精品解析：安徽安庆市第一中学2026届高三考前自测数学试题

2026届高三四模数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 51 D. 57 4. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 8. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ） A. 智力曲线处于最低点 B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期 C. 智力曲线与情绪曲线相交 D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 13. 已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在平面四边形ABCD中，． （1）若，求CD的长； （2）设，将表示成的函数，并求的取值范围． 16. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； （2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 17. 如图，直三棱柱中，，，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当，记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 18. 某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. （1）如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； （2）如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； （3）采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三四模数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足，则的虚部为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算求出复数z，即可得，即可得答案. 【详解】由题意知复数z满足， 故， 故，则的虚部为2， 故选：B 2. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 3. 已知等差数列的公差为，且，则（ ） A. 36 B. 48 C. 51 D. 57 【答案】C 【解析】 【详解】已知等差数列的公差为，且， ， . 4. 一组数据的上四分位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将数据按从小到大排列，然后根据百分位数相关知识求解出答案. 【详解】将数据按从小到大排列得10，12，14，15，17，19，23，27，31，35，共10个数据； ，根据百分位数定义，所以上四分位数是第8个数字，即27. 故选：C. 5. 若双曲线的一条渐近线方程为，则（ ） A. B. -2 C. D. -4 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的渐近线公式计算即可. 【详解】令，所以. 故选：D 6. 已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合已知条件求出，根据投影向量的计算公式求解即可. 【详解】设向量，则， ，， 联立解得，或，，所以或. 当时，， 当时，， ， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 7. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由图可以判定，两圆内切，然后根据内切的判定得到B的轨迹方程为椭圆，根据椭圆的性质即可确定最大值. 【详解】 如图，设以为直径的圆的圆心为，， 显然两圆内切，所以， 又为的中位线，所以， 所以， 所以的轨迹为以，为焦点的椭圆， ，， 显然当为椭圆短轴顶点即时，的面积最大，最大值为， 故选：B. 8. 科学研究已经证实，人的智力，情绪和体力分别以天、天和天为周期，按进行变化，记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第天时 （ ） A. 智力曲线处于最低点 B. 情绪曲线与体力曲线都处于上升期 C. 智力曲线与情绪曲线相交 D. 情绪曲线与体力曲线都关于对称 【答案】D 【解析】 【分析】由已知得第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处，逐一判断可得选项． 【详解】第322天时，322除33余25, 322除28余14，322除23余0，即智力曲线位于周期处，情绪曲线E位于周期处，体力曲线P刚好位于起始点处， A项，则智力曲线不处于最低点，故A错误； B项，情绪曲线E处于零点，可能处于下降期，故B错误； C项，经过n个周期后，因为周期不同，所以智力曲线与情绪曲线不一定相交，故C错误； D项，(322, 0)位于体力曲线P和情绪曲线E的交点x轴上，故D正确， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数与函数的图象关于y轴对称，则（ ） A. 与有相同的零点 B. 为偶函数 C. 与有相同的极值点 D. 对任意的，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用对称性求出，求出零点判断A；确定奇偶性判断B；求出极值点判断C；借助单调性及偶函数性质推理判断D. 【详解】由函数与函数的图象关于y轴对称，得， 对于A，由，得，由，得，则与有相同的零点，A正确； 对于B，，则， 为偶函数，B正确； 对于C，由，求导得，当时，，当，， 函数有唯一极值点，由，求导得，当时，， 当，，函数有唯一极值点，C错误； 对于D，令，函数都是上的增函数， 则是上的增函数，当时，，则， 由为偶函数，得当时，，因此，都有，D正确. 10. 设是一个试验中的两个事件，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用条件概率，和事件的概率公式求解. 【详解】选项A，，， ， ， ，，故选项A正确； 选项B，，故选项B错误； 选项C，，故选项C正确； 选项D，，，，， ，故选项D错误. 故选：AC. 11. 已知等差数列满足：，公差，其前项和为，且，则下列正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 的最小值为2 D. 的取值范围是 【答案】AB 【解析】 【分析】由等差数列的性质及前项和公式，结合可得，即.代入，求出，判断A；根据，解不等式可判断B；用表示，进而表示，利用基本不等式，可判断C；用表示，根据，求得的取值范围，判断D. 【详解】由题可知，， 所以. 因为，公差，所以， 故，即. 当时，，故A正确. 若，则，所以，即， 故，故B正确. 由，得. 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为3，故C错误. 由，得，即，解得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设是周期为4的奇函数，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及周期性求解即可. 【详解】因为是周期为4的奇函数，所以， 又当时，，所以. 所以. 13. 已知随机变量，且，若（为有理数），则________． 【答案】2 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求参数值，应用二项式定理及已知确定对应项系数确定，即可得. 【详解】由正态分布的对称性知，则，所以， 由的展开式通项为， 由题设，， 所以. 14. 如图，在母线长为，高为的倒置圆锥形容器（不计厚度）内放置一个底面半径为1的圆柱体.现向圆柱侧面与圆锥侧面所夹空间内放入若干小球，所有小球均与圆柱侧面，圆锥侧面及圆锥底面所在平面相切，则这样的小球最多能放入_______个. 【答案】6 【解析】 【分析】求出满足条件的小球的半径，再由俯视图可求出两个小球球心与底面圆圆心投影连线的夹角，即可得解. 【详解】如图， 则，解得， 由题意，小球与圆柱、圆锥侧面、圆锥底面相切，作轴截面如图所示， 因为，所以，即， 则，设圆的半径为，则， 解得，即小球的半径为1, 作俯视图， 因为为等边三角形，所以， 由可知，这样的小球最多能放入6个. 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在平面四边形ABCD中，． （1）若，求CD的长； （2）设，将表示成的函数，并求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得，求解即可； （2）在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而可得，可求的取值范围． 【小问1详解】 由余弦定理， 即， 或． 【小问2详解】 ， ． 在中，由正弦定理得， 即． 在中，， 即， ， 即， ． 16. 已知函数，. （1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a； （2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求得切线为，，根据切线重合列方程求参数值； （2）问题化为在上恒成立，导数研究右侧的最大值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，则切线为， 由，令，可得且， 则，所以切线为，则， 曲线在点处的切线与曲线也相切，则； 【小问2详解】 由图象恒在图象的上方，则恒成立， 所以在上恒成立， 对应，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，故. 17. 如图，直三棱柱中，，，． （1）当时，证明：平面平面． （2）当，记平面与平面的夹角为，求的取值范围． 【答案】（1）证明：设， 因为为直三棱柱，且，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，，所以平面. 又平面，所以. 当时， P为的中点，所以在中，，，则， 因为，平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理、线面垂直的性质及面面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合面面角的向量求法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的法向量， 则，即，令，则，所以. 又，，设平面的法向量， 则，即，令，则，所以. 所以． 又，所以，，所以. 故的取值范围为． 18. 某学校围棋社团举行选拔赛，甲､乙､丙､丁四人角逐冠军，有以下2种方案： 方案1甲､乙､丙､丁四人由抽签决定两两对阵，失败者被淘汰，获胜者进入决赛，决出冠军. 方案2甲､乙､丙､丁四人按如下流程进行四轮比赛，决出冠军. 第一轮：抽签决定两两对阵，获胜者进入胜者组，失败者进入负者组； 第二轮：胜者组与负者组分别组内对阵，负者组的失败者被淘汰； 第三轮：胜者组的失败者与负者组的获胜者对阵，失败者被淘汰； 第四轮：第二轮胜者组的获胜者与第三轮的获胜者进入决赛，决出冠军. 设甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，任意两人对阵无平局，且不同对阵的结果相互独立. （1）如果采用方案1，当时，求甲获得冠军的概率； （2）如果采用方案2，经过抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁.当时，求甲参与对阵的比赛场数的数学期望； （3）采用哪种方案对甲获得冠军更有利？请用概率知识加以说明. 【答案】（1） （2） （3）当时，采用方案1对甲获得冠军更有利；当时，采用两种方案中任一种皆可；当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 【解析】 【分析】（1）设甲获得冠军为事件 ,甲需连赢两场,即先赢半决赛、再赢决赛,由甲对任意对手胜率均为 ,且 ,得 . （2）设甲参赛场数为 ,可能取值为2,3,4,分别计算： 对应甲连输两场,概率 ； 对应两种路径（即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）,概率各为 ,即 ； ,代入 得期望 . （3）分别计算方案1和方案2下甲夺冠的概率,表示为 的函数,作差比较,根据差值符号判断 在何范围时哪种方案更有利,最后说明对甲而言方案2整体更优或给出临界值. 【小问1详解】 设“采用方案1甲获得冠军”. 因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为，且， 所以. 即采用方案1甲获得冠军的概率为. 【小问2详解】 设甲参与对阵的比赛场数为随机变量，则的所有可能取值为. ； （即第一场负第二场胜第三场胜或第一场胜第二场负第三场胜）； . 故的数学期望. 【小问3详解】 因为甲对阵乙､丙､丁获胜的概率均为， 所以采用方案1甲获得冠军的概率为； 采用方案2甲获得冠军的概率为. . 因为，所以当时，； 当时，；当时，. 故当时，采用方案1对甲获得冠军更有利； 当时，采用两种方案中任一种皆可； 当时，采用方案2对甲获得冠军更有利. 19. 已知离心率且焦点在x轴上的序列椭圆：（），其中的一个焦点为．过上一点（）作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在过且垂直于轴的直线上． （1）求数列的通项公式； （2）求直线的斜率； （3）若O为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：． 【答案】（1） （2） （3）由（2）知的方程为，此时， ，， ， 到直线的距离， 因为的面积，解得满足， 因为，所以，， 则，所以， 则． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，进而可得，可求数列的通项公式； （2）设的方程为．联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而可得，计算可求直线的斜率； （3）求得，结合三角形的面积可得，可得 ，可证明结论. 【小问1详解】 由，解得， 因为的一个焦点为，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 由（1）知,即． 因为的内心在过且垂直于轴的直线上，所以， 设,，的方程为， 将其代入整理得． ，即， 由韦达定理可得，，(*) 把代入，可得,由对称性，不妨取， 由得， 整理得， 即 , 将(*)代入，整理得， 当时，过点，舍去， 所以，解得． 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $