安徽安庆市第一中学2026届高三下学期数学第一次周测试题

安庆市第一中学2026届高三下学期数学第一次周测参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 【答案】B 【详解】由可得，则.故选：B. 2. 【答案】D 【详解】复数，故.故选：D. 3. 【答案】B 【详解】由题设，所以， 因为，则，又因为，则， 又，所以，解得．故选：B 4. 【答案】A 【详解】因为的定义域为，且， 所以是奇函数，故排除BC， 又，则，故排除D，故选：A 5. 【答案】A 【详解】等价于，即，故有，或，在上恒成立， 即或在上恒成立，令，得， 可得：在单调递增，在单调递减， 由，当，，， 令，由基本不等式可得，当且仅当时取等号，当，， 对于在上恒成立，可得解得： 对于在上恒成立，可得：，解得 故a的取值范围为.故选：A. 6. 【答案】A 【详解】因为和互为反函数，其图象关于直线对称， 且反比例函数的图象也关于直线对称， 可知点关于直线对称，设，则， 设，则， 由题意可得：，解得或（舍去）， 可得，则，所以.故选：A. 7. 【答案】D 【详解】抛物线的焦点为，由轴，点，得， 由抛物线的光学性质，得点共线，设，则， 解得，点，于是，，， 所以的周长为.故选：D 8. 【答案】B 【详解】 设，是渐近线上的两点，右焦点到渐近线的距离为， 所以的面积为，又，所以，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为2.故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 【答案】ACD 【详解】对于A，令，原中位数，将最大最小去掉后，，此时中位数，所以.故A正确.对于B，，故B错误. 对于C，因为原数据的平均值为4，所以，去掉，，新的平均值为. 又 所以，因此，故C正确.对于D，由上述计算，故D正确. 10. 【答案】ABD 【详解】由题意，轨迹的方程为：① 选项A：取，①即为，曲线经过原点．A正确． 选项B：用代替方程不变，用代替方程也不变，同时用代替，代替方程也不变.所以曲线关于轴，轴和原点对称．B正确． 选项C：当时，①即为．若，则的面积为；若，由曲线的对称性，不妨设，则，所以，此时的面积大于．C错误． 选项D：当时，由，得．曲线：上任意一点满足．所以曲线“包含于”曲线，两条曲线的公共点仅有，曲线围成的面积大于曲线围成的面积．D正确．故选：ABD 11. 【答案】ABD 【详解】显然，由，得， 所以直线与函数的图象有2个交点，又， 所以当或时，；当时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 从而在处取得极小值. 又时，；当时，；当时，， 在同一直角坐标系中作出的图象以及直线， 由图可见，当且仅当时，直线与的图象有两个公共点，故A正确； 当时，，对求导得. 再对求导得.令，即，解得. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，，即恒成立，所以是增函数，选项B正确. 当时，，， 所以不恒成立，选项C错误. 当时，，，. 因为是增函数，且， 所以由零点存在定理可知，的零点满足，选项D正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 【答案】1 【详解】因为，可知函数的定义域为， 且函数是奇函数，则，解得，则， 又因为 ，即，可知函数是奇函数， 所以符合题意.故答案为：1. 13. 【答案】 【详解】设中点为， ，，，，即， ，则，，又平面，平面， ，则，，即， 三棱锥中均为直角三角形，且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， ，，， ，解得，截面半径，面积为． 14. 【答案】 【详解】因为点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，则点共有个， 计算每个卦限包含的点数： x负、y负、z负：8个点 x负、y负、z正：4个点 x负、y正、z负：4个点 x负、y正、z正：2个点 x正、y负、z负：4个点 x正、y负、z正：2个点 x正、y正、z负：2个点 x正、y正、z正：1个点 同一卦限中选2个点的组合数之和为： 从这个点中任取两个点，共有个基本事件，故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） (1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，可得， 当时，，.作差可得， 因为是正项数列，所以，即数列为等差数列，所以. （2）由题可得，所以，又， 所以，又也满足上式， 所以， 16.（15分）(1) (2)60套 【详解】（1）设事件（i可取1，2，3，4）表示第i次抽到春季卡， （j可取1，2，3，4）表示第j次抽到夏季卡，事件C表示抽3次即获奖， 则，， 所以. （2）设事件D表示获奖，则， 且，为互斥事件， ， 由（1），， ， ， 又因为参加抽奖是否获奖相互独立，用随机变量X表示参加活动获奖的人数， 若促销的30天中预计有360人参加活动，则， 所以，即估计获奖人数的平均值为30，又因为获奖后每人获得2套二十四节气书签，，所以商家准备60套书签作为奖品较为合理． 17.（15分） (1) (2)证明见解析， 【详解】（1）设左焦点，∴，解得， ，，由，∴椭圆方程为. （2） 由（1）可知椭圆左顶点，设，，∵以为直径的圆过， ∴即，∴，∵，， ∴① 联立直线与椭圆方程：，整理得 ∴，，∴， ，代入到①， ∴，∴，即， ∴或，当时，：，∴恒过 当时，：，∴恒过，但为椭圆左顶点，不符题意，故舍去， ∴恒过. 18.（17分）(1)证明见解析； (2)（ⅰ）；（ⅱ）. 【详解】（1）在直棱柱中，令，则是的中点， 由，得是中点，而点为的中点，则， 即，而平面，平面，所以平面. （2）（ⅰ）分别取的中点，则，又平面， 所以平面，由，得，则直线两两垂直， 以点为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 令，则， ，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，令，得， ，令，得， 由平面与平面所成角的余弦值为， 得，解得或， 由是锐角三角形，得，即，则，即， 又，则， 而，因此，所以异面直线与所成的角为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，则， ，而平面的法向量， 因此，而，所以. 19.（17分）(1)；证明见解析 (2)存在， 【详解】（1）当时，显然恒成立，； 当时，可化为， 令，，则， 令，，则在上恒成立， 因此在上单调递减，所以， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 又由洛必达法则可得：， 所以恒成立，因此，为使对任意恒成立，只需； 综上，；所以，因为，所以， 则，所以得证； （2）存在，使得：有，,证明如下： 由题意，为使恒成立，必有； (i)由得，所以，则，因为， 由（1）知对任意恒成立， 为使都成立，只需，解得； (ii)对于，当或时，于显然恒成立； 当时，，由得，所以， 令，则，， 所以，同（1）令，， 则，令，， 则在上恒成立， 因此在上单调递增，所以， 因此在上恒成立， 所以在上单调递减， 又，所以当，； 因此，为使恒成立，只需，解得； 由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆市第一中学2026届高三下学期数学第一次周测 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合，,则（   ） A． B． C． D． 2. 复数，则（    ） A． B． C．2 D．1 3. 设，且，则（   ） A． B． C． D． 4. 函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 5. 已知函数，，有恒成立，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6. 曲线与和分别交于两点，设曲线在处的切线斜率为在处的切线斜率为，若，则（   ） A． B． C． D． 7. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C．13 D．15 8. 已知双曲线的右焦点为，，是其一条渐近线上的两点，且，若的面积等于，则的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 有一组样本数据，其平均数为4，方差为，中位数为m．在这组数中，去掉一个最大的数6和一个最小的数2，余下6个数据的中位数为n，方差为，极差为t，则（   ） A． B． C． D． 10. 在平面直角坐标系中，已知点，若满足（为正常数）的动点的轨迹为，则下列说法正确的是（   ） A．，使得曲线经过原点 B．，曲线既是轴对称图形，也是中心对称图形 C．当时，面积的最大值为 D．当时，曲线围成的面积大于曲线围成的面积 11. 已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有2个零点，则 B．当时，是增函数 C．当时，恒成立 D．当时，若是的零点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知函数是奇函数，则实数 ． 13. 平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的射影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为_____． 14. 在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分）记为正项数列的前项和，已知. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求证：. 16.（15分）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒．”这二十八字节气歌是我国古人智慧的结晶．某文具店试销二十四节气书签，每套书签24张，分别印有春夏秋冬四季节气各6张．文具店为促销进行抽奖活动，凡购买一套二十四节气书签可参加抽奖，抽奖规则如下：从一套书签中挑出6张春季卡，6张夏季卡，将其中3张春季卡和3张夏季卡装在一个不透明的盒中，剩余的3张春季卡和3张夏季卡放在盒外．现从盒中随机抽出一张卡，若抽出春季卡，则把它放回盒子中，若抽出夏季卡，则该卡与盒外的一张春季卡置换．如此操作不超过4次，将盒中的夏季卡全部置换为春季卡，则停止抽卡并获得2套二十四节气书签，否则不获奖． (1)求只抽3次即获奖的概率； (2)若促销的30天中预计有360人参加活动，从数学期望的角度分析商家准备多套少书签作为奖品更为合理？ 17.（15分）椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为5 . (1)求椭圆的方程; (2)若直线与椭圆相交于（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证:直线过定点，并求出该定点的坐标. 18.（17分）如图，底面为锐角三角形的直棱柱中，，，点在线段上，且满足，点为的中点. (1)当时，证明：平面； (2)若平面与平面所成角的余弦值为. （ⅰ）求异面直线与所成角的大小； （ⅱ）已知直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 19.（17分）数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题： (1)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：； (2)是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （注：e为自然对数的底数） 第 学科网（北京）股份有限公司 $