第9章 统计 提升 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第9章 统计 ◆ 题型一　随机抽样 [类型总述] (1)随机抽样的相关概念;(2)用简单随机抽样的方法抽取样本; (3)用分层随机抽样的方法抽取样本.　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级6个班级中任选2个班级,并在所选的班级中按男女比例抽取样本,则应采用的抽样方法是 (　 ) A.简单随机抽样 B.比例分配的分层随机抽样 C.先用比例分配的分层随机抽样,再用随机数法 D.先用抽签法,再用比例分配的分层随机抽样 (2)现有以下两项调查: ①植物根据植株的高度及分枝部位等可以分为乔木、灌木和草木三大类,某植物园需要对其园中的不同植物的干重(烘干后测定的质量)进行测量;②从40台刚出厂的大型挖掘机中抽取4台进行质量检测.上述两项调查应采用的抽样方法是 (　 ) A.①用简单随机抽样,②用分层随机抽样 B.①用简单随机抽样,②用简单随机抽样 C.①用分层随机抽样,②用简单随机抽样 D.①用分层随机抽样,②用分层随机抽样 变式 (1)[2025·陕西汉中高二期中] 要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验,将它们编号为000,001,002,…,499,利用随机数法抽取样本,首先利用计算机产生随机数(前三行如下),然后从第2行第5列的数开始,按3位数一组依次向右读取,到行末后接着从下一行第一个数继续,则抽取的第4袋牛奶的编号是 (　 ) 84421 75531 57245 50688 77047 44767 21763 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98301 07185 12867 35807 44395 23879 33211 A.358 B.301 C.071 D.206 (2)(多选题)某科研院共有科研人员200人,统计得到如下数据: 　　　研究学科 性别　　　 数学 物理 化学 生物 合计 女 15 10 24 31 80 男 45 40 18 17 120 合计 60 50 42 48 200 欲了解该所科研人员的创新能力,决定抽取40名科研人员进行调查,那么 (　 ) A.若按照研究学科进行比例分配的分层随机抽样,则数学学科科研人员一定被抽取12人 B.若按照性别进行比例分配的分层随机抽样,则男性科研人员可能被抽取20人 C.若按照简单随机抽样,则女性科研人员一定被抽取10人 D.若按照简单随机抽样,则可能抽出的均为数学学科科研人员 ◆ 题型二　总体取值规律的估计 [类型总述] (1)频率分布表与频率分布直方图;(2)统计图中的样本分布. 例2 (1)某地区教研机构对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了200分到450分之间的1000名学生的成绩,并根据这些学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在[350,450]内的学生人数为 (　 ) A.300 B.400 C.600 D.1200 (2)某城市收集并整理了该市2024年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位: ℃)的数据,绘制了如图所示的折线图.则根据该折线图,下列结论错误的是 (　 ) A.最高气温的极差所在的范围为(25,30) B.10月的最高气温不低于5月的最高气温 C.最低气温低于0 ℃的月份有4个 D.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月 (3)(多选题)[2025·河北保定高二期末] 改革开放以来,某地区率先推进经济转型升级和高质量发展,成功实现从传统的农业、工业化经济向现代化服务型、创新型、数字经济转化,实现了从粗放型增长向高质量发展的迈进.该地区经过近十年的发展,经济总收入变为原来的两倍,如图统计了该地区经济转型前和经济转型后经济总收入的构成比例,则下列结论中正确的是 (　 ) A.经济转型后,农业收入减少了 B.经济转型后,工业收入增加了一倍以上 C.经济转型后,其他产业收入是转型前的两倍 D.经济转型后,第三产业收入超过了经济转型前经济总收入 变式 (1)为了解某企业员工对党史的学习情况,对该企业员工进行问卷调查,已知他们的得分都处在A,B,C,D四个区间内,根据调查结果得到如图所示的统计图.已知该企业男员工占,则下列结论中,正确结论的个数是　　　　.  ①男、女员工得分在A区间内的占比相同; ②在各得分区间内男员工的人数都多于女员工的人数; ③得分在C区间内的员工最多; ④得分在D区间内的员工占总人数的20%. (2)我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出.某市政府为了了解全市居民生活用水量的分布情况,通过抽样,获得100户居民的月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,4),[4,8),…,[32,36]分成9组,制成如图所示的频率分布直方图.为了鼓励居民节约用水,该市政府在本市实行居民生活用水“阶梯水价”:第一阶梯为每户每月用水量不超过20 m3的部分,按3元/m3收费;第二阶梯为超过20 m3但不超过28 m3的部分,按5元/m3收费;第三阶梯为超过28 m3的部分,按8元/m3收费. ①求频率分布直方图中a的值. ②已知该市有20万户居民,估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数. ③该市政府希望使至少有95%的用户每月用水量不超过第二阶梯收费标准,请根据样本数据判断,现行收费标准是否符合要求?若不符合,则应该将第二阶梯用水量的上限至少上调到多少? ◆ 题型三　用样本的数字特征估计总体的数字特征 [类型总述] (1)总体百分位数的估计;(2)总体集中趋势的估计;(3)总体离散程度的估计. 例3 (1)如图为某段时间内中国大学生使用APP偏好及目的统计图,根据统计图,下列结论正确的是 (　 ) A.超过的大学生更爱使用购物类APP B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要 C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23% D.使用APP目的中6个占比数字的40%分位数是34.3% (2)(多选题) 某种蜜柚以其皮薄核少、柚香浓郁、口感清甜的特点深受人们喜爱.为了解某蜜柚种植园的产量情况,随机抽取了其中80株蜜柚树,测量每株产量(单位:kg),整理所得数据并绘制成如图所示的频率分布直方图,则下列说法正确的是 (　 ) A.图中a的值为0.025 B.样本中单株蜜柚树的产量少于120 kg的一定有56株 C.估计该种植园中单株蜜柚树的产量的众数为110 kg D.估计该种植园中单株蜜柚树的产量的平均数超过118 kg(每组数据用该组所在区间的中点值作代表) (3)[2023·全国乙卷] 某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. 2 求,s2; ②判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如果,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高) . 变式 (1)[2024·新课标Ⅱ卷] 某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)都在[900,1200)内,并整理得到下表: 亩产量 [900, 950) [950, 1000) [1000, 1050) [1050, 1100) [1100, 1150) [1150, 1200) 频数 6 12 18 30 24 10 根据表中数据,下列结论正确的是 (　 ) A.100块稻田亩产量的中位数小于1050 kg B.100块稻田中亩产量低于1100 kg的稻田所占比例超过80% C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg到300 kg之间 D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg到1000 kg之间 (2)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最小值,x6是最大值,则 (　 ) A.x2,x3,x4,x5的平均数等于x1,x2,…,x6的平均数 B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位数 C.x2,x3,x4,x5的标准差不小于x1,x2,…,x6的标准差 D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,…,x6的极差 (3)某市旅游部门为了促进该市生态特色城镇和新农村建设,将甲、乙、丙三家民宿的相关资料放到某网络平台上进行推广宣传.该平台邀请部分曾在这三家民宿体验过的游客参与调查,得到了这三家民宿的“综合满意度”评分,评分越高表明游客体验越好,现从这三家民宿“综合满意度”的评分中各随机抽取10个评分数据,并对所得数据进行整理、描述和分析,下面给出了部分信息. a.甲、乙两家民宿“综合满意度”评分的折线图: b.丙家民宿“综合满意度”评分: 2.6,4.7,4.5,5.0,4.5,4.8,4.5,3.8,4.5,3.1 c.甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数如下表: 甲 乙 丙 平均数 m 4.5 4.2 中位数 4.5 4.7 n 根据以上信息,回答下列问题: ①分别求表中m,n的值. ②设甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的方差分别为,,,试比较其大小. ③根据“综合满意度”的评分情况,该平台打算将甲、乙、丙三家民宿中的一家置顶推荐,你认为该平台会将这三家民宿中的哪家置顶推荐?说明理由(至少从两个方面说明). 例4 为检测同学们的体能,学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试,并将成绩分成五组:第一组[45,55),第二组[55,65),第三组[65,75),第四组[75,85),第五组[85,95],绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为0.3,第一组和第五组的频率相同. (1)估计这100名同学体能测试成绩的平均数和众数. (2)现从以上各组中用比例分配的分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析,抽出的第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40,第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70.据此估计第二组和第四组所有同学成绩的方差. 变式 睡眠是守卫健康的忠臣,小周同学就高三同学睡眠问题展开了一次调研活动. (1)小周同学随机调查了某中学高三十个班级的单个学生睡眠平均时长所在区间的人数分布,得到部分统计表和频率分布直方图(如图①),请补全统计表(横向代表班级序号,纵向代表平均睡眠时长(单位:h)所在区间,框内数据代表人数)与频率分布直方图,并通过直方图估计该中学高三同学睡眠的60%分位数(作图不要求写出过程). (2)小周同学随机收集了100名同学的具体睡眠时长,这些数据中男生有60人,平均睡眠时长与睡眠时长的方差分别为6.3 h与12.06;女生有40人,平均睡眠时长与睡眠时长的方差分别为6.8 h与13.01.请根据以上数据计算出这100名同学睡眠时长的总方差. (3)睡眠连续性得分是判断睡眠质量的分数度量,一般不低于70算合格.临近大型考试,小周同学用智能手表测出了考试前一周他的睡眠连续性得分,如图②,请根据图②得出两条有效信息并为他提出一条可行的睡眠建议. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 (3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 (5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 (6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (8,9] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)D　(2)C　[解析] (1)某校为了解高一年级学生的学业生涯规划情况,在高一年级6个班级中任选2个班级,这一过程应采用抽签法或随机数法;在所选的班级中按男女比例抽取样本,应用比例分配的分层随机抽样.故选D. (2)对于①,乔木、灌木、草木,分类明显,应采用分层随机抽样;对于②,刚出厂的大型挖掘机没有明显分层特点,且样本容量较小,应采用简单随机抽样.故选C. 变式　(1)C　(2)AD　[解析] (1)由题意可知,读取的第一个数据是583,不符合条件,第二个数据是921,不符合条件,第三个数据是206,符合条件,即抽取的第1袋牛奶的编号是206.之后读取的部分数据依次是766,301,647,859,169,555,671,998,301,其中符合题意的数据只有301,169,301三个数据,但是301属于重复数据,继续往后计数.下一个数据是071,符合条件,即抽取的前4袋牛奶的编号依次为206,301,169,071,所以抽取的第4袋牛奶的编号为071.故选C. (2)对于选项A,按照研究学科进行比例分配的分层随机抽样,数学学科人数占总人数的=,则数学学科抽取的人数为×40=12,故A正确;对于选项B,按照性别进行比例分配的分层随机抽样,男性科研人员人数占总人数的=,则男性科研人员被抽取的人数为×40=24,故B错误;对于选项C,若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则女性科研人员不一定被抽取10人,故C错误;对于选项D, 若按照简单随机抽样,则每个人被抽到的概率都相等,则可能抽出的均为数学学科科研人员,故D正确.故选AD. 题型二 例2　(1)B　(2)C　(3)AC　[解析] (1)由频率分布直方图可得,(0.002+0.004+a+a+0.002)×50=1,解得a=0.006,所以成绩在[350,450]内的学生人数为1000×(0.006+0.002)×50=400.故选B. (2)对于A选项,最高气温最低的为1月,最高气温最高的为9月,观察折线图可知,最高气温的极差所在的范围为(25,30),A中结论正确.对于B选项,通过观察折线图可知,10月的最高气温不低于5月的最高气温,B中结论正确.对于C选项,最低气温低于0 ℃的月份有3个,C中结论错误.对于D选项,通过观察折线图可知,月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,D中结论正确.故选C. (3)设该地区经济转型前经济总收入为a,则经济转型后经济总收入为2a.对于A,经济转型后农业收入为20%×2a=40%a,经济转型前农业收入为45%a,故经济转型后,农业收入减少了,故A正确.对于B,经济转型后工业收入为30%×2a=60%a,经济转型前工业收入为40%a,故经济转型后,工业收入增加不到一倍,故B不正确.对于C,经济转型后其他产业收入为5%×2a=10%a,经济转型前其他产业收入为5%a,故经济转型后,其他产业收入是转型前的两倍,故C正确.对于D,经济转型后第三产业收入为45%×2a=90%a,经济转型前经济总收入为a,故经济转型后,第三产业收入没有超过经济转型前经济总收入,故D不正确.故选AC. 变式　(1)1　[解析] 根据题意,设员工总人数为n,因为女员工人数为20+60+70+50=200,所以=1-=,解得n=500,所以男员工人数为500-200=300.对于①,女员工得分在A区间内的占比为=10%,男员工得分在A区间内的占比为1-40%-35%-15%=10%,故①正确;对于②,女员工得分在A区间内的有20人,在B区间内的有60人,在C区间内的有70人,在D区间内的有50人,男员工得分在A区间内的有300×10%=30(人),在B区间内的有300×40%=120(人),在C区间内的有300×35%=105(人),在D区间内的有300×15%=45(人),所以得分在D区间内的男员工少于女员工,故②错误;对于③,得分在B区间内的有60+120=180(人),在C区间内的有70+105=175(人),所以得分在B区间内的人数比在C区间内的人数多,故③错误;对于④,得分在D区间内的有50+45=95(人),所以得分在D区间内的员工占总人数的=19%,故④错误.综上,①正确,②③④错误,故正确结论的个数是1. (2)解:①由题可知,(0.010+0.020+a+0.050+0.065+a+0.015+0.010+0.005)×4=1,解得a=0.037 5. ②居民用水量为20 m3时,收费为60元,所以若月均用水费用不超过60元,则月均用水量小于等于20 m3,由频率分布直方图可知,月均用水量小于等于20 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065)×4=0.73,20×0.73=14.6(万户),所以估计全市居民中月均用水费用不超过60元的用户数为14.6万. ③抽取的100户居民月均用水量不超过28 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015)×4=0.94,0.94<0.95,所以现行收费标准不符合要求. 抽取的100户居民月均用水量不超过32 m3的频率为(0.010+0.020+0.037 5+0.050+0.065+0.037 5+0.015+0.010)×4=0.98,×(32-28)=1,所以现行收费标准不符合要求,需将第二阶梯用水量的上限至少上调到29 m3. 题型三 例3　(1)C　(2)AD　[解析] (1)对于A选项,更爱使用购物类APP的大学生比例为25.7%<,A错误;对于B选项,为了学习与生活需要使用APP的大学生比例为34.3%+14%=48.3%<50%,B错误;对于C选项,使用APP偏好情况中7个占比数字的极差为25.7%-2.7%=23%,C正确;对于D选项,6×40%=2.4,故从小到大排列后的第3个数为40%分位数,即14.0%,D错误.故选C. (2)对于A,由频率分布直方图的性质,可得(0.015+a+0.030+0.020+0.010)×10=1,解得a=0.025,故A正确;对于B,因为前三个矩形的面积之和为(0.015+0.025+0.030)×10=0.7,0.7×80=56,所以产量少于120 kg的蜜柚树数量小于等于56,故B错误;对于C,估计该种植园中单株蜜柚树产量的众数为=120(kg),故C错误;对于D,(100×0.015+110×0.025+120×0.030+130×0.020+140×0.010)×10=118.5>118,故D正确.故选AD. (3)解:①∵zi=xi-yi(i=1,2,…,10),∴当i=1,2,…,10时,zi的值依次为9,6,8,-8,15,11,19,18,20,12,∴=×[9+6+8+(-8)+15+11+19+18+20+12]=11, s2=×[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=×(22+52+32+192+42+02+82+72+92+12)=×610=61. ②∵-4×=112-4×=121-24.4=96.6>0, ∴>4×,即>2,∴≥2成立. ∴甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 变式　(1)C　(2)BD　[解析] (1)对于A,根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1050 kg,故A错误;对于B,亩产量低于1100 kg的稻田所占比例为=66%,故B错误;对于C,设稻田亩产量的极差为t,则由题意知t<1200-900=300,且t>1150-950=200,即200<t<300,故C正确;对于D,100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18×1025+30×1075+24×1125+10×1175)=1067,故D错误.故选C. (2)对于A,这一组样本数据可取1,2,2,2,2,4,则2,2,2,2的平均数不等于1,2,2,2,2,4的平均数,故A错误;对于B,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x2,x3,x4,x5的中位数为,而x1,x2,x3,x4,x5,x6的中位数也为,故B正确;对于C,根据题意可知,x1,x2,x3,x4,x5,x6的数据波动性大于x2,x3,x4,x5的数据波动性,故x2,x3,x4,x5的标准差小于x1,x2,x3,x4,x5,x6的标准差,故C错误;对于D,不妨设x2≤x3≤x4≤x5,则x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6,故x5-x2≤x6-x1,故D正确.故选BD. (3)解:①甲家民宿“综合满意度”评分为3.2,4.2,5.0,4.5,5.0,4.8,4.5,4.3,5.0,4.5,∴m=×(3.2+4.2+5.0+4.5+5.0+4.8+4.5+4.3+5.0+4.5)=4.5, 将丙家民宿“综合满意度”评分从小到大排列为2.6,3.1,3.8,4.5,4.5,4.5,4.5,4.7,4.8,5.0,∴n==4.5. ②=×[(3.2-4.5)2+(4.2-4.5)2+(5.0-4.5)2+(4.5-4.5)2+(5.0-4.5)2+(4.8-4.5)2+(4.5-4.5)2+(4.3-4.5)2+(5.0-4.5)2+(4.5-4.5)2]=0.266, =×[(4.0-4.5)2+(4.2-4.5)2+(4.7-4.5)2+(5.0-4.5)2+(4.7-4.5)2+(4.7-4.5)2+(4.1-4.5)2+(4.7-4.5)2+(4.2-4.5)2+(4.7-4.5)2]=0.104, =×[(2.6-4.2)2+(4.7-4.2)2+(4.5-4.2)2+(5.0-4.2)2+(4.5-4.2)2+(4.8-4.2)2+(4.5-4.2)2+(3.8-4.2)2+(4.5-4.2)2+(3.1-4.2)2]=0.554, ∴<<. ③推荐乙,理由:乙的方差最小,数据稳定,平均分与甲相同且比丙高.(答案不唯一,合理即可) 例4　解:(1)由题意可知解得所以每组的频率依次为0.05,0.25,0.45,0.2,0.05,所以平均数为50×0.05+60×0.25+70×0.45+80×0.2+90×0.05=69.5(分),众数为=70(分). (2)由题知,抽出的20人中,在第二组的有5人,在第四组的有4人.设第二、四组同学成绩的平均数分别为,,方差分别为,,则第二组与第四组所有同学成绩的平均数为==70,第二组与第四组所有同学成绩的方差为s2=[+(-)2]+[+(-)2]=×[40+(62-70)2]+×[70+(80-70)2]=, 故估计第二组和第四组所有同学成绩的方差为. 变式　解:(1)统计表如下. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 合计/人 (3,4] 1 0 1 2 1 0 0 1 0 0 6 (4,5] 8 7 8 6 4 7 7 4 5 4 60 (5,6] 8 12 10 8 17 16 12 13 12 12 120 (6,7] 25 25 26 25 22 22 24 23 25 23 240 (7,8] 6 6 7 7 5 4 5 6 7 7 60 (8,9] 2 2 1 1 2 1 1 2 0 2 14 频率分布直方图如图. 由图可知,从左到右各组的频率分别为0.012,0.12,0.24,0.48,0.12,0.028, 又0.012+0.12+0.24=0.372,0.012+0.12+0.24+0.48=0.852,所以60%分位数位于(6,7]内,设为x, 得0.012+0.12+0.24+0.48(x-6)=0.6,解得x=6.475, 所以该中学高三同学睡眠时长的60%分位数为6.475 h. (2)把男生样本记为x1,x2,…,x60,其平均数记为,方差记为;把女生样本记为y1,y2,…,y40,其平均数记为,方差记为;把总样本数据的平均数记为,方差记为s2. 则=×6.3+×6.8=6.5, (3)信息:临近考试时睡眠连续性得分呈下降趋势; 考试前3天睡眠连续性得分均不合格. 建议:调整心态、规律作息、不要紧张、自信迎考. 学科网（北京）股份有限公司 $