专题07因式分解期中复习讲义 (17大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题07因式分解期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法的互逆关系； 2.熟记提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）的核心要点； 3.能区分因式分解的易错点，掌握分解彻底的要求。 1.能快速找出多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式； 2.能判断多项式类型，灵活运用平方差、完全平方公式分解因式； 3.能综合运用两种方法分解因式，做到分解彻底、步骤规范。 1.基础题（选择、填空、简单分解）零失误，快速准确完成； 2.中档题能熟练综合运用两种方法分解，避免漏解、分解不彻底； 3.能运用因式分解解决简单求值、化简问题，贴合期中考法。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解逆用-整体代入求值 解答题5题 一、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 关键点： 结果必须是乘积形式 每个因式都必须是整式 要分解到不能再分解为止 二、因式分解与整式乘法的关系 互逆变形 整式乘法：(a+b)(a−b)=a2−b2 因式分解：a2−b2=(a+b)(a−b) 三、因式分解的基本方法（必考） 1. 提公因式法（第一步永远先看这个） 公因式：各项都含有的公共因式。提取方法：系数取最大公约数，字母取最低次幂。 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 步骤： (1)找公因式 (2)提出来 (3)剩下的写括号里 注意： 首项为负，一般先提负号 提完后括号内不能再有公因式 2. 公式法（背熟两个核心公式） （1）平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项、异号、都能写成平方形式。 （2）完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特征：三项，首尾平方，中间是首尾积的 2 倍 3. 十字相乘法（常用拓展） 对 x2+px+q 分解： 找两个数 a,b 满足a+b=p,ab=q 则x2+px+q=(x+a)(x+b) 知识点04.因式分解的一般步骤（万能口诀） 一提二套三检查 提：先提公因式 套：再套公式（平方差 / 完全平方） 检查： 是否分解彻底 有无公因式 结果是否为整式乘积 知识点05.常见易错点 1.分解不彻底（如 x4−16 只分解到 (x2+4)(x2−4) 还能继续） 2.符号错误（提负号时括号内每一项都变号） 3.漏项（提公因式后某一项变成 1，不要丢掉） 4.混淆整式乘法与因式分解 题型01.因式分解的判断 【典例】下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【跟踪专练2】下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 题型02.因式分解的参数问题 【典例】把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪专练1】若，则_____． 【跟踪专练2】若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【跟踪专练3】关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型03.公因式 【典例】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【跟踪专练1】（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【跟踪专练2】单项式与的公因式是________ 【跟踪专练3】将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型04.提公因式法分解因式 【典例】多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【跟踪专练1】多项式分解因式的结果是______． 【跟踪专练2】分解因式：=___________ 【跟踪专练3】如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 题型05.公式法分解因式判断 【典例】在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【跟踪专练2】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 题型06.平方差公式分解因式 【典例】将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若，，则__________． 【跟踪专练2】“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． B． C． D． 题型07.完全平方公式分解因式 【典例】下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】因式分解： _____________ 【跟踪专练2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 题型08.综合运用公式法分解因式 【典例】因式分解：__________． 【跟踪专练1】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式：________． 题型09.综合法分解因式 【典例】多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】分解因式：_____． 【跟踪专练2】下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 题型10.实数范围内分解因式 【典例】在实数范围内因式分解：______． 【跟踪专练1】在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在实数范围内进行因式分解______． 题型11.因式分解与有理数简算 【典例】若，则k的值为（        ） A．100 B．101 C．200 D．204 【跟踪专练1】利用因式分解计算：________． 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 题型12.十字相乘法 【典例】因式分解：＝____． 【跟踪专练1】分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若多项式可因式分解为，其中均为整数，则的值是__________． 题型13.分组分解法 【典例】因式分解：______． 【跟踪专练1】把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则多项式的值为__________． 题型14.因式分解的应用 【典例】.若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【跟踪专练1】已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 【跟踪专练2】已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 题型15.因式分解与新定义运算 【典例】已知为有理数，现定义运算符号“”：当时，；当时，；当时，，根据这种运算，则的值为______． 【跟踪专练1】新定义，例如．则________． 【跟踪专练2】．定义运算“★”：对于任意实数，，都有．若，则的值为____________． 题型16.整体换元法分解多项式 【典例】分解因式： （1）______； （2）_______． 【跟踪专练1】已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【跟踪专练2】因式分解：__________． 题型17.因式分解逆用-整体代入求值 【典例】已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 【跟踪专练1】如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【跟踪专练2】若，且，则的值为_______． 【解答题】 1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 2．分解因式： (1) (2) 3．分解因式 (1)； (2)． 4．我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 5．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握因式分解的定义，明确因式分解与整式乘法的互逆关系； 2.熟记提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）的核心要点； 3.能区分因式分解的易错点，掌握分解彻底的要求。 1.能快速找出多项式的公因式，熟练运用提公因式法分解因式； 2.能判断多项式类型，灵活运用平方差、完全平方公式分解因式； 3.能综合运用两种方法分解因式，做到分解彻底、步骤规范。 1.基础题（选择、填空、简单分解）零失误，快速准确完成； 2.中档题能熟练综合运用两种方法分解，避免漏解、分解不彻底； 3.能运用因式分解解决简单求值、化简问题，贴合期中考法。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解逆用-整体代入求值 解答题5题 一、因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 关键点： 结果必须是乘积形式 每个因式都必须是整式 要分解到不能再分解为止 二、因式分解与整式乘法的关系 互逆变形 整式乘法：(a+b)(a−b)=a2−b2 因式分解：a2−b2=(a+b)(a−b) 三、因式分解的基本方法（必考） 1. 提公因式法（第一步永远先看这个） 公因式：各项都含有的公共因式。提取方法：系数取最大公约数，字母取最低次幂。 公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 步骤： (1)找公因式 (2)提出来 (3)剩下的写括号里 注意： 首项为负，一般先提负号 提完后括号内不能再有公因式 2. 公式法（背熟两个核心公式） （1）平方差公式 a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项、异号、都能写成平方形式。 （2）完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 特征：三项，首尾平方，中间是首尾积的 2 倍 3. 十字相乘法（常用拓展） 对 x2+px+q 分解： 找两个数 a,b 满足a+b=p,ab=q 则x2+px+q=(x+a)(x+b) 知识点04.因式分解的一般步骤（万能口诀） 一提二套三检查 提：先提公因式 套：再套公式（平方差 / 完全平方） 检查： 是否分解彻底 有无公因式 结果是否为整式乘积 知识点05.常见易错点 1.分解不彻底（如 x4−16 只分解到 (x2+4)(x2−4) 还能继续） 2.符号错误（提负号时括号内每一项都变号） 3.漏项（提公因式后某一项变成 1，不要丢掉） 4.混淆整式乘法与因式分解 题型01.因式分解的判断 【典例】下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“把一个多项式化成几个整式积的形式的变形叫做因式分解”对各选项逐一判断即可． 【详解】解：∵因式分解要求结果必须是几个整式乘积的形式， A、变形是整式乘法，结果为和的形式，不是分解因式，不符合题意； B、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意； C、，符合因式分解的定义，是分解因式，符合题意 D、结果是和的形式，不是整式乘积的形式，不是分解因式，不符合题意． 【跟踪专练1】．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是________．（填序号） ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键． 根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【详解】解：选项①是整式乘法，不是因式分解； 选项②右边不是积的形式，不是因式分解； 选项③左边是多项式，右边是整式的积，是因式分解； 选项④右边含有分式，不是整式，不是因式分解； 故答案为③． 【跟踪专练2】下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 【跟踪专练3】下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解的定义和因式分解的方法逐个判断即可． 【详解】解：、，从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式的左边不是多项式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意； 、，从左到右的变形属于因式分解且分解彻底，故本选项符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，解题的关键是正确理解把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 题型02.因式分解的参数问题 【典例】把多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘法，根据因式分解结果求参数，解题的关键是熟练掌握多项式乘法．根据多项式乘法，计算，由对应项系数相等，即可得，的值． 【详解】解：∵把多项式分解因式，得， ∴， ∴，， 故选：． 【跟踪专练1】若，则_____． 【答案】1 【分析】根据因式分解与整式乘法的关系，将化简展开，比较系数即可． 【详解】解：， ． 【跟踪专练2】若二次三项式有一个因式是，则a的值为____． 【答案】1 【详解】解：因为二次三项式的二次项系数为，一个因式为，所以设另一个因式为，则， 展开等式右侧得：， 比较多项式两边同类项的系数，可得：， 解得， 代入得． 【跟踪专练3】关于的代数式分解因式得，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多项式乘法与因式分解，代数式求值，负整数指数幂，根据题意可得，再利用多项式乘以多项式的计算法则把等式右边展开得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的代数式分解因式得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型03.公因式 【典例】把多项式分解因式，应提取的公因式是（　　） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查提公因式法分解因式，需确定各项系数的最大公约数和字母部分的最小指数． 【详解】解：∵ ， ∴应提取的公因式是， 故选：B． 【跟踪专练1】（1）多项式中各项的公因式是______； （2）多项式中各项的公因式是______； （3）多项式中各项的公因式是_______． 【答案】 【分析】公因式是指多项式的各项都含有的因式，据此求解即可． 【详解】解：（1）多项式中各项的公因式是； （2）多项式中各项的公因式是； （3）多项式中各项的公因式是． 【跟踪专练2】单项式与的公因式是________ 【答案】 【分析】本题考查了单项式的公因式，熟悉掌握公因式的概念是解题的关键． 根据公因式的概念解答即可． 【详解】解：与的公因式是：； 故答案为：． 【跟踪专练3】将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【详解】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 题型04.提公因式法分解因式 【典例】多项式因式分解的结果正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查运用提公因式法进行因式分解，关键是将多项式中互为相反数的因式转化为相同的形式，从而提取公因式；多项式变形后提取公因式即可． 【详解】解：对多项式因式分解， 原式=； 故选：B． 【跟踪专练1】多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【分析】提取公因式即可． 【详解】解：． 【跟踪专练2】分解因式：=___________ 【答案】 【分析】先对原式中互为相反数的因式变形，提取相同公因式，再用提公因式法完成因式分解． 【详解】解：． 【跟踪专练3】如果，，那么的值是（　　） A． B． C．13 D．30 【答案】D 【分析】先对所求多项式提取公因式因式分解，再将已知条件整体代入计算，即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴． 题型05.公式法分解因式判断 【典例】在多项式①，②，③，④，⑤中，能用平方差公式分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式，熟知平方差公式是解题的关键．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：①，不能应用平方差公式分解； ②，是平方和，不能应用平方差分解； ③，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ④，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； ⑤，符合平方差的特征，可以应用平方差分解； 综上所述：题中能用平方差公式分解的有③④⑤，共3个． 故选：C． 【跟踪专练1】在多项式，，，，，中，能用公式法分解因式的有______个． 【答案】4 【分析】本题考查了公式法进行因式分解，熟练掌握、是解答本题的关键．根据公式分析解答即可． 【详解】解：，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，不能分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； ，能用公式法分解因式； 故答案为：4． 【跟踪专练2】下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2 【答案】C 【分析】根据平方差公式判断即可； 【详解】A．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； B．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； C．能运用平方差公式分解，故此选项正确； D．不能运用平方差公式分解，故此选项错误； 故选： C． 【点睛】本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式是解题关键． 题型06.平方差公式分解因式 【典例】将多项式分解因式，结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握相关知识是解决问题的关键． 运用平方差公式进行因式分解求解即可． 【详解】解：运用平方差公式进行因式分解可得： ． 故选：D． 【跟踪专练1】若，，则__________． 【答案】3 【分析】根据可推出，结合已知条件可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【跟踪专练2】“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，数形结合思想是数学学习中的一种重要的思想，请仔细观察下列图形，其中能说明等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式与数形结合思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键．运用平方差公式与数形结合思想，根据等式的几何意义，判断各选项图形是否符合该等式． 【详解】解：选项A是推导的图形，不涉及，不符合题意； 选项B是推导的图形，符合题意； 选项C是勾股定理的相关图形，与等式无关，不符合题意； 选项D表示边长为的大正方形与边长为的小正方形的面积差，等于4个长为、宽为的长方形的面积和，符合等式； 故选B． 题型07.完全平方公式分解因式 【典例】下列多项式能运用完全平方公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式分解因式等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据完全平方公式分解因式的条件，需紧扣“三项式，两个平方项符号相同，第三项为两平方项底数乘积的2倍”这一特征逐一判断选项． 【详解】解：，第三项不是与乘积的2倍， 故A不符合条件； ，与符号不同， 故B不符合条件； ，第三项不是与乘积的2倍，故C不符合条件； ，符合完全平方公式分解因式的条件， 故D符合条件， 故选：D． 【跟踪专练1】因式分解： _____________ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 【跟踪专练2】下列多项式能用完全平方公式分解因式的是______． ①；②；③；④； ⑤；⑥． 【答案】①③⑥ 【分析】根据能用完全平方公式分解因式的多项式特点，即多项式为三项，两个平方项符号相同，中间项为两个平方项的两底数乘积的，逐个判断即可． 【详解】解：①，符合完全平方公式分解因式的条件； ②，常数项为负数，不符合完全平方公式分解因式的条件； ③，符合完全平方公式分解因式的条件； ④，中间项不是两个平方项的两底数乘积的2倍，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑤，多项式只有两项，不符合完全平方公式分解因式的条件； ⑥，符合完全平方公式分解因式的条件． 综上，能用完全平方公式分解因式的是①③⑥． 题型08.综合运用公式法分解因式 【典例】因式分解：__________． 【答案】/ 【分析】本题考查因式分解，先利用平方差公式法进行因式分解，再利用完全平方公式进行求解即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 【跟踪专练1】因式分解的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可． 【详解】分解：原式， 故选：D． 【跟踪专练2】在实数范围内分解因式：________． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，掌握相关知识是解决问题的关键．将原式变形为，利用完全平方公式可得，再用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型09.综合法分解因式 【典例】多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查提公因式法与平方差公式分解因式，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解，需将多项式分解到每一个因式都不能再分解为止． 【详解】解：， 故选：C． 【跟踪专练1】分解因式：_____． 【答案】 【分析】综合提取公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：原式 【跟踪专练2】下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．根据定义逐一判定即可得答案． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、分解不彻底，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、无法因式分解，故本选项不符合题意； 故选：C 题型10.实数范围内分解因式 【典例】在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．通过求解一元二次方程得到实数根，然后根据根写出因式分解形式即可． 【详解】解：方程， 其中，，， 判别式：， ∴， 即：，， 因此， 故答案为：． 【跟踪专练1】在实数范围内因式分解，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】实数范围内的因式分解，需分解彻底，且结果中根式要化为最简，利用提取公因式结合平方差公式分解即可． 【详解】解： A．未彻底分解，不合题意； B．二次根式未化简，不合题意； C．因式分解正确，符合题意； D．括号内符号错误，不合题意． 【跟踪专练2】在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 题型11.因式分解与有理数简算 【典例】若，则k的值为（        ） A．100 B．101 C．200 D．204 【答案】D 【分析】移项后利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题关键是熟练运用平方差公式进行简便运算． 【跟踪专练1】利用因式分解计算：________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解．通过提取公因式2027进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为 【跟踪专练2】计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型12.十字相乘法 【典例】因式分解：＝____． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练1】分解因式，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次三项式的因式分解，利用十字相乘法分解二次三项式，需找到两个数，使其和为一次项系数、积为常数项，再完成因式分解即可． 【详解】解：∵要分解，需找两个数满足和为，积为， ∴这两个数是和， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】若多项式可因式分解为，其中均为整数，则的值是__________． 【答案】1 【分析】首先利用十字相乘法将因式分解，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：利用十字相乘法将因式分解， 得， ， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查十字相乘法分解因式，掌握十字相乘法是正确分解因式的前提，确定的值是得出正确答案的关键． 题型13.分组分解法 【典例】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，运用分组分解法进行分解即可． 【详解】解：． 故答案为： 【跟踪专练1】把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 【跟踪专练2】已知，则多项式的值为__________． 【答案】0 【分析】先进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解： ； 当时，原式； 故答案为：． 【点睛】本题考查代数式求值．熟练掌握分组法进行因式分解，整体思想代入求值，是解题的关键． 题型14.因式分解的应用 【典例】.若，，则的值为（　　） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴原式． 【跟踪专练1】已知某广场上一个圆形喷水池的面积为，则该圆形喷水池的半径为___________． 【答案】 【分析】对已知的面积表达式因式分解，结合圆的面积公式对比得到半径的平方，结合得到半径． 【详解】解：设该圆形喷水池的半径为r， ， ∵某广场上一个圆形喷水池的面积为， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴该圆形喷水池的半径为． 【跟踪专练2】已知的三边满足：，则 （1）_______； （2）的周长为_______． 【答案】 6 14 【分析】（1）由，用含的代数式表示，代入，整理后配方，利用偶次方的非负性求出、、的值，即可得到所求结果． （2）根据三角形的周长公式解答即可． 【详解】解：（1）， ， 把代入得： 整理得：， 即 ∴ 且 解得：，； （2）由（1）得：，，， ∴的周长为． 题型15.因式分解与新定义运算 【典例】已知为有理数，现定义运算符号“”：当时，；当时，；当时，，根据这种运算，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的运算法则，根据题中的定义，结合有理数的加减运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：∵，当时，； 故； ∵，当时，； 故． 故答案为：． 【跟踪专练1】新定义，例如．则________． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算、新定义，根据新定义列式计算即可． 【详解】解：根据题中的新定义得：． 故答案为：． 【跟踪专练2】．定义运算“★”：对于任意实数，，都有．若，则的值为____________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根与完全平方式的非负性求出x，y的值，再结合题目给出的新定义运算代入计算即可． 【详解】解：对因式分解得， 二次根式和完全平方式都具有非负性， ， 解得：，， 由新定义运算得： ． 题型16.整体换元法分解多项式 【典例】分解因式： （1）______； （2）_______． 【答案】 【详解】（1）解： ； （2）解：设， 则 ． 【跟踪专练1】已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 【跟踪专练2】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型17.因式分解逆用-整体代入求值 【典例】已知实数，满足，，则代数式______，代数式______． 【答案】 34 【分析】本题考查了完全平方公式，因式分解，代数式求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．第一问利用完全平方公式将转化为后代入求值；第二问通过因式分解将表达式变形为后代入计算． 【详解】解：∵，， ∴； ． 故答案为：34；． 【跟踪专练1】如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 【跟踪专练2】若，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用以及代数式的化简求值，熟练掌握平方差公式和代数式的变形方法是解题的关键．先通过已知条件得出的值，再将和用含、的式子表示，代入所求式子化简计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，即 ∴， ∴由得， 由得， ∴ ， 当时，原式， 故答案为：． 【解答题】 1．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； (2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】(1)，5； (2)． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 2．分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提公因式法分解因式即可； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 3．分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可； （）先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．我们已经学过将多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、十字相乘法等． ①分组分解法：例如：； ②十字相乘法：例如：由图可得：． (1)仿照以上方法，按照要求分解因式： ①（分组分解法） ； ②（十字相乘法） ； (2)已知a，b，c为的三边长，且，求的周长． 【答案】(1)①；② (2)7 【分析】本题考查了因式分解的方法，本题主要包括分组分解法、运用平方差公式进行分解、十字相乘法进行分解、运用完全平方公式进行分解，解题的关键是理解分组分解法、十字相乘法的实质． （1）①将原式化为，再利用完全平方公式和平方差公式分解即可；②画十字交叉线，即可利用十字相乘法分解； （2）先利用完全平方公式对等式的左边变形，再根据偶次方的非负性可得出、、的值，然后求和即可得到答案． 【详解】（1）解：① ， 故答案为：； ②由图可得： 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， 故的周长为：7． 5．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且，的“和积数”，求（用含的式子表示），并计算的最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)； 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴a，b的“和积数”c为； 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当时，， 当时，， 综上所述，c的值为或； （3）解：∵，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $