精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市第十九中学2024-2025学年下学期八年级数学月考试卷

十九中八年级第二次阶段性检测数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 6. 如图，在中，，，，点P为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为( ) A. B. C. 3 D. 4 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． 9. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为_______________． 10. 计算： 的结果是____________． 11. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简__________． 12 计算：___________． 13. 在四边形中，对角线且、，、分别是边、的中点，则_________． 14. 如图，中，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为________． 15. 在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______． 16. 中，，，高，则______ 三、解答题：本题共 6 小题，共 52 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 20. 小芳在解决问题：已知 ，求的值．他是这样分析与解的： ∴，，∴， ∴， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若； ①求的值； ②求的值． 21. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图（1），等边内有一点，若点到顶点，，的距离分别为3，4，5，则______，由于，不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，此时______这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出的度数． （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），中，，，为上的点且，求证：． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，边与相交于点，以为边作等边，点在线段上，设点的运动时间为． （1）当点在边上，直接写出长为 （用含的代数式表示）； （2）当点与点重合时， ①求值； ②直接写出此时点和点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十九中八年级第二次阶段性检测数学试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，即“被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式”，由此即可求解，掌握最简二次根式的定义，二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、是最简二次格式，符合题意； D、是三次根式，不符合题意； 故选：C． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质、同类二次根式的判断，关键是熟知同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，故与不是同类二次根式，不符合题意； B、，故与不是同类二次根式，不符合题意； C、，故与同类二次根式，符合题意； D、，故与不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 4. 如图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2所示的四边形．若，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：，，， ，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 5. 如图，平行四边形中，对角线、相交于O，过点O作交于点E，若，，，则的长为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据已知条件证明是直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 平行四边形中，， 垂直平分，，，， ，， ，， ， 是直角三角形，是等腰直角三角形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理，证明是直角三角形是解题的关键． 6. 如图，在中，，，，点P为上任意一点，连结，以，为邻边作平行四边形，连结，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、垂线段最短的性质，利用垂线段最短求线段的最小值是解题的关键． 设与相交于点O，过点O作于点，利用等腰三角形的判定和性质、平行四边形的性质推出，再利用勾股定理求出，利用垂线段最短求线段的最小值． 【详解】解：设与相交于点O，过点O作于点，如下图所示： ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 为对角线和的中点， ，， 由，可得， ， ， 由勾股定理得，， ， 解得， 根据垂线段最短，可得， ， 当时，线段有最小值2． 故选：A． 7. 如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，若，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，矩形的性质，解题关键是由勾股定理列出关于的方程． 连接，由矩形性质得到，由勾股定理求出，由由折叠的性质得到，，设，由勾股定理得到，求出，得到，由勾股定理求出，判定是等腰三角形，由等腰三角形的性质得到． 【详解】连接，交于点， ∵四边形是矩形， ， ， 根据折叠的性质得，和关于对称，， ， ∴垂直平分， ， 设， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选∶A． 8. 如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P．若BC＝10，则PQ的长为( ) A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ． 【详解】解：∵BQ⊥AE，BQ平分∠ABE，BQ=BQ ∴ ∴AB=BE，AQ=QE 同理可证AC=CD，AP=PD ∵△ABC的周长为26， ∴AB+BC+AC=26， ∴AB+AC=16， ∴BE+CD=16， ∴BD+DE+CD=16 ∴BC+DE=6 ∴DE=6， 又∵Q、P分别是AE，AD的中点， ∴PQ是△ADE的中位线， ∴ 二、填空题：本题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分． 9. 如图，矩形中，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点M，则点M表示的数为_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、勾股定理等知识点，掌握勾股定理是解题的关键． 先根据勾股定理求得的长，再结合数轴即可解答． 【详解】解：如图：，则， ∵A点表示， ∴M点表示的数为： ． 故答案为：． 10. 计算： 的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把原式化为，再计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是利用积的乘方运算，平方差公式，二次根式的乘法运算，熟记积的乘方运算的运算法则，二次根式的乘法运算法则是解本题的关键． 11. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，化简__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的性质，二次根式的性质．解答此题的关键是熟知：数轴上的任意两个数，右边的数总比左边的数大．根据数轴上得到的a，b的大小去绝对值，然后合并同类项即可． 【详解】解：由图可知，， 则，， ． 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，化简绝对值，二次根式的乘法，分母有理化，负整数指数幂等知识．先化简绝对值，计算二次根式的乘法，分母有理化，负整数指数幂，然后进行加减运算即可． 【详解】解：解： ． 故答案为：． 13. 在四边形中，对角线且、，、分别是边、的中点，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．取的中点，连接、，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出、，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， 、分别是边、的中点， 且， 且， ， ， ． 故答案为：5． 14. 如图，中，，D是上一点，于点E，于点F，连接，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，垂线段最短等知识，矩形性质的应用是解题的关键．连接，易得四边形是矩形，则，根据垂线段最短，当时，最短；由勾股定理求出，利用面积关系可求得，从而得到的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，从而最短； 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，点，，，点D为平面直角坐标系中的点，以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，则点D的坐标______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况：①为对角线时，②为对角线时，③为对角线时；由平行四边形的性质容易得出点D的坐标． 【详解】解：分三种情况：①为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为； ②为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为； ③为对角线时，平行且等于，可知点D的坐标为； 综上所述，点D的坐标可能是或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形的性质；熟练掌握平行四边形的性质是解决问题的关键． 16. 中，，，高，则______ 【答案】14或4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理在三角形中的应用，解题的关键是考虑高的位置（在三角形内部或外部），分情况计算的长度． 利用勾股定理分别在和中求出和的长度；分在内部和外部两种情况，计算的长度（内部时外部时． 【详解】解：∵是的高， ∴ 和均为直角三角形，． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 在中，由勾股定理得： 即 解得（负值舍去）． 分两种情况讨论： ①当在内部时， ②当在外部时，． 故答案为：或． 三、解答题：本题共 6 小题，共 52 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）原式化简后，合并同类二次根式即可得到结果； （2）原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果； （3）原式利用平方差公式，完全平方公式化简，计算即可得到结果； （4）原式化简后，合并同类二次根式即可得到结果． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 如图，在四边形中，，，，． （1）求的度数； （2）求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）利用勾股定理可求，求出，由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，再由即可得出结论； （2）由三角形的面积公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形的面积的面积的面积 ． 19. 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF， (1)求证：AE＝CF； (2)求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法与性质． 20. 小芳在解决问题：已知 ，求的值．他是这样分析与解的： ∴，，∴， ∴， 请你根据小芳的分析过程，解决如下问题： （1）化简： （2）若； ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）5 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）先把每项都分母有理化，再利用乘法的分配律计算简便计算即可； （2）①先化简，可得，再整体代入代数式求值即可；②先把原代数式降次，再整体代入求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ①∵， ∴， ∴即， ∴； ②∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，实数的运算规律探究，整体代入法求解代数式的值，理解题意，确定合适的解题方法是解本题的关键． 21. 阅读下面材料，并解决问题： （1）如图（1），等边内有一点，若点到顶点，，距离分别为3，4，5，则______，由于，不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将绕顶点旋转到处，此时______这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出的度数． （2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如图（2），中，，，为上的点且，求证：． 【答案】（1）， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据旋转变换前后的两个三角形全等，全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等以及等边三角形的判定和勾股定理逆定理解答． （2）把绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可得，，，，，再求出，从而得到，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式即可得证． 【小问1详解】 解：， 、、， 由题意知旋转角， 为等边三角形， ，， ， 为直角三角形，且， ． 【小问2详解】 证明：如图2中，把绕点逆时针旋转得到， 由旋转的性质得，，，，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， 由勾股定理得，， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，，，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿边向终点匀速运动，以为一边作，边与相交于点，以为边作等边，点在线段上，设点的运动时间为． （1）当点在边上，直接写出的长为 （用含的代数式表示）； （2）当点与点重合时， ①求的值； ②直接写出此时点和点的坐标； ③点在轴上，点在直线上，当以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）①；②点的坐标为，点的坐标为；③以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得，，再证，当点与点重合时，与重合，则，即可解决问题； （2）①当点与点重合时，与重合，，即可得出结论；②当点与点重合时，点与点重合，，则是等边三角形，得，即可得出结论；③分情况讨论，、当为平行四边形的边时，，，当、在轴上方时，当、在轴下方时，由勾股定理求出、的长，即可得出结论；、当为平行四边形的对角线时，四边形为平行四边形，此时，点与点重合，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，，， ，， ， ，， ， ， 当点与点重合时，与重合， ， 点从点出发，以个单位长度的速度沿边向终点匀速运动， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当点与点重合时，与重合，， ； ②当点与点重合时，点与点重合，，与重合， 是等边三角形， ， ， 点的坐标为，点的坐标为； ③，， ，且在轴上， 分情况讨论： 、当为平行四边形的边时，如图所示：，， ，， 轴， 轴， 当、在轴上方时， ， ， ， ， ， ， ， ； 当、在轴下方时，同理，，轴， ， ， ， ； 、当为平行四边形的对角线时，如图所示： ，， 四边形平行四边形， 此时，点与点重合， ； 综上所述，以，，，四个点为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键，注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $