第7章 幂的运算 强化训练2025-2026学年苏科版数学七年级下册

七年级下学期第七单元幂的运算强化练习 一、单选题 1．下列式子中，正确的有（   ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．“天河二号”是由国防科学技术大学研制的超级计算机系统，持续计算速度可达每秒33900000000000000次，若连续运行5分钟，则总计算次数用科学记数法表示为（   ） A．次 B．次 C．次 D．次 4．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 6．如果，，则（   ） A．75 B．20 C．10 D．3 7．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 8．已知为自然数，且满足，则的取值不可能是（） A．2 B．3 C．8 D．－7 二、填空题 9．计算：______． 10．若，，试用含，的代数式表示 　 ． 11．已知：，，则的值为________． 12．定义一种新运算“”：若，则规定．当时，则整数x的值为_____． 13．若，则_______． 14．若，则________． 15．如果，那么的值是_____． 16．若，，用含的代数式表示为____________． 17．按一定规律排列的一列数：2026，若表示这列数中的连续三个数，猜想满足的关系式是_________________． 18．已知正整数满足，则___________． 三、解答题 19．计算： (1) (2) (3) (4)，（） 20．按要求完成下列计算： (1)已知，则______； (2)已知，求的值； (3)已知，，求的值． 21．比较下列各题中幂的大小： (1)比较，，这3个数的大小关系； (2)已知，，，比较a、b、c的大小关系． 22．规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，那么．例如：因为．所以． (1)根据上述规定，填空：________，________； (2)填空： ①________； ②，，，则a，b，c之间的数量关系为________； (3)计算：． 23．关于任意的正整数，定义一种新运算： ，请根据这种新运算完成以下问题： (1)已知，，则__________； (2)已知，则__________，__________； (3)已知，求（其中为正整数，结果用含和的式子表示）． 24．已知，判断a＋b和ab的大小关系． 25．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如． (1)填空：当，时，__________； (2)若，，求的值． 26．材料，一般地，若（且），那么x叫做以a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可转化为指数式，根据以上材料，解决下列问题： (1)计算：　　 ，　　 ，　　 ； (2)观察（1）题中的三数，4，16，64之间存在怎样的关系式 ，，，又存在怎样的关系式 ； (3)由（2）题猜想 （且，，）；并结合幂的运算法则：进行证明； (4)已知，求的值．（且） 27．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月5日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A B D A A D A 1．C 【分析】按照运算法则逐个计算判断每个式子是否正确，统计正确个数即可得到答案． 【详解】解：① ∵ ，式子右边为， ∴①错误． ② ∵，式子右边为， ∴②错误． ③ ∵，，左右两边相等， ∴ ③正确． ④ ∵，左右两边相等， ∴ ④正确． 综上，正确的式子共2个． 2．A 【分析】根据同底数幂的乘法和除法、积的乘方、幂的乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A、，故选项符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意． 3．B 【分析】将时间单位分钟换算为秒，计算总计算次数后，把结果改写为标准科学记数法即可． 【详解】解：∵ 5分钟秒，， ∴连续运行5分钟，总计算次数为． 4．D 【分析】运用合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方的运算法则，逐一计算选项即可判断． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并为，∴A错误； B、，∴B错误； C、，∴C错误； D、，计算正确，∴D正确． 5．A 【分析】利用幂的乘方性质，将三个数化为同指数的幂，再通过比较底数大小判断a，b，c的大小即可． 【详解】解：首先将a，b，c变形为指数相同的幂，50、75、100的最大公约数为25． ∵， ， ， 又∵，指数， ∴，即． 6．A 【分析】根据同底数幂乘法法则的逆用，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 7．D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了同底数幂乘法的应用，掌握相关运算法则是解题的关键． 将方程化简为同底数幂形式，比较指数得到和，列举所有自然数解计算的值，与选项对比找出不可能的值． 【详解】解：∵， ∴， 即． 又∵， ∴， ∴，． ∵为自然数（包括0）， 当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，． ∴可能值为、、、． 故选：A． 9． 【分析】利用积的乘方的逆运算进行简便计算即可. 【详解】解：原式. 10． 【详解】解：． 11．288 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则是解题的关键． 逆用同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：288． 12．0 【分析】本题考查了幂运算，包括零指数幂和负整数指数幂，熟练掌握幂运算法则是关键．根据新定义可得，再分三种情况求解即可． 【详解】解：当时， ， 分三种情况： 当时，，此时底数，但x不是整数，不符合题意，舍去； 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，，不符合题意，舍去； 综上所述，整数x的值为0． 故答案为：0． 13．或或 【分析】本题主要考查了乘方运算，零指数幂，当时，需考虑底数为1、底数为且指数为偶数、指数为0，且底数不为0这三种情况，据此讨论求解即可． 【详解】解：当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，满足题意； 当时，则，则， 此时，符合题意； 综上所述，x的值为或或， 故答案为：或或． 14．25 【分析】本题主要考查同底数幂的除法，先求出，根据同底数幂的除法的运算法则计算即可． 【详解】解：由，得， ． 故答案为：25． 15． 【分析】本题考查幂的运算，负整数指数幂，利用幂的乘方和同底数底数幂的除法法则，得到，整体代入法结合负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂的乘法的逆应用等运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 由解出 ，再将中的化为，代入的表达式即可． 【详解】解：由，得， ， ， 代入，得， 所以， 故答案为：． 17． 【分析】本题主要考查了数字规律、同底数相乘等知识点，灵活运用同底数幂乘法的运算法则成为解题的关键． 经观察这一列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，再结合同底数幂相乘的运算法则即可解答． 【详解】解：观察发现：该列数的底数相同，连续的三个数的指数满足前两个之和等于第三个的指数，则这列数中的连续三个数满足的关系为：． 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方的逆向应用，关键是熟练应用运算法则进行计算；将原方程中的指数统一为 ，简化底数后得到 ，从而求解． 【详解】解：∵ ，， ∴， 即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 故答案为：． 19．(1) (2)0 (3) (4) 【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 20．(1)9 (2)8 (3) 【分析】（1）根据乘方，同底数幂的乘法求解即可； （2）化成以3为底数的幂的乘法求解即可； （3）应用幂的乘方求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得； （2）解：， ， ， ， ， 解得； （3）解：根据题意，得， 由，， 得． 21．(1) (2) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则（），将不同的幂转化为同底数或同指数的形式进行比较是解题的关键． （1）将三个幂转化为指数相同的形式，再比较底数大小； （2）将三个幂转化为底数相同的形式，再比较指数大小． 【详解】（1）解：，，， ∵， ∴； （2）解：，，， ， ， ． 22．(1)4， (2)①3；② (3)2 【分析】（1）根据有理数的乘方及新定义运算即可求解； （2）①设，，则，，根据新定义运算即可求解； ②根据新定义运算可得，，，再计算得到，据此计算即可得到； （3）先计算，设，，则原式化为；根据新定义运算可得，，进而建立和的关系求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4，； （2）解：①由题意设，，则，， 则， ∴，即； ②∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即a，b，c之间的数量关系为； （3）解：， 设，， ∴，， ∴， ∵，且， ∴， ∴，∴， ∴，即． 23．(1)6 (2)； (3) 【分析】本题考查了同底数幂相乘的运算法则．根据同底数幂相乘的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ； （3）解：∵， ∴（个1相加）， （个相乘） ， ∴（2025个1相加）， （2025个相乘） ， ∴． 24．． 【分析】利用幂的乘方和积的乘方将式子化简得到：，，，即可求出a＋b和ab的大小关系． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查幂的乘方和积的乘方，解题的关键是熟练掌握幂的乘方和积的乘方，求出． 25．(1)3 (2)81 【分析】（1）根据新定义的运算方法计算即可； （2）根据条件结合新定义的运算方法判断出，，可得结论． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2），， ，， 整理得：，，解得：， ． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 26．(1)2，4，6 (2)， (3)，证明见解析 (4)6 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是理解新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． （1）根据，写成对数式即可； （2）根据题意对照比较，写出关系式即可； （3）设，则，结合即可得到； （4）根据（3）得出的运算性质计算即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，4，16，64之间存在怎样的关系式为， ，，之间存在的关系式为， 故答案为：，； （3）解：由（2）得，， 设，则， ∴，即， ∴； 故答案为：； （4）解：∵， ∴． 27．(1)4，64 (2) (3)①；② 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $