9.2.3　总体集中趋势的估计 分层作业-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

9.2.3　总体集中趋势的估计 1.下列数字特征一定会在原始数据中出现的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.众数 B.中位数 C.平均数 D.都不会 2.[2025·广西钦州四中高二月考] 对某地上、下班的交通情况进行抽样调查,上、下班时间各抽取12辆机动车测出其行驶速度(单位:km/h),统计表如下: 上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40 下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37 则上、下班时间行驶速度的中位数分别为 (　 ) A.28与28.5 B.29与28.5 C.28与27.5 D.29与27.5 3.平均数、中位数和众数都描述了数据的集中趋势,下列说法错误的是 (　 ) A.如果频率分布直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数大体上差不多 B.与中位数相比,平均数反映出样本数据中的更多信息 C.对分类型数据,比如产品质量等级等集中趋势的描述可以用众数 D.如果频率分布直方图在“右边”拖尾,那么平均数小于中位数 4.已知甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位:分)从小到大排列如下: 甲队:7,12,12,20,20+x,31; 乙队:8,9,14,15+y,25,28. 若这两组数据的中位数相等,且平均数也相等,则x和y的值分别为 (　 ) A.2和3 B.0和2 C.0和3 D.2和4 5.众数、平均数、中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据分布的形态有关.在如图所示的分布形态中,平均数、众数和中位数的大小关系是 (　 ) A.众数<中位数<平均数 B.平均数<众数<中位数 C.中位数<平均数<众数 D.众数<平均数<中位数 6.(多选题)[2025·辽宁重点高中沈阳郊联体高二期末] 学校“校园歌手”比赛现场8位评委对选手A的评分分别为15,16,18,20,20,22,24,25.按比赛规则,计算选手最后得分时,要先去掉评委评分中的最高分和最低分,则 (　 ) A.剩下的6个数据的平均数与原数据的平均数相等 B.剩下的6个数据的极差与原数据的极差相等 C.剩下的6个数据的中位数与原数据的中位数相等 D.剩下的6个数据的35%分位数大于原数据的35%分位数 7.中小学生的视力状况受到社会的广泛关注,某市有关部门从全市6万名高一年级学生中随机抽取了400名,对他们的视力状况进行一次调查统计,将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图,如图所示,则这400名学生视力的众数为　　　　.  8.某班级统计一次数学测试后的成绩,并制成了如下频率分布表: 分组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 人数 5 15 20 10 频率 0.1 0.3 0.4 0.2 根据该表估计该班级本次数学测试的平均分为　　　　.  9.(13分)从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为20的身高样本,数据如下(单位:cm,数据间无大小顺序要求):152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x,174,175. (1)若x为这组数据的一个众数,求x的取值集合; (2)若将样本数据按从小到大的顺序排列,第90百分位数是173,求x的值; (3)若x=174,试估计该校高一年级新生的平均身高. 10.某市政府为了制订居民节约用水相关政策,抽样调查了该市200户居民月均用水量(单位:t),根据所得数据绘制成的频率分布直方图如图,则下列说法不正确的是 (　 ) A.图中小矩形ABCD的面积为0.24 B.估计该市居民月均用水量的众数为6 t C.估计该市有85%的居民月均用水量不超过19 t D.估计这200户居民月均用水量的中位数大于平均数 11.(多选题)某城市在创建文明城市的活动中,为了解居民对“创建文明城市”的满意程度,组织居民给活动打分(分数为整数,满分100分),从中随机抽取一个样本容量为100的样本,发现分数均在[40,100]内.现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图,但不小心污损了部分图形,如图所示,则下列说法正确的是 (　 ) A.频率分布直方图中第三组的频数为15 B.估计样本的众数为75分 C.估计样本的中位数为74分 D.估计样本的平均数为73分 12.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品,对其使用寿命(单位:年)进行追踪调查的结果如下: 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,6,8,9,12,13; 丙:3,3,4,7,9,10,11,12. 三个厂家广告中都称该产品的使用寿命是8年,请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数. 甲:　　　　;乙:　　　　;丙:　　　　.  13.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势,它们的大小关系和数据的分布形态有关.给出如图所示的统计图,记这组数据的众数为M,中位数为N,平均数为P,则M,N,P的大小关系为　　　　.  14.(15分)某中学举行数学建模竞赛,现将高一年级参赛学生的成绩进行整理后分成五组,绘制成如图所示的频率分布直方图. (1)估计高一年级参赛学生成绩的众数、中位数; (2)估计高一年级参赛学生的平均成绩. 15.某工厂生产销售了30双皮鞋,其中各种尺寸的销售量如下表所示: 鞋的尺寸(cm) 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25 销售量(双) 1 2 4 14 5 3 1 (1)这30双鞋尺寸的平均数为　　　　,中位数为　　　　,众数为　　　　;  (2)从实际出发,问题(1)中的众数对指导生产的意义是　.  16.(15分)2023年以来,某区把垃圾分类纳入积分,建立文明账户,市民以行动换积分,以积分转习惯.区政府为了了解4月份甲、乙两个社区居民换积分的情况,分别从甲、乙两个社区各抽取10人,记录下他们的积分(单位:分),并进行整理和分析(积分用x表示,共分为4组:A:x<70;B:70≤x<80,C:80≤x<90,D:90≤x≤100),下面给出了部分信息: 甲社区10人的积分:47,56,68,71,83,83,85,90,91,94; 乙社区10人的积分在C组中的积分为81,83,84,84. 乙社区10人的积分等级扇形图如图. 两组数据的平均数、中位数、众数如下表所示: 社区 平均数 中位数 众数 甲 76.8 83 b 乙 76.8 a 84 根据以上信息,解答下列问题. (1)求a,b,m的值. (2)根据以上数据,你认为哪个社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好?请说明理由(一条即可). (3)若4月份甲社区有700人参与活动,乙社区有800人参与活动,用样本估计总体,估计4月份甲、乙两个社区积分在80分及以上的人数. 9.2.3　总体集中趋势的估计 1.A　[解析] 众数是在一组数据中出现次数最多的数,所以一定会在原始数据中出现.故选A. 2.D　[解析] 上班时间行驶速度的中位数是=29,下班时间行驶速度的中位数是=27.5.故选D. 3.D　[解析] 对于A,平均数是一组数据的平均水平,而中位数是将数据按照从小到大排列后,在最中间的那个数据或中间两个的平均数,如果频率分布直方图的形状是对称的,那么平均数和中位数大体上差不多,故A中说法正确;对于B,因为个别数据变动,往往会改变平均数,而不改变中位数,所以平均数反映出样本数据中的更多信息,故B中说法正确;对于C,因为分类型数据往往是不连续的,所以用众数能更好地描述集中趋势,故C中说法正确;对于D,当频率分布直方图在“右边”拖尾时,平均数应更偏向于“长尾巴”那边,中位数两边的小矩形面积相等,故平均数大于中位数,故D中说法错误.故选D. 4.C　[解析] 甲队数据的中位数为=16,故=16,解得y=3,乙队数据的平均数为=17,故=17,解得x=0,故选C. 5.A　[解析] 众数是最高矩形的中点横坐标,因此众数在第二组的中点处.因为直方图在右边拖尾,所以平均数大于中位数,又中位数左边和右边的矩形面积之和相等,所以中位数在第二组右边,因此有众数<中位数<平均数.故选A. 6.ACD　[解析] 对于A, 8个数据的平均数为=20,去掉最高分和最低分后,剩下的6个数据的平均数为=20,所以A正确;对于B,8个数据的极差为25-15=10,去掉最高分和最低分后,剩下的6个数据的极差为24-16=8,所以B错误;对于C,8个数据的中位数为20,去掉最高分和最低分后,剩下的6个数据的中位数为20,所以C正确;对于D,因为8×35%=2.8,所以8个数据的35%分位数为18,去掉最高分和最低分后,可得6×35%=2.1,所以剩下的6个数据的35%分位数为20,所以D正确.故选ACD. 7.4.7　[解析] 由题图可知,众数为=4.7. 8.82　[解析] 估计该班级本次数学测试的平均分为65×0.1+75×0.3+85×0.4+95×0.2=82. 9.解:(1)若x为这组数据的一个众数,则x的可能取值为164,165,168,170, 即x的取值集合为{164,165,168,170}. (2)因为样本数据的第90百分位数是173,且20×90%=18, 所以样本数据的第90百分位数为=173,所以x=172. (3)若x=174,则估计该校高一年级新生的平均身高为×(152+155+158+164+164+165+165+165+166+167+168+168+169+170+170+170+171+174+174+175)=166.5(cm). 10.D　[解析] 由4×(0.01+0.075+a+0.045+0.03+0.02+0.01)=1,可得a=0.06,所以S矩形ABCD=4×0.06=0.24,故A中说法正确;估计该市居民月均用水量的众数为=6(t),故B中说法正确;估计该市居民月均用水量不超过19 t的频率为4×(0.01+0.075+0.06+0.045)+×4×0.03=0.76+0.09=0.85,故C中说法正确;设这200户居民月均用水量的中位数为x1,因为第一个矩形的面积为0.04,第二个矩形的面积为0.3,第三个矩形的面积为0.24,所以中位数x1∈[8,12],由x1=8+×4=8+=,可估计这200户居民月均用水量的中位数为t,估计这200户居民月均用水量的平均数=4×0.01×2+4×0.075×6+4×0.06×10+4×0.045×14+4×0.03×18+4×0.02×22+4×0.01×26=11.76(t),因为<11<11.76,所以估计这200户居民月均用水量的中位数小于平均数,故D中说法不正确.故选D. 11.BD　[解析] 对于A,因为分数在[60,70]内的频率为1-10×(0.005+0.020+0.030+0.025+0.010)=0.10,所以第三组的频数为100×0.10=10,故A错误;对于B,由图可估计样本的众数为75分,故B正确;对于C,因为10×(0.005+0.020+0.010)=0.35<0.5,10×(0.005+0.020+0.010+0.030)=0.65>0.5,所以中位数位于[70,80]内,设中位数为x,则0.35+0.03(x-70)=0.5,解得x=75,所以估计样本的中位数为75分,故C错误;对于D,估计样本的平均数为(45×0.005+55×0.020+65×0.010+75×0.030+85×0.025+95×0.010)×10=73(分),故D正确,故选BD. 12.众数　平均数　中位数　[解析] 甲厂数据的众数是8,乙厂数据的平均数是8,丙厂数据的中位数是8. 13.M<N<P　[解析] 由统计图可得,众数M=5,共有2+3+10+6+3+2+2+2=30(个)数据,将数据从小到大排列后,处在中间位置的两个数据为5,6,所以中位数N==5.5.平均数P=×(2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97,所以M<N<P. 14.解:(1)用频率分布直方图中最高矩形底边的中点值作为众数的近似值,得众数为65分. 第一个小矩形的面积为0.3,第二个小矩形的面积为0.4,设中位数为x,则60<x<70,则0.3+0.04×(x-60)=0.5,解得x=65, 即中位数为65分,故估计高一年级参赛学生成绩的众数为65分,中位数为65分. (2)依题意,平均成绩为55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67, 所以估计高一年级参赛学生的平均成绩为67分. 15.(1)23.55 cm　23.5 cm　23.5 cm　(2)尺寸为23.5 cm的鞋销量最好,厂家应多生产　[解析] (1)30双鞋尺寸的平均数=×(22×1+22.5×2+23×4+23.5×14+24×5+24.5×3+25×1)=23.55(cm).由于尺寸小于23.5 cm的销售量为1+2+4=7(双),尺寸大于23.5 cm的销售量为5+3+1=9(双),故将30个数据按从小到大的顺序排列,处于正中间位置的两个数据均为23.5,从而中位数为23.5 cm.因为数据23.5共出现14次,出现次数最多,所以众数也为23.5 cm. (2)尺寸为23.5 cm的鞋销量最好,厂家应多生产. 16.解:(1)因为甲社区10人的积分中出现次数最多的数据为83,所以b=83. 由乙社区10人的积分等级扇形图可得,乙社区10人的积分在A组的人数为10×10%=1,在B组的人数为10×20%=2,因为乙社区10人的积分在C组中的积分为81,83,84,84,所以乙社区10人的积分从小到大排列后的第5和第6个数据分别为83,84, 所以a=×(83+84)=83.5. 因为乙社区10人的积分在D组的人数为10-1-2-4=3,所以D组人数所占的百分比为×100%=30%,所以m=30. (2)乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好,理由如下: 因为虽然甲、乙两个社区积分的平均数相同,但是乙社区的中位数和众数均比甲社区高,所以乙社区在此次垃圾分类换积分活动中表现更好. (3)在样本中,甲社区积分在80分及以上的人数所占的比例为=0.6,乙社区积分在80分及以上的人数所占的比例为=0.7,所以估计4月份甲、乙两个社区积分在80分及以上的人数为0.6×700+0.7×800=980. 学科网（北京）股份有限公司 $