精品解析：山西运城市盐湖区2025-2026学年八年级上学期期末考试数学

八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 点关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 同角（或等角）的余角相等 D. 全等三角形的对应边相等、对应角相等 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 8. 已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 10. 在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A 甲车行驶小时时两车相遇 B. 甲车的速度为，乙车的速度为 C. 甲车出发小时后乙车才出发 D. 当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 9的平方根是_________． 12. 若点，在一次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”） 13. 如图，等边的边垂直于轴，点在轴上已知点，则点的坐标为______． 14. 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为___. 15. 如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 完成下边的任务 （1）①计算 ②解方程组： （2）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：由②得： ③ ………………第一步 将③代入①得 ………………第二步 即： ………………第三步 解得 将代入③，得 ………………第四步 所以，原方程组的解为 …………………第五步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做________（填“加减消元法”或“代入消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据____________； ②第________步开始出现错误，具体错误原因是__________； ③直接写出该方程组的正确解：_________． 17. 如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 18. 山西太原是一座承载着厚重历史的城市，正迎来一场绿色航空革命，太原武宿机场成为首个以“零碳”为目标的民航示范工程，核心是“两源一储一终端”的技术路径，电力方面采用了先进的光伏发电系统．若该系统中包含两种规格的光伏板：A型板每块日均发电10千瓦时，B型板每块日均发电8千瓦时，为了满足机场部分区域的用电需求，工程队一共安装了这两种光伏板2000块．已知这个光伏系统日均总发电量达到18800千瓦时，那么机场需要安装的A型光伏板和B型光伏板各有多少块？ 19. 图1、图2和图3均是的网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： （1）在图1中找一个格点，连接，使得； （2）在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） （3）如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 20. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】 技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_______，_______，_______，_______； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 21. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … （1）表格中m的值为________，n的值为________； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） （4）在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 22. 【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 （1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值． （2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． （3）利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． （1）直接写出A，B，C三点坐标及直线的表达式； （2）过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，监测时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．监测结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列各数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】有理数是整数与分数的统称，有限小数和无限循环小数都是有理数，无理数是无限不循环小数，据此逐一判定即可. 【详解】解：∵选项A中，是有限小数，属于有理数，∴本选项不符合题意. ∵选项B中，，是整数，属于有理数，∴本选项不符合题意. ∵选项C中，开方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数，∴本选项符合题意. ∵选项D中，是分数，属于有理数，∴本选项不符合题意. 故选：C. 2. 点关于x轴对称的点N的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，直接按规律计算即可得到答案． 【详解】解：已知点坐标为， ∴点关于x轴对称的点的横坐标为，纵坐标为，即． 3. 在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（ ） A. ，， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：对选项A： ∵ ，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项B： ∵， 设 ，，， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 能判定为直角三角形，符合要求； 对选项C： ∵ ，三角形内角和为， 设 ， ，， ∴ ，解得， ∴ 最大角， ∴不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项D： ∵，三角形内角和为， ∴，是等边三角形， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的加减乘除运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 5. 下列命题中是假命题的是（ ） A. 对顶角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C. 同角（或等角）的余角相等 D. 全等三角形的对应边相等、对应角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查常见几何命题的真假判断，结合相关几何性质逐一判断，即可找出假命题． 【详解】解；∵对顶角的性质为对顶角相等，∴A是真命题； ∵只有两条平行直线被第三条直线所截时，内错角才相等，该命题未说明两条直线平行，∴B是假命题； ∵根据余角的性质，同角(或等角)的余角相等，∴C是真命题； ∵根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等对应角相等，∴D是真命题； 综上，假命题为B选项． 6. 2025年亚洲冬季运动会上我国滑雪运动员取得了优异的成绩，图片为滑雪比赛的精彩瞬间．抽象为如图所示的图形，已知滑雪杖和滑雪板平行，滑雪杖与大腿的夹角为，小腿与滑雪板的夹角为，则大腿与小腿的夹角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质． 过点C作，得到，推出，，即可求出． 【详解】解：过点C作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：D． 7. 某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（ ） A. 三个班级中，甲班分数的方差最大 B. 三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C. 丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D. 若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 8. 已知是关于x，y的方程组的解，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程组解的定义，将已知解代入方程组，即可求出a和b的值，进而计算得到的值． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将代入方程组，得， 解得， ∴． 9. 已知正比例函数（）的函数值y随x的增大而增大，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，判断的正负性，分析一次函数中和的正负性，从而确定一次函数的图象经过的象限，进而匹配对应选项． 【详解】∵正比例函数中，随的增大而增大， ∴． ∴一次函数图象从左下向右上倾斜，直接排除选项C、D． ∵， ∴， ∴一次函数与轴的交点在轴负半轴，排除选项A． 因此符合条件的图像是选项B． 10. 在一条笔直的公路上、两地相距，甲车从地开往地，乙车从地开往地，甲车比乙车先出发．设甲、乙两车距地的路程为千米，甲车行驶的时间为小时，与之间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 甲车行驶小时时两车相遇 B. 甲车的速度为，乙车的速度为 C. 甲车出发小时后乙车才出发 D. 当甲、乙两车相距时，乙车行驶了小时 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象及一次函数的图象与性质可依次进行排除选项． 【详解】解：由图象可知：当时，， ∴甲车行驶小时时两车相遇；A选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴B选项正确； ∵小时， ∴甲车出发小时后乙车才出发， ∴C选项正确； ∵甲车的速度为：，乙车的速度为：， ∴， ∴当甲、乙两车相距时，，即：， 解得：或， ∴或， ∴当甲、乙两车相距时，乙车行驶了或小时. ∴D选项错误. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 9的平方根是_________． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 【详解】解：∵（±3）2=9， ∴9的平方根是±3． 故答案为±3． 【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 12. 若点，在一次函数的图象上，则______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数解析式中一次项系数的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到与的大小关系. 【详解】解：对于一次函数 ， ， 随 的增大而减小， ， . 13. 如图，等边的边垂直于轴，点在轴上已知点，则点的坐标为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形，的直角三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形，的直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．根据等边三角形的性质以及的直角三角形的性质求出的长度，再利用勾股定理求出的长度即可得出答案． 【详解】解：如图： 设与x轴交于E点 ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵是等边三角形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点C的坐标为， 故答案：． 14. 《增删算法统宗》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.二人闲坐恼心肠，画地算了半晌.”这个题目的意思是甲、乙两个牧人隔着山沟放羊，甲对乙说：“我若得你9只羊，我的羊多你一倍.”乙对甲说：“我若得你9只羊，我们两家羊的数量就一样多.”设甲有只羊，乙有只羊，根据题意列出二元一次方程组为___. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此题的关键是弄清题意，设出未知数，再根据数量关系列出方程组解决问题．设甲有只羊，乙有只羊，根据甲对乙说：可得，乙对甲说：可得：，即可列出相应的方程组． 【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊， 由题意得，， 故答案为： 15. 如图，在中，，，，点D是上一点，连接，将沿着折叠，使点C落在上的点E处，过点B作，交的延长线于点F，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出，由折叠得，，，，设，则，利用勾股定理求出，，然后利用等面积法求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ 由折叠得，，， ∴ 设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤） 16. 完成下边的任务 （1）①计算 ②解方程组： （2）下面是颖颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解方程组： 解：由②得： ③ ………………第一步 将③代入①得 ………………第二步 即： ………………第三步 解得 将代入③，得 ………………第四步 所以，原方程组的解为 …………………第五步 ①这种求解二元一次方程组的方法叫做________（填“加减消元法”或“代入消元法”），以上求解步骤中，第一步的依据____________； ②第________步开始出现错误，具体错误原因是__________； ③直接写出该方程组的正确解：_________． 【答案】（1）①；② （2）①代入消元法；等式的基本性质；②第三步；去括号时，括号前是“”号，去掉括号时，括号里的第二项“”没有变号；③ 【解析】 【分析】（1）①根据二次根式的性质及二次根式的乘法将原式化简，再进行加减运算； ②利用加减消元法求解即可； （2）利用代入消元法求解，先利用等式的基本性质将方程②变形，然后代入方程①得到关于的一元一次方程，求解后再代入求出的值即可． 【小问1详解】 解：① ； ②， 由得：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解：①这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法，以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； ②第三步开始出现错误，具体错误原因是：去括号时，括号前是“−”号，去掉括号时，括号里的第二项“”没有变号； ③ 由②得：③， 将③代入①得：， 即：， 解得：， 将代入③，得：， ∴原方程组的解为． 17. 如图，在和中，和交于点，点，，，在同一条直线上，已知，，判断和的数量关系并说明理由． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、三角形内角和定理，解题关键是通过角的关系证得，，利用平行线的性质推导角相等． 【详解】解： 理由如下：∵， ∴， ∴， ∴． 18. 山西太原是一座承载着厚重历史的城市，正迎来一场绿色航空革命，太原武宿机场成为首个以“零碳”为目标的民航示范工程，核心是“两源一储一终端”的技术路径，电力方面采用了先进的光伏发电系统．若该系统中包含两种规格的光伏板：A型板每块日均发电10千瓦时，B型板每块日均发电8千瓦时，为了满足机场部分区域的用电需求，工程队一共安装了这两种光伏板2000块．已知这个光伏系统日均总发电量达到18800千瓦时，那么机场需要安装的A型光伏板和B型光伏板各有多少块？ 【答案】机场需要安装的A型光伏板1400块，B型光伏板600块 【解析】 【分析】设机场需要安装的A型光伏板x块，B型光伏板y块，根据题意列出二元一次方程组进行求解即可． 【详解】解：设机场需要安装的A型光伏板x块，B型光伏板y块， 根据题意得：， 解得， 答：机场需要安装的A型光伏板1400块，B型光伏板600块． 19. 图1、图2和图3均是网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为．线段的两个端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图： （1）在图1中找一个格点，连接，使得； （2）在图2中找一个格点，连接，，使得是等腰直角三角形；（找到一个点即可） （3）如图3，在线段上找一点，使得（保留适当的画图痕迹，不写画法）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画图即可； （2）根据全等三角形的判定及性质可得； （3）根据平行线的性质画图即可. 【小问1详解】 解：∵点平移得到， ∴点经过同样的平移得到， ∴， 如图所示：点即为所求； 【小问2详解】 解：如图，∵由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 解：如图所示，连接，交于点， 则， ∵由上题可知是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 则点即为所求. 20. 为了提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，记分员记录了他们在近八场比赛中关于得分、篮板的情况． 【信息1】甲的得分情况（分）：20，14，29，28，30，23，32，32； 乙的得分情况（分）：24，30，28，25，26，28，28，27． 【信息2】 【信息3】 技术统计表 队员 平均得分 得分众数 得分中位数 得分方差 平均每场篮板 甲 26 32 n 36.25 b 乙 27 m 27.5 a 8 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的_______，_______，_______，_______； （2）本次队员综合得分按平均得分的40%，平均每场篮板的60%计算，综合得分越高表现越好，通过计算说明甲、乙哪名队员的表现更好？ （3）你认为甲、乙两名队员谁的表现更好？请选择两方面进行分析． 【答案】（1），，， （2）甲更好 （3）从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是3.25小于甲的得分方差36.25，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好 【解析】 【分析】（1）众数是一组数据中出现次数最多的数，所以观察乙的得分数据可求；因为中位数是将数据排序后中间位置的数，数据个数为偶数时取中间两数的平均值，所以将甲的得分排序后可求；根据方差公式为，所以代入乙的得分数据和平均得分可求；因为平均每场篮板是篮板总数除以场次，所以根据甲的篮板统计图统计总数后除以8可求； （2）综合得分=平均得分+平均每场篮板，所以分别代入甲、乙的对应数据计算综合得分，再比较大小； （3）可从平均得分、方差、众数、中位数、篮板数等指标中任选两个，因为不同指标反映不同的表现维度，所以结合指标数据进行分析． 【小问1详解】 乙的得分中，出现次数最多（3次），因此得分众数； 将甲的得分从小到大排序：，共8个数， 中位数为第4、5个数的平均数：； 乙平均得分为27，方差计算： ， 由篮板统计图，甲8场篮板总和为，平均篮板； 【小问2详解】 甲综合得分：， 乙综合得分：， 因为， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 从得分稳定性的角度分析，乙的得分方差是小于甲的得分方差，说明乙的得分更稳定；从平均得分的角度分析，乙的平均得分27分高于甲的平均得分26分，说明乙的平均得分更好；因此我认为乙队员表现更好． 21. 学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … （1）表格中m的值为________，n的值为________； （2）在平面直角坐标系中画出函数的图象． （3）【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） （4）在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】（1）m的值为4，n的值为0 （2）作图见解析 （3）①②③ （4）作图见解析；， 【解析】 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； 【小问2详解】 解：作图如图： 【小问3详解】 解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； 【小问4详解】 解：作图如图： 当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组解为： 和 ． 22. 【阅读理解】在没有计算器的古代，数学家们如何计算开平方呢？我们来学习利用完全平方公式：近似计算算术平方根的方法． 例如：求的近似值（结果精确到）． 解：因为，所以， 则可以设成以下两种形式： ①，其中， ②，其中； 小明以①的形式求的近似值的过程如下： 因为，所以，即 因为比较小，所以将忽略不计，所以，即 得，故，即 （1）【尝试探究】请用②的形式求的近似值． （2）【比较分析】你认为用哪一种形式得出的的近似值的精确度更高？请说明理由． （3）利用材料中的方法，求的近似值时，可设_________．（用含有a的代数式表示，其中） 【答案】（1）9.22 （2）②的形式精确度更高，理由见解析 （3）或． 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式的应用及无理数近似值的估算． （1）先通过夹逼法确定的整数范围：，因此设（），和题干的对应；利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项（因为，远小于一次项，对结果影响可忽略），把二次方程降为一次方程求解；最后计算近似值，结果精确到0.01． （2）这一问是误差分析，本质是比较两种近似方法的误差大小：两种方法的误差都来自“忽略的二次项”：形式①忽略，形式②忽略；误差的大小由和的大小决定：、越小，、就越小，忽略带来的误差就越小，精确度越高；计算两种形式的、，对比大小即可得出结论。 （3）先找相邻的两个完全平方数，确定的整数范围；结合的要求，选择“整数”或“整数”的形式；注意：更接近，因此优先设（也可设）． 小问1详解】 解：因为，所以 即 因为比较小，所以将忽略不计， 所以，即 得， 故 【小问2详解】 解：②的形式精确度更高 理由： ∵更接近 ∴②的形式精确度更高 （答案不唯一）比如： ∵85更接近81 ∴②的形式精确度更高 【小问3详解】 解：因为，，且， 所以， 又，因此可设或（二者均可以） 【点睛】这道题完整呈现了古代开平方近似算法的核心逻辑： 夹逼定界：先确定无理数的整数范围，把开平方转化为“整数±小量”的形式； 平方降次：利用完全平方公式展开，忽略极小的二次项，把二次方程转化为一次方程求解； 误差分析：通过比较忽略的小量大小，判断近似值的精确度； 方法迁移：将方法推广到任意无理数的近似计算． 易错点： （1）中展开完全平方公式时符号错误，或忽略的合理性； （2）中混淆误差来源，错误认为、越大精确度越高； （3）中设式错误，未满足的要求，或选错整数基准． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点A，B，经过点B的直线与x轴正半轴交于点C，且，点D是线段上一个动点． （1）直接写出A，B，C三点的坐标及直线的表达式； （2）过点D作x轴的垂线，交直线于点E，交直线于点F，设点D的横坐标为m． ①当时，求m的值； ②在点D的运动过程中，当的面积为14时，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1），，， （2）①或；②点E的坐标为或 【解析】 【分析】（1）令和，计算即可求得各点坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①由题意得，，，求得，，根据，列式计算即可求解； ②分两种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则，令，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 将代入得，解得， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：①∵轴，且点D的横坐标为m， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，解得或； ②∵，，， ∴， 当点在线段上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为 当点在射线上时， ， ∴， 解得； 点E的坐标为； 综上，点E的坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $