精品解析：安徽安庆市第一中学2026届高三热身考试（最后一模）数学试题

安庆一中2026届高三热身考试 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合，根据对数函数的单调性及定义域求出集合，再根据交集的概念求解即可. 【详解】， ， 所以. 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，表示出和，根据复数的求模公式，得到方程，解方程求出即可. 【详解】设，则，， ，， 因为，所以， 所以，整理得，解得. 所以复数的虚部为. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得. 【详解】由，则“”是“”的充分条件； 又当时，，可知， 故“”不是“”的必要条件， 综上可知，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 设是周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用函数的奇偶性和周期性，得，再代入即可求解. 【详解】因为是周期为的奇函数，且时，， 所以． 5. 已知函数有两条相邻的对称轴和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相邻的对称轴得到最小正周期，求出，代入，得到方程，求出答案. 【详解】两条相邻的对称轴和， 故的最小正周期为，故， 故，， 故，解得， 因为，所以只有当时，满足要求，其他均不合要求. 故选：B 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据坐标系中向量的坐标规定，先求出的值，再将分别用，表示，计算出的表达式，最后利用向量模的定义求出. 【详解】依题意，， ，则， 则，故. 故选：C. 7. 将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ） A. 540 B. 504 C. 408 D. 390 【答案】D 【解析】 【分析】先分组后分配，再间接减去甲、乙在一起的情况即可. 【详解】总的分配方法有种. 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种； 若按照分堆，甲、乙在一起的情况有种，故不同的分配方法数为. 故选D. 8. 在棱长为8的正方体中，，设集合是底面ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合，则集合所表示的区域面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】设点在底面内的射影为，连接，得到，画出正方体底面的平面图，连接DE，取DE的中点，作，交DC于点，交DA于点，证得点在DA的延长线上，设GK与AB交于点，求得，结合面积公式，即可求解. 【详解】设点在底面内的射影为，连接， 则， 当时，可得， 画出正方体底面的平面图，如图所示， 连接DE，取DE的中点，过点作，交DC于点，交DA（或DA的延长线）于点， 可得 ， 所以，则， 因为，所以，所以点在DA的延长线上， 设GK与AB交于点，由相似的性质可得，所以， 若点在梯形内，则， 所以集合所表示的区域面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若同等容量且足够大的两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 数据的第60百分位数为6 C. 总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，总的样本方差为，则有 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001 【答案】BC 【解析】 【分析】借助样本相关系数与线性相关性强弱关系可得A；借助百分位数定义可得B；由分层抽样方差公式可得C；利用独立性检验定义可得D. 【详解】对于A：由，故组数据比组数据的线性相关性更强，故A错误； 对于B：，则这组数据的第60百分位数为，故B正确； 对于C：分层抽样方差公式为， 故C正确； 对与D：由，故不能在的小概率值下判断与有关联， 故D错误. 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线定义以及性质可以得出A、B、C选项，利用直线斜率和倾斜角的关系，得出的表达式，再利用函数导数求最值. 【详解】对于A，因为焦半径，所以，代入，解得， 所以，故A错误； 对于B，将横坐标5代入抛物线方程中，得，所以点A在抛物线内， 所以，当且仅当与轴平行时取等，故B正确； 对于C，设，则， 所以， 所以的最小值为，C正确； 对于D，设点M是x轴上点A右侧一点，不妨设P位于第一象限， 如图所示： 则 ， 令，分母为，则， 当，，所以在上单调递减； 当，，所以在上单调递增； 所以当时，， 此时，由图知，所以，故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数只有个1零点 B. 对任意的，函数不存在单调递减区间 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先利用导数分析函数的单调性，进而判断即可；对于B，若函数存在单调递减区间，则在上有解，令，转化问题为在上有解，进而求解判断即可；对于C，由函数在上单调递增，可得在上恒成立，进而求解判断即可；对于D，结合C选项分析求解判断即可. 【详解】由，，则. 对于A，当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，又， 所以在上只有一个零点，故A正确； 对于B，若函数存在单调递减区间，则在上有解， 令，即在上有解， 此时，只需要，解得， 所以当时，函数存在单调递减区间，故B不正确； 对于C，因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 当时，在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，只需要，解得， 综上所述，， 所以若函数在上单调递增，则实数的取值范围是，故C不正确； 对于D，由C知，当时，函数在上单调递增，函数在上至多有1个零点，不符合题意； 当时，由B知，有两个正根， 得， 由于，所以，当时，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，单调递增， 因为，所以在上有一个零点，且， 由得， 且， 所以在上各有一个零点， 所以当时，有3个零点，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为___________. 【答案】 【解析】 【分析】结合二项式的展开式的通项公式即可求出结果. 【详解】由通项公式可得，即的系数为. 故答案为：. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 14. 已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 【答案】## 【解析】 【分析】先求出圆，竖直上移个单位或水平右移个单位后的圆的方程，然后结合双曲线的渐近线得到，进而求得离心率. 【详解】依题意，圆的方程为，将其竖直上移个单位或水平右移个单位后， 分别得到圆. 因圆均与双曲线的渐近线相切，不妨取渐近线. 则，即，解得. 所以双曲线的离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【小问1详解】 由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； 【小问2详解】 由题知，， 所以， 所以． 16. 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. （1）过，，三点的平面与线段交于点，求证：； （2）若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 【答案】（1）取线段的中点，连接，，由于， 所以四边形为平行四边形，即， 又平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面，故. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明面，再由线面平行的性质定理证得. （2）建立空间直角坐标系，设，，由点到平面距离的向量求法，表示出点到平面的距离，即可得的关系，根据棱锥的体积公式，利用基本不等式可求得四棱锥体积的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，交于点，因为底面为菱形，所以. 又平面，所以如图建立空间直角坐标系， 设，，则，，，，， 得，，. 设平面的法向量， 则， 所以点到平面的距离为，化简得， 因为，所以，即，当且仅当时，等号成立. 故，即四棱锥体积的最小值为． 17. 2026年“五一”期间，某中学举行建校120周年校庆活动，活动内容丰富多彩，全校师生积极参与，该校志愿者社团组织了100人的志愿者团队随时待命.第一天上午安排有“校友接待与校园导览”活动，下午“校庆文艺汇演与后勤服务”活动，分别由李老师和张老师负责，每次活动需要20名志愿者参加.若李老师和张老师分别独立、随机的从这100人的志愿者团队中抽取20人.记上下午都被抽到的志愿者人数为. （1）在上下午都被抽到的志愿者人数恰好为4的条件下，求志愿者甲既被上午抽到又被下午抽到的概率； （2）求概率（，1，2，…，20），并以此说明该志愿者团队中多少名志愿者既被上午抽到又被下午抽到的可能性最大？ 【答案】（1） （2），4名志愿者 【解析】 【分析】（1）方法一：利用条件概率公式进行求解即可； 方法二：利用古典概型运算公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合题意列出不等式组进行求解即可. 【小问1详解】 方法一：记事件：“上下午都被抽到的志愿者人数恰好为4”，事件：“志愿者甲既被上午抽到又被下午抽到”，则 ，，故， 故所求事件的概率为； 方法二：由于上下午都被抽到的4名志愿者是从100人中随机抽取的，每人上下午都被抽到的可能性相等，记所求事件为事件，则； 【小问2详解】 ， 假设， 即， 解得，即， 所以该志愿者团队中4名志愿者既被上午抽到又被下午抽到的可能性最大． 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. （1）求椭圆的方程； （2）不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的方程为（，，），代入两点坐标，求得，即可得椭圆的方程； （2）（i）设直线：，与椭圆的方程进行联立，利用韦达定理及向量的坐标运算法则，用表示点的坐标，代回椭圆方程，即可求得的值，从而得到直线的方程；（ii）设，直线：，将直线方程与椭圆方程进行联立，根据斜率公式，结合韦达定理用表示，即可求得的值. 【小问1详解】 设椭圆的方程为（，，） 由题意，，解得，，所以椭圆： 【小问2详解】 （i）由椭圆的方程可得，即. 直线不过原点，所以斜率不为0，设直线：，， 由，得. 由得，，. 所以点，则，即， ，. 所以直线的方程为. （ii）设，则，即. 若，则， 所以设直线：，，. 由得， 即. 则，， 得，. 所以， 所以． 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在其定义域内恰好有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，求证：函数在的最小零点处取得最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） （3）当时，由（2）知在上单增，在上单减，有两个零点，且 当时，， 当时，，则， 由于函数和在上都单调递增， 所以在上单调递增； 当时，， 则， 由于，则， 下证：，只要证：. 由于，，且在上单调递增， 即证：，即证：（**）， 因为当时，，， 则， 即（**）一定成立， 所以，即在上单调递减， 综上所述，，原命题得证. 【解析】 【分析】（1）先求定义域，求导分析导函数得符号，从而求出单调区间； （2）按正负分类讨论单调性，利用最大值大于0建立不等式，再构造新函数借助导数研究最值从而确定参数范围； （3）通过去绝对值分段研究的单调性，借助放缩法证明导数的符号，结合单调性即可证明最小值. 【小问1详解】 当时，，则， 由，得， 所以当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 因为（）， 当时，，在定义域上单调递增，舍去； 当时，由，得， 所以在定义域上单调递增，舍去； 当时，由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， 所以在处取得最大值， 由题意知，必须（*）. 设，则， 由，得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，故在取得最小值， 即，即（*）式恒成立， 所以，所求实数的取值范围是. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安庆一中2026届高三热身考试 数学试题 （考试时间：120分钟，试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则复数的虚部为（ ） A. 1 B. 1 C. 2 D. 2 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设是周期为的奇函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有两条相邻的对称轴和，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫作向量在坐标系xOy中的坐标.若，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 7. 将甲、乙等6名志愿者分配到3个社区协助开展活动，每个社区至少1人，每个人只去1个社区，且甲、乙两人不在同1个社区，则不同的分配方法数是（ ） A. 540 B. 504 C. 408 D. 390 8. 在棱长为8的正方体中，，设集合是底面ABCD内（含边界）所有的点构成的集合，集合，则集合所表示的区域面积为（ ） A. 24 B. 20 C. 16 D. 28 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若同等容量且足够大的两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性更强 B. 数据的第60百分位数为6 C. 总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，总的样本方差为，则有 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此时推断犯错误的概率不大于0.001 10. 已知抛物线的焦点为，为上一动点，A为一定点，则正确的有（ ） A. 若，则点P的坐标为 B. 若，则的最小值为6 C. 若，则的最小值为 D. 若，则的最大值为 11. 已知函数，则（ ） A. 当时，函数只有个1零点 B. 对任意的，函数不存在单调递减区间 C. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 D. 若函数有3个零点，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的系数为___________. 13. 已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 14. 已知双曲线：（，），圆为以实轴为直径的圆，试验发现将圆竖直上移个单位或水平右移个单位后均与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求. 16. 如图所示，四棱锥底面为菱形，点，为棱的三等分点，点是棱中点. （1）过，，三点的平面与线段交于点，求证：； （2）若面，，点到平面的距离为，求四棱锥体积的最小值. 17. 2026年“五一”期间，某中学举行建校120周年校庆活动，活动内容丰富多彩，全校师生积极参与，该校志愿者社团组织了100人的志愿者团队随时待命.第一天上午安排有“校友接待与校园导览”活动，下午“校庆文艺汇演与后勤服务”活动，分别由李老师和张老师负责，每次活动需要20名志愿者参加.若李老师和张老师分别独立、随机的从这100人的志愿者团队中抽取20人.记上下午都被抽到的志愿者人数为. （1）在上下午都被抽到的志愿者人数恰好为4的条件下，求志愿者甲既被上午抽到又被下午抽到的概率； （2）求概率（，1，2，…，20），并以此说明该志愿者团队中多少名志愿者既被上午抽到又被下午抽到的可能性最大？ 18. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且过点和. （1）求椭圆的方程； （2）不经过原点的直线与椭圆交于，两点，点为椭圆上一点. （i）若直线经过椭圆的右焦点，且，求直线的方程； （ii）已知直线，，，的斜率都存在，分别记为，，，，若，求的值. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在其定义域内恰好有两个零点，求实数的取值范围； （3）当时，求证：函数在的最小零点处取得最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $