9.1.1　简单随机抽样 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章　统计 9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 【学习目标】 　　1.了解随机抽样的必要性和重要性,理解随机抽样的目的和基本要求. 　　2.会用两种简单随机抽样方法(抽签法和随机数法)进行抽样. 　　3.掌握用样本平均数估计总体平均数的方法. ◆ 知识点一　普查与抽样调查 1.普查与抽样调查 调查 方式 全面调查 (普查) 抽样调查 定义 对　　　　　　　都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查  根据一定目的,从总体中抽取　　　　进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法,称为抽样调查  相关 概念 总体:在一个调查中,　　　　　　的全体称为总体(为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体)  样本:从总体中抽取的那部分　　　　　　称为样本  个体:组成总体的每一个　　　　　　称为个体 (把调查对象的某些指标的全体作为总体时,每一个调查对象的相应指标作为个体)  样本量:样本中包含的　　　　称为样本容量,简称样本量  优、 缺点 优点是精确,缺点是不宜经常进行,需要耗费巨大的财力、物力 优点是花费少、效率高、易操作,缺点是不够精确 2.样本数据:调查样本获得的变量值称为样本的观测数据,简称样本数据. ◆ 知识点二　简单随机抽样 1.简单随机抽样的概念 放回简单随机抽样 不放回简单随机抽样 一般地,设一个总体含有N(N为正整数)个个体,从中　　　抽取n(1≤n<N)个个体作为样本  如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都　　　,我们把这样的抽样方法叫作放回简单随机抽样  如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的　　　　被抽到的概率都　　　　,我们把这样的抽样方法叫作不放回简单随机抽样  简单随机抽样:放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为　　　　　　　.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本  2.与放回简单随机抽样比较,不放回简单随机抽样的　　　　.除非特殊声明,本章所称的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.  3.最常用的简单随机抽样的方法有两种:　　　　和　　　　　.  ◆ 知识点三　抽签法与随机数法 1.抽签法 抽签法的具体操作步骤: (1)给总体中的N个个体编号; (2)制作号签,并将号签放在一个不透明容器中; (3)充分搅拌均匀; (4)从中不放回地逐个抽取n次,得到容量为n的样本. 2.随机数法 随机数法的步骤:给总体的N个个体依次编号,例如1~N,用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数,把产生的随机数作为抽中的编号,使与编号对应的个体进入样本,重复上述过程,直到抽足样本所需要的个数. 产生随机数的方法: (1)用随机试验生成随机数. (2)用信息技术生成随机数: ①用　　　　生成随机数;   ②用　　　　软件生成随机数;   ③用R统计软件生成随机数. 3.抽签法与随机数法的异同点 抽签法 随机数法 不同点 ①抽签法比随机数法简单; ②抽签法适用于总体中的个体数相对较少的情况 随机数法适用于总体中的个体数相对较多的情况 相同点 ①都是简单随机抽样,并且要求被抽取样本的总体的个数有限; ②都是从总体中逐个不放回地抽取 【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验,适合用抽签法. (　 ) (2)从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验,适合用随机数法. (　 ) ◆ 知识点四　样本平均数与总体平均数 1.概念: (1)总体平均数的定义:一般地,总体中有N个个体,它们的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,则称==　　　　　为总体均值,又称　　　　　　.  (2)总体均值的加权平均数形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体均值还可以写成加权平均数的形式 =　　　　　　.  (3)又称　　　　　　　.  2.样本平均数与总体平均数的关系 (1)样本平均数的求得往往比较简单易行,而当总体中的个体数比较多时,计算其平均数比较费时麻烦. (2)样本是总体中的部分数据,随着选取样本的不同,其平均数也不一定　　　　,但总体平均数是一个确定的值.  (3)在随机抽样中,一般用　　　　　去估计总体平均数.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)总体平均数是总体的一项重要特征. (　 ) (2)对于一组数据,样本平均数与总体平均数一定相等. (　 ) ◆ 知识点五　总体比例与样本比例 1.总体比例的定义 总体中具有某种特征的个体数占总体容量的比例称为总体比例,通常记作P. 2.样本比例的定义 样本中具有此种特征的个体数占样本量的比例称为样本比例,通常记作p. 3.在简单随机抽样中,用样本平均数可以估计　　　　 ,用样本中的比例p可以估计　　　　　　　P.  【诊断分析】 判断下列说法的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在简单随机抽样中,可以用样本平均数估计总体平均数. (　 ) (2)在简单随机抽样中,可以用样本中的比例估计总体中的比例. (　 ) (3)在样本数据1,1,2,2,1,2,1,2,2,1,1,2,1,1,1,2,1,1,2,2中,1所占的比例是0.55. (　 ) ◆ 探究点一　普查与抽样调查 例1 (1)从某年级500名学生中抽取60名学生进行身高的统计分析,下列说法错误的是 (　 ) A.500名学生的身高是总体 B.每个学生的身高是个体 C.抽取的60名学生的身高是一个样本 D.抽取的60名学生的身高是样本容量 (2)下列情况适合用全面调查还是抽样调查?说明理由. ①了解某城市居民的食品消费结构; ②调查一个乡镇各村的粮食播种面积; ③了解全国高中学生中患近视的比例; ④了解一批花生种子的发芽率; ⑤某企业想了解其产品在市场的占有率. 变式 (1)(多选题)为了了解某社区60周岁以上老年人的体重情况,进行如下调查: 调查一:对该社区所有60周岁以上老年人的体重进行调查. 调查二:对该社区部分60周岁以上老年人(500名)的体重进行调查. 关于上述调查,下列说法正确的是 (　 ) A.调查一是普查,调查二是抽样调查 B.调查二中的总体是抽取的该社区500名60周岁以上老年人的体重 C.调查二中的样本量是500 D.检测一批灯泡的使用寿命宜采用与调查一相同的调查方式,以使收集的数据更准确 (2)交警在某高速公路的某路段随机观测6辆车的行驶速度,观测结果如下: 车序号 1 2 3 4 5 6 速度(km/h) 115 98 105 100 80 78 ①交警采取的是　　　　调查的方式.  ②为了强调调查目的,这次调查的样本是　　　　　　　　,个体是　　　　　　　　.  [素养小结] 一般地,如果调查对象较少,容易调查,那么适合普查;如果调查对象较多或者具有破坏性,那么适合抽样调查. ◆ 探究点二　简单随机抽样的理解 例2 (1)(多选题)关于简单随机抽样的特点,下列说法中正确的是 (　 ) A.要求总体中的个体数有限 B.总体中的个体数可以无限 C.每个个体被抽到的概率相等,与先后顺序无关 D.每个个体被抽到的概率不相等,与先后顺序有关 (2)下面的抽样方法是简单随机抽样吗?为什么? ①从无数个个体中抽取50个个体作为样本; ②盒子里共有80个零件,从中逐个抽出5个零件进行质量检验; ③从20件玩具中一次性随机抽取3件进行质量检验; ④某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛. 变式 下列四个抽样中,不是简单随机抽样的是 (　 ) A.从平面直角坐标系中抽取100个点作为样本 B.实验室的笼子里共有100只小白鼠,现要从中抽取10只进行试验,每次不经任何挑选地抓一只,抓满10只为止 C.仓库中有1万支奥运火炬,从中一次性随机抽取100支火炬进行质量检查 D.一彩民选号,从装有36个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签 [素养小结] 简单随机抽样的三个特征: (1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的; (2)抽取的样本是从总体中不放回逐个抽取的; (3)简单随机抽样是一种等可能的抽样. 如果这三个特征有一个不满足,就不是简单随机抽样. ◆ 探究点三　抽签法和随机数法的应用 例3 某大学为了支援我国西部教育事业,决定从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数法设计抽样方案. 变式 (1)抽签法中确保样本具有代表性的关键是 (　 ) A.总体中的个体数较少 B.搅拌均匀 C.逐一抽取 D.抽取后不放回 (2)2025年5月,某中学举行了“讲好航天故事”演讲比赛.若将报名的30位同学按01,02,…,30进行编号,利用科学计算器依次生成一组随机数,第1行和第2行如下: 4567 3212 1231 0701 0852 1320 0112 5129 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 若利用这组随机数来决定他们的出场顺序,选取方法是从产生的随机数的第1行第3列的数字开始,由左到右依次选取两个数字,则选取的第5位同学的编号为　　　　.  [素养小结] (1)应用抽签法时号签要搅拌均匀. (2)当总体容量较大,样本容量不大时,可用随机数法抽取样本. ◆ 探究点四　样本平均数与总体平均数的计算及应用 例4 (1)甲在某随机试验中得到一组数据6,8,8,9,8,9,8,8,7,9.关于这组数据,下列说法中错误的是 (　 ) A.小于8的数所占的比例为0.2 B.平均数为8 C.不大于8的数所占的比例为0.7 D.平均数为8.5 (2)某单位开展“党员在线学习”活动,统计某党员2025年2月份学习的得分情况,下表是随机抽取该党员其中七天学习的得分情况: 日期 2月 2日 2月 6日 2月 13日 2月 15日 2月 16日 2月 19日 2月 21日 得分 35 26 15 20 30 25 17 则所抽取的样本(七天学习的得分)的均值为　　　　,据此可以估计该党员2月份学习得分的均值为　　　　.  变式 (1)若是x1,x2,…,x100的平均数,a是x1,x2,…,x20的平均数,b是x21,x22,…,x100的平均数,则下列各式中正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.=a+b B.=a+b C.=a+b D.= (2)为了调查某校高一年级学生每天午餐消费情况,从该校高一年级学生中抽查了20名学生,这20名学生每天午餐消费数据如下(单位:元): 10 12 8 8 10 14 17 8 10 8 12 10 10 17 8 10 12 10 10 12 据此可估计,该校高一年级学生每天午餐的平均费用为　　　　元;在高一年级学生中,午餐费用不低于12元的比例为　　　　.  [素养小结] 求平均数时,直接运用公式计算即可,对于加权平均数一定要注意各个数据的数量. 第九章　统计 9.1　随机抽样 9.1.1　简单随机抽样 【课前预习】 知识点一 1.每一个调查对象　一部分个体　调查对象　个体　调查对象 个体数 知识点二 1.逐个　相等　各个个体　相等　简单随机抽样 2.效率更高　3.抽签法　随机数法 知识点三 2.(2)①计算器　②电子表格 诊断分析 (1)√　(2)√　[解析] (1)总体容量较小,适合用抽签法. (2)总体容量较大,适合用随机数法. 知识点四 1.(1)　总体平均数　(2) (3)样本平均数 2.(2)相同　(3)样本平均数 诊断分析 (1)√　(2)× 知识点五 3.总体平均数　总体中的比例 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√　[解析] (3)样本数据中1所占的比例是=0.55. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　[解析] 由于抽取的是60名学生的身高,因此500名学生的身高是总体,每个学生的身高是个体,这60名学生的身高是一个样本,样本容量为60,故A,B,C中说法正确,D中说法错误.故选D. (2)解:①适合抽样调查,因为调查对象较多. ②适合全面调查,因为调查对象较少. ③适合抽样调查,因为调查对象较多. ④适合抽样调查,因为调查具有破坏性. ⑤适合抽样调查,因为调查对象多而且不易操作. 变式　(1)AC　(2)①抽样　②6辆车的行驶速度　每1辆车的行驶速度　[解析] (1)对于A,根据抽样调查和普查的概念可知,调查一是普查,调查二是抽样调查,故A正确;对于B,根据总体和样本的概念可知,总体是该社区所有60周岁以上老年人的体重,样本是抽取的该社区500名60周岁以上老年人的体重,故B错误;对于C,结合已知条件和样本量的概念可知,调查二中的样本量是500,故C正确;对于D,由于检测一批灯泡的使用寿命具有破坏性,故只能用抽样调查,故D错误.故选AC. (2)①交警采取的是抽样调查的方式.②这次调查的样本是6辆车的行驶速度,个体是每1辆车的行驶速度. 探究点二 例2　(1)AC　[解析] 对于简单随机抽样,要求总体中的个体数有限,且每个个体被抽到的概率相等,与先后顺序无关,故B,D错误,A,C正确.故选AC. (2)解:①不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求总体中的个体数是有限的. ②是简单随机抽样, 因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样. ③是简单随机抽样,因为总体中的个体数是有限的,并且是从总体中一次性随机抽取的,是不放回、等可能的抽样. ④不是简单随机抽样,因为不是等可能抽样. 变式　A　[解析] 根据简单随机抽样的特点逐个判断.A不是简单随机抽样,因为简单随机抽样要求总体中的个体数是有限的;B是简单随机抽样,从实验室的笼子里的100只小白鼠中抽取10只进行试验,每次不经任何挑选地抓一只,抓满10只为止,满足简单随机抽样的定义;C是简单随机抽样,一次性随机抽取与逐个不放回抽取等价;D符合简单随机抽样的特点.故选A. 探究点三 例3　解:抽签法: (1)先将18名志愿者进行编号,号码为1,2,3,…,18; (2)把号码写在形状和大小都相同的号签上; (3)将号签放在某个不透明的箱子里充分搅拌,使之均匀; (4)从箱子中逐个抽取6个号签,并记录上面的号码; (5)与这6个号签上的号码对应的6名志愿者就构成一个样本. 随机数法: (1)先将18名志愿者进行编号,号码为1,2,3,…,18; (2)利用随机数工具产生1,2,…,18中的随机数,产生的数是几,就选第几号个体; (3)重复第二步,若生成的随机数重复,则剔除重复的号码并重新产生随机数,直至选出6个样本. 变式　(1)B　(2)13　[解析] (1)总体中的个体数较少、逐一抽取、抽取后不放回均是简单随机抽样的特点,但不是确保样本具有代表性的关键.故选B. (2)从题中随机数的第1行第3列的数字开始,依次选取的有效编号为12,12(重复,舍去),07,01,08,13,…,故选取的第5位同学的编号为13. 探究点四 例4　(1)D　(2)24　24　[解析] (1)把这一组数据从小到大排列为6,7,8,8,8,8,8,9,9,9,则小于8的数所占的比例为0.2;不大于8的数所占的比例为0.7;平均数为×(6+7+8+8+8+8+8+9+9+9)=8.故选D. (2)所抽取的样本的均值为×(35+26+15+20+30+25+17)=24,据此可以估计该党员2月份学习得分的均值为24. 变式　(1)A　(2)10.8　35%　[解析] (1)=×(20a+80b)=a+b.故选A. (2)样本平均数为=10.8(元).样本中午餐消费不低于12元的比例为=0.35,所以估计该校高一年级学生每天午餐的平均费用为10.8元,在高一年级学生中,午餐费用不低于12元的比例为35%. 学科网（北京）股份有限公司 $