9.2.4总体离散程度的估计 分层作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.4　总体离散程度的估计 1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作为试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差 C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数 2.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 (　 ) A.1 B. C. D.2 3.在某次测量中得到的A样本数据如下:17,25,11,27,18,19,31,27,41,16,若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据,则A,B两样本数据的下列数字特征对应相同的是 (　 ) A.平均数 B.众数 C.方差 D.中位数 4.[2025·北京延庆区高二期末] 已知甲、乙两组数据可分别用图①②表示,记甲、乙两组数据的平均数分别为,,方差分别为,,则下列大小关系正确的是 (　 ) A.>,> B.=,< C.<,< D.=,> 5.2023年7月18日,第31届全国青少年爱国主义读书教育活动启动,某校为了迎接此次活动,对本校高一、高二年级学生进行了前期阅读时间抽查,得到日阅读时间(单位:分钟)的统计表如下: 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 则用样本估计总体,估计两个年级学生日阅读时间的方差为 (　 ) A.52 B.29.2 C.10 D.6.4 6.(多选题)2024年9月3日9时22分,我国在西昌卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭,成功将遥感四十三号02组卫星发射升空,卫星顺利进入预定轨道,发射任务获得圆满成功,在此次飞行任务中,遥感四十三号02组卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验,其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目.已知某卫星连续8天内观测到的低轨行星数目分别为9,8,6,10,9,7,6,9,则下列结论中正确的是 (　 ) A.该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目的极差为3 B.该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目的平均数是8 C.该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目的中位数是9 D.该卫星连续8天内观测到的低轨行星数目的方差为2 7.[2025·山东潍坊高二期末] 已知一组数据x1,x2,…,xn的标准差为3,且yi=2xi+3,i=1,2,3,…,n,则y1,y2,…,yn的标准差为　　　　.  8.王老师统计了自己三位学生近五次的定时训练成绩,其中1~5号为甲同学近五次成绩,6~10号为乙同学近五次成绩,11~15号为丙同学近五次成绩,相关信息如下: (1)三人近五次定时训练成绩的平均数如下: 同学 甲 乙 丙 平均数 118 122 121 (2)三人近五次定时训练成绩统计图如图所示. 记甲、乙、丙近五次定时训练成绩的方差分别为,,,根据图表判断,,的大小关系为　　　　.  9.(13分)从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株,分别测量它们的株高如下(单位: cm): 甲:29,31,30,32,28; 乙:27,44,40,31,43. 请根据平均数和方差的相关知识,解答下列问题: (1)哪种玉米苗长得高? (2)哪种玉米苗长得齐? 10.[2025·河南南阳六校高二联考] 已知一个样本容量为10的样本平均数为5,方差为1.6.现将样本中的3个数据4,5,6去掉,则去掉后剩余样本容量为7的样本平均数和方差s2分别是 (　 ) A.5,1 B.5,2 C.5,3 D.4,3 11.(多选题)甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中,甲队平均每场的进球数是3.2,全年进球数的标准差为3,乙队平均每场的进球数是1.8,全年进球数的标准差为0.3.下列说法中正确的是 (　 ) A.乙队的技术一定比甲队好 B.乙队发挥比甲队稳定 C.乙队几乎每场都进球 D.甲队的表现时好时坏 12.已知样本数据a1,a2,a3,a4,a5都为正数,其方差s2=(++++-80),则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为　　　　.  13.某旅行团共有游客600人,其中男性400人,女性200人.为了获得该团游客的身高信息,采用男、女按比例分配的分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位: cm),经计算得到男生样本的均值为170,方差为18,女生样本的均值为161,方差为30.根据以上数据,估计该旅行团游客身高的均值为　　　　,估计该旅行团游客身高的方差为　　　　.  14.(15分)[2025·安徽江淮十校高二联考] 某中职学校在一年一度的技能大赛中有甲、乙两名同学获得省级比赛一等奖,学校要在甲、乙两名同学中选拔一名参加国赛.为了选拔出综合实力最强的选手参加国赛,现将甲、乙两名同学在最近8次理论考试与技能考试的综合成绩统计如下: 甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)求甲、乙两名同学的平均成绩. (2)选派哪位同学参加更合适?请说明理由. 15.(多选题)某地环境部门对辖区内甲、乙、丙、丁四个地区的环境治理情况进行检查督导,若一地区连续10天每天的空气质量指数均不大于100,则认为该地区的环境治理达标,否则认为该地区的环境治理不达标.根据连续10天检测所得数据的数字特征推断,环境治理一定达标的地区是 (　 ) A.甲地区:平均数为90,方差为10 B.乙地区:平均数为60,众数为50 C.丙地区:中位数为50,极差为70 D.丁地区:极差为20,80%分位数为80 16.(15分) 某校有高中生2000人,其中男女生人数之比约为5∶4,为了获得该校全体高中生的身高信息,采取了以下两种方案: 方案一:采用比例分配的分层随机抽样方法,抽取了样本量为n的样本,得到频数分布表和频率分布直方图(如图). 身高(cm) [145, 155) [155, 165) [165, 175) [175, 185) [185, 195] 频数 m p q 6 4 方案二:采用分层随机抽样方法,抽取了男、女生样本量均为25的样本,计算得到男生样本的平均数为170,方差为16,女生样本的平均数为160,方差为20. (1)根据图表信息,求n,q并补充完整频率分布直方图,估计该校高中生身高的平均数(同一组中的数据以这组数据所在区间的中点值为代表). (2)计算方案二中总样本的平均数及方差. (3)计算两种方案总样本平均数的差,并说明用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计合适吗?为什么? 9.2.4　总体离散程度的估计 1.B　[解析] 标准差能反映一组数据的稳定程度,故选B. 2.B　[解析] 这个样本的平均数=×(1+2+3+4+5)=3,标准差s==. 3.C　[解析] 当A样本数据都减2时,每个数据大小都改变,则数据的中位数、众数都发生变化.设A样本数据的平均数为=m,则B样本数据的平均数变为=m-2, 4.B　[解析] ==25,==25,故=,=×[3×(10-25)2+6×(20-25)2+6×(30-25)2+3×(40-25)2]=,=×4×[(10-25)2+(20-25)2+(30-25)2+(40-25)2]=125,故>.故选B. 5.B　[解析] 由题意,估计高一、高二学生日阅读时间的平均数=50×+40×=44(分钟),方差s2=[4+(50-44)2]×+[6+(40-44)2]×=29.2.故选B. 6.BD　[解析] 对于A选项,这组数据的极差为10-6=4,故A错误;对于B选项,平均数为=8,故B正确;对于C选项,中位数为=8.5,故C错误;对于D选项,方差为×[(6-8)2×2+(7-8)2+(8-8)2+(9-8)2×3+(10-8)2]=2,故D正确.故选BD. 7.6　[解析] 因为数据x1,x2,…,xn的标准差s=3,且yi=2xi+3,i=1,2,3,…,n,所以y1,y2,…,yn的方差为s'2=4s2=36,故其标准差s'=6. 8.<<　[解析] 由统计图知,甲同学成绩的波动幅度最小,丙同学成绩的波动幅度最大,所以<<. 9.解:(1)甲种玉米苗株高的平均数=×(29+31+30+32+28)=×150=30(cm), 乙种玉米苗株高的平均数=×(27+44+40+31+43)=×185=37(cm),∴<,故乙种玉米苗长得高. (2)甲种玉米苗株高的方差=×[(29-30)2+(31-30)2+(30-30)2+(32-30)2+(28-30)2]=2, 乙种玉米苗株高的方差=×[(27-37)2+(44-37)2+(40-37)2+(31-37)2+(43-37)2]=46, ∴<,故甲种玉米苗长得齐. 10.B　[解析] 设10个样本数据为x1,x2,…,x10,由=5得x1+x2+…+x10=50,由[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2]=1.6得(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2=16.不妨设x8=4,x9=5,x10=6,则===5,s2=[(x1-5)2+(x2-5)2+…+(x10-5)2-(4-5)2-(5-5)2-(6-5)2]=×(16-2)=2.故选B. 11.BCD　[解析] 甲队平均每场的进球数为3.2,乙队平均每场的进球数为1.8,甲队平均每场的进球数明显大于乙队,所以乙队的技术不一定比甲队好,所以A不正确;因为甲队全年进球数的标准差为3,乙队全年进球数的标准差为0.3,乙队的标准差小于甲队,所以乙队发挥比甲队稳定,所以B正确;乙队全年进球数的标准差为0.3,说明每次进球数接近平均值,乙队几乎每场都进球,所以C正确;甲队全年进球数的标准差为3,说明甲队的表现时好时坏,所以D正确.故选BCD. 12.11　[解析] 根据题意,设样本数据a1,a2,a3,a4,a5的平均数为,其方差s2=[(a1-)2+(a2-)2+(a3-)2+(a4-)2+(a5-)2]=(++++-2a1-2a2-2a3-2a4-2a5+5)=(++++-5),又s2=(++++-80),则有5=80,解得=4,则样本数据2a1+3,2a2+3,2a3+3,2a4+3,2a5+3的平均数为2+3=11. 13.167　40　[解析] 由题意可估计该旅行团游客身高的均值=×170+×161=167,估计该旅行团游客身高的方差S2=×{400×[18+(170-167)2]+200×[30+(161-167)2]}=40. 14.解:(1)根据题中数据可知,甲同学的平均成绩==85,乙同学的平均成绩==85. (2)由(1)可知==85,甲同学成绩的方差=×[(82-85)2+(81-85)2+(79-85)2+(78-85)2+(95-85)2+(88-85)2+(93-85)2+(84-85)2]=×[(-3)2+(-4)2+(-6)2+(-7)2+102+32+82+(-1)2]=35.5, 乙同学成绩的方差=×[(92-85)2+(95-85)2+(80-85)2+(75-85)2+(83-85)2+(80-85)2+(90-85)2+(85-85)2]=×[72+102+(-5)2+(-10)2+(-2)2+(-5)2+52+02]=41,所以<. 综上所述,甲、乙两名同学的平均成绩相同. 又因为甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差,所以甲比乙的发挥更加稳定,所以选择甲同学参加更合适. 15.AD　[解析] 故最大值不大于100,该地区的环境治理达标,故D正确.故选AD. 16.解:(1)因为身高在区间[185,195]内的频率为0.008×10=0.08,频数为4, 所以n==50,故m=0.008×10×50=4,p=0.04×10×50=20,q=50-4-20-6-4=16,所以身高在区间[165,175)内的频率为=0.32,在区间[175,185)内的频率为=0.12,由此可补充完整频率分布直方图: 由频率分布直方图可知,样本的平均数为150×0.008×10+160×0.04×10+170×0.032×10+180×0.012×10+190×0.008×10=12+64+54.4+21.6+15.2=167.2(cm). 因此可估计该校高中生身高的平均数为167.2 cm. (2)把男生样本记为x1,x2,…,x25,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为y1,y2,…,y25,其平均数记为,方差记为,则总样本平均数=+==165. 因为 (3)两种方案总样本平均数的差为167.2-165=2.2. 用方案二总样本的平均数作为总体平均数的估计不合适, 原因:没有按照等比例进行分层随机抽样,每个个体被抽到的可能性不同,因此样本的代表性比较差. 学科网（北京）股份有限公司 $