第二十一章四边形单元卷-2025-2026学年人教版数学八年级下学期.

2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （考试范围：第二十一章：四边形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 【答案】A 【分析】四边形的不稳定性是指在边长固定的情况下，其形状可以发生改变，导致内角发生变化，而周长和内角和保持不变． 根据稳定性的变化逐一判断即可． 【详解】A：四边形边长固定时，通过调整形状，内角会改变，体现不稳定性，故A正确； B：不稳定性指边长固定时形状改变，边长本身不变，故B错误； C：周长是边长的总和，边长固定则周长不变，故C错误； D：四边形的内角和恒为，与形状无关，故D错误； 故选：A． 2．一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题涉及多边形截角后边数的变化情况，需要考虑不同的截角方式，分析得到的多边形可能的形状． 【详解】解：A、当截线经过长方形的两个不相邻的顶点时，得到三角形，符合题意； B、当截线经过长方形的一个顶点和它不相邻的一条边上的一点时，得到四边形，符合题意； C、当截线经过一个角所邻的两条边上的任意两点（不与顶点重合）时，得到五边形，符合题意； D、因为截去一个角后得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形，所以以上都有可能，符合题意． 故选： D． 【点睛】本题考查了多边形截角后边数的变化，解题关键是全面考虑不同的截角方式，分析得到的多边形的可能形状． 3．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了凸四边形的定义，正确理解该概念是解题的关键． 根据凸四边形的定义，所有内角小于，且所有顶点位于任意一边的同一侧叫做凸四边形，逐一判断即可． 【详解】解：A、是一个矩形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； B、是一个平行四边形，满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； C、满足凸四边形的定义，是凸四边形，不符合题意； D、有一个内角大于，且有一个顶点位于其他顶点的对侧，不满足凸四边形的定义，不是凸四边形，符合题意； 故选：D． 4．如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．若的周长为14，，则四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的周长，求出，即可得解． 【详解】解：， ，，， ， 在和中， ， ，， ， 的周长为14， ， 四边形的周长为． 5．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∵， ∴     ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 选项B不符合要求． ∵，无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴     ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 6．如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】易知是的中位线，可得，再由中点的性质可得． 【详解】解：点、是边、的中点， 是的中位线， ， 点是边的中点， ． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 【答案】D 【分析】此题考查菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，熟记菱形的性质是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出，可得，然后根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选D． 10．如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，正方形的性质与判定，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；过点作于点，根据折叠的性质以及已知条件得出四边形是正方形，进而得出，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∵，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴， 在中， ∴ ∵折叠， ∴ ∴， 在中， ∴在中，， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 12．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_______ ． 【答案】20/二十 【分析】根据多边形外角和为，正多边形的每个外角都相等，多边形外角的个数等于多边形的边数，据此计算求解即可． 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的每个外角相等． 可得这个正多边形的边数为：． 13．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 14．在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 【答案】2或10 【分析】分类讨论：当直线在之间或直线不在之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解． 【详解】解：当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 当直线在之间时， 是三条平行直线， 而与的距离为与的距离为 与的距离 综上所述，与的距离为或. 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行线之间的距离．解决问题的关键是熟练掌握概念并注意分类讨论． 15．如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 【答案】16 【分析】根据已知条件利用勾股定理求得的长，从而利用正方形面积公式即可求得结果． 【详解】解：∵，，， ∴在中，， ∴． 16．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是____． 【答案】 【分析】此题主要考查了菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握菱形判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．过点B作于点E，过点D作于点F，依题意得，则四边形是平行四边形，根据蓝丝带宽为得，再根据等腰直角三角形勾股定理，进而得平行四边形是菱形，然后根据菱形的面积公式即可得出重叠部分图形的面积． 【详解】解：过点B作于点E，过点D作于点F，如图所示： 依题意得：， 四边形是平行四边形， 蓝丝带宽为， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，， 在中，由勾股定理得：， 同理：， ， 平行四边形是菱形， 重叠部分图形的面积是：， 故答案为：． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形内角和的计算方法以及外角和是列方程求解即可； （2）根据正六边形内角的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得； （2）解：这个正六边形的每个内角的度数为． 18．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到、，结合对顶角相等，证明与全等，进而证得； （2）由平行四边形对边相等得，结合可知为直角三角形，用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形面积公式计算面积。 【详解】（1）证明：在中，，， ， ， ． （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 是直角三角形． 根据勾股定理，． ∴． 19．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 20．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】（1）因为平分，所以可得一组相等的角，结合上述平行线的角的关系，可推出；因为，可先证四边形是平行四边形，再结合，证得是菱形； （2）先根据的周长和的长度，求出的长度；因为菱形的对角线互相垂直平分，可利用勾股定理求出对角线的一半长度，进而得到的长度；最后根据菱形的面积公式计算面积． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，，． ∵，的周长为18， ∴，则． 在中，， ∴． ∴菱形的面积为． 21．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 22．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得到，可证明，即可得到结论； （2）根据题意得到，，，求出，得到，，得到． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 在中，由勾股定理得； ， ， 由（1）知， ， ， ，， ∴． 23．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，则四边形是矩形，分别求出和，最后根据勾股定理即可求解； （2）以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，，当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小，过点作于点，则是的中点，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）（1）如图①， 过点作于点，则四边形是矩形． 由题意知，，，， ． 是的中点， ， ． 在中，， ． （2）解：如图②， 以直线为对称轴作点的对称点，点的对称点，连接，， 此时，，． 当点，，或点，，在同一条直线上时，或的值最小， 即的值最小，则， 易知． 过点作于点，则是的中点， ． 在中，，， ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24．如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接． (1)当为的中点时，线段与有何位置关系？请说明理由． (2)求线段的最小值． 【答案】(1)  见解析 (2) 【分析】（1）先通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再通过等腰三角形三线合一得到，分别为，的中点，则为的中位线，由此即可证明； （2）连接，证明四边形是矩形，得到．则当时，最小，即此时最小．利用勾股定理求出，再用等面积法求出的最小值，即可得到答案． 【详解】（1）解：． 理由：如图①，连接． ，为的中点， ． 于点，于点， ，分别为，的中点， 为的中位线， ． （2）解：如图②，连接． ，， ． 又， 四边形为矩形， ． 点在上， 当时，的值最小，此时的值最小． ，，， ． 当时，， ， 解得， 线段的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短、三角形中位线定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级下学期数学单元测试卷 （考试范围：第二十一章：四边形） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．四边形具有不稳定性，从数学角度看不稳定性主要体现在（    ） A．内角可发生变化 B．边长发生变化 C．周长发生变化 D．内角和发生变化 2．一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 3．下列图形中不是凸四边形的是（   ）． A． B． C． D． 4．如图，过对角线的交点O，交于点E，交于点F．若的周长为14，，则四边形的周长为（    ） A．13 B．12 C．10 D．8 5．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（   ） A． B．C． D． 6．如图，点、分别为的边、的中点，连接、，点、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 8．如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，在菱形中，对角线与相交于点，垂足为，连接，若，则的长是（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．6 10．如图，在平行四边形纸片中，，，将纸片沿对角线折叠，点落在点处，与交于点，连接．若，则的长为（   ） A．4 B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 12．如果一个正多边形的每个外角都是，那么这个多边形的边数为_______ ． 13．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 14．在同一平面内，已知直线，，相互平行，直线与的距离为4，直线与的距离为6，那么直线与的距离为__________． 15．如图，在中，，，，则正方形的面积是______． 16．“蓝丝带”一般指蓝丝带海洋保护协会，同时也象征着对保护海洋的呼吁，李老师用一段矩形绸缎制作了一条如图所示宽为的蓝丝带，若，则重叠部分图形的面积是____． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．已知一个正边形的内角和是它的外角和的倍． (1)求的值； (2)求正边形每个内角的度数． 18．如图，在中，对角线、交于点，，经过点且与，相交于点，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 19．如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 20．如图，在四边形中，，平分，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，的周长为18，求菱形的面积． 21．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 22．如图，在中，，，，过的中点作，垂足为点，与的延长线相交于点． (1)求证； (2)求的面积． 23．如图，在矩形中，，，是上的动点，且，是的中点，连接，，． (1)若，则的长为____________． (2)当的值最小时，的长度为____________． 24．如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接． (1)当为的中点时，线段与有何位置关系？请说明理由． (2)求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $