精品解析：福建省莆田市涵江区锦江中学2025-2026学年下学期九年级数学模拟考质量监测

福建省莆田华侨中学2025-2026学年下学期九年级数学模拟考质量监测 （满分：150分； 考试时间：120分钟 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ 相反数的定义为：只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是， ∴的相反数是. 2. 2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：A． 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：几何体的主视图为： 即C选项符合题意． 4. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了两直线平行同位角相等，三角形外角的性质． 根据三角形外角性质和对顶角性质得，根据平行线的性质得． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， 根据题意可知， ∴． 故选：C. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则，二次根式加法运算法则，逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故A运算错误； B．，故B运算错误； C．，故C运算正确； D．二次根式加法中，只有同类二次根式才能合并，，故 D运算错误． 6. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能的情况和恰好选中《周髀算经》的情况，然后利用概率公式求解即可． 【详解】解：设《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》分别为、、、， 画树状图如下： 由树状图可得，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，其中恰好选中《周髀算经》的情况有6种， ∴恰好选中《周髀算经》的概率是． 故选：B． 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先用x表示出另一边的长，再根据矩形面积算法列出方程即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x米， 则另一边长为米， 根据题意可列方程为， 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，圆的内接四边形的性质．根据平行线的性质，可得，根据圆内接四边形的性质，可得，由此可解． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：B． 9. 不等式组解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下：    ． 故选：A． 10. 抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质和对称性．，解题的关键是掌握二次函数的性质． 根据二次函数性质得到抛物线的对称轴为直线，则点与点关于直线对称，然后根据点在与之间可判断点在与之间，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， 而抛物线交轴于点， ∴点与点关于直线对称， ∵， 即点在与之间， 点在与之间， ， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 我国古代数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试跳米记作+2.1，那么跳米应记作_______ 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意可得，跳远测试跳米记作+2.1，那么跳米应记作． 12. 如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据中位线定理得到，即可求解． 【详解】解：由题可得：、为、的中点， 是的中位线， ， ， ． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；根据反比例函数图象上点的坐标特征，点A和点B的横纵坐标乘积相等，都等于比例系数k，然后问题可求解． 【详解】解：因为点和点在反比例函数的图象上， 所以， 解得； 故答案为． 14. 如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，30°角的直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，根据菱形的性质即可得到是等边三角形，再根据垂直平分线的性质得到，进而根据的直角三角形的性质和勾股定理求出和的长，利用解答即可． 【详解】解：如图，连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，，， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 45.10 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 3.3 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查方差：方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．根据方差的意义可判断乙运动员发挥稳定． 【详解】解：由表中数据得到四名运动员成绩的方差大小为：， 所以乙运动员发挥稳定， 所以应该选择乙运动员参加比赛． 故答案为：乙． 16. 如图，在中，，A，B，C分别为直线a，b，c上的点，且直线，与直线b交于点D，若，，，则直线a与直线b之间的距离是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了相似三角形判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过B作直线b于点E，过A作直线b于点F，解得，，则，证明，在中，根据，设，，由勾股定理得，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，继而得，由此可得直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：过点B作直线b于点E，过点A作直线b于点F，如图所示： 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，直线b于点F， ，， ， ， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ， 直线b于点E，直线b于点F， ， ， ， 即， ， 解得：， ， 直线a与直线b之间的距离是 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，利用绝对值的性质，算术平方根的定义计算后再算加减即可． 【详解】解： ． 18. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由，推导出，而，，即可根据“”证明，则． 本题考查了全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 19. 解分式方程：， 【答案】 【解析】 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，解后需要检验根否使原方程分母不为零，得到最终结果． 【详解】解：   方程两边同乘  去分母，得   展开整理得   移项合并同类项得   解得   检验：当  时，   是原方程的解． 20. 某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． （1）此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ （2）求乐融融近五次上篮成绩的方差． 【答案】（1）中位数为28分；众数为30分 （2）乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、方差，读懂统计图获取必要的信息是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据求方差的公式计算即可； 【小问1详解】 解：由题意得，此班级男生总人数为（人）， 将此班级男生上篮成绩从大到小顺序排列，则中位数为第13个的数据，即28分， 此班级男生上篮成绩30分出现次数最多，故众数为30分； 【小问2详解】 乐融融近五次上篮成绩的平均数为（分）， ∴乐融融近五次上篮成绩的方差为 ， 答：乐融融近五次上篮成绩的方差为6.4． 21. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 （1）若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． （2）若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 【答案】（1）“峰电”期电价为0.6元/度，“谷电”期电价为0.4元/度 （2）在大于小于之间 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识；由题意列出二元一次方程组和一元一次不等式是解题的关键． （1）根据已知条件可以求出4月、5月的“峰电”的用电量和“谷电”的用电量，然后根据电费建立二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设6月份的“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度，根据电费的控制范围建立不等式组求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵4月份“谷电”的用电量占当月总电量的， ∴4月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴4月份“峰电”的用电量是：（万度）， ∵5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的， ∴5月份“谷电”的用电量是：（万度）， ∴5月份“峰电”的用电量是：（万度）， 由题意得：， 解得：， 答：“峰电”期电价为元/度，“谷电”期电价为元/度； 【小问2详解】 设6月份“谷电”的用电量为x万度，则“峰电”的用电量为万度， 由题意得：， 解得：， ∴该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在大于且小于之间． 22. 完成下面题目： （1）请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 【答案】（1）作图见解析 （2）是等腰三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的作图方法作图即可； （2）根据条件证明，可得到的形状． 【小问1详解】 如图，射线即为所求， 【小问2详解】 是等腰三角形， 理由如下：是的平分线， ， 是边上的高， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）因为，所以，将这个式子代入到中，可得原式，据此证明以为非负数； （2）因为m，n为两个连续的正整数，且，所以，，所以，因为m，n为两个连续的正整数，所以是奇数，据此得证． 本题考查了整式的混合运算、非负数的性质：偶次方、非负数的性质：算术平方根，解决本题的关键是先将要计算的式子进行化简． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 所以 = = ， 因为， 所以， 所以为非负数． 【小问2详解】 因为， 且m，n为两个连续的正整数，且， 所以，， 所以 = = = ， 因为m，n为两个连续的正整数， 所以是奇数， 所以c一定是奇数． 24. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 25. 如图，与是内接三角形，，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据圆周角定理和平行线的性质进行求解即可； （2）连接，连接并延长交于点，连接，利用圆周角定理得出相等的角，利用平行线的性质得出相等的角，然后得出，得到，利用垂径定理得出直角三角形，设，则，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵与所对的是同一个弧， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接，连接并延长交于点，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过圆心， ∴， ∴， ∴根据勾股定理得，， 设，则， ∴由勾股定理得，， 即， 解得， ∴的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省莆田华侨中学2025-2026学年下学期九年级数学模拟考质量监测 （满分：150分； 考试时间：120分钟 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 的相反数是（　　） A. B. C. D. 2. 2025年春节期间，南京夫子庙—秦淮风光带累计迎客约3429000人次．用科学记数法表示3429000是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一直角三角形放于一对平行线上，量得，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A B. C. D. 6. 中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》、《算学启蒙》、《测圆海镜》、《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《周髀算经》的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为15米篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块50平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线交x轴于点，若，则n的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 我国古代数学经典著作《九章算术》中“方程术”最早引入“负数”，用正、负数表示相反意义的量．若跳远测试跳米记作+2.1，那么跳米应记作_______ 12. 如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点间的距离，同学们在外选择一点，测得，,，两边中点的距离，则，两点间的距离是_____． 13. 已知点与点在反比例函数的图象上，则m的值为________． 14. 如图，在菱形中，，连接，点分别是上的点，且垂直平分，若，则菱形的面积等于__________． 15. 2025哈尔滨亚冬会成功举办，进一步推动了冰雪运动在中国的普及．下表记录了甲、乙、丙、丁四名短道速滑男子500米运动员5次选拔赛成绩的平均数和方差： 甲 乙 丙 丁 平均数／秒 4510 45.10 46.15 46.35 方差 5.5 33 7.1 8.2 根据表中数据，要从中选择一名发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择运动员______． 16. 如图，在中，，A，B，C分别为直线a，b，c上的点，且直线，与直线b交于点D，若，，，则直线a与直线b之间的距离是_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明 17. 计算：． 18. 如图，，，，求证：． 19. 解分式方程：， 20. 某市对于篮球运动的重视程度增加，篮球上篮也成为了一些县市区的考试项目，下面是某学校九（16）班男生的篮球上篮成绩（图1）与乐融融同学近五次上篮成绩（图2）（成绩满分30分）． （1）此班级男生上篮成绩的中位数与众数分别是多少？ （2）求乐融融近五次上篮成绩的方差． 21. 由于电力紧张，某地决定对工厂实行“峰谷”用电．规定：在每天的至为“峰电”期，电价为a元/度；每天至为“谷电”期，电价为b元/度．下表为某厂月份的用电量和电费的情况统计表： 月份 用电量（万度） 电费（万元） 4 12 6.4 5 16 8.8 （1）若4月份“谷电”的用电量占当月总电量的，5月份“谷电”的用电量占当月总用电量的，求的值． （2）若6月份该厂预计用电20万度，为将电费控制在10万元至10.6万元之间（不含10万元和万元），那么该厂6月份在“谷电”的用电量占当月用电量的比例应在什么范围？ 22 完成下面题目： （1）请用直尺和圆规作的平分线；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）已知在中，的平分线也是边上的高，请判断是不是等腰三角形，并说明理由． 23. 已知整数a，b，m，n满足． （1）求证：为非负数； （2）若m，n为两个连续的正整数，且，求证：c一定是奇数． 24. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 25. 如图，与是内接三角形，，． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $