9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计-分层同步练习 2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，围绕“总体集中趋势与离散程度的估计”，采用A级（基础）、B级（提升）、C级（创新）三级分层设计，通过“概念理解→综合应用→实践创新”路径巩固知识，培养数据意识与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|频率分布直方图、标准差、极差等单一知识点|选择、填空题为主，如由直方图估计平均数与中位数，直接考查基础概念| |B级|方差计算、中位数判断、分层抽样等综合应用|多选题与情境题结合，如分析竞赛成绩直方图的中位数与平均数，提升推理能力| |C级|实际问题中的数据分析与决策|以设备生产指标比较为情境，需计算方差并判断均值提升，体现数学建模与创新意识|

9.2.3　总体集中趋势的估计　9.2.4　总体离散程度的估计 A级 必备知识基础练 1.一组样本数据的频率分布直方图如图所示,则依据图形中的数据,可以估计总体的平均数与中位数分别是(　　) A.12.5,12.5 B.13.5,13 C.13.5,12.5 D.13,13 2.(多选题)下列统计量中,能度量样本x1,x2,…,xn的离散程度的是(　　) A.样本x1,x2,…,xn的标准差 B.样本x1,x2,…,xn的中位数 C.样本x1,x2,…,xn的极差 D.样本x1,x2,…,xn的平均数 3.某学校团委开展了党史知识竞赛.团委工作人员将进入决赛的100名学生的分数(满分100分且每人的分值为整数)分成6组:[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100]得到如图所示的频率分布直方图,则下列关于这100名学生的分数说法错误的是(　　) A.分数的中位数一定落在区间[85,90)内 B.分数落在区间[80,100]内的人数为70 C.分数落在区间[80,85)内的人数为25 D.分数的平均数约为85 4.抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下: 运动员 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为　　　　　.  5.某地教育部门对某学校学生的阅读素养进行检测,在该校随机抽取了M名学生进行检测,实行百分制,现将所得的成绩按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [40,50) [50,60) 25 p [60,70) s 0.30 [70,80) m n [80,90) 10 0.10 [90,100] 合计 M 1 (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)估计该校学生阅读素养的成绩中位数以及平均数(精确到0.1). B级 关键能力提升练 6.在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格.若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法中不正确的是(　　) A.成绩在[70,80)内的考生人数最多 B.不及格的考生人数为1 000 C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分 D.考生竞赛成绩的中位数为75 7.下列说法正确的是(　　) A.有甲、乙、丙三种个体按3∶1∶2的比例分层随机抽样调查,若抽取的甲的个体数为9,则样本容量为30 B.若甲组数据的方差为5,乙组数据为5,6,9,10,5,则这两组数据中较稳定的是甲 C.数据1,2,3,4,4,5的平均数、众数、中位数相同 D.某单位A,B,C三个部门平均年龄为38岁,24岁和42岁,又A,B两部门人员平均年龄为30岁,B,C两部门人员平均年龄为34岁,则该单位全体人员的平均年龄为35岁 8.(2024全国甲卷)某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图.则(　　) A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70% B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85% C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差 D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差 9.已知一组样本数据x1,x2,x3,…,x9满足x1<x2<x3<…<x9,则去掉x5后,下列数字特征中一定变化的是(　　) A.平均数 B.中位数 C.极差 D.方差 10.(多选题)在一次党建活动中,甲、乙、丙、丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛,每个小组各派10名同学参赛,记录每名同学失分(均为整数)情况,若该组每名同学失分都不超过7分,则该组为“优秀小组”,已知甲、乙、丙、丁四个小组成员失分数据信息如下,则一定为“优秀小组”的是(　　) A.甲组中位数为2,极差为5 B.乙组平均数为2,众数为2 C.丙组平均数为1,方差大于0 D.丁组平均数为2,方差为3 C级 学科素养创新练 11.某厂研制了一种生产高精产品的设备,为检验新设备生产产品的某项指标有无提高,用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品,得到各件产品该项指标数据如下: 旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7 新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为,样本方差分别记为. (1)求; (2)判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高(如果≥2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,否则不认为有显著提高)(≈8.718). 参考答案 1.D　根据频率分布直方图可以得到第一组的频率为0.2,第二组的频率为0.5,则第三组的频率为0.3,则平均数为7.5×0.2+12.5×0.5+17.5×0.3=13.由中位数的概念可以得到中位数在第二组区间[10,15)内,设为x,则0.2+(x-10)×0.1=0.5,解得x=13.故选D. 2.AC　标准差和极差能刻画数据的离散程度,中位数和平均数不能.故选AC. 3.B　由频率分布直方图可得,(0.01+0.02×2+0.03+b+0.07)×5=1,解得b=0.05,前三组的频率为(0.02×2+0.05)×5=0.45<0.5,前四组的频率为(0.02×2+0.05+0.07)×5=0.8>0.5,所以分数的中位数一定落在第四组[85,90)内,故A正确; 分数落在区间[80,100]内的人数为(0.05+0.07+0.03+0.01)×5×100=80,故B错误; 分数落在区间[80,85)内的人数为0.05×5×100=25,故C正确; 分数的平均数为72.5×0.02×5+77.5×0.02×5+82.5×0.05×5+87.5×0.07×5+92.5×0.03×5+97.5×0.01×5=85,故D正确.故选B. 4.2　由图表中甲、乙两位射击运动员的训练成绩得 =90, =90. 方差 =4, =2, 所以乙运动员的成绩较稳定,且方差为2. 5.解(1)M=10÷0.10=100,p=25÷100=0.25, (0.005+0.025+0.030+a+0.010+0.010)×10=1, 解得a=0.02. (2)设中位数为x,则0.005×10+0.025×10+(x-60)×0.03=0.5,解得x=≈66.7. 平均数为(45×0.005+55×0.025+65×0.03+75×0.02+85×0.01+95×0.01)×10=68.5. 6.D　由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,因此不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,在[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误.故选D. 7.D　对于选项A,若抽取的甲的个体数为9,则样本容量为=18,故A说法错误; 对于选项B,乙组数据的平均数为=7,方差为[(5-7)2+(6-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(5-7)2]=,因为乙组数据的方差比甲组数据的方差小,所以这两组数据中较稳定的是乙,故B说法错误; 对于选项C,数据1,2,3,4,4,5的平均数为,众数为4,中位数为,故C说法错误; 对于选项D,设A,B,C三个部门的人数为a,b,c,则有 =30,化简得a==34,化简得c=,所以该单位全体人员的平均年龄为=35(岁),故D说法正确.故选D. 8.B　讲座前中位数为>70%,所以A错误; 讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B正确; 讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错误; 讲座后问卷答题的正确率的极差为100%-80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错误.故选B. 9.D　因为x1<x2<x3<…<x9,所以原数据的中位数为x5,新数据的中位数为,与x5没法比较,即中位数不一定变化,故B不符合题意;原数据的平均数为,新数据的平均数为'=,因为平均数受极端值影响较大,所以平均数不一定变化,故选项A不符合题意;去掉x5后,原数据和新数据的极差都是x9-x1,故极差一定不变化,故C不符合题意;因为x1<x2<x3<…<x9,所以去掉x5后剩余的8个数的波动变大了,故新数据的方差比原数据的方差要大,故选D. 10.AD　对于A,因为中位数为2,极差为5,故最大值小于等于7,故A正确;对于B,如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8,则满足平均数为2,众数为2,但不满足每名同学失分都不超过7分,故B错误;对于C,如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9,则满足平均数为1,方差大于0,但不满足每名同学失分都不超过7分,故C错误;对于D,利用反证法,假设有一同学失分超过7分,则方差大于×(8-2)2=3.6>3,与题设矛盾,故每名同学失分都不超过7分,故D正确.故选AD. 11.解(1)由题中的数据可得, ×(9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10, ×(10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+10.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3, ×[(9.8-10)2+(10.3-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2+(9.9-10)2+(9.8-10)2+(10-10)2+(10.1-10)2+(10.2-10)2+(9.7-10)2]=0.036; ×[(10.1-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.0-10.3)2+(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+(10.6-10.3)2+(10.5-10.3)2+(10.4-10.3)2+(10.5-10.3)2]=0.04. (2)=10.3-10=0.3, 2=2=2≈0.174, 所以>2,故新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高. 7 学科网（北京）股份有限公司 $