精品解析：内蒙古呼和浩特市第十九中学2025-2026学年第二学期八年级数学第一次学情自测试卷

2025-2026学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义“形如的式子叫做二次根式”、立方根，熟记二次根式的定义是解题关键．根据二次根式的定义、立方根逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则不是二次根式，此项不符合题意； B、，则不是二次根式，此项不符合题意； C、只有当，即时，才是二次根式，则此项不符合题意； D、因为，所以一定是二次根式，则此项符合题意． 故选：D． 2. 下列各组数是勾股数是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数，据此解答即可． 【详解】解：A．∵，，不都是正整数， ∴这组数不是勾股数， 故此选项不符合题意； B．∵，且，，是正整数， ∴这组数勾股数， 故此选项符合题意； C．∵， ∴这组数不能构成直角三角形， ∴这组数不是勾股数， 故此选项不符合题意； D．∵，，不是正整数， ∴这组数不勾股数， 故此选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股数的定义，熟记勾股数的定义是解题的关键． 3. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意； B．与不能合并，故本选项不符合题意； C．与不能合并，故本选项不符合题意； D．与能合并，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 下列计算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算．根据二次根式的性质以及二次根式的乘除和加减运算，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、、被开方数为负数，没有意义，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 5. 若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可． 【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边， ∴分两种情况讨论： ①当x为斜边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴； ②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，x的值为5或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 6. 如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，熟记实数和数轴的关系是解题的关键． 根据正方形的面积求出的长，再根据勾股定理求得，再结合数轴确定点E表示的数即可． 【详解】解：∵正方形的面积为1， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，（点E在点A的左侧）， ∴， ∵点A表示的数是1， ∴点E所表示的数为． 故选：D． 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题，如图，根据勾股定理求出的长；进而求出的长度；由题意得；利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可解决问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答． 【详解】解：四边形为矩形， ；； 由题意得：， 设，则； 由勾股定理得：， ， ； 在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ． 故选：B． 8. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形， 则这圈金属丝的周长最小为的长度 圆柱底面的周长为，圆柱高为 ， 这圈金属丝的周长最小为 故选：A 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若代数式 有意义，则实数m的取值范围是________ ． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，即可求解的取值范围 ． 【详解】解：若代数式 有意义， 可得，解得， 因此实数的取值范围是且． 10. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】##340度 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据数轴判断式子符号及根式的性质，根据数轴判断与和0的关系，再根据二次根式的性质化简即可得到答案； 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出，再由的长度找到规律进而求出的长． 【详解】解：由勾股定理得： ，，，，…； 依此类推可得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，数式规律；熟练掌握勾股定理，由已知数据找到规律是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1） （2）． （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 14. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化，进而将已知数据代入计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上． （1）写出点，，的坐标：，，_____． （2）求出的周长和面积． （3）在轴上确定点，使得到、的距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置） 【答案】（1），， （2）周长为，面积为：9 （3）见解析，最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解； （2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算的面积； （3）直接利用对称点求最短路线的方法得出答案． 【小问1详解】 解：由图形得，，，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：的周长为 的面积； 【小问3详解】 解：如图，点P即为所求． 根据两点间线段最短可知，最小值． 16. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米； （2）米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． （）先根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （）由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【小问1详解】 解：在中，∵米，米， ∴（米）， ∴（米， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：在中， ∵米，（米）， ∴米， ∴（米）， 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 17. 情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 【答案】(1)的长为(2)剩余部分（阴影）的面积 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则并能正确根据图形，得出数量关系是解决此题的关键． (1)根据小正方形的面积，可求出边长，然后计算线段的和差即可得解； (2)先求出大长方形的长面积，再求出小正方形的面积，然后进行计算即可得解． 【详解】(1)解：∵小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为， ∴小正方形①的边长，小正方形②的边长， ∵， ∴， ∴的长为； (2)解：由(1)知大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积为， ∵从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④， ∴切下两块完全相同的最大的正方形边长为， ∴切下两块完全相同的最大的正方形面积为， ∴剩余部分（阴影）的面积． 18. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 【答案】（1）见解析 （2）新路比原路少千米 （3）见解析， 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设，则，根据勾股定理列方程，求解即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 小问1详解】 解：梯形的面积为，也可以表示为， ，即； 【小问2详解】 设， ， 在中，，即， 解得， 即（千米）， （千米）， 答：新路比原路少千米； 【小问3详解】 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级数学第一次月考试卷 （考试时间：90分钟，分值：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 下列各式中，化简后能与合并的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若直角三角形三边长分别为3，4，x，则x的值为（ ） A. 5 B. 5或 C. D. 2 6. 如图，面积为1的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为1，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则数轴上点所表示的数为（ ） A B. C. D. 7. 如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则长（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱的高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 若代数式 有意义，则实数m的取值范围是________ ． 10. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 11. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是______． 12. 如图，，过作，得；再过作且，得，又过作且，得；…依此法继续作下去，得___________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13. 计算： （1） （2）． （3） 14. 已知，，求下列各式的值： （1） （2）． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在边长为的正方形方格的格点上． （1）写出点，，的坐标：，，_____． （2）求出的周长和面积． （3）在轴上确定点，使得到、距离之和最小，并求出最小值．（画出示意图，并标明点的位置） 16. 消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． （1）求处与地面的距离． （2）完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 17. 情景：实践小组成员利用两块相同的长方形木板各切割两个正方形木板． 操作：甲组成员的切割方式如图1所示，小正方形①（一边与长方形边重合）的面积为，小正方形②（三边与长方形边重合）的面积为，． （1）求的长． 探究：乙组成员的切割方式如图2所示，从长方形木板上切下两块完全相同的最大的正方形木板③④． （2）求剩余部分（阴影）的面积． 18. 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则． （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理： （2）如图③，在一条东西走向河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米? （3）小明继续思考研究，发现了三角形已知三边的长，可求高的一种方法．他是这样思考的，在第（2）问中若时，，，，，设，可以求的值，请帮小明写出求的过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $