8.4乘法公式（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

8.4乘法公式 题型一 乘法公式的几何背景 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】D 题型二 利用完全平方公式计算 1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 题型三 利用平方差公式计算 1．【答案】B 2．【答案】D 题型四 利用乘法公式巧算 1．【答案】C 2． 【答案】（1）10201；（2）4 【详解】解：（1）原式＝（100+1）2＝1002+200+1＝10201； （2）原式＝20232﹣（2023﹣2）×（2023+2） ＝20232﹣（20232﹣4） ＝20232﹣20232+4 ＝4． 3． 【答案】（1）92000；（2）100 【详解】解：（1）原式＝（546+454）×（546﹣454） ＝1000×92 ＝92000； （2）原式＝4.32+2×4.3×5.7+5.72 ＝（4.3+5.7）2 ＝102 ＝100． 题型五 利用乘法公式综合计算 1． 【答案】（1）a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2；（2）a2﹣4ac+4c2﹣b2；（3）x4﹣8x2y2+16y4 【详解】解：（1）（a﹣2b+c）2 ＝[（a+c）﹣2b]2 ＝（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2 ＝a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2； （2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c） ＝[（a﹣2c）+b][（a﹣2c）﹣b] ＝（a﹣2c）2﹣b2 ＝a2﹣4ac+4c2﹣b2； （3）（x﹣2y）2（x+2y）2 ＝[（x﹣2y）（x+2y）]2＝（x2﹣4y2）2 ＝x4﹣8x2y2+16y4． 2． 【答案】（1）3x2﹣3；（2）8a2﹣6ab+10b2；（3）a2+2a+1﹣4b2；（4）x2+4xy+4y2﹣2x﹣4y+1 【详解】解：（1）原式＝（2x﹣1+x﹣2）（2x﹣1﹣x+2） ＝（3x﹣3）（x+1） ＝3x2+3x﹣3x﹣3 ＝3x2﹣3； （2）原式＝9a2﹣6ab+b2﹣a2+9b2 ＝8a2﹣6ab+10b2； （3）原式＝（a+1）2﹣（2b）2 ＝a2+2a+1﹣4b2； （4）原式＝[（x+2y）﹣1]2 ＝（x+2y）2﹣2（x+2y）+1 ＝x2+4xy+4y2﹣2x﹣4y+1． 题型六 根据乘法公式化简求值 1．【答案】A 2．【答案】4 3． 【答案】（1）一；（2）6 【详解】解：（1）由题意可知：小明错在第一步，这个（2x﹣1）2展开为4x2﹣4x+1， 故本题答案为：一； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25 ＝﹣4x+26， 当x＝5时，原式＝﹣20+26＝6． 4． 【答案】1 【详解】解：原式＝[9x2+6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2]÷2x ＝（8x2+6xy）÷2x ＝4x+3y， 当，时， 原式． 题型七 根据完全平方公式的变形式求值 1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】A 5． 【答案】（1）xy＝3；（2）0 【详解】解：（1）由条件可得：xy+2（x+y）+4＝13， ∵x+y＝3， ∴xy+2×3+4＝13， ∴xy＝3； （2）∵x+y＝3，xy＝3， ∴原式＝（x+y）2﹣3xy ＝32﹣3×3 ＝0． 题型八 逆用平方差公式求值 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】﹣2 题型九 乘法公式的简单应用（比较大小、整除问题） 1．【答案】B 2．【答案】D 3． 【答案】（1）19；（2）1509；（3）说明过程详见解析 【详解】解：（1）（8+3）2﹣82＝19×3， 故本题答案为：19； （2）2532﹣2502＝503×3＝1509， 故本题答案为：1509； （3）∵设偶数为2n（n为整数）， ∴（2n+3）2﹣（2n）2 ＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n） ＝3（4n+3）， ∵4n+3为整数， ∴3（4n+3）能被3整除， 即比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 题型十 乘法公式与几何的简单应用 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 题型一 根据完全平方公式求值（升级版） 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】104 题型二 利用平方差公式巧算（升级版） 1．【答案】 2． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型三 完全平方公式与几何的综合应用 1． 【答案】（1）；（2）同意，理由详见解析；（3）a＝2 【详解】解：（1）m+4+2＝m+6，m+4﹣2＝m+2， ∴； （2）同意，理由如下： ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣12 ＝4， ∴S1与S2的差都不变； （3）∵， ∴S2﹣S3﹣am ＝m2+8m+12﹣m2﹣6m﹣9﹣am ＝（2﹣a）m+3， 由条件可知：2﹣a＝0，解得：a＝2． 2． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）32；（3）80；（4） 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2， 拼成图①的四个部分的面积和为a2+b2+2ab， ∴可以验证公式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故本题答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）由条件可知：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 当xy＝2，x+y＝6时， x2+y2＝62﹣2×2＝36﹣4＝32， 故本题答案为：32； （3）由条件可知：（20﹣x）2+（x﹣30）2 ＝[（20﹣x）+（x﹣30）]2﹣2（20﹣x）（x﹣30） ＝（﹣10）2﹣2×10 ＝100﹣20 ＝80； （4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n， 则AB＝CD＝AD＝m，EF＝GF＝DG＝n，AG＝m﹣n， ∴，， ∴，mn＝6， ∴m2﹣mn+n2＝20， ∴m2+n2＝20+mn＝26， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝26+2×6＝38， ∵m＞0，n＞0， ∴，即． 3． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）﹣4；（3）116；（4）±12 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，长方形的面积为ab， 由图2可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故本题答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）由条件可得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵（x+y）2＝28，xy＝3， ∴28﹣（x﹣y）2＝4×3， ∴（x﹣y）2＝16， ∵x＜y， ∴x﹣y＜0， ∴x﹣y＝﹣4， 故本题答案为：﹣4； （3）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，则a+b＝20， ∴（a+b）2＝400，即a2+b2+2ab＝400， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ∴， ∴2ab＝168， ∴a2+b2＝400﹣168＝232， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）根据完全平方公式得到（a2+b2）2﹣（a2﹣b2）2＝4（ab）2， ∵a2﹣b2＝5，ab＝6， 由条件可知：（a2+b2）2﹣52＝4×62， ∴（a2+b2）2＝169， ∴a2+b2＝13（负值舍去）， ∵a2﹣b2＝5， ∴a2+b2﹣（a2﹣b2）＝13﹣5， ∴b2＝4， ∵（2a+3b）2＝4a2+9b2+12ab ＝4a2+9b2+12ab ＝4（a2+b2）+5b2+12ab ＝4×13+5×4+12×6 ＝144， ∴2a+3b＝±12． 题型四 平方差公式与几何的综合应用 1． 【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①4；②1；（3）1275 【详解】解：（1）图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成图②阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①∵m2﹣4n2＝16，即（m+2n）（m﹣2n）＝16，而m+2n＝4， ∴m﹣2n＝16÷4＝4， 故本题答案为：4； ②原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣20252+1 ＝1； （3）原式＝（502﹣492）+（482﹣472）+⋯+（42﹣32）+（22﹣12） ＝（50+49）（50﹣49）+（48+47）（48﹣47）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝50+49+48+47+……+4+3+2+1 ＝1275． 2． 【答案】（1）②；（2）①；② 【详解】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，边长为b的正方形的面积为：b2， ∴图1的阴影部分面积为：a2﹣b2， 图2中长方形的长为：a+b，长方形的宽为：a﹣b， ∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：②； （2）①，由（1）可得：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18， ∵x+2y＝4， ∴4（x﹣2y）＝18， ∴； ②原式 ． 3． 【答案】（1）B；（2）5；（3）22048 【详解】解：（1）图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：B； （2）∵4x2﹣9y2＝20， ∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝20， ∵2x﹣3y＝4， ∴2x+3y＝5； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（216﹣1）…（21024+1）+1 ＝22048﹣1+1 ＝22048． 题型一 乘法公式的拓展 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4乘法公式 题型一 乘法公式的几何背景 1．（2025·沛县·期中）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A中的阴影部分的面积可以用（x﹣1）2＝x2﹣2x+1来解释． 故本题选：A． 2．（2025·姑苏区·校级期中）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 【答案】D 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：a2﹣b2，图2中阴影部分的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∵两图中阴影部分的面积相等， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， ∴可以验证成立的公式为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 故本题选：D． 3．（2025·如皋市·校级期末）如图，小华同学用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） ①a＝2b； ②4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2； ③（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2； ④（2a+b）2＞4a（a+b）． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】D 【详解】解：由题意可得：图1的面积为4a（a+b），图2的面积为（2a+b）2﹣b2， ∴4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2， （2a+b）2＞4a（a+b）， ∴能利用图1和图2验证关系式②④． 故本题选：D． 题型二 利用完全平方公式计算 1．（2025·沛县·期中）计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 【答案】A 【详解】解：原式＝x2﹣4x+4． 故本题选：A． 2．（2025·天宁区·校级期中）若（2x﹣3）2＝4x2+kx+9，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．12 D．﹣12 【答案】D 【详解】解：（2x﹣3）2＝4x2﹣12x+9＝4x2+kx+9， ∴k＝﹣12，解得：k＝﹣12． 故本题选：D． 3．（2025·锡山区·校级期中）下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．210+（﹣2）10＝211 C．（﹣1﹣3a）2＝1﹣6a+9a2 D．b（b2﹣b+1）＝b3﹣b2+1 【答案】B 【详解】解：根据相关运算法则逐项分析判断如下： A、（a+b）2＝a2+2ab+b2，原运算错误，不合题意； B、210+（﹣2）10＝210×2＝211，正确，符合题意； C、（﹣1﹣3a）2＝1+6a+9a2，原运算错误，不合题意； D、b（b2﹣b+1）＝b3﹣b2+b，原运算错误，不合题意． 故本题选：B． 4．（2025·盐都区·月考）下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：①（3x+y）2＝9x2+6xy+y2，故①错误； ②（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，故②错误； ③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2，故③正确； ④，故④错误． ∴运算错误的有①②④，共3个． 故本题选：C． 题型三 利用平方差公式计算 1．（2025·盐都区·期中）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（﹣a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣a+b）（a+b） 【答案】B 【详解】解：A、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故不合题意； B、（﹣a+b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）（a﹣b）＝﹣（a﹣b）2＝﹣a2+2ab﹣b2，不能用平方差公式计算，故符合题意； C、（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（﹣a+b）（﹣a﹣b）＝（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，能用平方差公式计算，故不合题意； D、（﹣a+b）（a+b）＝（b﹣a）（b+a）＝b2﹣a2，能用平方差公式计算，故不合题意． 故本题选：B． 2．（2024·海安市·期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a+b）2＝a2﹣ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4 【答案】D 【详解】解：A、（x﹣2）（x+2）＝x2﹣4，故不合题意； B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故不合题意； C、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故不合题意； D、（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4，故符合题意． 故本题选：D． 题型四 利用乘法公式巧算 1．（2025·宿城区·校级期末）运用完全平方公式计算79.82的最佳选择是（　　） A．（79+0.8）2 B．（70+9.8）2 C．（80﹣0.2）2 D．（100﹣20.2）2 【答案】C 【详解】解：A、（79+0.8）2＝792+2×79×0.8+0.82； B、（70+9.8）2＝702+2×70×9.8+9.82； C、79.82＝（80﹣0.2）2＝802﹣2×80×0.2+0.22； D、（100﹣20.2）2＝1002﹣2×100×20.2+20.22； 综上，选项A、B、D都不如选项C好算． 故本题选：C． 2．（2025·泰州·校级月考）用乘法公式简便计算： （1）1012； （2）20232﹣2021×2025． 【答案】（1）10201；（2）4 【详解】解：（1）原式＝（100+1）2＝1002+200+1＝10201； （2）原式＝20232﹣（2023﹣2）×（2023+2） ＝20232﹣（20232﹣4） ＝20232﹣20232+4 ＝4． 3．（2025·盱眙县·期中）简便计算： （1）5462﹣4542； （2）4.32+8.6×5.7+5.72． 【答案】（1）92000；（2）100 【详解】解：（1）原式＝（546+454）×（546﹣454） ＝1000×92 ＝92000； （2）原式＝4.32+2×4.3×5.7+5.72 ＝（4.3+5.7）2 ＝102 ＝100． 题型五 利用乘法公式综合计算 1．（2025·海门区·期中）计算： （1）（a﹣2b+c）2； （2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c）； （3）（x﹣2y）2（x+2y）2． 【答案】（1）a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2；（2）a2﹣4ac+4c2﹣b2；（3）x4﹣8x2y2+16y4 【详解】解：（1）（a﹣2b+c）2 ＝[（a+c）﹣2b]2 ＝（a+c）2﹣4b（a+c）+4b2 ＝a2+2ac+c2﹣4ab﹣4bc+4b2； （2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c） ＝[（a﹣2c）+b][（a﹣2c）﹣b] ＝（a﹣2c）2﹣b2 ＝a2﹣4ac+4c2﹣b2； （3）（x﹣2y）2（x+2y）2 ＝[（x﹣2y）（x+2y）]2＝（x2﹣4y2）2 ＝x4﹣8x2y2+16y4． 2．（2025·玄武区·校级月考）用乘法公式计算： （1）（2x﹣1）2﹣（x﹣2）2； （2）（3a﹣b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）； （3）（a﹣2b+1）（a+2b+1）； （4）（x+2y﹣1）2． 【答案】（1）3x2﹣3；（2）8a2﹣6ab+10b2；（3）a2+2a+1﹣4b2；（4）x2+4xy+4y2﹣2x﹣4y+1 【详解】解：（1）原式＝（2x﹣1+x﹣2）（2x﹣1﹣x+2） ＝（3x﹣3）（x+1） ＝3x2+3x﹣3x﹣3 ＝3x2﹣3； （2）原式＝9a2﹣6ab+b2﹣a2+9b2 ＝8a2﹣6ab+10b2； （3）原式＝（a+1）2﹣（2b）2 ＝a2+2a+1﹣4b2； （4）原式＝[（x+2y）﹣1]2 ＝（x+2y）2﹣2（x+2y）+1 ＝x2+4xy+4y2﹣2x﹣4y+1． 题型六 根据乘法公式化简求值 1．（2025·锡山区·校级月考）如果m2+m＝3，那么m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．10 B．9 C．4 D．﹣6 【答案】A 【详解】解：∵m2+m＝3， ∴m（m﹣2）+（m+2）2 ＝m2﹣2m+m2+4m+4 ＝2m2+2m+4 ＝2（m2+m）+4 ＝2×3+4 ＝6+4 ＝10． 故本题选：A． 2．（2024·姜堰区·校级月考）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2＝　　． 【答案】4 【详解】解：∵2a2﹣a﹣3＝0， ∴2a2﹣a＝3， ∴（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2 ＝4a2﹣9+4a2﹣4a+1 ＝8a2﹣4a﹣8 ＝4（2a2﹣a）﹣8 ＝12﹣8 ＝4． 故本题答案为：4． 3．（2024·南通·校级月考）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第　　步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 【答案】（1）一；（2）6 【详解】解：（1）由题意可知：小明错在第一步，这个（2x﹣1）2展开为4x2﹣4x+1， 故本题答案为：一； （2）原式＝4x2﹣4x+1﹣（4x2﹣25） ＝4x2﹣4x+1﹣4x2+25 ＝﹣4x+26， 当x＝5时，原式＝﹣20+26＝6． 4．（2025·海门区·期中）先化简，再求值：[（3x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中，． 【答案】1 【详解】解：原式＝[9x2+6xy+y2﹣x2+y2﹣2y2]÷2x ＝（8x2+6xy）÷2x ＝4x+3y， 当，时， 原式． 题型七 根据完全平方公式的变形式求值 1．（2024·崇川区·校级期中）若a+b＝8，a2+b2＝74，则ab的值为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 【答案】B 【详解】解：由条件可知：（a+b）2＝82， ∴a2+2ab+b2＝64， ∴2ab＝﹣10， ∴ab＝﹣5． 故本题选：B． 2．（2025·梁溪区·期末）若x2+y2＝10，xy＝﹣3，则（x﹣y）2的值是（　　） A．4 B．7 C．13 D．16 【答案】D 【详解】解：∵x2+y2＝10，xy＝﹣3， ∴（x﹣y）2 ＝x2﹣2xy+y2 ＝10﹣2×（﹣3） ＝16． 故本题选：D． 3．（2025·秦淮区·校级期中）若（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，则a2+b2的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【详解】解：由题意可得：a2+2ab+b2＝10①，a2﹣2ab+b2＝2②， ①+②可得：2a2+2b2＝12， ∴a2+b2＝6． 故本题选：A． 4．（2025·江阴市·期中）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】A 【详解】解：∵（x+2y）2＝10， ∴x2+4xy+4y2＝10①， ∵（x﹣2y）2＝18， ∴x2﹣4xy+4y2＝18②， ②﹣①得：﹣8xy＝8， ∴xy＝﹣1． 故本题选：A． 5．（2025·泰州·校级月考）若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝13． （1）求xy的值； （2）求x2﹣xy+y2的值． 【答案】（1）xy＝3；（2）0 【详解】解：（1）由条件可得：xy+2（x+y）+4＝13， ∵x+y＝3， ∴xy+2×3+4＝13， ∴xy＝3； （2）∵x+y＝3，xy＝3， ∴原式＝（x+y）2﹣3xy ＝32﹣3×3 ＝0． 题型八 逆用平方差公式求值 1．（2025·高新区·校级月考）已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】解：∵m﹣n＝3， ∴m2﹣n2﹣6n ＝（m+n）（m﹣n）﹣6n ＝3（m+n）﹣6n ＝3m﹣3n ＝3（m﹣n） ＝9． 故本题选：C． 2．（2024·仪征市·期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣4049 【答案】C 【详解】解：∵（2025x+2022）2＝20252x2+2×2025x×2022+20222， ∴a＝20252， ∵（2024x+2023）2＝20242x2+2×2024x×2023+20232， ∴m＝20242， ∴a﹣m ＝20252﹣20242 ＝（2025+2024）×（2025﹣2024） ＝4049×1 ＝4049． 故本题选：C． 3．（2025·海安市·月考）已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　　． 【答案】﹣2 【详解】解：∵a2＝2b+7，b2＝2a+7， ∴a2﹣b2＝（2b+7）﹣（2a+7）＝2b+7﹣2a﹣7＝2b﹣2a， ∴（a+b）（a﹣b）＝﹣2（a﹣b）， ∵a≠b， ∴a﹣b≠0， ∴a+b＝﹣2． 故本题答案为：﹣2． 题型九 乘法公式的简单应用（比较大小、整除问题） 1．（2025·江宁区·校级月考）若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2， ∴M﹣N ＝（x+2）（x+4）﹣（x+3）2 ＝x2+6x+8﹣x2﹣6x﹣9 ＝﹣1＜0， ∴M＜N． 故本题选：B． 2．（2025·泰州·校级月考）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中是“幸福数”的是（　　） A．42 B．68 C．126 D．32 【答案】D 【详解】解：设两个连续奇数中的一个奇数为x，则另一个奇数为x+2， 由题意可得：（x+2）2﹣x2＝2（2x+2）＝4（x+1）， 只有选项D中的32能够整除4，即32＝92﹣72． 故本题选：D． 3．（2025·江宁区·校级月考）已知下列等式： （2+3）2﹣22＝7×3； （4+3）2﹣42＝11×3； （6+3）2﹣62＝15×3； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． （1）填空：（8+3）2﹣82＝　　×3； （2）直接写出计算的结果：2532﹣2502＝　　； （3）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 【答案】（1）19；（2）1509；（3）说明过程详见解析 【详解】解：（1）（8+3）2﹣82＝19×3， 故本题答案为：19； （2）2532﹣2502＝503×3＝1509， 故本题答案为：1509； （3）∵设偶数为2n（n为整数）， ∴（2n+3）2﹣（2n）2 ＝（2n+3+2n）（2n+3﹣2n） ＝3（4n+3）， ∵4n+3为整数， ∴3（4n+3）能被3整除， 即比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 题型十 乘法公式与几何的简单应用 1．（2025·南京·期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解：设BC＝a，CG＝b， ∵四边形CEFG是正方形， ∴CE＝CG＝b， ∵两正方形的面积和S1+S2＝20， ∴a2+b2＝20， ∵a+b＝6， ∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝36， ∴ab＝8， ∴S阴ab＝4． 故本题选：A． 2．（2025·梁溪区·校级期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 【答案】B 【详解】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD＝x，EF＝y，AE＝x+y＝8， ∴（x+y）2＝64，即x2+y2+2xy＝64， ∵点H为AE的中点， ∴AH＝EH＝4， ∵图2的阴影部分面积＝（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝6， ∴（x+y）2+（x﹣y）2＝64+6，即x2+y2＝35， ∴图1的阴影部分面积＝x2+y24•x4•y ＝x2+y2﹣2（x+y） ＝35﹣2×8 ＝19． 故本题选：B． 3．（2024·姑苏区·校级期中）某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加4米，AD边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（　　） A．增加8平方米 B．增加16平方米 C．减少16平方米 D．保持不变 【答案】C 【详解】解：设正方形草坪ABCD的边长为x米， 由题意可得：长方形的长为（x+4）米，宽为（x﹣4）米， 则长方形的面积为（x+4）（x﹣4）＝（x2﹣16）（平方米），正方形ABCD的面积为x2平方米， ∴x2﹣16﹣x2＝﹣16（平方米）， 即改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比减少16平方米． 故本题选：C． 4．（2025·南京·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】C 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∴AB＝BC＝a，BE＝BD＝b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是48， ∴a2﹣b2＝48， 由图示可得：AE＝a﹣b， ∴，， ∴阴影部分的面积＝S△AEC+S△AED ＝24． 故本题选：C． 题型一 根据完全平方公式求值（升级版） 1．（2022·南京·期中）已知3，则的值为（　　） A．9 B．7 C．11 D．6 【答案】C 【详解】解：∵3， ∴（）22＝9， ∴11． 故本题选：C． 2．（2025·南京·期中）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 【答案】C 【详解】解：令t＝x﹣2023， 则原式＝（t﹣2）2+（t+2）2＝34， ∴t2﹣4t+4+t2+4t+4＝34，解得：t2＝13， ∴（x﹣2023）2＝13． 故本题选：C． 3．（2025·溧阳市·校级月考）若x满足（2025﹣x）（2023﹣x）＝50，则（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝　　． 【答案】104 【详解】解：∵（2025﹣x）（2023﹣x）＝50， ∴（2025﹣x）2+（2023﹣x）2 ＝[（2025﹣x）﹣（2023﹣x）]2+2（2025﹣x）（2023﹣x） ＝22+2×50 ＝4+100 ＝104． 故本题答案为：104． 题型二 利用平方差公式巧算（升级版） 1．（2025·锡山区·校级月考）利用平方差公式计算：　　． 【答案】 【详解】解： ． 故本题答案为：． 2．（2025·姑苏区·校级月考）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 题型三 完全平方公式与几何的综合应用 1．（2025·泰州·校级月考）一个正方形边长为m+4（m为常数且m＞0），记它的面积为S1，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为S2． （1）求S2（用含m的代数式表示）； （2）小丽说无论m为何值，S1和S2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ （3）将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为S3，若存在常数a，使得不论m为何值，S2﹣S3﹣am始终是一个定值，求a的值． 【答案】（1）；（2）同意，理由详见解析；（3）a＝2 【详解】解：（1）m+4+2＝m+6，m+4﹣2＝m+2， ∴； （2）同意，理由如下： ＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣12 ＝4， ∴S1与S2的差都不变； （3）∵， ∴S2﹣S3﹣am ＝m2+8m+12﹣m2﹣6m﹣9﹣am ＝（2﹣a）m+3， 由条件可知：2﹣a＝0，解得：a＝2． 2．（2025·南通·月考）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　　． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，则x2+y2＝　　； 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为3，求CE的长度． 【答案】（1）（a+b）2＝a2+2ab+b2；（2）32；（3）80；（4） 【详解】解：（1）图①从“整体上”看是边长为（a+b）的正方形，面积为（a+b）2， 拼成图①的四个部分的面积和为a2+b2+2ab， ∴可以验证公式（a+b）2＝a2+2ab+b2， 故本题答案为：（a+b）2＝a2+2ab+b2； （2）由条件可知：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， 当xy＝2，x+y＝6时， x2+y2＝62﹣2×2＝36﹣4＝32， 故本题答案为：32； （3）由条件可知：（20﹣x）2+（x﹣30）2 ＝[（20﹣x）+（x﹣30）]2﹣2（20﹣x）（x﹣30） ＝（﹣10）2﹣2×10 ＝100﹣20 ＝80； （4）设正方形ABCD的边长为m，正方形DEFG的边长为n， 则AB＝CD＝AD＝m，EF＝GF＝DG＝n，AG＝m﹣n， ∴，， ∴，mn＝6， ∴m2﹣mn+n2＝20， ∴m2+n2＝20+mn＝26， ∴（m+n）2＝m2+n2+2mn＝26+2×6＝38， ∵m＞0，n＞0， ∴，即． 3．（2025·海安市·校级期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　　； 【解决问题】 （2）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＜y，则x﹣y＝　　； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知a2﹣b2＝5，ab＝6，求2a+3b的值． 【答案】（1）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（2）﹣4；（3）116；（4）±12 【详解】解：（1）大正方形的面积为（a+b）2，小正方形的面积为（a﹣b）2，长方形的面积为ab， 由图2可知：大正方形的面积减去4个长方形的面积等于小正方形的面积， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故本题答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （2）由条件可得：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵（x+y）2＝28，xy＝3， ∴28﹣（x﹣y）2＝4×3， ∴（x﹣y）2＝16， ∵x＜y， ∴x﹣y＜0， ∴x﹣y＝﹣4， 故本题答案为：﹣4； （3）设AO＝OB＝a，DO＝OC＝b，则a+b＝20， ∴（a+b）2＝400，即a2+b2+2ab＝400， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠AOD＝90°， ∵无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米， ∴， ∴2ab＝168， ∴a2+b2＝400﹣168＝232， ∴主舞台和观众区的面积和为； （4）根据完全平方公式得到（a2+b2）2﹣（a2﹣b2）2＝4（ab）2， ∵a2﹣b2＝5，ab＝6， 由条件可知：（a2+b2）2﹣52＝4×62， ∴（a2+b2）2＝169， ∴a2+b2＝13（负值舍去）， ∵a2﹣b2＝5， ∴a2+b2﹣（a2﹣b2）＝13﹣5， ∴b2＝4， ∵（2a+3b）2＝4a2+9b2+12ab ＝4a2+9b2+12ab ＝4（a2+b2）+5b2+12ab ＝4×13+5×4+12×6 ＝144， ∴2a+3b＝±12． 题型四 平方差公式与几何的综合应用 1．（2025·海州区·月考）探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　（用含a，b的等式表示）； 应用： （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知m2﹣4n2＝16，m+2n＝4，则m﹣2n的值为　　； ②计算：20252﹣2024×2026． 拓展：（3）计算：502﹣492+482﹣472+⋯+42﹣32+22﹣12． 【答案】（1）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）①4；②1；（3）1275 【详解】解：（1）图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成图②阴影部分是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； （2）①∵m2﹣4n2＝16，即（m+2n）（m﹣2n）＝16，而m+2n＝4， ∴m﹣2n＝16÷4＝4， 故本题答案为：4； ②原式＝20252﹣（2025﹣1）（2025+1） ＝20252﹣20252+1 ＝1； （3）原式＝（502﹣492）+（482﹣472）+⋯+（42﹣32）+（22﹣12） ＝（50+49）（50﹣49）+（48+47）（48﹣47）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝50+49+48+47+……+4+3+2+1 ＝1275． 2．（2025·盐城·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　　（只填序号）； ①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：． 【答案】（1）②；（2）①；② 【详解】解：（1）图1中，边长为a的正方形的面积为：a2，边长为b的正方形的面积为：b2， ∴图1的阴影部分面积为：a2﹣b2， 图2中长方形的长为：a+b，长方形的宽为：a﹣b， ∴图2长方形的面积为：（a+b）（a﹣b）， ∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：②； （2）①，由（1）可得：x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝18， ∵x+2y＝4， ∴4（x﹣2y）＝18， ∴； ②原式 ． 3．（2025·宿城区·校级期中）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是　　；（请选择正确的选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值； （3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1． 【答案】（1）B；（2）5；（3）22048 【详解】解：（1）图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2， 拼成的图2是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故本题答案为：B； （2）∵4x2﹣9y2＝20， ∴（2x+3y）（2x﹣3y）＝20， ∵2x﹣3y＝4， ∴2x+3y＝5； （3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）…（21024+1）+1 ＝（216﹣1）…（21024+1）+1 ＝22048﹣1+1 ＝22048． 题型一 乘法公式的拓展 1．（2025·锡山区·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（　　） A．2048 B．1024 C．512 D．256 【答案】B 【详解】解：当n＝0时，展开式中所有项的系数和为1＝20， 当n＝1时，展开式中所有项的系数和为2＝21， 当n＝2时，展开式中所有项的系数和为4＝22， 当n＝3时，展开式中所有项的系数和为8＝23， …， 由此可知：（a+b）n展开式的各项系数之和为2n， ∴（a+b）10展开式中所有项的系数和是210＝1024． 故本题选：B． 2．（2025·昌江区·校级期中）已知0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 【答案】C 【详解】解：∵0， ∴bc+ac+ab＝0， ∵（a+b+c）2， ＝a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）， ＝1+0， ＝1， ∴a+b+c＝±1． 故本题选：C． 3．（2025·仪征市·期末）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是　　． 【答案】 【详解】解：原式（﹣2﹣1）×（﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1） [（﹣2）2026﹣1] ． 故本题答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.4乘法公式 题型一 乘法公式的几何背景 1．（2025·沛县·期中）下列图形阴影部分的面积能够直观地解释（x﹣1）2＝x2﹣2x+1的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·姑苏区·校级期中）从边长为a的大正方形纸板正中央挖去一个边长为b的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（　　） A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） 3．（2025·如皋市·校级期末）如图，小华同学用四个边长为a的正方形，两个长和宽分别为2a和b的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（　　） ①a＝2b； ②4a（a+b）＝（2a+b）2﹣b2； ③（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2； ④（2a+b）2＞4a（a+b）． A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 题型二 利用完全平方公式计算 1．（2025·沛县·期中）计算（﹣x+2）2的结果是（　　） A．x2﹣4x+4 B．﹣x2﹣4x+4 C．x2+4x+4 D．﹣x2+4x+4 2．（2025·天宁区·校级期中）若（2x﹣3）2＝4x2+kx+9，则k的值是（　　） A．﹣6 B．6 C．12 D．﹣12 3．（2025·锡山区·校级期中）下列运算正确的是（　　） A．（a+b）2＝a2+b2 B．210+（﹣2）10＝211 C．（﹣1﹣3a）2＝1﹣6a+9a2 D．b（b2﹣b+1）＝b3﹣b2+1 4．（2025·盐都区·月考）下列运算：①（3x+y）2＝9x2+y2；②（a﹣2b）2＝a2﹣4b2；③（﹣x﹣y）2＝x2+2xy+y2；④．其中，运算错误的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型三 利用平方差公式计算 1．（2025·盐都区·期中）下列算式不能用平方差公式计算的是（　　） A．（a+b）（a﹣b） B．（﹣a+b）（a﹣b） C．（﹣a+b）（﹣a﹣b） D．（﹣a+b）（a+b） 2．（2024·海安市·期末）下列各式计算正确的是（　　） A．（x﹣2）（x+2）＝x2﹣2 B．（a+b）2＝a2﹣ab+b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣3a+2）（﹣3a﹣2）＝9a2﹣4 题型四 利用乘法公式巧算 1．（2025·宿城区·校级期末）运用完全平方公式计算79.82的最佳选择是（　　） A．（79+0.8）2 B．（70+9.8）2 C．（80﹣0.2）2 D．（100﹣20.2）2 2．（2025·泰州·校级月考）用乘法公式简便计算： （1）1012； （2）20232﹣2021×2025． 3．（2025·盱眙县·期中）简便计算： （1）5462﹣4542； （2）4.32+8.6×5.7+5.72． 题型五 利用乘法公式综合计算 1．（2025·海门区·期中）计算： （1）（a﹣2b+c）2； （2）（a+b﹣2c）（a﹣b﹣2c）； （3）（x﹣2y）2（x+2y）2． 2．（2025·玄武区·校级月考）用乘法公式计算： （1）（2x﹣1）2﹣（x﹣2）2； （2）（3a﹣b）2﹣（a﹣3b）（a+3b）； （3）（a﹣2b+1）（a+2b+1）； （4）（x+2y﹣1）2． 题型六 根据乘法公式化简求值 1．（2025·锡山区·校级月考）如果m2+m＝3，那么m（m﹣2）+（m+2）2的值为（　　） A．10 B．9 C．4 D．﹣6 2．（2024·姜堰区·校级月考）已知2a2﹣a﹣3＝0，则（2a+3）（2a﹣3）+（2a﹣1）2＝　　． 3．（2024·南通·校级月考）化简：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） 以下是小明的解题过程：（2x﹣1）2﹣（2x+5）（2x﹣5） ＝4x2﹣1﹣（4x2﹣25）…第一步 ＝4x2﹣1﹣4x2+25…第二步 ＝24…第三步 老师看到后，说小明做错了． （1）请问：小明错在第　　步； （2）请写出正确的解题过程，并计算当x＝5时原式的值． 4．（2025·海门区·期中）先化简，再求值：[（3x+y）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣2y2]÷2x，其中，． 题型七 根据完全平方公式的变形式求值 1．（2024·崇川区·校级期中）若a+b＝8，a2+b2＝74，则ab的值为（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．10 2．（2025·梁溪区·期末）若x2+y2＝10，xy＝﹣3，则（x﹣y）2的值是（　　） A．4 B．7 C．13 D．16 3．（2025·秦淮区·校级期中）若（a+b）2＝10，（a﹣b）2＝2，则a2+b2的值是（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025·江阴市·期中）已知（x+2y）2＝10，（x﹣2y）2＝18，那么xy的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 5．（2025·泰州·校级月考）若x+y＝3，且（x+2）（y+2）＝13． （1）求xy的值； （2）求x2﹣xy+y2的值． 题型八 逆用平方差公式求值 1．（2025·高新区·校级月考）已知m﹣n＝3，则m2﹣n2﹣6n的值是（　　） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2024·仪征市·期中）小刚把（2025x+2022）2展开后得到ax2+bx+c，把（2024x+2023）2展开后得到mx2+nx+q，则a﹣m的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．4049 D．﹣4049 3．（2025·海安市·月考）已知实数a，b满足a2＝2b+7，b2＝2a+7，且a≠b，则a+b的值为　　． 题型九 乘法公式的简单应用（比较大小、整除问题） 1．（2025·江宁区·校级月考）若M＝（x+2）（x+4），N＝（x+3）2，则M，N的大小关系为（　　） A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．无法确定 2．（2025·泰州·校级月考）如果一个数等于两个连续奇数的平方差，那么我们把这个数叫做“幸福数”，如32﹣12＝8，则8就为“幸福数”，下列数中是“幸福数”的是（　　） A．42 B．68 C．126 D．32 3．（2025·江宁区·校级月考）已知下列等式： （2+3）2﹣22＝7×3； （4+3）2﹣42＝11×3； （6+3）2﹣62＝15×3； … 小明发现规律：比任意一个偶数大3的数，与该偶数的平方差能被3整除． （1）填空：（8+3）2﹣82＝　　×3； （2）直接写出计算的结果：2532﹣2502＝　　； （3）设偶数为2n（n为整数），试说明比2n大3的数与2n的平方差能被3整除． 题型十 乘法公式与几何的简单应用 1．（2025·南京·期中）如图，点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2＝20，已知BG＝6，则图中阴影部分面积为（　　） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（2025·梁溪区·校级期中）现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（　　） A．3 B．19 C．21 D．28 3．（2024·姑苏区·校级期中）某小区有一正方形草坪ABCD如图所示，小区物业现对该草坪进行改造，将该正方形草坪AB边方向的长度增加4米，AD边方向的长度减少4米，则改造后的长方形草坪面积与原来正方形草坪面积相比（　　） A．增加8平方米 B．增加16平方米 C．减少16平方米 D．保持不变 4．（2025·南京·期末）如图，大正方形与小正方形的面积之差是48，则阴影部分的面积是（　　） A．12 B．18 C．24 D．30 题型一 根据完全平方公式求值（升级版） 1．（2022·南京·期中）已知3，则的值为（　　） A．9 B．7 C．11 D．6 2．（2025·南京·期中）已知（x﹣2021）2+（x﹣2025）2＝34，则（x﹣2023）2的值是（　　） A．5 B．9 C．13 D．17 3．（2025·溧阳市·校级月考）若x满足（2025﹣x）（2023﹣x）＝50，则（2025﹣x）2+（2023﹣x）2＝　　． 题型二 利用平方差公式巧算（升级版） 1．（2025·锡山区·校级月考）利用平方差公式计算：　　． 2．（2025·姑苏区·校级月考）计算：． 题型三 完全平方公式与几何的综合应用 1．（2025·泰州·校级月考）一个正方形边长为m+4（m为常数且m＞0），记它的面积为S1，将这个正方形的一组邻边长分别增加2和减少2，得到一个长方形，记该长方形的面积记为S2． （1）求S2（用含m的代数式表示）； （2）小丽说无论m为何值，S1和S2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？ （3）将原正方形的边长减少1，得到一个新的正方形，记它的面积为S3，若存在常数a，使得不论m为何值，S2﹣S3﹣am始终是一个定值，求a的值． 2．（2025·南通·月考）“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通过计算几何图形的面积可以验证一些代数恒等式． （1）如图①是一个大正方形被分割成了边长分别为a和b的两个正方形，长宽分别为a和b的两个长方形，利用这个图形可以验证公式　　． 利用上述公式解决问题： 【直接应用】 （2）若xy＝2，x+y＝6，则x2+y2＝　　； 【类比应用】 （3）若（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 【知识迁移】 （4）如图②，点D在线段CE上，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接BG、CG、EG．若阴影部分的面积和为10，△CDG的面积为3，求CE的长度． 3．（2025·海安市·校级期中）【探索发现】 数学活动课上，老师准备了如图1的一个长为4b，宽为a（a＞b）的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按如图2所示的形状拼成一个大正方形． （1）观察图1，图2，请写出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之间的等量关系是：　　； 【解决问题】 （2）若（x+y）2＝28，xy＝3，且x＜y，则x﹣y＝　　； 【实际应用】 （3）学校计划用一块梯形区域开展科技节活动，如图3所示．已知AC⊥BD于点O，AO＝OB，DO＝OC．计划在△AOD和△BOC区域内展示无人机和机器人表演，在△AOB和△DOC区域内分别是主舞台和观众，经测无人机和机器人表演区域的面积和为84平方米，AC＝20米，求主舞台和观众区的面积和． 【拓展提升】 （4）已知a2﹣b2＝5，ab＝6，求2a+3b的值． 题型四 平方差公式与几何的综合应用 1．（2025·海州区·月考）探究： （1）如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式　　（用含a，b的等式表示）； 应用： （2）请应用这个公式完成下列各题： ①已知m2﹣4n2＝16，m+2n＝4，则m﹣2n的值为　　； ②计算：20252﹣2024×2026． 拓展：（3）计算：502﹣492+482﹣472+⋯+42﹣32+22﹣12． 2．（2025·盐城·期中）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是　　（只填序号）； ①（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；②a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；③（a+b）2＝a2+2ab+b2． （2）应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题： ①已知x2﹣4y2＝18，x+2y＝4，求x﹣2y的值； ②计算：． 3．（2025·宿城区·校级期中）某班数学兴趣小组的同学在学习整式乘法公式后，构造了以下图形验证乘法公式．请你利用数形结合的思想，通过等积法解决以下数学问题．从边长为a的正方形中减掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）比较两图中阴影部分面积，可以验证的等式是　　；（请选择正确的选项） A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） （2）若4x2﹣9y2＝20，2x﹣3y＝4，求2x+3y的值； （3）计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1． 题型一 乘法公式的拓展 1．（2025·锡山区·期中）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角”． 则（a+b）10展开式中所有项的系数和是（　　） A．2048 B．1024 C．512 D．256 2．（2025·昌江区·校级期中）已知0，a2+b2+c2＝1，则a+b+c的值等于（　　） A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．0 3．（2025·仪征市·期末）观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； … 根据规律计算：﹣22025+22024﹣22023+22022﹣⋯+24﹣23+22﹣2+1的值是　　． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $