精品解析：广东省揭阳市揭东区白塔镇白塔初级中学2024～2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

广东省揭阳市揭东区白塔镇白塔初级中学2024~2025学年九年级下学期第一次月考数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 2cos 30°的值等于(　　) A. 1 B. C. D. 2 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）． A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 7. 如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A. B. C. D. 8. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中： ①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知两个相似三角形的面积之比为，则这两个相似三角形的相似比为____________． 12. 已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是____________ 13. 深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为____________． 14. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 15. 如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______． 三、解答题（一）（共3题，共20分） 16. 计算： 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（2，1），B两点． （1）求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 四、解答题（二）（共3题，共28分） 19. 研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 20. 为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为万人，第三周的游客人数为万人． （1）若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率． （2）村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？ 21. 如图1，在中，，点D为AB边上一点（不与A，B两点重合），过点D作，交AC于点E．连接BE，在BE上取一点M，连接CM并延长CM至点N，连接BN． （1）观察猜想 若，，则线段CE与BN的位置关系是______，的值是______； （2）类比探究 将绕点A顺时针旋转至如图2所示的位置，，，写出线段BN与CE的位置关系及的值，并说明理由； （3）解决问题 绕点A在平面内自由旋转，，，若，，以点B，D，E，N为顶点的四边形是菱形，直接写出线段BM的长． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB． （1）求证：AH是⊙O的切线； （2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值； （3）若，求证：CD＝DH． 23. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市揭东区白塔镇白塔初级中学2024~2025学年九年级下学期第一次月考数学试题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 2cos 30°的值等于(　　) A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据30°角的三角函数值代入计算即可. 详解：2cos30°=2×=． 故选C． 点睛：此题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题关键. 2. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 3. 反比例函数的图象经过点A(3，2)，下列各点在此反比例函数图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴， A、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； C、∵， ∴点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； D、∵， ∴点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，开口向上，离对称轴越远函数值越大，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案；本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴二次函数开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大，对称轴为直线， ∵，， ∴． 故选：B． 5. 如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯的倾斜角为，大厅两层之间的距离为6米，则自动扶梯的长约为（）（ ）． A. 7.5米 B. 8米 C. 9米 D. 10米 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意，根据三角函数的性质计算，即可得到答案． 【详解】根据题意，得： ∵米 ∴米 故选：D． 【点睛】本题考查了三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握三角函数的性质，从而完成求解． 6. 如图，正六边形内接于，已知的周长是，则该正六边形的边长是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接正六边形的性质，等边三角形的判定及性质，正确运用圆与正六边形的性质是解此题的关键． 如图所示，由正六边形内接于，可知是等边三角形，由的周长是，可得，即可得出结果． 【详解】解：如图所示：连接， ∵正六边形内接于， ， ∵， ∴是等边三角形， ∵的周长是， ， ， 故选：C． 7. 如图，是的直径，、、为的弦，，，则（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，解直角三角形，连接，由圆周角定理得到由勾股定理求出求出，即可得到的值，解题的关键是由圆周角定理得到掌握锐角的正弦定义． 【详解】解：如图，连接， ∵是圆的直径， ， 故选：C． 8. 如图所示的几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】从左向右看，得到的几何体的左视图是 故选B． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 9. 如图，是的直径，弦于点E，，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，求扇形面积，将阴影部分的面积转化为扇形的面积是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，弦于点E， ∴，即垂直平分， ∴， 又∵，， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴，则 则阴影部分的面积为， 故选：A． 10. 如图，是二次函数图象的一部分，下列结论中： ①；②；③有两个相等的实数根；④.其中正确结论的序号为（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求解即可. 【详解】①∵抛物线开口向上，且与y轴交点为(0,-1) ∴a＞0，c＜0 ∵对称轴＞0 ∴b＜0 ∴ ∴①正确； ②对称轴为x=t,1＜t＜2，抛物线与x轴的交点为x1,x2. 其中x1为（m,0）, x2.为(n,0) 由图可知2＜m＜3，可知n>-1， 则当x=-1时，y＞0， 则 则②错误； ③由图可知c=-1 △=b2—4a(c+1)=b2,且b≠0 ∴③错误 ④由图可知，对称轴x= 且1＜＜2 ∴ 故④正确； 故选D. 【点睛】本题考查的是二次函数，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 已知两个相似三角形的面积之比为，则这两个相似三角形的相似比为____________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴这两个相似三角形的相似比为． 故答案为：． 12. 已知圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6，则这个圆锥的侧面积是____________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积，掌握圆锥的侧面积公式，明确圆锥的侧面展开图与圆锥的关系是解题的关键．圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意圆锥底面圆直径是8，圆锥的母线长为6， ∴这个圆锥的侧面积； 故答案为：． 13. 深圳某校举办了“博古通今，学史明智”的历史事件讲述大赛，选题有“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”．八、九年级分别从中随机选择一个不同事件进行比赛，则八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 利用树状图或列表可得出所有等可能的结果数以及八、九年级所选都为新中国成立后事件的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：“鸦片战争”“香港回归”“改革开放”，分别记为、、（其中“香港回归”、“改革开放”是新中国成立后事件 ）． 绘制树状图： 共有种等可能结果，其中 八、九年级所选都为新中国成立后事件共种． ∴八、九年级所选的历史事件都发生于新中国成立以后的概率 ． 故答案为：． 14. 如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（2，3），则AC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接BO，根据B点坐标求出OB的长，由矩形的性质即可得到AC的长． 【详解】如图，连接BO，∵B的坐标为（2，3）， ∴OB= ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB= 故答案为：． 【点睛】此题主要考查矩形的对角线长度，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的应用． 15. 如图，已知正方形的边长为14，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿、向终点C、D运动，连接、，交于点P，连接，则长的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，两点之间线段最短等；由正方形的性质及可判定，由全等三角形的性质得，取的中点，连接，当、、三点共线时，的值最小，结合勾股定理即可求解；掌握正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，能由圆外一点到圆上任一点距离最小找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 点M和N分别从B、C同时出发， 以相同的速度沿、向终点C、D运动， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 如图，取的中点，连接， ， 点在以为圆心，为半径的上， 当、、三点共线时，的值最小， ， ； 故答案：． 三、解答题（一）（共3题，共20分） 16. 计算： 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，根据绝对值的意义，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义以及二次根式的加减法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A（2，1），B两点． （1）求出反比例函数与一次函数的表达式； （2）请直接写出B点的坐标，并指出使反比例函数值大于一次函数值的x的取值范围． 【答案】（1），；（2）B（﹣1，﹣2），x＜﹣1或0＜x＜2． 【解析】 【分析】（1）先将点A（2，1）代入求得k的值，再将点A（2，1）代入，求得m即可． （2）当反比例函数的值大于一次例函数的值时，即一次函数的图象在反比例函数的图象下方时，x的取值范围． 【详解】解：（1）将A（2，1）代入中，得k=2×1=2， ∴反比例函数的表达式为，将A（2，1）代入中，得2+m=1， ∴m=﹣1， ∴一次函数的表达式为； （2）解得或 所以B（﹣1，﹣2）； 当x＜﹣1或0＜x＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18. 如图为一圆弧形钢梁，该钢梁的拱高为，跨径为． （1）用尺规作出该圆弧所在圆的圆心； （2）求这钢梁圆弧的半径长． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2）这钢梁圆弧的半径长为 【解析】 【分析】本题考查作图—应用与设计作图，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）在上取一点E，连接，作线段，的垂直平分线交于点O，点O即为所求； （2）设，的垂直平分线交于点C，交于点D．利用勾股定理构建方程求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，的垂直平分线交于点C，交于点D． ， ， ∵， ∴， 在中，则有， 解得， ∴这钢梁圆弧的半径长为． 四、解答题（二）（共3题，共28分） 19. 研学实践：为在实践中测量物体的高度，并对山西地标建筑永祚双塔进行了解，学校组织研学活动．在了解相关历史背景后，利用航模搭载的扫描仪采集双塔的相关数据． 数据采集：如图，小夏同学要测量太原地标建筑永祚双塔的高度，从双塔底部点处前行到达斜坡的底部点处，然后沿斜坡前行到达最佳测量点处，在点处测得塔顶的仰角为． 数据应用：已知斜坡的斜面坡度，且点，，，，在同一平面内，求双塔的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．首先过点作于点，于点，构造矩形，根据、斜坡的斜面坡度，可以求出、的长度，根据在点处测得塔顶的仰角为，可以求出的长度，就是双塔的高度． 【详解】解：如图，过点作于点，于点， 可得四边形为矩形， ，． 斜坡的斜面坡度， ， ， ， 又， ，， ， ， 在中， ，， ， ． 答：双塔的高度是． 20. 为扎实推进乡村振兴战略，苏州市某村举办了中国传统文化主题灯会．据统计，灯会开幕后第一周的游客人数为万人，第三周的游客人数为万人． （1）若从第一周到第三周，每周游客人数的平均增长率都相同，求这个平均增长率． （2）村里的猕猴桃成本为3元/个，平时按5元/个出售，每天可售出1000个．灯会期间为了保证猕猴桃的供应，村里决定采取提高售价减少销售量的办法销售．若这种猕猴桃的销售价每提高0.5元其销售量就减少50个，且每个猕猴桃的销售价不超过10元，问每个售价定为多少元时，才能使每天利润为3200元？ 【答案】（1）50% （2）7元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，利润问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为，以及利润=单件利润×数量． （1）设每周游客人数的增长率为x，根据题意列出方程求解即可； （2）设售价提高了y元，根据利润=单件利润×数量，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设每周游客人数的增长率为x 由题意得： 解得：，（舍去）， ∴每周游客人数的增长率为50%． 【小问2详解】 解：设售价提高了y元， 由题意得： ∴， 解得：， ∵， ∴每个猕猴桃售价定为7元． 21. 如图1，在中，，点D为AB边上一点（不与A，B两点重合），过点D作，交AC于点E．连接BE，在BE上取一点M，连接CM并延长CM至点N，连接BN． （1）观察猜想 若，，则线段CE与BN的位置关系是______，的值是______； （2）类比探究 将绕点A顺时针旋转至如图2所示的位置，，，写出线段BN与CE的位置关系及的值，并说明理由； （3）解决问题 绕点A在平面内自由旋转，，，若，，以点B，D，E，N为顶点的四边形是菱形，直接写出线段BM的长． 【答案】（1）平行，2 （2），， 理由如下： ∵ME=nBM，MC=nMN， ∴，且∠BMN=∠EMC， ∴， ∴，∠BNM=∠ECM， ∴． ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠BAD=∠CAE． ∵AD=AE，AB=AC， ∴△ABD≌△ACE， ∴BD=CE， ∴，则； （3） 【解析】 【分析】对于（1），先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的对应角相等，对应边成比例得出结论； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），先根据（2）的结论，及菱形的性质画出图形，可知点D，E，C共线，接着证明△ABC，△ADE是等边三角形，即可证明△ACE≌△BCE，再根据等腰三角形的判定得AE=CE=BN，即可得△BMN≌△EMC，然后根据全等三角形的性质得. 最后在Rt△CEP中，根据特殊角的三角函数值得出答案即可． 【小问1详解】 平行，2． ∵ME=2BM，MC=2MN， ∴，且∠BMN=∠EMC， ∴， ∴，∠BNM=∠ECM， ∴． ∵， ∴． ∵AB=AC， ∴BD=CE， ∴，则； 故答案为：平行，2； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ． ∵以点B，D，E，N为顶点的四边形是菱形， ∴，NB=DE=BE． 由（2）得，CE=BD， ∴点D，E，C共线． ∵∠BAC=60°，AB=AC，， ∴△ABC是等边三角形， 可得△ADE也是等边三角形， ∴∠AED=60°，AE=DE=BE． ∵AC=BC， ∴△ACE≌△BCE， ∴∠ACE=∠BCE=30°． ∵∠AEC=180°-∠AED=120°， ∴∠CAE=30°， ∴AE=CE=BN， ∴△BMN≌△EMC， ∴． 过点E作EP⊥BC，于点P， ∵BE=CE， ∴BP=CP=2． 在Rt△CEP中，， 即， ∴． 【点睛】这是一道关于三角形的综合题目，考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等边（等腰）三角形的性质判定，菱形的判定等． 五、解答题（三）（共2题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，四边形ABCD的顶点在⊙O上，BD是⊙O的直径，延长CD、BA交于点E，连接AC、BD交于点F，作AH⊥CE，垂足为点H，已知∠ADE＝∠ACB． （1）求证：AH是⊙O的切线； （2）若OB＝4，AC＝6，求sin∠ACB的值； （3）若，求证：CD＝DH． 【答案】 （1）证明：连接OA， 由圆周角定理得，∠ACB＝∠ADB， ∵∠ADE＝∠ACB， ∴∠ADE＝∠ADB， ∵BD是直径， ∴∠DAB＝∠DAE＝90°， 在△DAB和△DAE中， ， ∴△DAB≌△DAE， ∴AB＝AE， 又∵OB＝OD， ∴OA∥DE， 又∵AH⊥DE， ∴OA⊥AH， ∴AH是⊙O的切线； （2）； （3）证明：由（2）知，OA是△BDE的中位线， ∴OA∥DE，OA＝DE． ∴△CDF∽△AOF， ∴＝， ∴CD＝OA＝DE，即CD＝CE， ∵AC＝AE，AH⊥CE， ∴CH＝HE＝CE， ∴CD＝CH， ∴CD＝DH． 【解析】 【分析】（1）连接OA，证明△DAB≌△DAE，得到AB＝AE，得到OA是△BDE的中位线，根据三角形中位线定理、切线的判定定理证明； （2）利用正弦的定义计算； （3）证明△CDF∽△AOF，根据相似三角形的性质得到CD＝CE，根据等腰三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知，∠E＝∠DBE，∠DBE＝∠ACD， ∴∠E＝∠ACD， ∴AE＝AC＝AB＝6． 在Rt△ABD中，AB＝6，BD＝8，∠ADE＝∠ACB， ∴sin∠ADB＝＝，即sin∠ACB＝； （3）略 【点睛】本题考查的是圆的知识的综合应用，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理、三角形中位线定理是解题的关键． 23. 如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）过点P且与y轴平行的直线与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积； （3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2－2x+1；（2）四边形AECP的面积最大值为，此时点P(，)；（3）存在，点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据抛物线的对称性可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案； （3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF＝∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：（1）将A(0,1)，B（9,10）代入y=x2+bx+c得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=x2－2x+1； （2）由y=x2－2x+1知，抛物线的对称轴是x=3， ∵AC∥x轴，A(0,1)， ∴A与C关于对称轴对称，C(6,0)，AC=6 由A(0,1),B(9,10)得直线AB的解析式为：y=x+1， 设P（m，m2－2m+1），则E(m，m+1)， ∴PE=－m2+3m， ∴S四边形AECP=S△AEC+S△APC =·AC·EF+·AC·PF， =·AC·PE， =×6×（－m2+3m）， =， ∴当m=时，四边形AECP的面积取最大值，此时点P(，)； （3）存在，点Q坐标为（4,1）或（－3,1）． 由y=x2－2x+1知点P(3, -2)， ∴PF=3，CF=3， ∴∠PCF=45°，同理，∠EAF=45°， 即∠PCF=∠EAF， 由勾股定理得：AB=，AC=6，PC=， 设Q（n，1）， ①当△CPQ∽△ABC时，， 即，解得：n=4， 即Q(4,1)． ②当△CQP∽△ABC时，， 即，解得：n=－3， 即Q(－3,1)． 综上所述，符合题意的点Q坐标为：(4,1)或(－3,1)． 【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质，平行于坐标轴的直线上两点间的距离是较大的坐标减较小的坐标；解（3）的关键是利用相似三角形的性质的出关于CQ的比例式，要分类讨论，以防遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $