 如图，点是边上的一点，，（），交于点． （1）求证：； （2）若，是否可以为直角，如果可以，求出此时的值；如果不能请说明理由； （3）已知且，点在线段上运动时，为的中点，探究的长度是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $