专题11.4 解三角形28道压轴题型专训（7大题型）-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点专题提升精讲精练

专题11.4 解三角形28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 余弦定理边角互化的应用 题型二 正弦定理求外接圆半径 题型三 正弦定理边角互化的应用 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 求三角形中的边长或周:长的最值或范围 题型六 求三角形面积的最值或范围 题型七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【经典例题一 余弦定理边角互化的应用】 1．设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理的式子，将函数化简为，再根据二次函数的图象与性质加以计算，可得函数图象对应的抛物线开口向上且与x轴没有公共点，可得本题的答案. 【详解】在中，根据余弦定理， ∴， 因此函数可化为：， ∵， ∴函数的图象是开口向上的抛物线，且与x轴没有公共点. 由此可得，对任意实数x，恒成立. 故选：B. 2．在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先由平面向量的数量积得，再结合余弦定理即可求出，于是由，结合半角公式和诱导公式即可推出的取值范围，即可得解. 【详解】因为， 所以， 则由余弦定理得， 整理得， 所以由余弦定理，当且仅当时，等号成立， 又为三角形的内角， 所以，， 又且，所以， 因为点是的内心，故，分别为，的角平分线， 所以， 则， 因为，所以，即，故符合题意的有ABC. 故选：ABC 3．中，，则最大值______． 【答案】 【分析】根据余弦定理，列出方程，利用一元二次方程根的判别式，可得答案. 【详解】设，，，由余弦定理：， 所以，设，则， 代入上式得，方程有解，所以，故， 当时，此时，，符合题意，因此最大值为. 故答案为：. 4．在中，角、、的对边分别为、、，且. (1)求的最大值； (2)求证：在线段上恒存在点，使得. 【答案】(1)的最大值是； (2)证明见解析. 【分析】（1）设，，则，由可得，再由余弦定理将其化为用表示的不等式，即可得出的取值范围； （2）设，求出的取值范围，证明恒存在，使成立即可. 【详解】（1）设，，则，， 又， . 由可得，， ， 由余弦定理，得 整理得， 因式分解 ， 又， 所以，， 即， 故的最大值是. （2） 如图，设，, 则, 又， 所以， ， 由题意，且， 即， 而对给定的来说，是定值， 因此恒存在，使. 在中，由正弦定理可得，则； 在中，由正弦定理可得，则； 由存在， 可得存在，即. 因此，在线段上恒存在点，使得. 【经典例题二 正弦定理求外接圆半径】 5．已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，根据给定条件，确定点的轨迹，进而求出模的最大值. 【详解】作向量，则， 作向量，则，由与的夹角为，得， 因此点的轨迹是以线段为弦，所含圆周角为的两段圆弧（不含端点）， 外接圆半径，该圆圆心到弦的距离， 而原点到弦的距离为，则点可以是外接圆圆心， 当点是外接圆圆心时，；当点不是外接圆圆心时，， 所以的最大值为. 故选：C 6．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 【答案】BC 【分析】利用正弦定理求的外接圆半径，再求其外接圆面积判断A，由体积结合正弦定理可得，再结合大边对大角判断B，结合正弦定理和余弦定理可得为钝角，判断C，再结合正弦定理将关系转化为角的关系，判断D. 【详解】设的外接圆的半径为， 对于A，因为，所以，故， 所以的外接圆的面积为，A错误； 对于B，因为，所以， 所以，由大边对大角可得，B正确； 对于C，由， 所以，故， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，故为钝角三角形，C正确； 对于D，由可得，， 所以，又，， 所以，由条件无法确定是否为直角， 例如：若，则，此时满足条件， 但不是等腰直角三角形，D错误. 故选：BC. 7．在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为___________． 【答案】 【分析】利用正弦定理化边为角，再根据两角和的正弦公式结合三角形和内角和定理化简，进而求出边，再利用正弦定理即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 即，即， 由正弦定理得， 设外接圆的半径为， 则， 所以外接圆的半径. 故答案为：. 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若为钝角三角形，______，求外接圆的半径R的取值范围． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①；②． 【答案】(1) (2)选①，；选②，． 【分析】（1）根据进行化简运算即可求角B的大小； （2）选择不同的条件结合正弦定理或余弦定理分别求解即可. 【详解】（1） 因为，所以，， 所以，此时，解得． （2）若选择条件①， 由正弦定理，， 而， 因为为钝角三角形，不妨设，则，，故， 外接圆的半径为． 若选择条件②， 因为为钝角三角形，由及知角A必为钝角，即， 由余弦定理得，代入（*）式得，故． 所以，得， 故，可得 由正弦定理得． 【经典例题三 正弦定理边角互化的应用】 9．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理、三角恒等变换等知识化简已知条件，求得，结合余弦定理、向量运算、基本不等式等知识来求得正确答案. 【详解】由，得， 所以， 即， 则由正弦定理得， 因为，所以，所以，即， 又，所以，因为， 所以由余弦定理得，即. 由题可得， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，则， 所以边上的中线长度的最小值为. 故选：C. 10．记的内角的对边分别为为边的中点，则下列说法正确的是（　　） A．存在，满足 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 【答案】BD 【分析】利用余弦函数的单调性可判断A；根据正弦定理可得进而判断B；利用特值法可判断C；根据中线向量和余弦定理结合条件可判断D. 【详解】 选项A：在中，，由余弦函数的单调性知：，A错误； 选项B：利用正弦定理，代入，得，根据中线性质，当斜边上中线等于斜边一半时，为直角三角形，B正确； 选项C：，故， 即：， 若，则， 根据余弦定理可知，仅能说明角为锐角，无法保证其它角为锐角， 举反例：若，但角为钝角，C错误； 选项D：，故， 即：，由推得 ，根据余弦定理可知， 故为钝角，为钝角三角形，D正确． 故选：BD． 11．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 【答案】 【分析】先利用正弦定理将已知等式进行边化角，再利用两角和差公式和诱导公式即可得解. 【详解】因为，所以由正弦定理可得：，即，因为，所以，所以． 故答案为：. 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求. (2)若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 【答案】(1) (2)（i）或  （ii） 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，结合两角和的正弦公式及诱导公式可得； （2）根据正弦、余弦定理解三角形即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理 得：， 因为，所以. 因为，所以，所以，所以. （2）因为CD平分，所以 （i）中，，由余弦定理， 得：，所以，或. 当时，，所以，所以，所以. 所以，所以. 当时，，所以，所以， 所以，所以，所以. （ii）设，则，因为， 所以，， 由正弦定理，得，. 因为BC，所以 因为所以，即 所以 因为， 所以， 即， 所以. 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 13．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由平分，即，进而得，利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为平分，所以， 又，所以， 即. 故选：B. 14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 【答案】BD 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 15．设正实数满足，则_____． 【答案】 【分析】构造，利用等面积法列式求解． 【详解】因为，所以， 构造，令， 由余弦定理可知，则， 同理，，且， 此时，为直角三角形， 由， 得， 所以． 16．的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. （2）由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 【经典例题五 求三角形中的边长或周:长的最值或范围】 17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 18．设、、为钝角三角形的三边，则实数的值可以是（   ） A．3 B．8 C．2 D．6 【答案】AD 【分析】应用三角形三边关系及余弦定理列不等式求参数范围，即可得. 【详解】由、、是三角形的三边，则，解得，此时最大， 要使、、表示三角形的三边，还需，解得， 设最长边所对的角为，则，解得， 的取值范围是. 故选：AD 19．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是______. 【答案】 【分析】设，进而得到，然后在中通过余弦定理得到，的关系式，在和中，通过正弦定理得到的关系式和的关系式，然后借助三角函数的性质和函数的性质求得答案. 【详解】如图，根据题意，设，则， 在中，由余弦定理有，也即 ① 在中，由正弦定理有， 在中，由正弦定理有， 故，则，由①，      ②， 且， 所以， 设，则， 由题意，，所以，所以， 而，由对勾函数的性质可知， 所以，由②， 在上单调递减， 所以. 20．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； （2）由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 【经典例题六 求三角形面积的最值或范围】 21．在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过余弦定理分别表示BD，从而找到角A，C的关系，将四边形的面积用角A，C表示，从而求得面积的最大值. 【详解】由余弦定理知：在中， 有 ， 在中， 有 ， 则， 由四边形的面积=三角形ABD的面积+三角形BCD的面积， 故 ， 在三角形中，易知，， ，当且仅当时等号成立， 此时， 故， 故选：A. 【点睛】方法点睛：四边形对角线是公共边，以之为连接点找到角与角的关系，把面积也化成角来表示，从而借助三角函数的最值来求得面积的最值. 22．若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（    ） A．δ的任一边长不超过7 B．不同的δ的个数不超过8 C．δ的面积不小于4 D．δ的面积可能超过12 【答案】AB 【分析】令三角形边长分别为且，根据三角形性质列举出符合要求的，并求出对应面积，即可得答案. 【详解】令三角形边长分别为且，则， 由于，故， 若，即，则，不满足三角形性质； 所以，，且满足， 可能有、、、、、、， 当为，对应面积为； 当为，则，即为锐角，故， 所以面积为； 当为，则上的高， 所以面积为； 当为，则上的高， 所以面积为； 当为，则，即为钝角，故， 所以面积为； 当为，则，即为钝角，故， 所以面积为； 当为，则上的高， 所以面积为； 综上，A、B对，C、D错. 故选：AB 23．在△ABC中，|AB|＝2，，则△ABC面积的最大值为_________． 【答案】 【分析】设，则，利用余弦定理可求得，再利用三角形的面积公式可求得，继而可求的表达式，从而可得面积的最大值 【详解】依题意，设，则，又， 由余弦定理得：， 即，∴， ∴，∴， ∵， ∴， 由二次函数的性质，当时， 取得，∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查三角恒等式，余弦定理在解三角形中的应用，着重考查转化思想与二次函数的配方法，求得面积的表达式是关键，也是难点，属于难题 24．如图，已知在平面四边形中，，，．    (1)若平分，求的长； (2)设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）因为平分，得到，利用余弦定理，列出方程，即可求得的长； （2）①在中，利用余弦定理，求得，再在中，求得，得到，结合四边形面积，即可求解； ②分别在和中，利用余弦定理，得到表达式，求得，设四边形的面积为，结合，求得，再由，得到，进而得到结论. 【详解】（1）因为平分，可得， 由余弦定理，可得， 所以，解得， 所以. （2）①在中，余弦定理得， 所以，解得， 在中，可得，所以， 因为，所以， 由四边形面积， 所以； ②在中，可得， 在中，可得， 所以， 所以， 设四边形的面积为， 则 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时，，此时取最大值12， 此时有最大值，所以当四边形面积最大时． 【经典例题七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 25．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得，可得，即， 所以，，则， 设，则，且， 在中，且，则， 在中，由，则， 由，即， 又由正弦定理知（为的外接圆半径）， 所以， 则，即， 又因为，故当，即时，所以. 故选：B.    26．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范围即可. 