专题04不等式与一元一次不等式期中复习讲义(15大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题04不等式与一元一次不等式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式、一元一次不等式（组）的核心概念，熟记不等式 3 条基本性质（重点：乘除负数变号）。 2.掌握一元一次不等式（组）的解法，会用数轴表示解集，牢记不等式组 4 种解集规律。 1.熟练、规范解一元一次不等式（组），能准确用数轴表示解集。 2.能将实际问题中的不等关系转化为不等式，解决简单应用问题。 3.能辨析不等式与方程的解法差异，规避常见易错点。 1.基础题（性质判断、数轴表示、简单求解）零失误，拿满基础分。 2.中档题（含分母 / 括号的不等式、不等式组求解）步骤规范，稳拿分。 3.应用题抓准不等关系，按模板规范作答，拿满应用分。 题型01.不等式及其性质 题型02.一元一次不等式定义 题型03.解一元一次不等式 题型04.数轴表示不等式的解集 题型05.求不等式的整数解 题型06.不等式解的最值问题 题型07.含绝对值不等式的解法 题型08.列一元一次不等式 题型09.不等式的实际应用 题型10.不等式的几何应用 题型11.不等式组与新定义运算 题型12.不等式组与方程组结合问题 题型13.不等式组整数解求参数 题型14.不等式组有解无解问题 题型15.不等式组的特殊整数解问题 解答题6题 知识点01.不等式及其性质 （一）核心概念 不等式:用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 (二）不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 （三）易错警示 不等式两边同乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向 不等式两边不能同乘 0（乘 0 后不等号变为等号，失去不等关系）。 知识点02.一元一次不等式 （一）核心概念 一元一次不等式：只含一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b＞0（或＜、≥、≤，a0） 一元一次不等式的解集：满足一元一次不等式的所有未知数的值，可在数轴上直观表示。 （二）解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 （三）解集的数轴表示（关键技巧） 空心圆圈：表示不包含该点（对应＞、＜）。 实心圆点：表示包含该点（对应≥、≤）。 方向：大于向右画，小于向左画。 题型01.不等式及其性质 【典例】用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【跟踪专练1】下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【跟踪专练3】如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【跟踪专练5】（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 题型02.一元一次不等式定义 【典例】若是关于的一元一次不等式，则______． 【跟踪专练1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 题型03.解一元一次不等式 【典例】下列数中，能使不等式成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【跟踪专练2】关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 【跟踪专练3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 题型04.数轴表示不等式的解集 【典例】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 【跟踪专练3】把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 题型05.求不等式的整数解 【典例】下列的值不是不等式的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练1】关于的不等式的最大正整数解是_______． 【跟踪专练2】不等式的非负整数解的个数为___个． 【跟踪专练3】关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型06.不等式解的最值问题 【典例】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【跟踪专练2】某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【跟踪专练3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 题型07.含绝对值不等式的解法 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【跟踪专练1】能够使不等式成立的x的取值范围_______． 【跟踪专练2】不等式的解为_____． 【跟踪专练3】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 题型08.列一元一次不等式 【典例】“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体的质量的取值范围是__________． 【跟踪专练2】七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生_____名． 【跟踪专练3】用符号表示下列不等关系，表示的不正确的是（    ） A．是非负数可以表示为： B．地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为： C．当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志  ，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则． D．两个数和的平方和大于5，可以表示为：． 题型09.不等式的实际应用 【典例】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 【跟踪专练2】如图为万达影城的价目表．某社团人去此影城看电影，打算用比赛奖金元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买___________盒爆米花． 【跟踪专练3】随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 题型10.不等式的几何应用 【典例】已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【跟踪专练3】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型11.不等式组与新定义运算 【典例】对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 【跟踪专练1】在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 【跟踪专练2】定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 【跟踪专练3】对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 题型12.不等式组与方程组结合问题 【典例】若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是_______． 【跟踪专练1】关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是______． 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________． 题型13.不等式组整数解求参数 【典例】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________． 【跟踪专练1】已知不等式的负整数解只有5个，则m的取值范围是___________． 【跟踪专练2】若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______． 【跟踪专练3】关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 题型14.不等式组有解无解问题 【典例】若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【跟踪专练1】关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【跟踪专练2】关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 题型15.不等式组的特殊整数解问题 【典例】已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是______． 【跟踪专练1】关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 【解答题】 1．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 2．解不等式并把解集在数轴上表示出来：． 3．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 4．已知、满足和，求的最小值． 5．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 6．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04不等式与一元一次不等式期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握不等式、一元一次不等式（组）的核心概念，熟记不等式 3 条基本性质（重点：乘除负数变号）。 2.掌握一元一次不等式（组）的解法，会用数轴表示解集，牢记不等式组 4 种解集规律。 1.熟练、规范解一元一次不等式（组），能准确用数轴表示解集。 2.能将实际问题中的不等关系转化为不等式，解决简单应用问题。 3.能辨析不等式与方程的解法差异，规避常见易错点。 1.基础题（性质判断、数轴表示、简单求解）零失误，拿满基础分。 2.中档题（含分母 / 括号的不等式、不等式组求解）步骤规范，稳拿分。 3.应用题抓准不等关系，按模板规范作答，拿满应用分。 题型01.不等式及其性质 题型02.一元一次不等式定义 题型03.解一元一次不等式 题型04.数轴表示不等式的解集 题型05.求不等式的整数解 题型06.不等式解的最值问题 题型07.含绝对值不等式的解法 题型08.列一元一次不等式 题型09.不等式的实际应用 题型10.不等式的几何应用 题型11.不等式组与新定义运算 题型12.不等式组与方程组结合问题 题型13.不等式组整数解求参数 题型14.不等式组有解无解问题 题型15.不等式组的特殊整数解问题 解答题6题 知识点01.不等式及其性质 （一）核心概念 不等式:用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）连接两个代数式，表示不等关系的式子。 不等式的解：使不等式成立的未知数的值。 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解的集合。 解不等式：求不等式解集的过程。 (二）不等式的基本性质（核心考点） 性质 文字表述 数学符号表示 关键注意点 性质 1 不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变 若 a＞b， 则 a±c ＞ b±c。 加减任意数 / 式子，方向不变 性质 2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变 若 a＞b，c＞0， 则 ac ＞ bc，＞ 。 乘除正数，方向不变 性质 3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变 若 a＞b，c＜0， 则 ac ＜ bc， ＜ 易错点：乘除负数，必须变号 （三）易错警示 不等式两边同乘 / 除以负数时，必须改变不等号方向 不等式两边不能同乘 0（乘 0 后不等号变为等号，失去不等关系）。 知识点02.一元一次不等式 （一）核心概念 一元一次不等式：只含一个未知数，且未知数的次数是 1，不等号两边都是整式的不等式。标准形式：ax+b＞0（或＜、≥、≤，a0） 一元一次不等式的解集：满足一元一次不等式的所有未知数的值，可在数轴上直观表示。 （二）解一元一次不等式的步骤（与解一元一次方程对比） 步骤 具体操作 与解方程的区别 1.去分母 两边同乘各分母的最小公倍数 同乘负数时，不等号变号 2.去括号 用分配律去括号，注意符号 与解方程一致 3.移项 把含未知数项移到左边，常数项移到右边 移项变号（与解方程一致） 4.合并同类项 左边：ax；右边：常数 与解方程一致 5.系数化为 1 两边同除以未知数系数 a a＜0 时，不等号变号 （三）解集的数轴表示（关键技巧） 空心圆圈：表示不包含该点（对应＞、＜）。 实心圆点：表示包含该点（对应≥、≤）。 方向：大于向右画，小于向左画。 题型01.不等式及其性质 【典例】用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：_______________． 【答案】 【分析】先分别表示出a的平方与b的平方的和，再表示出a与b的积的4倍，根据“不小于”的不等关系列出不等式． 【详解】解：用不等式表示“的平方与的平方的和不小于与的积的4倍”：． 【跟踪专练1】下列不等式中，时，不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，把代入不等式，逐项判断即可求解，理解不等式解的定义是解题的关键． 【详解】解：、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项不合题意； 、把代入得，，该选项符合题意； 故选：． 【跟踪专练2】已知关于的不等式，两边同时除以，得，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据不等式的性质，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向会发生改变．不等式两边除以后，不等号方向由“”变为“”，说明除数是负数，由此可列出关于的不等式求解． 【详解】解：已知不等式，两边同时除以后不等号方向改变，得：． 根据不等式的性质，这说明除数 解这个不等式：： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了不等式的基本性质，解题关键是记住“不等式两边除以负数时，不等号方向改变”这一性质，从而判断出的符号，进而求出的取值范围． 【跟踪专练3】如果，那么下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴ ，A错误； ，B正确； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由，两边同乘，得 ，C错误； ∵ 不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由，两边同除以，得 ，D错误； 综上，正确答案是B． 【跟踪专练4】已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 【跟踪专练5】（教材变式）用不等式表示： （1）的4倍与3的差是正数：______________； （2）与的积小于7：______________； （3），两数的平方和大于10：______________． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】解：（1）的4倍与3的差是正数：， 故答案为：． （2）与的积小于7：， 故答案为：． （3），两数的平方和大于10：， 故答案为：． 题型02.一元一次不等式定义 【典例】若是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义可得且，据此求解即可，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【跟踪专练1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中一元一次不等式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：一元一次不等式有：①，不含未知数，不符合题意； ②，含有两个未知数，不符合题意； ③，是等式，不符合题意； ④，是代数式，不符合题意； ⑤，是一元一次不等式，符合题意； ⑥，分母中含有未知数，不符合题意； 故选：A ． 【跟踪专练2】已知是关于x的一元一次不等式，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次不等式的定义可得：且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， ． 【跟踪专练3】国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 题型03.解一元一次不等式 【典例】下列数中，能使不等式成立的x的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先求出不等式的解集，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由可得， ∴选项中，能使不等式成立的x的值为1， 故选：A． 【跟踪专练1】关于的方程的解是正数，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出，求出即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵的方程的解是正数， ∴， 解得． 【跟踪专练2】关于x的不等式的解集为，则m的值为_______________． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， 解得， 故在数轴上表示出不等式的解集为： ． 题型04.数轴表示不等式的解集 【典例】不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；根据不等式的解集在数轴上表示即可． 【详解】解：∵， ∴在数轴上表示为： 故选：C． 【跟踪专练1】关于x的不等式的解集如图所示，那么m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式解集的情况求参数，先用含m的式子表示出不等式的解集，再根据数轴得出不等式的解集，即可求解． 【详解】解：， ， 从图上可以看出，不等式的解集为， ， ， 故答案为： 【跟踪专练2】若关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了数轴表示不等式的解集，理解数轴上不等式的解集，解一元一次方程式关键． 根据数轴上的解集得到，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵数轴上不等式的解集为， ∴， 解得， 故答案为： ． 【跟踪专练3】把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质求得不等式的解集为，从而可求解． 本题主要考查在数轴上表示不等式的解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【详解】解：， ， ． 在数轴上表示为： ． 故选：． 题型05.求不等式的整数解 【典例】下列的值不是不等式的解的是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】直接解不等式，进而利用不等式解的定义分析得出答案． 【详解】x-1≤2， 解得：x≤3， 则不符合条件的是4 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的解法及解得定义，正确把握不等式解的定义是解题关键． 【跟踪专练1】关于的不等式的最大正整数解是_______． 【答案】2 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解答此题要先求出不等式的解集，再确定正整数解． 先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到最大正整数解． 【详解】解：解不等式 ， 移项，得：， 两边同时除以 ，不等号方向改变，得：， 因此，不等式的解集为 ， 最大正整数解为：2， 故答案为：2． 【跟踪专练2】不等式的非负整数解的个数为___个． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，先求出不等式的解集，再确定不等式的非负整数解即可得到答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∴不等式的非负整数解为，共个， 故答案为：． 【跟踪专练3】关于x的不等式有且只有三个负整数解，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据正数解的情况得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有三个负整数解， ∴x的负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：C． 题型06.不等式解的最值问题 【典例】对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．对于实数对，若，则x的最小整数值是______． 【答案】8 【分析】根据题干信息先求出和，再求解不等式即可． 【详解】解：对于实数对，定义偏左数为，偏右数为， 对于实数对，，， ， ， 解得：， 的最小整数值是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，新定义，解题的关键是根据题干所给信息列出不等式． 【跟踪专练1】已知是不等式的一个解，则整数k的最小值为（    ） A．3 B．-3 C．4 D．-4 【答案】A 【分析】将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是3． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【跟踪专练2】某次“学宪法，讲宪法”知识竞赛中，共有20道题，规定答对一题得5分，不答得0分，答错一题扣2分，在这次竞赛中小聪只有1道题没答，竞赛成绩超过80分，那么小聪至多答错了___________道题； 【答案】2 【分析】本题主要考查了运用一元一次不等式解积分问题，熟练掌握根据题中数量关系列出不等式是解题的关键，注意答错一题扣2分，要用减法． 设小聪答错了道题，则答对了道题，根据竞赛成绩超过80分列出不等式，求解的取值范围，并取最大整数解． 【详解】解：设小聪答错了道题，则答对了道题， 依题意，得：， 化简得：， 移项得：， 两边同除以，不等号方向改变，得：， ∵为非负整数， ∴的最大值为2． 故答案为：2． 【跟踪专练3】已知是不等式的一个解，则整数的最小值为（   ） A．6 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解，解一元一次不等式确定最小值，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 将不等式的解代入得出关于k的不等式，再求出解集，确定答案即可． 【详解】解：∵是不等式的一个解， ∴， 解得， ∴整数k的最小值是6． 故选：A． 题型07.含绝对值不等式的解法 【典例】不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 【跟踪专练1】能够使不等式成立的x的取值范围_______． 【答案】x＜-1 【分析】根据绝对值的性质可知：|x|-x≥0，当等于0时不符合题意，再由不等式的性质两个异号因式相乘的值小于0可求出x的取值范围． 【详解】解：当x≥0时，|x|-x=x-x=0， 于是（|x|-x）（1+x）=0，不满足原式，故舍去x≥0； 当x＜0时，|x|-x=-2x＞0， x应当要使（|x|-x）（1+x）＜0，满足1+x＜0，即x＜-1， 所以x的取值范围是x＜-1． 故答案为：x＜-1． 【点睛】本题综合考查了绝对值的性质和不等式的性质，有一定难度． 【跟踪专练2】不等式的解为_____． 【答案】或 【分析】分、和三种情况进行讨论，去掉绝对值符号，即可求解． 【详解】解：当时，原不等式即，解得：； 当时，原式即：，无解； 当时，原式即：，解得：． 故不等式的解集是：或． 【跟踪专练3】不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的解集，掌握一元一次不等式的解法以及绝对值的性质是正确解答的关键． 先根据的取值范围化简绝对值，再解一元一次不等式即可． 【详解】解：当时，，， 恒成立． ∴． 当时，，， ，解得． ∴． 当时，，， ，无解． 综上所述，． 故选：C． 题型08.列一元一次不等式 【典例】“与3的差的2倍是非负数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列不等式，先根据题意找出数量关系，再用不等式表示出来，关键在于理解“非负数”的含义，即大于等于0，然后根据“x与3的差的2倍”这一描述列出不等式． 【详解】解：x与3的差可表示为：， x与3的差的2倍可表示为：， ∵式子是非负数， ∴， 故选：C． 【跟踪专练1】如图，天平右盘中每个砝码的质量都是10克，则天平左盘中，物体的质量的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查列不等式，读懂图中天平关系是解决问题的关键． 由天平平衡关系，直接列不等式即可得到答案． 【详解】解：物体的质量为， 由左图可得；由右图可得； ， 故答案为：． 【跟踪专练2】七年级（）班在数学知识竞赛中获一等奖的人数占全班人数的，获二等奖的人数占全班人数的，获三等奖的人数占全班人数的，还有不足人未获奖，则七年级（）班共有学生_____名． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式，设全班共有人，则，再根据必须是、和的公倍数即可求解，解题的关键是根据题意，列出不等式． 【详解】解：设全班共有人， 根据题意有， 解得， 因为必须是、和的公倍数，而、和的公倍数中小于的只有， 故答案为：． 【跟踪专练.3】用符号表示下列不等关系，表示的不正确的是（    ） A．是非负数可以表示为： B．地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为： C．当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志  ，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则． D．两个数和的平方和大于5，可以表示为：． 【答案】D 【分析】根据乘方、非负性、列不等式、不等式的意义逐项排查即可解答． 【详解】解：A. 是非负数可以表示为：，正确，不符合题意； B. 地球上的陆地面积比海洋面积小，可以表示为：，正确，不符合题意； C. 当我们路过某个桥面时，发现了这个限重标志，能安全通过该桥的卡车总重为吨，则，正确，不符合题意； D. 两个数和的平方和大于5，可以表示为：，错误，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了乘方、非负性、列不等式、不等式的意义等知识点，理解相关定义是解答本题的关键． 题型09.不等式的实际应用 【典例】交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过40千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的实际意义． 根据速度不超过40千米/时即为速度小于等于40千米/时及速度应为正数作答即可． 【详解】解：∵速度不超过40千米/时， ∴速度小于等于40千米/时， ∵速度应为正数， ∴速度大于0千米/时， 用不等式表示为． 故选：C． 【跟踪专练1】一部电梯的额定限载量为，甲、乙两人用电梯把一批货物从一楼搬到六楼．已知甲、乙的体重分别为和，货物每箱质量为，两人一起乘梯，则每次最多搬运_____箱货物． 【答案】 【分析】本题考查不等式的应用，准确理解题意，列出并求解对应不等式是解题的关键． 电梯限载量减去甲、乙两人体重之和，得到可用于搬运货物的最大重量，再除以每箱货物质量，取整数部分即为最多搬运箱数． 【详解】解：设每次搬运箱货物，则总重量为， 根据限载量，有不等式， 解不等式得， ∵为整数，故最大值为， 故答案为． 【跟踪专练2】如图为万达影城的价目表．某社团人去此影城看电影，打算用比赛奖金元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买___________盒爆米花． 【答案】 【分析】先对比两种优惠的性价比，选择更省钱的优惠方案，再根据总预算不超过元，列出关于爆米花购买数量的一元一次不等式，求解后取最大正整数解，得到最多可购买的爆米花盒数． 【详解】解：优惠一：单杯饮料元，单盒爆米花元，买份爆米花杯饮料需元； 优惠二：份爆米花杯饮料元，，因此优先选择优惠二． 人需张电影票、杯饮料，其中杯饮料用优惠二，剩余杯饮料用优惠一． 总费用为： 解得， 为正整数， 的最大值为， ∴最多可买盒爆米花． 【跟踪专练3】随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．小明想乘公交车，可又不想静静地等在站．他从站往站走了一段路，拿出手机查看了公交车到站情况，发现他与公交车的距离为（如图），此时有两种选择： （1）与公交车相向而行，到公交站去乘车； （2）与公交车同向而行，到公交站去乘车． 假设小明的速度是公交车速度的，若要保证小明不会错过这辆公交车，则，两公交站之间的距离最大为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是找到不等关系列出一元一次不等式．可设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为，计算得到小明的路程，公交车的路程，再根据到公交站的路程之间的不等关系路程不等式求解即可． 【详解】解：设小明的速度是分，则公交车速度是分，看手机后走的时间为分，，两公交站之间的距离为， 到公交站：， 解得， 则， 到公交站：， 解得． 故，两公交站之间的距离最大为． 故选：B． 题型10.不等式的几何应用 【典例】已知的三个内角互不相等，如果为最小的内角，那么下列四个度数中，最大可取 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为最小的内角得，，利用三角形的内角和定理转化为不等式，求解即可． 【详解】是最小的内角，且三个内角互不相等， ， 即最大可取 故选：B 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，不等式及其求解，解题的关键是利用三角形内角和定理转化为不等式． 【跟踪专练1】如图是测量一颗玻璃球体积的过程： （1）将的水倒进一个容量为的杯子中； （2）将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； （3）再加一颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出． 根据以上过程，推测这样一颗玻璃球的体积a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式的知识，解题的关键是根据题意，则，解出，即可． 【详解】解：一颗玻璃球的体积为， ∵将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满， ∴， 解得：； ∵五颗同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出， ∴， 解得：； ∴一颗玻璃球的体积的取值范围为：， 故答案为：． 【跟踪专练2】将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为______．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 【跟踪专练3】现将体积是125的正方体木块锯成8块同样大小的小正方体木块，准备从中选取n个小正方体木块，排放在一块长方形的木板上，已知此长方形木板的长是宽的4倍，面积是36，若只排放一层，n的最大值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先计算出每个小正方体的棱长，再计算出木板的长度，后建立不等式求不等式的整数解即可． 【详解】解：∵体积是125的正方体锯成8块同样大小的小正方体木块， ∴每一块的棱长l＝2.5cm， ∵长方形面积是36 ，长方形木板的长是宽的4倍， 设宽为x cm，长为4x cm， x•4x＝36， 得：x＝3， ∴长为12 cm，根据题意,得2.5n≤12， ∴n≤4.8， ∵n是正整数， ∴n的最大值是4． 故选：C． 【点睛】本题考查了立方体的体积，长方形的面积，算术平方根即平方根中的正的那个，不等式的整数解，熟练求不等式的整数解是解题的关键． 题型11.不等式组与新定义运算 【典例】对于任意实数，，定义一种运算：．例如，．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解是__________． 【答案】1和2 【分析】本题考查了新定义运算，一元一次不等式的解法，掌握将新定义运算转化为整式，再解一元一次不等式，最后确定正整数解是解题的关键． 根据新运算定义，将不等式转化为一元一次不等式并求解，再确定正整数解． 【详解】解：由定义，， 因此． 不等式为， 移项得， 解得． 所以不等式的正整数解为和． 故答案为：和． 【跟踪专练1】在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为，如：，则不等式的负整数解的积是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解和实数的运算，先根据已知条件中的新定义，列出关于x的不等式，解不等式求出x的取值范围，从而求出不等式的负整数解，从而求出不等式负整数解的积． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 的负整数解为：，， 不等式的负整数解的积是：， 故答案为： 【跟踪专练2】定义新运算：对于任意实数a，b都有：，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：，那么不等式的最小整数解为___________． 【答案】0 【分析】本题考查定义新运算，求不等式的整数解，根据新运算的法则，列出不等式，进而求出不等式的解集，确定最小整数解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：， ∴最小整数解为：0， 故答案为：0． 【跟踪专练3】对于m，n定义一种新运算T，规定：，即：当时，；当时，，这里等式左边括号里及等式右边的运算都是通常的四则运算． 若关于x的不等式的最大整数解为，则______． 【答案】或 【分析】此题考查了新定义、解一元一次不等式组和一元一次不等式，正确列出不等式和不等式组是关键．根据题意列出一元一次不等式，解不等式得到，再根据关于的不等式的最大整数解为进行求解即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴ 解得， ∵关于的不等式的最大整数解为， ∴ 解得 ∵为最大整数， ∴或； 故答案为：或 题型12.不等式组与方程组结合问题 【典例】若关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足，则满足题意的最小整数a是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式的整数解，把方程组中两个方程相减得到，再由题意可得，解不等式即可得到答案． 【详解】解： 得， ∴， ∵关于x，y的二元一次方程组的解x，y满足， ∴， ∴， ∴满足题意的最小整数a是． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于x、y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的范围，解一元一次不等式，两个方程相减后，整体代入法得到关于的不等式进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， ∵， ∴， ∴； 故答案为： 【跟踪专练2】若关于x，y的方程组的解满足，则m的最小整数解为（ ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式和解二元一次方程组、二元一次方程组的解、一元一次不等式的整数解等知识点，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 通过解方程组得到和关于的表达式，代入不等式，解关于的不等式，确定其最小整数解． 【详解】解： 得 ， 即， ∵， ∴， 解得， ∴m的最小整数解为． 故选：B． 【跟踪专练3】已知关于x，y的方程组，的解满足x﹣y＞0，则k的最大整数值是______________． 【答案】0 【分析】方程组两方程相减表示出，代入已知不等式即可求出的范围，进而确定出最大整数值即可． 【详解】解：， ②①得：， ∵x﹣y＞0， ∴， 解得：， ∴的最大整数值为0． 故答案为：0． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式以及解二元一次方程组，熟练掌握各自的解法是解本题的关键． 题型13.不等式组整数解求参数 【典例】若关于x的不等式只有3个正整数解，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】首先解关于x的不等式，然后根据x只有3个正整数解，来确定关于m的不等式组的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：由得： ， 关于x不等式只有3个正整数解， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解不等式及不等式的整数解，熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键． 【跟踪专练1】已知不等式的负整数解只有5个，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式得，由于只有5个负整数解，故可判断的取值范围，再解不等式组求出m的取值范围． 【详解】解：去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， ∵不等式的负整数解只有5个， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键． 【跟踪专练2】若关于x的不等式只有2个正整数解，则a的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解不等式得，再根据关于的不等式只有2个正整数解，得出不等式的正整数解为1，2，据此得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式只有2个正整数解， ∴不等式的正整数解为：1，2， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式及其正整数解的情况，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 【跟踪专练3】关于x的不等式恰有两个负整数解，则b的取值可以是（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的整数解问题，先解不等式得到，再根据恰有两个负整数解确定这两个负整数为、，进而推导b的取值范围，最后结合选项判断符合条件的取值． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ 不等式恰有两个负整数解 ∴ 这两个负整数解为、， ∴ ， 结合选项，只有在该取值范围内； 故选：D 题型14.不等式组有解无解问题 【典例】若关于的不等式组有解，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，求得不等式组中每个不等式的解集，再根据题意得到不等式，即可得出答案．正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于的不等式组有解， ∴， 解得：． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于的不等式组无解，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组解集的情况求参数，由题意得不等式组无解需满足两个不等式的解集无交集，即，根据解集的情况正确的列出关于参数的不等式是解题的关键． 【详解】解：∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练2】关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式组有解、则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有解的条件确定的取值范围． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 由于不等式组有解， 则． 故答案为：． 题型15.不等式组的特殊整数解问题 【典例】已知关于x的不等式有且只有4个负整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据不等式解集求参数． 通过解不等式得到，根据有且只有4个负整数解（即），确定的取值范围，进而求出的范围． 【详解】解：解不等式， 得， 由于不等式有且只有4个负整数解，这些解为， 因此必须满足， 两边同时乘以4（正数，不等号方向不变），得． 故答案为：． 【跟踪专练1】关于的一元一次不等式的解集如图所示，且该不等式的负整数解有且只有四个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴表示解集、不等式的整数解、解不等式组等知识点，根据不等式的解集情况得到关于m的不等式组成为解题的关键． 根据不等该不等式的负整数解有且只有四个，可知这四个负整数解为；再根据数轴可得，进而得到关于m的不等式组求解即可． 【详解】解：∵该不等式的负整数解有且只有四个， ∴这四个负整数解为， 由数轴可知不等式解集为：， ∴，即． 故选：A． 【跟踪专练2】如果关于的不等式至少有4个正整数解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求不等式的解集．根据正整数解的个数确定关于的不等式是解题的关键． 求出不等式的解集，根据不等式至少有4个正整数解即可求得的取值范围． 【详解】解：解不等式得：， 又不等式至少有4个正整数解， 个正整数解肯定包括1、2、3、4， ， 解不等式得：， 故选：C． 【跟踪专练3】已知关于x的不等式的最大整数解为3，则a的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的整数解，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤． 先解关于的不等式，再根据不等式的最大整数解是，列出关于的不等式，解不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 系数化为得：， ∵关于的不等式的最大整数解为， ， 解得：． 故答案为：． 【解答题】 1．阅读理解与应用 阅读下列材料：解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解：，，又，，， 又，…………①， 同理可得…………②， 由①＋②得： 的取值范围是， 按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，，则的取值范围是____________； (2)若，，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； （）按照题干示范的步骤，先分别求出和的取值范围，再根据不等式性质求出和的取值范围，再将两个范围相加即可求解； 本题考查了不等式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由①②得：， ∴的取值范围是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理可得②， 由不等式性质，②乘得③， ①乘得④， ③④，得， ∴的取值范围是． 2．解不等式并把解集在数轴上表示出来：． 【答案】 ，数轴见解析 【分析】根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，再画数轴表示即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解集表示在数轴上如图所示， ． 3．已知关于x的方程． (1)若该方程的解满足，求a的取值范围； (2)若该方程的解是不等式的最小整数解，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握好方程和不等式的解法是关键． （1）先求出方程的解，由，求出a的取值范围； （2）先解不等式，取范围内最小的整数解，代入方程求出a的值． 【详解】（1）解：， 解得，， ∵， ∴， 解得，； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得，，范围内的最小整数解为， 将，代入方程，得： ， 解得，． 4．已知、满足和，求的最小值． 【答案】3 【分析】解方程组得出，再根据知，解之即可． 【详解】解方程组，得， ∵， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为3． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式，正确解方程组和不等式是解题的关键． 5．为提供更好的拍摄服务，某影楼计划购买一批新的相机．已知甲、乙两厂家的同款相机销售价格均为2万元，两厂家推出了以下不同的优惠方案： 若该影楼计划购进台相机，请回答下列问题： (1)按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元，按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为__________万元； (2)购买量在什么范围内，选择甲厂家更划算？ 【答案】(1)， (2)当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 【分析】（1）根据优惠方案列代数式即可； （2）根据题意，列出一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】（1）解：按甲厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； 按乙厂家优惠方案购买该相机应付的费用为（万元）； （2）解：由题意，令，解得． 又， 当时，选择甲厂家更划算． 答：当购买量在10台以上，20台以下时，选择甲厂家更划算． 6．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），甲、乙的面积分别． (1)求，并比较与的大小．（写出比较大小的过程） (2)若满足条件的整数n有且仅有4个，求m的值为多少？ 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式与几何图形，理解题意是解决本题的关键． （1）先分别计算出面积，作差与0比较大小即可； （2）根据整数n有且只有4个，列出不等式，根据m为正整数求得m的值． 【详解】（1）解：依题意可得：， ， ∴ ． ∵m为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，的整数n有且仅有4个 ∴这四个整数解为：22，23，24，25， ∴， 解得：， ∵m为正整数， ∴． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $