专题2.8 二元一次方程组70道计算题专项训练（7大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升讲练（浙教版）

专题2.8 二元一次方程组70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型五 方程组相同解问题 题型六 二元一次方程组的应用 题型七 三元一次方程组及其解法 【经典计算题一 代入消元法】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）计算、解方程组 (1)计算： (2)解方程组： 4．（23-24七年级下·江苏南通·期中）计算或解方程组： (1) (2) 5．（25-26七年级下·湖南永州·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 7．（2025七年级下·贵州·专题练习）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）在上节课的“观察与思考”中，我们用两种方法解决了货车载质量的问题，分别列出了一元一次方程和二元一次方程组． (1)由方程组怎样才能得出方程？ (2)求方程组的解． 9．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是__________ (2)已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【经典计算题二 加减消元法】 11．（2026七年级下·广西·专题练习）解方程组： 解： 解法一：①+②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法二：①-②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法三：①+②，得________，解得________， ①-②，得________，解得________， 方程组的解为________． 解法一：①+②，得： ， 解得， 将代入①,得 方程组的解为 ． 解法二：①-②，得：， 解得， 将代入①，得， 方程组的解为 ． 解法三：①+②，得：， 解得， ①-②，得 ， 解得， 方程组的解为 ． 12．（25-26七年级下·广东广州·月考）解方程组： 13．（23-24七年级下·宁夏固原·月考）解方程组：． 14．（25-26七年级下·广东清远·期末）已知二元一次方程组，求的值． 15．（23-24七年级下·重庆·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 16．（25-26七年级下·山西太原·月考）计算与解方程组 (1)计算； (2)解方程组：． 17．（23-24七年级下·吉林·期中）若和是方程的两组解，求之值． 18．（25-26七年级下·河南郑州·月考）已知实数满足且，求的值．下面是两位同学的解题思路，请按照他们的思路分别解答． 甲同学：先将方程组中两个方程相减， 再求的值． 乙同学：先解方程组， 再求的值． 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算 (1)． (2)． (3)解方程：． (4)解方程组． 20．（23-24七年级下·浙江台州·期中）已知二元一次方程． (1)写出此方程的所有正整数解． (2)若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在横线处补上一个方程，并求出此方程组的解． 【经典计算题三 二元一次方程组的特殊解法】 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 22．（25-26七年级下·广东广州·月考）解方程组：． 23．（25-26七年级下·重庆·月考）解方程组： (1) (2) 24．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)； (2) 25．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：． 27．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 29．（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 30．（2024七年级下·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【经典计算题四 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 31．（23-24七年级下·江苏南通·期末）计算 (1)． (2)已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 32．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 33．（22-23七年级下·陕西咸阳·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为 (1)求a、的值； (2)求的平方根． 34．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 35．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）若方程组的解满足，则 36．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 37．（24-25七年级下·吉林松原·月考）已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 38．（23-24七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 39．（23-24七年级下·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 40．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【经典计算题五 方程组相同解问题】 41．（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 42．（25-26七年级下·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 43．（24-25七年级下·江苏·期末）关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 44．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 45．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于，的两个二元一次方程组与的解相同． (1)求和的值； (2)求的平方根． 46．（25-26七年级下·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 47．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）（1）若关于x的方程与方程的解相同，求m的值； （2）在（1）的条件下，解关于a、b的方程组． 48．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 49．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）已知方程组与有相同的解，求a、b的值． （2）已知：的平方根是，的平方根是，求的立方根． 50．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【经典计算题六 二元一次方程组的应用】 51．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 53．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 54．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 55．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 56．（25-26七年级下·四川成都·期末）2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 57．（22-23七年级下·福建泉州·期中）山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 58．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 59．（25-26七年级下·河南周口·期末）河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 60．（25-26七年级下·山西运城·期中）2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰入列后进行首次舰载机起降训练．已知甲板调度区现有歼隐形战斗机和直直升机共15架，每架歼隐形战斗机需配备1名飞行员，每架直直升机需配备2名飞行员，现有20名飞行员已准备起飞．求此时甲板上的歼和直各有多少架． 【经典计算题七 三元一次方程组及其解法】 61．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 62．（25-26七年级下·全国·期末）解方程组： 63．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 65．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 66．（2025七年级下·全国·专题练习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 67．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 68．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 69．（24-25七年级下·山东德州·月考）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 70．（23-24七年级下·全国·假期作业）某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.8 二元一次方程组70道计算题专项训练（7大题型） 题型一 代入消元法 题型二 加减消元法 题型三 二元一次方程组的特殊解法 题型四 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型五 方程组相同解问题 题型六 二元一次方程组的应用 题型七 三元一次方程组及其解法 【经典计算题一 代入消元法】 1．（2026七年级下·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】直接运用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 将代入可得：， 解得， 将代入可得：， 所以该方程组的解为． 2．（23-24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了方程②中的b，解得． (1)求正确的a，b的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（）根据题意可得甲求得的方程组的解满足方程，乙求得的方程组的解满足方程，据此可得关于的方程，解方程即可得到答案； （）根据（）所求可得原方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解：∵甲看错了方程中的，解得，乙看错了方程中的，解得， ∴甲求得的方程组的解，满足方程，乙求得的方程组的解满足方程， ∴，， ∴，； （2）解：由（）得，，， ∴原方程组为， 由得，， 把代入得，解得， 把代入得，， ∴方程组的解为：． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼伦贝尔·月考）计算、解方程组 (1)计算： (2)解方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用有理数的乘方、算术平方根、立方根、绝对值的运算法则算出各项的值，再进行加减运算即可； （2）利用代入消元法，将第一个方程代入第二个方程消元求解即可. 【详解】（1）解： （2）解方程组：， 把①代入②，得：，解得：， 把代入①，得：， 所以方程组的解为：. 4．（23-24七年级下·江苏南通·期中）计算或解方程组： (1) (2) 【答案】(1)5.5 (2) 【详解】（1）解： （2）解： 由②得， 把代入①得：， 解得， 把代入， 解得， 则方程组的解为：． 5．（25-26七年级下·湖南永州·期末）解方程（组）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为1，即可作答． （2）运用代入消元法进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴去括号得：， ∴移项得： ， ∴合并同类项得： ， 系数化为1得：． （2）解：∵， ∴整理得： 由①得：， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 因此是原方程组的解． 6．（25-26七年级下·山东枣庄·期末）对于关于，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“友好关系”． (1)方程组的解与_____(填“具有”或“不具有”)“友好关系”； (2)若方程组的解与具有“友好关系”，求的值． 【答案】(1)具有； (2) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法及新定义“友好关系”的应用，关键是理解“友好关系”的本质为，通过解方程组或结合该关系式求解未知量． （1）先求解给定的二元一次方程组，得到、的具体值后，验证是否等于1，即可判断是否具有“友好关系”； （2）将代入方程组，先求出、的值，再代入含的方程计算即可． 【详解】（1）解：解方程组，得， ，满足“友好关系”的定义， 故答案为：具有； （2）解：方程组的解与具有“友好关系”， ， 联立，解得， 将代入方程， 得，解得． 7．（2025七年级下·贵州·专题练习）三个二元一次方程，，．请在这三个方程中任选两个方程，组成一个二元一次方程组，并解该方程组． 【答案】选方程和组成的方程组的解为； 选方程和组成的方程组的解为； 选方程和组成的方程组的解为； 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法是解题的关键；任选两个方程组成方程组求解即可． 【详解】解：若选方程和组成的方程组为：， ，得， 解得， 将代入， 解得 方程组的解为； 若选方程和组成的方程组为：， 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为； 若选方程和组成的方程组为：， 将②代入①，得， 解得， 将代入， 方程组的解为． 8．（25-26七年级下·全国·课后作业）在上节课的“观察与思考”中，我们用两种方法解决了货车载质量的问题，分别列出了一元一次方程和二元一次方程组． (1)由方程组怎样才能得出方程？ (2)求方程组的解． 【答案】(1)从方程组第一个方程解出 ，然后代入第二个方程 (2)方程组的解为 【分析】本题考查解二元一次方程组： （1）观察所给方程，可知先解方程得出，再通过代入消元可得出方程； （2）利用代入消元法求解． 【详解】（1）解：由方程，可得， 将代入，可得； （2）解： 由得， 将代入，得：， 解得， 则， 故该方程组的解为． 9．（24-25七年级下·河北唐山·期中）老师在黑板上写了一道题目：求二元一次方程组的解． 琪琪同学进行了板演，过程如图： 解：把①变形为：③…………第一步 把③代入②中得：…………第二步 解这个方程，得第三步…………第三步 把代入①中，得…………第四步 所以，方程组的解为…………第五步 (1)琪琪在解方程组时，使用了________消元法； (2)琪琪在解方程组时，首次出现错误在第________步； (3)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)代入 (2)第一步 (3) 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组求解过程作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：琪琪在解方程组时，使用代入消元法， 故答案为：代入； （2）解：琪琪在解方程组时，首次出现错误在第一步，移项没有变号， 故答案为：第一步； （3）解：把①变形为：③ 把③代入②中得： 解这个方程，得第三步 把代入①中，得 所以，方程组的解为． 10．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）我们把关于x、y的二元一次方程的系数a、b、c称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是__________ (2)已知关于x、y的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求m、n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法，理解新定义的含义是解题的关键． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出m，n的值； 【详解】（1）解∶ 二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为∶ ； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 【经典计算题二 加减消元法】 11．（2026七年级下·广西·专题练习）解方程组： 解： 解法一：①+②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法二：①-②，得________，解得________， 将________代入①，得________， 方程组的解为________． 解法三：①+②，得________，解得________， ①-②，得________，解得________， 方程组的解为________． 【答案】 【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，解法一：通过①+②消去未知数再用代入法求出从而求出方程组的解；解法二：通过①-②消去未知数再用代入法求出从而求出方程组的解；解法三：通过①+②消去未知数求出通过①-②消去未知数求出从而求出方程组的解． 【详解】解： 解法一：①+②，得： ， 解得， 将代入①,得 方程组的解为 ． 解法二：①-②，得：， 解得， 将代入①，得， 方程组的解为 ． 解法三：①+②，得：， 解得， ①-②，得 ， 解得， 方程组的解为 ． 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧ ⑨⑩⑪⑫⑬⑭⑮ 【点睛】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟悉加减消元法是解题的关键． 12．（25-26七年级下·广东广州·月考）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法 熟练掌握加减消元法是解题的关键．观察方程组可知的系数互为相反数，可通过相加消去，先求出再求即可． 【详解】解： 由，得 解得 把代入②，得 解得 ∴原方程组的解是． 13．（23-24七年级下·宁夏固原·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由可得：， ∴， 将代入①可得：， 解得：， ∴该方程组的解为． 14．（25-26七年级下·广东清远·期末）已知二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，关键是通过观察方程的系数特征选择简便方法求解的值．可以直接将两个方程相减，利用对应未知数系数的差快速得到的结果，该方法无需单独求解、的具体值，效率更高；也可以先解出、的取值，再代入计算． 【详解】解：， ②①，得， 即． 15．（23-24七年级下·重庆·期中）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）采用加减消元法进行求解即可； （2）先将方程组进行化简，再采用加减消元法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 由得：， ， 将代入①得：， ∴原方程组的解为． （2）解：原方程组整理化简为：， 由得：， ， 将代入①得： ∴原方程组的解为． 16．（25-26七年级下·山西太原·月考）计算与解方程组 (1)计算； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解： ②4，得③， ③①，得． 将代入①中，得． 所以原方程组的解是． 17．（23-24七年级下·吉林·期中）若和是方程的两组解，求之值． 【答案】． 【分析】根据题意列出关于的二元一次方程组，然后用加减消元法求出的值即可；解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数为未知数的方程． 【详解】解：由题意可得方程组， ，得，解得， 将代入①，得，解得， 所以关于的方程组的解为． 18．（25-26七年级下·河南郑州·月考）已知实数满足且，求的值．下面是两位同学的解题思路，请按照他们的思路分别解答． 甲同学：先将方程组中两个方程相减， 再求的值． 乙同学：先解方程组， 再求的值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键；利用加减法结合两位同学的思路分别求解即可． 【详解】解：甲同学的思路：先将方程组中两个方程相减，得到， 又∵， ∴， 解得； 乙同学的思路：先解方程组， 得：， ∴， 将代入②，解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上，． 19．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）计算 (1)． (2)． (3)解方程：． (4)解方程组． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的混合运算、解一元一次方程和解二元一次方程组． （1）利用乘法分配律进行计算即可； （2）按照含乘方的有理数混合运算顺序计算即可； （3）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解答即可； （4）利用加减法解方程组即可． 【详解】（1） ． （2）． ． （3） （4）． ①得：③ ③②得：， ． 将代入①式得， ． ∴方程组解为． 20．（23-24七年级下·浙江台州·期中）已知二元一次方程． (1)写出此方程的所有正整数解． (2)若二元一次方程组存在x，y互为相反数的解，请在横线处补上一个方程，并求出此方程组的解． 【答案】(1)； (2)， 【分析】本题主要考查了二元一次方程和二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程和方程组． （1）令，，分别把的值代入，求出，然后求出方程的正整数解即可； （2）根据，互为相反数，把用表示出来，再代入，求出，，然后用求出的，列出算式，再把8和换成和，最后把所得方程与联立成方程组，解方程组即可． 【详解】（1））当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 方程的正整数为：； （2）方程组的解是互为相反数， ， 把代入得： ， 解得：， ， ， 括号处补的方程为：， 方程组为：， ①②得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 【经典计算题三 二元一次方程组的特殊解法】 21．（24-25七年级下·全国·单元测试）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后再将③代入②，得，求得，从而进一步求得这种方法被称为“整体代入法”． 请用这样的方法解方程组： 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的求解，解题的关键是根据题意掌握“整体代入法”； 由题意可知先对①移项得，再将其整体代入②中，即可得到答案． 【详解】解：由①，得③， 把③代入②，得，解得， 把代入③，得，解得， 故原方程组的解为． 22．（25-26七年级下·广东广州·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 得，即③， 得，即④， 得， 解得， 把代入③得， 解得， 所以，方程组的解为． 23．（25-26七年级下·重庆·月考）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题关键； （1）利用加减消元法进行解方程即可； （2）设，，将原方程组变成的二元一次方程组，再利用加减消元法进行解方程即可． 【详解】（1）解： 得： ③ 得： ∴ 将代入①得： ∴ ∴ 故方程组的解为 （2）解： 设，，则方程组化为： 得： ∴ ∴ 将代入④得： ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故方程组的解为 24．（24-25七年级下·全国·期末）解方程（组）： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、二元一次方程组的解法，正确利用加减消元法解方程组是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的步骤求解即可； （2）设，，则原方程组可变形为，再根据加减消元法计算即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：设，， 则原方程组可变形为， 得， 则， 将代入②得， 解得， ， 解得． 25．（25-26七年级下·湖南湘潭·期末）已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是换元法解二元一次方程组，灵活运用换元思想简化复杂方程组是解题的关键．观察到方程组中和重复出现，可令，，将原方程组转化为关于、的二元一次方程组，解出m的值，即可得到的值． 【详解】解：令，， 则原方程组变为， 解得：， ． 26．（24-25七年级下·贵州毕节·月考）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设，进行换元构造新的方程组，求解后再求原方程组的解． 【详解】解：设，，则原方程组变形为， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 解得， 原方程组的解为． 27．（24-25七年级下·陕西咸阳·月考）关于、的二元一次方程组，和关于、的二元一次方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，掌握以上知识是解题的关键； 根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：由题意可知方程组的解和关于的二元一次方程组的解相同． 解方程组得：， 将代入方程组得：， 解得：， 所以； 28．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解是求方程组的解． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解及其解法；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·江苏南京·月考）（1）解方程组 （2）①解方程组 ②直接写出方程组的解是_________． 【答案】（1）；（2）①；② 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）利用代入消元法解方程组即可； （2）①利用加减消元法解方程组即可； ②令，则原方程组可化为，根据前面所求可得，据此可得答案． 【详解】解：（1） 把①代入②得：，解得， 把代入①得：， ∴原方程组的解为； （2）① 得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为； ②令，则原方程组可化为， ∴由（2）①得方程组的解为， ∴， ∴， ∴方程组的解是． 30．（2024七年级下·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【经典计算题四 已知二元一次方程组的解的情况求参数】 31．（23-24七年级下·江苏南通·期末）计算 (1)． (2)已知关于x，y的方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了算术平方根的性质，求一个数的算术平方根和立方根，二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）首先计算算术平方根和立方根，然后计算加减； （2）根据方程组的解的定义，解方程组，可求出方程组的解，代入即可求出m的值． 【详解】（1） ； （2）∵关于x，y的方程组的解满足， ∴方程组的解是方程组的解， 解方程组得：， 将代入得：， 解得：． 32．（23-24七年级下·全国·假期作业）已知关于的二元一次方程组的解是，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．把代入方程组求得a、b的值，即可求得的值． 【详解】解：把代入二元一次方程组得，， 解得， ∴． 33．（22-23七年级下·陕西咸阳·月考）已知关于x、y的二元一次方程组的解为 (1)求a、的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及求一个数的平方根； （1）先把代入，建立关于的方程组，再运用加减消元法，即可作答． （2）根据一个数的平方根有两个，它们互为相反数，据此即可作答． 【详解】（1）解：因为方程组的解为 所以 即 由①+②得：， 解得， 将代入① 得：， 解得 ∴， （2）解：由（1）得：，， 则， 所以的平方根为. 34．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）若关于的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，根据题意可得方程组，解方程组得到，再把代入方程中求出的值即可． 【详解】解：由题意得： 解得， 将代入，得：， ∴． 35．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）若方程组的解满足，则 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组，掌握加减消元法是关键，根据加减消元法得到的值，再结合题意列式求解即可． 【详解】解：， 得，， 解得，， 得，， 解得，， ∵， ∴， 解得，． 36．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知关于，的方程组的解满足，求的值及方程组的解． 【答案】，方程组的解为 【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键． 先将恒等变形为，代入原方程组得，解得，求出，从而得到原方程组的解． 【详解】解：由得，，代入原方程组， 得， ， 将②代入①得， 解得； 则；； 综上所述，，方程组的解为． 37．（24-25七年级下·吉林松原·月考）已知关于的方程组，若方程组的解互为相反数，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，相反数的应用，解答此题的关键是挖掘出内含在题干中的已知条件． 令，可得，，再根据方程组的解互为相反数，可得，求解即可． 【详解】解：， ，得， ，得， ∵方程组的解互为相反数， ∴， 即． 38．（23-24七年级下·全国·课后作业）关于的二元一次方程组的解满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．将②①，得到，再代入即可得到m的值． 【详解】解： ②①， ③ 把③代入中，得 则． 39．（23-24七年级下·安徽合肥·单元测试）已知关于x，y的方程组与有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m、n的值； (3)小明同学说：“无论a取何值，（1）中的解都是关于x，y的方程的解．”这句话对吗？请你说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不对，理由见解析 【分析】本题考查同解方程组，由二元一次方程组的解求参数．理解同解方程组的概念是解题关键． （1）根据两个方程组有相同的解，即可联立两个方程组中不含m，n的方程，再求解即可；（2）将（1）所求的解代入含m，n的方程，即得出关于m，n的方程组，解之即可； （3）将（1）所求的解代入，再化简，即得出． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得； （2）解：将代入含有m、n的方程得：， 解得：； （3）解：将代入，得： ， 化简得：， 该说法错误． 40．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知关于x，y的二元一次方程组，甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为，乙由于看错了b，得到方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若方程组的解与方程组的解相同，求的值． 【答案】(1)，； (2)； 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，以及代数式求值． （1）根据甲由于看错了方程组中的a，把得到的方程组的解代入可得出，即可求出b的值，根据乙由于看错了b，把得到方程组的解代入可得出，即可求出a的值 （2）由（1）得到方程组并求解，把解代入，再解出m，n的值，代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵甲由于看错了方程组中的a，得到的方程组的解为 ∴， 解得； ∵乙由于看错了b，得到方程组的解为 ∴， 解得； （2）由（1）得方程组为， 解得， ∵方程组的解与方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 【经典计算题五 方程组相同解问题】 41．（23-24七年级下·陕西西安·月考）已知关于、的二元一次方程组和关于、的二元一次方程组的解相同，求、的值． 【答案】， 【分析】本题考查二元一次方程组的同解问题及解二元一次方程组，根据同解方程定义可以重新组合得到二元一次方程组将其方程组的解代入即可求解； 【详解】解：∵和的解相同， ∴，解得：， 将代入中，得：， 解得： ∴， 42．（25-26七年级下·四川成都·期中）若关于，的方程组与方程组的解相同，求： (1)两个方程组的相同解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 43．（24-25七年级下·江苏·期末）关于x，y的方程组的解也是方程的解，求k得值 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，同解方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先理解题意得出，再运用加减消元法解出，，再把它们分别代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解也是方程的解， ∴， 由得， 解得， 把代入②，得：， ∴， 解得， 把，分别代入， 得． 44．（23-24七年级下·甘肃武威·期末）若关于x的方程和有相同的解，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，熟知方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．先求出方程的解，再把这个解代入到方程中得到关于k的方程，据此求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 把代入方程中得：，即， 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：． 45．（24-25七年级下·河南周口·月考）若关于，的两个二元一次方程组与的解相同． (1)求和的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求一个数的平方根，熟练掌握二元一次方程组的解法及平方根的意义是解题的关键． （1）先求出二元一次方程组的解，再代入中，求出m、n，即可； （2）将和的值代入再计算即可求解． 【详解】（1）解：， 由①+②得：， 解得， 把代入①，得：，， ∵两个二元一次方程组与的解相同， ∴， 解得：， （2）解：∵， ∴． 46．（25-26七年级下·山东菏泽·月考）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了同解方程组的解法及乘方运算，解题的关键是明确“解相同”意味着两组方程的解能同时满足四个方程，从而先求出公共解再代入求参数．联立两个方程组中不含参数的方程，求出公共解；将公共解代入含的方程，解出的值即可． 【详解】解：∵两个方程组解相同， ∴先解不含的方程组：， ①②得：， 即， 解得． 将代入①得：，解得． 因此，相同的解为． 将代入含的方程：， ③④得：， 解得， 将代入④得：，求得， ． 47．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）（1）若关于x的方程与方程的解相同，求m的值； （2）在（1）的条件下，解关于a、b的方程组． 【答案】（1）1；（2）， 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解一元一次方程以及解二元一次方程组，解题的关键在于：（1）通过解一元一次方程，求出m的值；（2）代入m的值，求出方程组的解． （1）解一元一次方程，可求出x的值，再将其代入方程中，求出m的值即可； （2）将m的值代入原方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）解方程，得， 将代入方程，得，解得． ∴m的值为1． （2）将代入原方程组，得：， 即， 由，得，即， 将代入②，得，解得． ∴． 48．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，先求出方程 的解，再把代入得，然后解方程即可，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 49．（23-24七年级下·四川成都·期中）（1）已知方程组与有相同的解，求a、b的值． （2）已知：的平方根是，的平方根是，求的立方根． 【答案】（1）；（2）3 【分析】本题考查同解方程组，平方根与立方根． （1）将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出的值即可； （2）根据开方与平方是互逆运算，求出的值，与的值，然后求出的值，再代入进行计算即可求解． 【详解】解：（1）由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和得：， ∴； （2）的平方根是， ，即， ∴， 的平方根是， ，即， ∴， ， 的立方根为． 50．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 【经典计算题六 二元一次方程组的应用】 51．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）如图是小飞同学用大小相同的长方形纸片摆放形成的图案，其中三张横放的纸片比一张竖放的纸片高，两张横放的纸片比两张竖放的纸片矮，求一张长方形纸片的长和宽．（用二元一次方程组解答） 【答案】一张长方形纸片的长为，宽为 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，理解题意找到题中的相等关系列方程组是解题的关键．设长方形的长为，宽为，根据题意列方程组，求出，即可求解． 【详解】解：设一张长方形纸片的长为，宽为， 由题意得 解得 答：一张长方形纸片的长为，宽为． 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 53．（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇．设甲的骑行速度为每小时，乙的骑行速度为每小时， (1)列出关于，的二元一次方程； (2)问题（1）中的方程的解不唯一，请你适当增加题目中的条件：_____，使，有唯一的解，并列出方程组解答你改编后的问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据路程等于速度乘以时间，列出方程即可； （2）添加甲的速度比乙快，求两人的速度，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，，整理，得； （2）解：增加条件：甲的速度比乙快，即， 则，解得； 答：甲，乙两人的速度分别为和． 54．（2026七年级下·全国·专题练习）某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 55．（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，在长方形中放入个形状大小相同的小长方形（不重叠），其中，求小长方形的长与宽．（用方程组的知识解答） 【答案】小长方形的长为，宽为 【分析】本题考查二元一次方程组解应用题，读懂题意，由等量关系列出方程是解决问题的关键． 设小长方形的长为，宽为，由图形中长宽建立方程组求解即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意可得， 解得， 答：小长方形的长为，宽为． 56．（25-26七年级下·四川成都·期末）2025年世乒赛在成都举办，来自世界各地的乒乓球运动员与观众齐聚蓉城，体验“乒坛盛宴”与“天府文化”的融合魅力，组委会为感谢工作人员与志愿者，计划购买蜀绣纪念品与熊猫文创纪念品共件，其中蜀绣纪念品每件售价元，熊猫文创纪念品每件售价元． (1)如果购买蜀绣、熊猫文创两种纪念品一共花费了元，求购买这两种纪念品各是多少件？ (2)设购买蜀绣纪念品件，问组委会共有几种购买方案？哪一种方案总费用最低？则费用是多少元？ 【答案】(1)购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． (2)共有三种购买方案，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组与实际问题： （1）题目中的等量关系为：蜀绣纪念品数量熊猫文创纪念品数量件，蜀绣纪念品总价熊猫文创纪念品总价元，据此列二元一次方程组即可； （2）根据题意可知，共有三种购买方案：购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件；购买蜀绣纪念品件，购买熊猫纪念品件． 【详解】（1）解：设购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． 根据题意，得 解得 所以，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件． （2）根据题意可知，共有三种购买方案： （Ⅰ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅱ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） （Ⅲ）购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件，可得 总费用（元） 综上所述，购买蜀绣纪念品件，购买熊猫文创纪念品件时，总费用最低，为元． 57．（22-23七年级下·福建泉州·期中）山上牧童赶着一群羊，山下牧童也赶着一群羊，山下牧童对山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”他们到底各赶多少只羊？ 【答案】山上本来有只羊，山下本来有只羊 【分析】设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊，根据山上牧童说：“如果你的羊跑下来4只，那么我们二人的羊恰好相等．”山上牧童说：“如果你的羊跑上来4只，那么我的羊恰好是你的羊的3倍．”列方程组求解． 【详解】解：设山上本来有x只羊，山下本来有y只羊， 由题意得，， 解得：， 答：山上本来有只羊，山下本来有只羊． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 58．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 59．（25-26七年级下·河南周口·期末）河南省自2025年1月20日起实施家电以旧换新补贴．根据《实施细则》，一级能效补贴比例为，二级补贴，单件补贴不超过2000元．小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元．电视机售价比冰箱低2000元，且两件家电的补贴均未达上限．求冰箱和电视机的售价． 【答案】冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设冰箱售价为元，电视机售价为元，根据小明家购买了一台一级能效冰箱和一台二级能效电视机，共获补贴1100元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设冰箱售价为元，电视机售价为元； 根据购买冰箱和电视机，共获补贴1100元，列得方程： ， 解方程得：， ， 答：冰箱售价为4000元，电视机售价为2000元． 60．（25-26七年级下·山西运城·期中）2025年11月5日，我国第一艘电磁弹射型航空母舰——福建舰正式入列，不仅标志着中国海军进入“三航母时代”，更是一次战斗力的质的飞跃，深刻影响着中国海军的战略运用和未来发展．福建舰入列后进行首次舰载机起降训练．已知甲板调度区现有歼隐形战斗机和直直升机共15架，每架歼隐形战斗机需配备1名飞行员，每架直直升机需配备2名飞行员，现有20名飞行员已准备起飞．求此时甲板上的歼和直各有多少架． 【答案】歼有10架，直有5架 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设甲板上的歼有架，直有架，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲板上的歼有架，直有架，根据题意得， 解得． 答：甲板上的歼有10架，直有5架． 【经典计算题七 三元一次方程组及其解法】 61．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知的三边a，b，c满足求这个三角形的三边a，b，c的长． 【答案】这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②，得④， 由③④，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 把代入③，得， 解得． 综上所述，原方程组的解是． 答：这个三角形的三边a，b，c的长分别是12，9，15． 62．（25-26七年级下·全国·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查了比的应用，解三元一次方程组，解题的关键是正确运用连比求解． 依题可设，然后代入下面方程求解即可． 【详解】解：依题意可设， ∴， ∴， ∴ ∴原方程组的解为：． 63．（23-24七年级下·河北石家庄·开学考试）（1）解方程组：． （2）已知，当时，；当时，；当时，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法和通过代入已知值求解二次函数系数．熟练掌握消元法解二元一次方程组以及根据已知条件建立方程组求解函数系数的方法是解题的关键． （1）使用消元法来求解该二元一次方程组．通过对两个方程进行变形，消除其中一个未知数，从而求得另一个未知数的值，再将求得的值代入原方程求出被消除的未知数． （2）将不同值下对应的值代入函数表达式，得到一个关于、、的三元一次方程组，然后求解该方程组，即可得到、、的值． 【详解】解：（1） 由得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 所以原方程组的解为； （2）由题意可得      把代入得，即， 把代入得，即， 得， 解得， 把代入得， 解得， ， 所以，． 64．（23-24七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解也是方程的解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解决此类题的关键． 把、、用含有的式子表示出来，然后再代入即可解出的值． 【详解】，得④ ，得， 把分别代入②和③，得，． ∴． 把，，代入得． 解得． 65．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知方程组的解使式子的值等于，求的值． 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的求解与代数式求值，核心思路是先通过方程组消元，将、、用含的代数式表示，再代入给定的等式构建关于的一元一次方程，进而求出的值． 【详解】解：已知方程组， ①+②+③，得：，即④， ④-②，得； ④-③，得； ④-①，得； ∴，解得． 66．（2025七年级下·全国·专题练习）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码时，则接收方对应收到的密码是．双方约定：。例如：发出，则收到．当接收方对应收到一组密码是时，则发送方发出的密码是多少？ 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，根据发送方与接收方密码的约定关系，列出关于、、的方程组，通过解方程组求出发送方的密码. 【详解】解：由题意，得解得 所以发送方发出的密码是 故答案为：. 【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是根据发送方与接收方密码的对应关系，准确列出方程组，并熟练运用代入消元法求解方程组. 67．（24-25七年级下·贵州贵阳·自主招生）在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中200分才能获奖，要想获奖至少需要投中几次飞镖？ 【答案】14次 【分析】本题主要考查了三元一次方程的应用，设投中17分x次，11分y次，4分z次，根据题意得出，根据要使最小，应该让x尽量大，z尽量小，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：设投中17分x次，11分y次，4分z次，则，要使最小，应该让x尽量大，z尽量小， 解得：， ∴， 答：要想获奖至少需要投中14次飞镖． 68．（23-24七年级下·江西景德镇·期末）先阅读，然后解方程组． 解方程组时，可把①代入②得：，求得，从而进一步求得这种解法为“整体代入法”，请用这样的方法解下列方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查三元一次方程组的解法，熟练掌握利用整体思想求解方程是解题的关键；根据题意可把整体代入求解z，然后再求解方程组即可． 【详解】解： 把①代入③得：，解得：， 把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ∴原方程组的解为． 69．（24-25七年级下·山东德州·月考）某服装厂专门安排名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个小袖、1个衣身、1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个，或衣身个，或衣领个，那么应该安排多少名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 【答案】应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，解题关键是找准等量关系． 设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，根据题中的等量关系列出方程组求解． 【详解】解：设应该安排名工人缝制衣袖，名工人缝制衣身，名工人缝制衣领，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套， 依题意有， 解得． 答：应该安排名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖，衣身、衣领正好配套． 70．（23-24七年级下·全国·假期作业）某次足球联赛在进行了12场比赛后，前三名的比赛成绩如下表： 胜/场 平/场 负/场 积分 A队 8 2 2 26 B队 6 5 1 23 C队 5 7 0 22 问：每队胜1场、平1场、负1场各积多少分？ 【答案】每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分 【详解】解：设每队胜1场积x分，平1场积y分，负1场积z分． 根据题意，得，解得， 故每队胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0分． 学科网（北京）股份有限公司 $