【详解】因为，由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，所以. 由正弦定理得，，所以 故选：ABD 【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题. 27．如图所示，为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，则四边形的面积的最大值为______.    【答案】 【分析】由题意可得,设，得到，由余弦定理求得，得到，化简四边形的面积为，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】在中，因为，，可得, 设，可得， 又由余弦定理得， 因为为等边三角形，所以， 所以四边形的面积为 ， 当时，即时，四边形的面积取得最大值. 故答案为：. 28．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理化简得到，再利用余弦定理，求得，进而求得的大小； （2）由正弦定理，可得，根据为锐角三角形，求得，利用三角函数的性质，即可求解； （3）设长度为，由，求得，得到，再由余弦定理，化简得到， 设，进而求得长度的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理，可得，整理得， 又由余弦定理，可得， 又因为，所以. （2）由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，且，可得， 则，可得，则， 所以，即， 所以的取值范围. （3）设长度为， 由，可得， 因为，可得， 所以，可得， 又由余弦定理得，所以， 则， 设 ， 由，可得， 所以长度的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.4 解三角形28道压轴题型专训（7大题型） 题型一 余弦定理边角互化的应用 题型二 正弦定理求外接圆半径 题型三 正弦定理边角互化的应用 题型四 三角形面积公式及其应用 题型五 求三角形中的边长或周:长的最值或范围 题型六 求三角形面积的最值或范围 题型七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用 【经典例题一 余弦定理边角互化的应用】 1．设a，b，c是三角形的边长，对任意实数，有（    ） A． B． C． D． 2．在中，角的对边分别为，点是的内心.若，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 3．中，，则最大值______． 4．在中，角、、的对边分别为、、，且. (1)求的最大值； (2)求证：在线段上恒存在点，使得. 【经典例题二 正弦定理求外接圆半径】 5．已知平面向量，满足，与的夹角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的外接圆的面积为 B．若，则 C．若，则为钝角三角形 D．若，则为等腰直角三角形 7．在中，角的对边分别是，若，则外接圆的半径为___________． 8．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B的大小； (2)若为钝角三角形，______，求外接圆的半径R的取值范围． 请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．①；②． 【经典例题三 正弦定理边角互化的应用】 9．记的内角所对的边分别为，若，则边上的中线长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．记的内角的对边分别为为边的中点，则下列说法正确的是（　　） A．存在，满足 B．若，则是直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则是钝角三角形 11．设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若，则______________． 12．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. (1)求. (2)若在AB上，CD平分. （i）若，求BD； （ii）若在AC上，BE平分，且，求. 【经典例题四 三角形面积公式及其应用】 13．已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则（    ） A．2 B． C． D． 14．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（   ） A． B． C．的周长为 D．的面积为 15．设正实数满足，则_____． 16．的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【经典例题五 求三角形中的边长或周:长的最值或范围】 17．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．设、、为钝角三角形的三边，则实数的值可以是（   ） A．3 B．8 C．2 D．6 19．1643年法国数学家费马曾提出了一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其到这个三角形的三个顶点的距离之和为最小.它的答案是：当三角形的三个角均小于120°时，所求的点为三角形的正等角中心（即该点与三角形的三个顶点的连线段两两成角120°），该点称为费马点.已知中，其中，，为费马点，则的取值范围是______. 20．在锐角中，角的对边分别为，已知 (1)求角； (2)若，求面积的取值范围. 【经典例题六 求三角形面积的最值或范围】 21．在平面四边形ABCD中，AB=1，AD=4，BC=CD=2，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 22．若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（    ） A．δ的任一边长不超过7 B．不同的δ的个数不超过8 C．δ的面积不小于4 D．δ的面积可能超过12 23．在△ABC中，|AB|＝2，，则△ABC面积的最大值为_________． 24．如图，已知在平面四边形中，，，．    (1)若平分，求的长； (2)设， ①若，求四边形的面积； ②当四边形面积最大时，求证：． 【经典例题七 正余弦定理与三角函数性质的结合应用】 25．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 26．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 27．如图所示，为平面四边形的对角线，设，，为等边三角形，则四边形的面积的最大值为______.    28．在锐角中，内角所对的边分别为，且满足． (1)求角； (2)求的取值范围； (3)当时，角的平分线交于，求长度的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $