9.2.3 总体集中趋势的估计、9.2.4 总体离散程度的估计 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计 一、必备知识基础练 1.某趟车某时刻从始发站驶往终点站的过程中,10个车站上车的人数统计如下: 70,60,60,50,60,40,40,30,30,10,则这组数据的众数、中位数、平均数的和为(　　) A.170 B.165 C.160 D.150 2.(多选题)如图是甲、乙两人在射击测试中6次命中环数的折线图,则(　　) A.若甲、乙射击成绩的平均数分别为,则 B.若甲、乙射击成绩的方差分别为,则 C.乙射击成绩的中位数小于甲射击成绩的中位数 D.乙比甲的射击成绩稳定 3.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　) A.,s2+1002 B.+100,s2+1002 C.,s2 D.+100,s2 4.现有甲、乙两组数据,每组数据均由五个数组成,其中甲组数据的平均数为1,方差为3,乙组数据的平均数为3,方差为1.若将这两组数据混合成一组,则新的一组数据的方差为(　　) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 5.如图,是某学校的教研处根据调查结果绘制的,本校学生每天放学后的自学时间情况的频率分布直方图.根据频率分布直方图,求出自学时间的中位数和众数的估计值(精确到0.01)分别是(　　) A.2.20　2.25 B.2.29　2.20 C.2.29　2.25 D.2.25　2.25 6.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如下图的四种分布形态的频率分布直方图中,最能说明平均数大于中位数的是(　　) 7.甲、乙、丙、丁四人参加某运动会射击项目选拔赛,四人的平均成绩和方差如下表所示: 运动员 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.3 8.8 8.8 8.7 方差s2 3.5 3.6 2.2 5.4 若要从这四人中选择一人去参加该运动会射击项目比赛,最佳人选是　　　　　(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一个).  8.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值分别为　　　　　.  9.(人教B版教材例题)计算下列各组数的平均数与方差: (1)18.9,19.5,19.5,19.2,19,18.8,19.5; (2)2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6. 10.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生,将其成绩(单位:分,均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图. 观察图形的信息,回答下列问题: (1)求第四组的频率,并补全这个频率分布直方图; (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、众数和中位数. 11.某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:t),将数据按照[0,1),[1,2),[2,3),[3,4),[4,5]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求图中a的值; (2)设该市有10万个家庭,估计全市月均用水量不低于3 t的家庭数; (3)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,估计全市家庭月均用水量的平均数. 二、关键能力提升练 12.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格.若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中不正确的是(　　) A.成绩在[70,80)内的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75 13.已知一组样本数据x1,x2,…,x5的方差为10,且x1+x3=x2+x4,则样本数据x1-1,x2+1,x3-1,x4+1,x5的方差为(　　) A.9.2 B.10.8 C.9.75 D.10.25 14.某市有15个旅游景点,经计算,黄金周期间各个景点的旅游人数平均为20万,标准差为s,后来经核实,发现甲、乙两处景点统计的人数有误,甲景点实际为20万,被误统计为15万,乙景点实际为18万,被误统计成23万;更正后重新计算,得到标准差为s1,则s与s1的大小关系为(　　) A.s=s1 B.s<s1 C.s>s1 D.不能确定 15.(2025江西上饶高一期末)某校在上饶市期末数学测试中为统计学生的考试情况,从学校的1 000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩,被测学生成绩全部介于65分到145分之间(满分150分),将统计结果按如下方式分成八组:第一组[65,75),第二组[75,85),……,第八组[135,145],如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分. (1)求第八组的频率,并完成频率分布直方图; (2)用样本数据估计该校的1 000名学生这次考试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)和中位数(结果保留小数点后一位). 答案 1.D　解析 数据70,60,60,50,60,40,40,30,30,10的众数是60,中位数是45,平均数是45,故众数、中位数、平均数的和为150.故选D. 2.CD　解析 甲射击测试中6次命中环数为:6,7,8,9,9,10,乙射击测试中6次命中环数为:5,5,6,7,7,7,甲、乙射击成绩的平均数分别为,甲、乙射击成绩的方差分别为,则×(9+10+6+7+9+8)≈8.17,×(6+7+5+5+7+7)≈6.17,所以,故选项A错误;由折线图可以看出,乙的射击成绩比甲的射击成绩波动小,所以,乙比甲的射击成绩稳定,故选项B错误,选项D正确;甲射击成绩的中位数为=8.5,乙射击成绩的中位数为=6.5,故选项C正确. 3.D　解析 由题意知yi=xi+100, 则(x1+x2+…+x10+100×10)=(x1+x2+…+x10)+100=+100, 方差s2={[(x1+100)-(+100)]2+[(x2+100)-(+100)]2+…+[(x10+100)-(+100)]2} =[(x1-)2+(x2-)2+…+(x10-)2]=s2.故选D. 4.D　解析 因为甲组5个数据的平均数为1,方差为3,乙组5个数据的平均数为3,方差为1,所以两组数据混合成一组后,新数据的平均数为=2,所以新数据的方差为×[3+(1-2)2]+×[1+(3-2)2]=3.故选D. 5.C　解析 由频率分布直方图得,自学时间在[0.5,2)内的频率为(0.16+0.2+0.34)×0.5=0.35,自学时间在[2,2.5)内的频率为0.52×0.5=0.26, 所以自学时间的中位数为2+×0.5≈2.29,众数为=2.25.故选C. 6.A　解析 在频率分布直方图中,中位数两侧小矩形的面积之和相等,平均数是每组频率的中间值乘频数之和, C项,根据直方图,易得平均数小于中位数,不符合题意; B,D项,根据直方图,易得平均数等于中位数,不符合题意; A项,根据直方图,易得平均数大于中位数,符合题意. 7.丙　分析题中表格数据可知,乙与丙的平均环数最多,又因为丙的方差比乙小,说明丙成绩发挥得较为稳定,所以最佳人选为丙. 8.65,62.5　解析 ∵最高的矩形为第三个矩形, ∴时速的众数的估计值为65. 前两个矩形的面积为(0.01+0.03)×10=0.4. ∵0.5-0.4=0.1,×10=2.5, ∴中位数的估计值为60+2.5=62.5. 9.解 (1)将每一个数乘以10,再减去190,可得-1,5,5,2,0,-2,5. 这组新数的平均数为×(-1+5+5+2+0-2+5)=2, 方差为×[(-1-2)2+(5-2)2+(5-2)2+(2-2)2+(0-2)2+(-2-2)2+(5-2)2]=8. 由此可知,所求平均数为19.2,方差为8×=0.08. (2)可将数据整理为 x 2 3 4 5 6 频数 3 4 5 6 2 每一个数都减去4可得 x-4 -2 -1 0 1 2 频数 3 4 5 6 2 这组数的平均数与方差分别为×[(-2)×3+(-1)×4+0×5+1×6+2×2]=0, ×[(-2)2×3+(-1)2×4+02×5+12×6+22×2]=.因此,所求平均数为4,方差为. 10.解 (1)因为各组的频率和等于1, 故第四组的频率为1-(0.025+0.015×2+0.01+0.005)×10=0.3. 补全频率分布直方图如图所示: (2)依题意,60及以上的分数所在的是第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以抽样学生成绩的及格率是75%,众数为最高小长方形底边中点的横坐标,所以众数是75. 由0.1+0.15+0.15=0.4,0.4+0.3=0.7,得中位数在[70,80)分内,设中位数为x,则(x-70)×0.03+0.4=0.5,解得x≈73.3,所以估计中位数是73.3. 11.解 (1)因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1, 所以(0.12+0.22+0.36+a+0.12)×1=1,解得a=0.18. (2)抽取的样本中,月均用水量不低于3 t的家庭所占比例为(a+0.12)×1=0.3=30%, 因此估计全市月均用水量不低于3 t的家庭所占比例也为30%, 所求家庭数为100 000×30%=30 000. (3)因为0.12×0.5+0.22×1.5+0.36×2.5+0.18×3.5+0.12×4.5=2.46, 因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.46. 12.D　解析 由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5(分),故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误. 13.B　解析 设样本数据x1,x2,…,x5的平均数为,则(xi-)2=10,且样本数据x1-1,x2+1,x3-1,x4+1,x5的平均数也为,故[(x1-1-)2+(x2+1-)2+(x3-1-)2+(x4+1-)2+(x5-)2]=(xi-)2+(-x1+x2-x3+x4)+0.8=10.8.故选B. 14.C　解析 由已知,两次统计所得的旅游人数总数没有变,即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的,设为, 则s=, s1=, 若比较s与s1的大小,只需比较(15-)2+(23-)2与(20-)2+(18-)2的大小即可,而(15-)2+(23-)2=754-76+2,(20-)2+(18-)2=724-76+2,所以(15-)2+(23-)2>(20-)2+(18-)2,从而s>s1.故选C. 15.解 (1)因为各组的频率和等于1, 故第八组的频率为1-(0.004+0.006+0.010+0.012+0.020×2+0.024)×10=0.04, 则第八组对应矩形的高为0.04÷10=0.004, 补全频率分布直方图如图所示: (2)用样本数据估计该校的1 000名学生这次考试成绩的平均分为70×0.004×10+80×0.012×10+90×0.020×10+100×0.024×10+110×0.020×10+120×0.010×10+130×0.006×10+140×0.004×10=101.8. 因为(0.004+0.012+0.020)×10=0.36<0.5,(0.004+0.012+0.020+0.024)×10=0.60>0.5, 所以中位数在[95,105)内, 设中位数为x,则(x-95)×0.024+0.36=0.5, 解得x≈100.8, 所以估计中位数是100.8分. 7 学科网（北京）股份有限公司 $