专题10.4 三角恒等变换32道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题10.4 三角恒等变换32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型二 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型三 用和、差角的正切公式化简、求值 题型四 二倍角的正切公式 题型五 三角恒等变换的化简问题 题型六 三角形中的三角恒等式 题型七 积化和差公式 题型八 和差化积公式 【经典例题一 用和、差角的余弦公式化简、求值】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用诱导公式及两角和与差得余弦解决. 【详解】因为，所以． 又， 所以， 故 故选：C. 2．设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件结合两角和的余弦公式，两角差的余弦公式，同角三角函数关系，两角和的正切公式依次判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 3．已知，则___________． 【答案】 【分析】将条件进行平方，然后左右两边对应相加，即可得到的值． 【详解】，， 平方得，①，② ①②得， 即， 即， 故答案为：． 4．若实数，且满足，则称是“余弦相关”的． (1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数； (2)若实数是“余弦相关”的，求的取值范围； (3)若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的． 【答案】(1)或 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）代入，解三角方程即可； （2）左边打开，整理成的方程，用辅助角公式后，再由三角函数的最值建立不等式关系求解； （3）探求的范围，构造，再运用“余弦相关”的性质证明. 【详解】（1）代入得，， 即，， 因此， 又因为， 所以或. （2）由得，进行化简得： ，， ，， 因为，所以， 因此，解不等式： ，，， 解得. （3）假设， 则由余弦函数的单调性可知， 所以，， 同理可得，相加得，与假设矛盾，故， ，， ， 故，也是余弦相关的， 所以，解得，， 综上，， 此时可设，， ， ， 故，为“余弦相关”的， 同理，也为“余弦相关”的. 【经典例题二 用和、差角的正弦公式化简、求值】 5．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将切化弦，整理得到，，利用两角和差的正弦公式得到，即，代入的值，得到，将中的角改为，利用两角和差的正弦公式得到，代入的值，，将所求中的角改写为，代入计算即可得解. 【详解】，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：B. 6．（多选）下列四个选项中，化简正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】运用拆角与和角公式即可判断A项；逆用两角差的余弦公式即可判断B，C两项；运用诱导公式五先转化部分三角函数式，再逆用两角和的正弦公式即可判断D项. 【详解】对于A项， ，故A项错误； 对于B项，，故B项正确； 对于C项，，故C项正确； 对于D项，，故D项正确. 故选：BCD． 7．已知函数，且，则______． 【答案】 【分析】根据，结合两角和的正弦公式可化简，利用即可得到的值. 【详解】由题意得， ， 因为，所以，即， 因为，所以当时，． 故答案为：. 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）；（2）周长为6. 【分析】（1）结合式子特点，在中，，展开化简得到，即可求出A； （2）进行转化得到，利用三角函数值的范围，得到，即可求出B，发现三角形为等边三角形，从而得到周长. 【详解】解：（1）由已知及正弦定理得 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，∴， ∴，∵， ∴. （2）∵ . ∴，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴是等边三角形，∴的周长为6. 【经典例题三 用和、差角的正切公式化简、求值】 9．已知，有下列四个结论： ①存在在第一象限，在第一象限； ②当为第一象限角时，则一定是第二或第四象限角； ③存在在第二象限，在第四象限； ④当为第二象限角时，则一定是第一或第三象限角. 则上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】令，，借助两角和的正切公式化简可得；由可得不存在、使得原式成立即可得①，从而可得②；举出、的例子可得③、④. 【详解】， 令，，即有； 对于①，若、都在第一象限，则、， 由可得， 若或，则，不符， 则且，此时，则，亦不符， 故、的正切值不能同为正，故①错误； 对于②，由、的正切值不能同为正，则当为第一象限角时，有，则， 若，代入可得，不符，故， 故一定是第二或第四象限角，故②正确； 对于③，若在第二象限，在第四象限，则、， 取，则有，化简得， 解得或（正值舍去）， 故存在，使得成立，故③正确； 对于④，当为第二象限角时，， 由③知，时，存在使得成立， 故为第二象限角时，则可为第二或第四象限角，故④错误. 故上述结论正确的个数是个. 故选：B. 10．已知均为锐角，且，则（　　） A． B． C．若，则 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简判断AB；利用和差角的正切公式，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】由，得， 即，由为锐角，得， 对于AB，，A正确，B错误； 对于C，由，得， 即，而，解得，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：ACD 11．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】先求得，然后利用判别式求得的取值范围，进而求得的最大值. 【详解】因为不是方程的根，且， 所以是两个不相等的非零实数根，①， 依题意，，解得或， 所以，或， 当时，①符合， ，整理得②， 由于此方程有解，所以， 即，解得， 的最大值为，不满足②，舍去. 当时，①符合， ，整理得，③， 由于此方程有解，所以， 即，解得（舍去）， 的最大值为，代入③得，则. 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根与系数关系、三角恒等变换中的两角和的正切公式、一元二次方程判别式.一个一元二次方程有两个不相等的实数根，则，有实数根，则，在具体问题中，要加以区分. 12．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，则的周长为2，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出后即可得解； （2）结合三角形周长的表达式及两角和的正切公式，得出的表达式，即可求解． 【详解】（1）由题知，，，， 所以的周长. （2）的周长， 令，， 又的周长为2，即， 变形可得：， =， 又，所以， 【经典例题四 二倍角的正切公式】 13．已知α∈（0，），，则tan2α=（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边同时平方，整理化简并求出，再利用二倍角公式求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 故选：C. 14．下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用二倍角公式可判断ABD选项；计算出的值，可判断C选项. 【详解】对于A选项，，A满足条件； 对于D选项，，D满足条件； 对于C选项，，C不满足条件； 对于B选项，，而，故，B不满足条件. 故选：AD. 15．已知锐角，满足，且，则______. 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，倍角公式进行运算，结合方程的根和角的范围即可求解. 【详解】因为，所以，所以，即； 又，所以，即； 所以是方程的两根，即的两根，解得或，即，或； 因为，为锐角，即，所以，所以，因此； 所以，又，所以. 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）直接应用三倍角正弦公式的推广公式计算可得； （2）所给出角不具备公式的特点，需增加一项处理，再应用三倍角余弦公式的推广公式计算； （3）先利用诱导公式将余切化为正切，再应用三倍角正切公式的推广公式计算． 【详解】（1）原式． （2）原式 ． （3）原式 ． 【经典例题五 三角恒等变换的化简问题】 17．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】根据三角恒等变换的知识先求得对应的三角函数值，进而求得. 【详解】因为，，所以， 所以，. 因为，所以，所以. 因为，所以. 因为，所以， 则， 故（）. 因为，所以. 因为，所以. 因为，所以， 所以，所以. 故选：D. 18．如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米 B．当时，种植花卉区域的面积为平方米 C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米 D．种植花卉区域的面积可能是平方米 【答案】AC 【分析】用表示出，当时，直接求出四边形可判断A；求出扇形面积即可的花卉区域的面积，可判断B；利用三角恒等变换公式化简，结合正弦函数性质可得四边形面积的范围，可判断C；结合扇形面积可判断D. 【详解】当时，， 所以米，米，米， 则儿童娱乐设施建筑用地的面积 平方米，故A正确. 由题意可得扇形的面积为平方米， 则种植花卉区域的面积为平方米，故B错误. 由题意可得米，米，米，米， 则儿童娱乐设施建筑用地面积： . 其中， 所以，取. 因为，所以， 所以，所以， 则儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米，故C正确. 因为，所以种植花卉区域的面积平方米，故D错误. 故选：AC 19．在锐角中，，则的最大值为________． 【答案】 【分析】将转化为，得到,利用化简可得，令，化简得即可求解 【详解】由，得， 因此： 根据,结合已知条件， 可得：, 因为锐角三角形，,两边同除以, 得：， 由，得：​ 将代入上式： ， 令，因为锐角，故，则，， 由基本不等式，，得， 两边平方（），， 当且仅当 （即）时取等号， ，该函数在上单调递减， 故当时， 取得最大值. 20．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【答案】(1) (2)证明见解析，这个常数为； (3)或 【分析】（1）根据集合相对的“余弦方差”的定义及特殊角的三角函数值即可求解； （2）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解； （3）根据集合相对于常数的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解. 【详解】（1）解：当集合，时，集合相对的“余弦方差”； （2）证明：当集合时， 集合相对于常数的“余弦方差”， 此时“余弦方差”是一个常数，且常数为； （3）解：当集合，，时， 集合相对于任何常数的“余弦方差”， 要使上式对任何常数是一个常数，则且， 所以，故， 整理得到，而，故或， 所以或， 当时，有，而，故即， 当时，有，而，故即， 故或． 【经典例题六 三角形中的三角恒等式】 21．在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】根据和可得，令，结合正切和角公式可求m范围.要求的式子可化为，可继续化为用m表示的式子，根据m的范围可求其最小值. 【详解】由，得， 两边同时除以，得. 令， ∵是锐角三角形， ∴，∴. 又在三角形中有： ， 故当时，取得最小值 故选：C. 22．在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先求出和，再根据两角和差的正余弦公式进行判断. 【详解】由A，B，C成等差数列，得. 因为，所以，则，所以，A正确. 又，由， 得， 所以，B正确. ，C错误. ，D正确. 故选：ABD 23．在中，为它的三个内角，且满足，，则______. 【答案】/ 【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可求得结果. 【详解】由题意可知，将两边同时平方得 将两式相加得 ，即，所以 可得或； 又因为，得， 由余弦函数单调性可得，所以不合题意； 因此. 故答案为： 24．如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． (1)若，求面积的最大值及取得最大值时的值； (2)若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ (3)若，，，求的值． 【答案】(1)时，； (2)时，的最大值等于2 (3)4 【分析】（1）先由直径所对的圆周角为直角得到三角形的形状，再利用三角函数的定义和面积公式进行求解； （2）利用平面向量的数量积的几何意义进行化简可得，再求最值即可； （3）先由直角三角形中的三角函数定义求得相关边长，再由三角恒等变换进行求解. 【详解】（1）由为直径得圆周角， ， ， 所以当，即时，． （2）由与相似得，又， 所以，     所以当时，的最大值等于2 （3）由相似三角形得，由直角三角形得， 所以 【经典例题七 积化和差公式】 25．中，，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出，再运用三角函数积化和差公式，得到角为等差数列的余弦和，即可求解． 【详解】中,,则， 又 上述各式相加得， 故， 故原式. 故选：B． 【点睛】本题考查了三角恒等变换求值，对角为等差数列的余弦和一般乘以角的正弦累加即可，对于积化和差公式，一定要做到熟练运用． 26．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用积化和差公式及特殊角函数值求值即可. 【详解】，A正确； ，B错误； ，C错误； ，D正确． 故选：AD 27．化简：_____________． 【答案】 【分析】利用积化和差公式化简即可求解. 【详解】原式 因为 所以原式 ． 故答案为： 28．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）将两角和与差的余弦公式进行相加除以2即可证明； （2）令代入后并利用二倍角公式即可得的值； （3）利用和诱导公式代入计算即可证明. 【详解】（1）利用余弦的和角、差角公式： ， ， 将两式相加： 两边同时除以2，得： . （2）已知， 利用（1）的恒等式，令，则： 结合已知条件，得； . （3）， 由，得， 故． 因为， 令，则： . 化简角，左边 令， . 化简得 再处理，用公式： . 将两部分代入右边： 右边. 左边与右边表达式完全相同，故： . 【经典例题八 和差化积公式】 29．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理及三角恒等式化简即可得出结果. 【详解】在中，， 由正弦定理可得：， 所以 即 即 又因为，得： 在中，，， 所以. 故选：C 30．下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据和差化积公式判断A，B，利用积化和差公式判断C，D. 【详解】因为，所以，所以A正确； 因为，所以，所以B错误； 因为，所以，所以C正确； 因为，所以，所以D错误. 故选：AC. 31．已知，且，则______．（用含的代数式表示） 【答案】或 【分析】根据已知条件，利用和差化积公式，以及降幂扩角公式求得或，再利用倍角公式和特殊角三角函数即可求得结果. 【详解】由 可得 也即 ， 也即， 又， 故，则或， 又， 故时，. 若，又，则，此时 故答案为：或. 32．如图，锐角的垂心、重心、外心分别为H，G，O，且为中点． (1)用，表示； (2)用，表示； (3)证明：（其中为外接圆半径，，，）． 【答案】(1). (2). (3)证明见详解. 【分析】（1）利用重心分中线的比例关系，结合向量的加减运算即可得到答案. （2）利用重心和垂心与三角形外接圆的关系，结合向量的加减运算即可得到答案. （3）要证明该表达式需要结合三角形外接圆的性质以及三角函数的恒等变换，将向量向量关系转化为边长与角度的关联，即可得到答案. 【详解】（1）为中点，, 又为锐角的重心，,即， . （2）连接并延长交外接圆与点，连接， 为锐角的外心，为外接圆的直径，则， 为锐角的垂心，,， ，即,, 又为锐角的重心,，， . （3）由（2）可知，， ， 根据向量积公式，这里，，，， ，，则， 利用三角函数的和差化积与二倍角公式可知， ，又，， 即上式可化简为 即得证. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.4 三角恒等变换32道压轴题型专训（8大题型） 题型一 用和、差角的余弦公式化简、求值 题型二 用和、差角的正弦公式化简、求值 题型三 用和、差角的正切公式化简、求值 题型四 二倍角的正切公式 题型五 三角恒等变换的化简问题 题型六 三角形中的三角恒等式 题型七 积化和差公式 题型八 和差化积公式 【经典例题一 用和、差角的余弦公式化简、求值】 1．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 2．设，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则___________． 4．若实数，且满足，则称是“余弦相关”的． (1)若，求出所有与之“余弦相关”的实数； (2)若实数是“余弦相关”的，求的取值范围； (3)若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得为“余弦相关”的，也为“余弦相关”的． 【经典例题二 用和、差角的正弦公式化简、求值】 5．已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）下列四个选项中，化简正确的是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数，且，则______． 8．在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求； （2）若，，求的周长. 【经典例题三 用和、差角的正切公式化简、求值】 9．已知，有下列四个结论： ①存在在第一象限，在第一象限； ②当为第一象限角时，则一定是第二或第四象限角； ③存在在第二象限，在第四象限； ④当为第二象限角时，则一定是第一或第三象限角. 则上述结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．已知均为锐角，且，则（　　） A． B． C．若，则 D．的最大值为 11．已知为方程的两个实数根，且，则的最大值为___________． 12．如图，正方形的边长为1，，分别为边，上的动点. (1)设，，请用含有的式子表示的周长； (2)若点，在运动的过程中，则的周长为2，求的大小． 【经典例题四 二倍角的正切公式】 13．已知α∈（0，），，则tan2α=（   ） A． B． C． D． 14．下列三角式中，值为1的是（    ） A． B． C． D． 15．已知锐角，满足，且，则______. 16．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【经典例题五 三角恒等变换的化简问题】 17．已知，，且，，则（    ） A．或 B．或 C． D． 18．如图，扇形是某社区的一块空地平面图，点在弧上（异于两点），，垂足分别为，米.该社区物业公司计划将四边形区域作为儿童娱乐设施建筑用地，其余的地方种植花卉，则下列结论正确的是（    ）    A．当时，儿童娱乐设施建筑用地的面积为平方米 B．当时，种植花卉区域的面积为平方米 C．儿童娱乐设施建筑用地面积的最大值为平方米 D．种植花卉区域的面积可能是平方米 19．在锐角中，，则的最大值为________． 20．对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”. (1)若集合，，求集合相对的“余弦方差”； (2)若集合，证明集合相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数； (3)若集合，，，相对于任何常数的“余弦方差”是一个常数，求，的值. 【经典例题六 三角形中的三角恒等式】 21．在锐角中，若，则的最小值为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 22．在中，A，B，C成等差数列.若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 23．在中，为它的三个内角，且满足，，则______. 24．如图示，是以为直径的圆的下半圆弧上的一动点（异于、两点），、分别为、在过点的直线上的射影（、在直线的上方），记，，向量∥直线． (1)若，求面积的最大值及取得最大值时的值； (2)若，用表示向量、在向量方向上的投影之和的绝对值，试问、满足什么条件时，有最大值？ (3)若，，，求的值． 【经典例题七 积化和差公式】 25．中，，（    ） A． B． C． D． 26．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 27．化简：_____________． 28．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式：，，，．请你结合相关内容回答以下问题： (1)证明：； (2)已知，求的值； (3)若，证明：． 【经典例题八 和差化积公式】 29．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 30．下列关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 31．已知，且，则______．（用含的代数式表示） 32．如图，锐角的垂心、重心、外心分别为H，G，O，且为中点． (1)用，表示； (2)用，表示； (3)证明：（其中为外接圆半径，，，）． 学科网（北京）股份有限公司 $