专题06图形的平移与旋转期中复习讲义(16大题型+题型突破)2025-2026学年北师大版八年级数学下册

专题06图形的平移与旋转期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平移、旋转的定义、性质及关键要素，熟记坐标系内平移的坐标规律； 2.理解中心对称与中心对称图形的概念、性质，能区分三者变换关系。 1.能规范完成平移、旋转、中心对称的作图； 2.会用变换性质结合全等解决几何计算与证明； 3.能处理坐标系与图形变换结合的综合问题。 1.基础题（选择 / 填空）快速判定、准确求解，零失误； 2.作图题步骤规范、标注清晰，稳拿满分； 3.中档综合题能提取变换条件，快速找到解题突破口，高效解题。 题型01.平移现象与概念判断 题型02.平移性质应用计算 题型03.平移实际问题求解 题型04.坐标系点的平移运算 题型05.坐标系平移与推导 题型06.坐标系平移作图与图形结合 题型07.图形变换的识别判断 题型08.中心对称概念判定 题型09.旋转三要素的确定 题型10.对称中心的确定与作图 题型11.旋转性质的应用 题型12.中心对称性质的应用 题型13.图形变换作图实操 题型14.坐标系中旋转变换计算 题型15.坐标系中的中心对称计算 题型16.图形变换综合与规律探究 解答题9题 知识点01.图形的平移 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 知识点02.图形的旋转 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 定点：旋转中心 转动方向：顺时针 / 逆时针 转动角度：旋转角 2. 旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角 3. 旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 4. 常见旋转角度 旋转 90∘、180∘、270∘、360∘ 旋转 360∘ 图形回到原位。 知识点03.中心对称 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180∘，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫对称中心。 2. 中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04.平移、旋转、轴对称对比（易混点） 变换 形状大小 方向 关键点 平移 不变 不变 方向、距离 旋转 不变 改变 旋转中心、方向、角度 轴对称 不变 改变 对称轴 共同特点：都是全等变换，只改变位置，不改变形状大小。 知识点05.解题常用思路 1.找对应点、对应线段、对应角。 2.平移：看对应点连线，判断方向与距离。 3.旋转：找旋转中心，量旋转角，利用 “对应点到旋转中心距离相等” 构造等腰三角形。 4.坐标变换严格按 “左减右加，上加下减”。 5.复杂图形可拆分成简单图形分别平移 / 旋转。 题型01.平移现象与概念判断. 【典例】如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【跟踪专练1】如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（　　） A．先向右平移4格，再向下平移5格 B．先向右平移3格，再向下平移4格 C．先向右平移4格，再向下平移3格 D．先向右平移3格，再向下平移5格 【跟踪专练2】夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 【跟踪专练3】如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 题型02.平移性质应用计算 【典例】如图，将沿方向平移得到，则的长度为_____． 【跟踪专练1】如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【跟踪专练2】如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 题型03.平移实际问题求解 【典例】小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长（    ）    A．亮亮的长 B．小芳的长 C．一样长 D．不确定 【跟踪专练1】如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 【跟踪专练2】如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（　　） A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm 题型04.坐标系点的平移运算 【典例】在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【跟踪专练3】将点沿轴向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练4】已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型05.坐标系平移与推导 【典例】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【跟踪专练3】如图，第二象限有两点，将线段AB平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型06.坐标系平移作图与图形结合 【典例】在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．.若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【跟踪专练2】如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【跟踪专练3】如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 题型07.图形变换的识别判断 【典例】平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【跟踪专练1】观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的． 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【跟踪专练3】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 题型08.中心对称概念判定 【典例】在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【跟踪专练1】蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【跟踪专练2】点关于点中心对称的点的坐标是_______． 【跟踪专练3】下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 题型09.旋转三要素的确定 【典例】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【跟踪专练2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型10.对称中心的确定与作图 【典例】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【跟踪专练3】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 题型11.旋转性质的应用 【典例】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【跟踪专练2】在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【跟踪专练3】如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 题型12.中心对称性质的应用 【典例】如图，绕点旋转后能与重合，则与关于点成_________，其中三点在同一直线上，并且，此外分别在同一直线上的三点还有_________，_________，并且有_________，_________．    【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 题型13.图形变换作图实操 【典例】如图，将该图按逆时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． 题型14.坐标系中旋转变换计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【跟踪专练1】已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【跟踪专练4】如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练5】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 题型15.坐标系中的中心对称计算 【典例】点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于第二、四象限的角平分线对称 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【跟踪专练2】点满足二元一次方程组，则点关于原点的对称点的坐标为________． 【跟踪专练3】已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．6 C． D．9 题型16.图形变换综合与规律探究 【典例】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【跟踪专练3】如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠C=75°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点B落在点处，A落在点处，若恰好落在△ABC的边上，则=______°． 【跟踪专练4】.两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【跟踪专练5】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【跟踪专练6】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【解答题】 1．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 2．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点，，． (1)画出先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到； (2)画出关于过点且平行于y的直线对称的． 3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 4．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 5．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________； (2)画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________． 6．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 7．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为__________； (2)若，求的度数． 8．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 9．【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06图形的平移与旋转期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握平移、旋转的定义、性质及关键要素，熟记坐标系内平移的坐标规律； 2.理解中心对称与中心对称图形的概念、性质，能区分三者变换关系。 1.能规范完成平移、旋转、中心对称的作图； 2.会用变换性质结合全等解决几何计算与证明； 3.能处理坐标系与图形变换结合的综合问题。 1.基础题（选择 / 填空）快速判定、准确求解，零失误； 2.作图题步骤规范、标注清晰，稳拿满分； 3.中档综合题能提取变换条件，快速找到解题突破口，高效解题。 题型01.平移现象与概念判断 题型02.平移性质应用计算 题型03.平移实际问题求解 题型04.坐标系点的平移运算 题型05.坐标系平移与推导 题型06.坐标系平移作图与图形结合 题型07.图形变换的识别判断 题型08.中心对称概念判定 题型09.旋转三要素的确定 题型10.对称中心的确定与作图 题型11.旋转性质的应用 题型12.中心对称性质的应用 题型13.图形变换作图实操 题型14.坐标系中旋转变换计算 题型15.坐标系中的中心对称计算 题型16.图形变换综合与规律探究 解答题9题 知识点01.图形的平移 1. 平移定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移只改变位置，不改变形状、大小、方向。 2. 平移的性质（重点） (1)平移不改变图形的形状、大小，只改变位置。 (2)对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等。 (3)对应点连线平行（或共线）且相等。 (4)平移不改变直线方向，可由平移得到平行线 知识点02.图形的旋转 1. 旋转定义 在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，叫做旋转。 定点：旋转中心 转动方向：顺时针 / 逆时针 转动角度：旋转角 2. 旋转的三要素 旋转中心 旋转方向 旋转角 3. 旋转的性质（重点） (1)旋转不改变图形的形状、大小。 (2)对应点到旋转中心的距离相等。 (3)对应点与旋转中心连线所成的角等于旋转角。 (4)旋转前后图形全等。 4. 常见旋转角度 旋转 90∘、180∘、270∘、360∘ 旋转 360∘ 图形回到原位。 知识点03.中心对称 1. 中心对称定义 把一个图形绕着某一个点旋转 180∘，如果它能够与另一个图形重合，就说这两个图形关于这个点中心对称。这个点叫对称中心。 2. 中心对称的性质 1.关于中心对称的两个图形全等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 已知△ABC与△A′B′C′关于点O中心对称，则： 1.△ABC≅△A′B′C′ 2.OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′，A、O、A′，B、O、B′，C、O、C′ 分别共线 3.对应线段平行（或共线）且相等 知识点04.平移、旋转、轴对称对比（易混点） 变换 形状大小 方向 关键点 平移 不变 不变 方向、距离 旋转 不变 改变 旋转中心、方向、角度 轴对称 不变 改变 对称轴 共同特点：都是全等变换，只改变位置，不改变形状大小。 知识点05.解题常用思路 1.找对应点、对应线段、对应角。 2.平移：看对应点连线，判断方向与距离。 3.旋转：找旋转中心，量旋转角，利用 “对应点到旋转中心距离相等” 构造等腰三角形。 4.坐标变换严格按 “左减右加，上加下减”。 5.复杂图形可拆分成简单图形分别平移 / 旋转。 题型01.平移现象与概念判断. 【典例】如图是小欣利用滑轮把物块M抬高的场景，则物块M上升的过程可以看作数学上的__________运动．    【答案】平移 【详解】解：由题意得，物块M上升的过程可以看作数学上的平移运动 ． 【跟踪专练1】如图，若将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是（　　） A．先向右平移4格，再向下平移5格 B．先向右平移3格，再向下平移4格 C．先向右平移4格，再向下平移3格 D．先向右平移3格，再向下平移5格 【答案】A 【分析】本题考查了图形的平移，根据图形结合平移的性质即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图可得，将图形平移至下方的空白处，则正确的平移方法是先向右平移4格，再向下平移5格， 故选：A． 【跟踪专练2】夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在水中行”的美好意境，某公园在如图所示的长方形荷塘上架设小桥．若荷塘的周长为240m，且小桥宽忽略不计，则小桥总长为__________． 【答案】120m 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】荷塘周长为240m， 小桥总长为：240÷2=120（m）， 故答案为：120 m． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 【跟踪专练3】如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的定义进行判断． 【详解】解：A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 题型02.平移性质应用计算 【典例】如图，将沿方向平移得到，则的长度为_____． 【答案】1 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 直接利用平移的性质求解． 【详解】解：根据平移的性质，线段为平移的长度， ， 故答案为：1． 【跟踪专练1】如图，将沿方向平移2个单位长度得到，若四边形的周长为14，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】根据平移的性质得到，，结合四边形的周长解题即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵四边形的周长为14， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 【跟踪专练2】如图，将边长为10的正方形沿方向平移个单位长度得到正方形．若重叠部分的面积为20，则__________． 【答案】8 【分析】根据重叠部分的面积为20，求出，即可求出． 【详解】解：∵重叠部分的面积为20，正方形边长为10， ∴， 即， ∴， ∴． 题型03.平移实际问题求解 【典例】小芳和小亮在手工课上各自制作楼梯模型，如图，则他们所用的周长（    ）    A．亮亮的长 B．小芳的长 C．一样长 D．不确定 【答案】C 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的边，再判断形状不同的边的长度即可． 【详解】解：两个图形右侧边与左侧相等，上侧与下侧相等， 即两个图形都可以利用平移的方法变为长为，宽为的长方形， 所以两个图形的周长都为， 所以他们用的周长一样长． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平移的应用，考生通过观察、分析识别图形的能力，解决此题的关键是通过观察图形确定右侧与上侧各边的长相等． 【跟踪专练1】如图，某公园里有一处长方形风景欣赏区，为方便游客观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中空白部分），小路的宽均为．若，，小明沿着小路的中间从入口处走到出口处，则他所走的路线（图中虚线）的长为_____． 【答案】54 【分析】此题主要考查了生活中的平移现象，根据已知得出所走路径是解决问题的关键． 根据已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于，求出即可． 【详解】解：利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，横向距离等于，纵向距离等于， 图是某公园里一处长方形风景欣赏区，长米，宽米， 所走的路线（图中虚线）长为（米）， 故答案为：54． 【跟踪专练2】如图是从一块边长为50cm的正方形材料中裁出的垫片，现测得FG＝9cm，则这块垫片的周长为（　　） A．182cm B．191cm C．209cm D．218cm 【答案】D 【分析】根据平移的思想进行求解即可． 【详解】解：在正方形中CD=BC=50cm, 由平移可知， EF+GH+AB=CD=50cm， AH+ED=BC+FG=50+9=59cm， ∴这块垫片的周长为50+50+59×2=218cm． 故选：D． 【点睛】本题考查了平移的实际问题，通过平移将垫片的周长与正方形的周长联系是解决问题的关键． 题型04.坐标系点的平移运算 【典例】在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，将点向右平移3个单位长度，得到的对应点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据点的平移规律“右加左减”原则计算即可． 【详解】解：将点向右平移个单位长度，平移后纵坐标不变，横坐标加上，所得对应点的坐标为，即． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【分析】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【详解】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 【跟踪专练3】将点沿轴向左平移3个单位长度后得到的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点的平移和点的坐标的变化规律填空即可． 【详解】解：点A（2，-3）沿x轴向左平移3个单位长度后得到的点A′的坐标为（2-3，-3）， 即（-1，-3）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 【跟踪专练4】已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 题型05.坐标系平移与推导 【典例】在平面直角坐标系中，将点平移到点处，正确的移动方法是（    ） A．向右平移4个单位长度 B．向左平移4个单位长度 C．向下平移4个单位长度 D．向上平移4个单位长度 【答案】B 【分析】平面直角坐标系平移中点的变化规律为：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，根据坐标变化判断平移方法即可． 【详解】解：∵点A的坐标为，平移后点B的坐标为， ∴两点纵坐标相等，没有发生上下平移，故排除C、D选项； 又∵，横坐标减少4，符合左移减的规律， ∴平移方法为向左平移4个单位长度． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，将线段平移得到线段，点A的对应点C的坐标为，则点B的对应点D的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，先根据点与其对应点的坐标确定平移规律，再将该平移规律应用到点，即可求出点的对应点的坐标． 【详解】解：由点平移得到点，可得横坐标的变化为，即向左平移1个单位，纵坐标的变化为，即向上平移5个单位． 根据平移的性质，线段平移时对应点的平移规律相同， 则点的对应点的横坐标为，纵坐标为， 所以点的坐标为． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，，，将线段平移至的位置，则的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，解题的关键是掌握平移变换的性质， 根据平移变换的规律解决问题即可． 【详解】解：由题意，线段向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到线段， ∴， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，第二象限有两点，将线段AB平移，使点A，B分别落在两条坐标轴上，则平移后点B的对应点的坐标是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．分两种情况进行讨论：①A′在y轴上，B′在x轴上；②A′在x轴上，B′在y轴上． 【详解】解：设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′． 分两种情况： ①A′在y轴上，B′在x轴上， 则A′横坐标为0，B′纵坐标为0， ∵点A′与点A的横坐标的差为：， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是； ②A′在x轴上，B′在y轴上， 则A′纵坐标为0，B′横坐标为0， ∵， ∴， ∴点B平移后的对应点的坐标是； 综上可知，点B平移后的对应点的坐标是或． 故选C． 【点睛】本题考查平面直角坐标系内图形的平移，掌握平移的性质是解题的关键．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 题型06.坐标系平移作图与图形结合 【典例】在平面直角坐标系中，用表示一只蚂蚁的位置．.若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位长度，然后又竖直向下爬行2个单位长度，则此时这只蚂蚁的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题关键． 坐标系中点的平移，水平移动改变坐标，垂直移动改变坐标；向右移动增加，向下移动减少． 【详解】解：∵蚂蚁从点出发，先水平向右爬行个单位， ∴坐标增加，得； ∵然后又竖直向下爬行个单位， ∴坐标减少，得； ∴此时蚂蚁的位置是. 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在正方形网格中有两个直角三角形，顶点都在格点上，把先横向平移x格，再纵向平移y格，就能与拼合成一个四边形，那么_______．    【答案】4或5或6 【分析】分图1，图2，图3，三种情况进行求解即可． 【详解】解：当平移到如图1所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图2所示的位置时，则此时， ∴；    当平移到如图3所示的位置时，则此时， ∴；    综上所述，的值为4或5或6， 故答案为：4或5或6． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，已知三角形ABC中，∠ABC=90°，边BC=12，把三角形ABC沿射线AB方向平移至三角形DEF后，平移距离为6，GC＝4，则图中阴影部分的面积为_____________． 【答案】60 【分析】由题可知，BE=6，BG=8，EF=12，阴影部分面积为直角梯形的面积，利用面积公式求解即可． 【详解】解：根据平移可知 BE=6，EF=BC=12， ∵CG=4， ∴BG=8， ∴阴影部分面积为：×（8+12）×6=60． 故答案为：60． 【点睛】本题考查平移的实际应用，根据题意找到平移对应的线段长，找到阴影部分面积的计算是解决问题的关键． 【跟踪专练3】如图，直角三角形在平面直角坐标系内，点，，的坐标分别为，，，将三角形平移得到三角形，（1）如果与原点重合，则点的坐标为；（2）三角形向左平移了3个单位长度，点与原点重合；（3）点与原点重合时，扫过的面积为20．下列说法正确的是（   ） A．（1）（2）是真命题，（3）是假命题 B．（1）（3）是真命题．（2）是假命题 C．（1）（2）（3）都是真命题 D．（1）（2）（3）都是假命题 【答案】B 【分析】本题考查判断命题的真假，点的平移的坐标变化．根据点的平移的坐标变化判断命题（1）（2）；四边形为线段扫过的图形，根据求解即可判断命题（3）． 即可解答． 【详解】解：（1）∵，平移后点与原点重合， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴．故（1）是真命题． （2）三角形向左平移了3个单位长度，， ∴，不与原点重合．故（2）是假命题． （3）如图，四边形为线段扫过的图形． ∵，，， ∴，， ∴． 过点作轴于点D， ∵点与原点重合时，点的坐标为， ∴， ∴， ∴．故（3）是真命题． 综上，（1）（3）是真命题． 故选：B 题型07.图形变换的识别判断 【典例】平移和旋转在我们生活中随处可见．下面属于旋转的现象是（    ） A．乘坐电梯 B．用钥匙开锁 C．推拉窗户 D．火箭升空 【答案】B 【分析】此题考查了旋转的概念，平移的概念，掌握旋转的概念是解题的关键。 根据旋转的概念求解即可． 【详解】解：A．乘坐电梯啊，电梯整体沿着直线上下移动，属于平移现象，故不符合题意； B．用钥匙开锁，钥匙需要绕着锁芯这个固定点转动，属于旋转现象，故符合题意； C．推拉窗户时，窗户沿着轨道做直线移动，属于平移现象，故不符合题意； D．火箭升空属于平移现象，故不符合题意； 故选：B． 【跟踪专练1】观察如图所示的图案（考虑阴影），它可以看作图案的______通过______（方式）得到的． 【答案】 四分之一 旋转 【分析】本题考查了旋转性质，认真观察图形，得出原图形可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，即可作答． 【详解】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的， 故答案为：四分之一，旋转． 【跟踪专练2】在平移现象后面画“△”，在旋转现象后面画“○”． _____________________ 【答案】 ○ △ 【分析】根据方向盘是旋转，开此窗户是平移，即可解答． 【详解】解：方向盘是旋转，故后面画“○”； 开此窗户是平移，故后面画“△”， 故答案为：○，△． 【点睛】本题考查了旋转与平移现象的识别，熟练掌握和运用旋转与平移现象的识别方法是解决本题的关键． 【跟踪专练3】观察图，依次几何变换顺序正确的是（　　）    A．轴对称、旋转、平移 B．旋转、轴对称、平移 C．轴对称、平移、旋转 D．平移、轴对称、旋转 【答案】C 【分析】根据平移、旋转、轴对称的特点即可解答． 【详解】解：依次几何变换顺序是轴对称、平移、旋转． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移、旋转、轴对称的特点，平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，轴对称是沿某条直线翻折得到新图形．观察时要紧扣图形变换特点，认真判断． 题型08.中心对称概念判定 【典例】在平面直角坐标系中有点、，则，两点关于（   ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．直线 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的坐标特点，根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数即可得出结果，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【详解】解：根据两点关于原点对称，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， 点与点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数， ，两点关于原点对称． 故选：A． 【跟踪专练1】蛟龙去，灵蛇来，中央广播电视总台乙巳蛇年春晚以如图所示的“巳巳如意纹”为主标识，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是______图形．（填“轴对称”或“中心对称”） 【答案】中心对称 【分析】本题考查了中心对称图形知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】解：依题意，寓意“事事如意，生生不息”．“巳巳如意纹”是中心对称图形， 故答案为：中心对称． 【跟踪专练2】点关于点中心对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握关于中心对称的两个点，到对称中心的距离相等．由M、N关于点A成中心对称，得出点A为的中点，再根据中点坐标公式求出点N的坐标即可． 【详解】解：设点关于点中心对称的点为， ∵点关于点的中心对称点为， ∴， 解得：， ∴点N的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】下列图形既是中心对称图形，也是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意． 题型09.旋转三要素的确定 【典例】如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置． 【详解】解：如图， 绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置； 绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置； 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，绕某点旋转，得到，则其旋转中心可以是点______． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的定义，掌握对应点到旋转中心的距离相等是解题的关键，观察图象，由旋转的性质找到旋转中心即可得到答案． 【详解】解：由图可知，与各对应点到点的距离相等， ∴点为旋转中心， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么点，，，中，可以作为旋转中心的有______个． 【答案】2． 【分析】根据旋转的性质，分类讨论确定旋转中心． 【详解】解：把正方形ABCD绕点D逆时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点D； 把正方形ABCD绕点C顺时针旋转90°能与正方形CDEF重合，则旋转中心为点C； 综上，可以作为旋转中心的有2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点（每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点）上，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕坐标平面内某点旋转一定的角度，得到，点A，B，C的对应点分别为，，，若点的坐标为，则旋转中心的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定旋转中心的位置，旋转的性质，连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，则点D即为旋转中心，根据图形得出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：连接、，分别作和的垂直平分线、，则，交于点D，如图所示： 则点D为旋转中心，观察图形可知，点D的坐标为， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， 同理可得：为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∴绕点D逆时针旋转正好得到， ∴旋转中心的坐标为． 故选：B． 题型10.对称中心的确定与作图 【典例】如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 【跟踪专练1】如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 【详解】如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，和关于点P成中心对称，则点P的坐标是________． 【答案】 【分析】本题考查中心对称，掌握相关知识是解决问题的关键．根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，据此解答即可． 【详解】解：根据中心对称的性质，旋转中心是各组对应点连线的交点，如图，． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 题型11.旋转性质的应用 【典例】在如图右侧的四个三角形中，不能由经过旋转或平移得到的是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】根据平移和旋转的定义，依次进行判断即可得． 【详解】解：A、图形由经过平移得到，选项说法正确，不符合题意； B、图形不能由经过旋转或平移得到，，是由翻折得到的，选项说法错误，符合题意； C、图形由经过旋转得到，选项说法正确，不符合题意； D、图形由经过旋转和平移得到，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平移，旋转，解题的关键是掌握平移，旋转的定义． 【跟踪专练1】如图，将绕点逆时针旋转到，点的对应点恰好落在边上，若，则旋转角的度数为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是掌握旋转的性质． 根据垂直得出直角，根据直角三角形的两个锐角互余求出，然后根据旋转的性质得出对应边相等和对应角相等，最后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据旋转的性质得，， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】在平面内把一个图形绕着某__________沿着某个方向转动__________的图形变换叫做旋转．这个点O叫做__________，转动的角叫做__________．因此，图形的旋转是由__________，__________和__________决定的． 【答案】 点O 一个角度 旋转中心 旋转角 旋转中心 旋转方向 旋转角 【分析】根据旋转的定义解答即可. 【详解】在平面内把一个图形绕着某点O沿着某个方向转动一个角度的图形变换叫做旋转．这个点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．因此，图形的旋转是由旋转中心，旋转方向和旋转角决定的． 故答案为：点O；一个角度；旋转中心；旋转角；旋转中心；旋转方向；旋转角 【点睛】此题考查了旋转的定义，掌握定义是解答此题的关键. 【跟踪专练3】如图，将绕点逆时针旋转，得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和是解题的关键；由旋转的性质可知：，则有，然后问题可求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：， ∴， ∴； 故选A． 题型12.中心对称性质的应用 【典例】如图，绕点旋转后能与重合，则与关于点成_________，其中三点在同一直线上，并且，此外分别在同一直线上的三点还有_________，_________，并且有_________，_________．    【答案】 中心对称 【分析】根据中心对称的性质可解答． 【详解】解：绕点旋转后能与重合，则与关于点成中心对称，其中，，三点在同一直线上，并且，此外分别在同一直线上的三点还有，，和，，，并且有，． 故答案为：中心对称；，，；，，；；． 【点睛】本题考查中心对称，掌握中心对称的性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，和关于点成中心对称，若，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，勾股定理的运用，掌握中心对称图形的特点，勾股定理是关键，根据中心对称图形的特点得到，，，则，由勾股定理即可求解． 【详解】解：和关于点成中心对称， ，，． ． ， ． 故选：C ． 【跟踪专练2】如图，在等腰三角形中，是底边的中线，与关于点 C 成中心对称，连接，若则的长为_________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，中心对称图形．根据等腰三角形的性质可得，再由中心对称图形的性质可得，，，然后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：在等腰三角形中，∵是底边的中线，， ∴， ∵与关于点 C 成中心对称， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为： 题型13.图形变换作图实操 【典例】如图，将该图按逆时针方向旋转后得到的图形是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题是考查作旋转一定角度的图形，解题的关键是掌握图形旋转只是位置的改变，形状与大小不变． 根据旋转图形的特征，图形逆时针旋转，就得到图形B，据此判断即可． 【详解】解：将题干中已知的图形按逆时针方向旋转得到图形B． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点_______，且_______＝_______，_______＝_______，_______＝_______. 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】在如图所示的方格纸中，将标有序号的小正方形中的一个涂上阴影，使它与图中阴影部分组成的新图形是中心对称图形，该小正方形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可得出结果． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可得，该小正方形的序号是②． 【跟踪专练3】如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为_____；. 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 题型14.坐标系中旋转变换计算 【典例】如图，在平面直角坐标系中，，，，均为格点，将线段绕着某点旋转一个角度可以得到线段（与，与是对应点），则旋转中心的坐标为__________ ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，写出直角坐标系中点的坐标，解题的关键是根据旋转的性质找出旋转中心． 根据对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心找出旋转中心，再利用数形结合写出旋转中心的坐标即可． 【详解】解：如图，旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练1】已知直角坐标系，点在该坐标系中的坐标为，现将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置，则点在新坐标系中的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查旋转，点的坐标；根据题意得到点在新坐标系中的第一象限，且与原来横纵坐标互换，均为正数，即可求出． 【详解】解：将直角坐标系绕点按逆时针方向旋转到的位置， ∴此时点在新坐标系中的第一象限，且原来横纵坐标互换均为正数， ∴点在新坐标系中的坐标为， 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、．若线段绕点P旋转后能与线段重合（C对应A，D对应B），则点P的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转．分别作线段，的垂直平分线，相交于点P，进而可得点P的坐标． 【详解】解：如图，分别作线段，的垂直平分线，相交于点P， 则线段绕点P逆时针旋转后能与线段重合， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在平面直角坐标系中，线段与x轴负半轴的夹角为，且，将线段绕点顺时针旋转到线段，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，正确做出辅助线是解题的关键．过点作轴于点B，求出，利用含30度角的直角三角形的性质求得的长度即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作轴于点B．   将线段绕点O沿顺时针方向旋转到线段， ，点在第一象限， ． 在中， ， ． 根据勾股定理，得， 点的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练4】如图，第一次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第二次作点关于轴的对称点，第三次将点绕原点逆时针旋转90°得到点，第四次作点关于轴的对称点，……．按照这样的规律，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定点的初始坐标，再依次计算每次变换后的坐标，找出坐标变换的周期规律，最后根据周期计算第次变换后的坐标． 【详解】解：如图， 点的初始坐标为． 第一次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第二次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为； 第三次变换：绕原点逆时针旋转，旋转后的坐标为； 第四次变换：作关于轴的对称点，对称后的坐标为，即回到点的初始坐标． 由此可知，坐标变换周期为． ． 余数为，说明的坐标与的坐标相同，即． 故选：C． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中的旋转对称变换和周期规律，解题关键是通过计算前几次变换的坐标，找出周期规律，再利用周期求解最终坐标． 【跟踪专练5】如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形AOB，，直角边AO在x轴上，且．将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且，再将绕原点O逆时针旋转90°得到等腰直角三角形，且依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标变化规律．根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案． 【详解】解：是等腰直角三角形，， ， ， 将绕原点逆时针旋转得到等腰直角三角形，且， 再将绕原点逆时针旋转得到等腰三角形，且， ， 依此规律， ∴每4次循环一周， ， ， ∴点与、、同在一个象限内， 、、的横坐标分别为、、，纵坐标分别为、、， ∴点， 故答案为：． 题型15.坐标系中的中心对称计算 【典例】点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系是（　　） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．关于第二、四象限的角平分线对称 【答案】C 【分析】根据点（3，5）与点（﹣3，﹣5）的位置关系和中心对称的性质即可判断． 【详解】∵点（3，5）与点（﹣3，﹣5）横纵坐标都互为相反数， ∴点（3，5）与点（﹣3，﹣5）关于原点对称． 故选：C． 【点睛】此题考查了关于原点中心对称的性质，解题的关键是熟练掌握关于原点中心对称的点的性质． 【跟踪专练1】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则_． 【答案】36 【分析】根据关于原点对称的两点坐标关系，横、纵坐标均互为相反数，求出与的值，再计算乘方得到结果． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴． 【跟踪专练2】点满足二元一次方程组，则点关于原点的对称点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，点关于原点对称的性质，掌握加减消元法的计算，关于原点对称的性质解题的关键．运用加减消元法可得的值，得到点的坐标，根据关于原点对称的点，横纵坐标均变为原来的相反数，由此即可求解． 【详解】解：， ①②得，， 解得， 把代入①得，， ∴， ∴点关于原点对称点的坐标为， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知点，关于原点对称，则的值为（   ） A． B．6 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了原点对称，求代数式的值，根据原点对称的特征量，确定a，b的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：∵点，关于原点对称， ∴， 则， 故选：D． 题型16.图形变换综合与规律探究 【典例】等边三角形（三条边都相等的三角形是等边三角形）纸板ABC在数轴上的位置如图所示，点A、B对应的数分别为2和1，若△ABC绕着顶点逆时针方向在数轴上连续翻转，翻转第1次后，点C所对应的数为0，则翻转2023次后，点C所对应的数是（　　） A．﹣2021 B．﹣2022 C．﹣2023 D．﹣2024 【答案】B 【分析】作出草图，不难发现，每3次翻转为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据余数为1可知点C在数轴上，然后进行计算即可得解． 【详解】解：如图，每3次翻转为一个循环组依次循环， ∵2023÷3＝674…1，， ∴翻转2023次后点C在数轴上， ∴点C对应的数是0﹣674×3＝﹣2022． 故选：B． 【点睛】本题考查了数轴，根据翻转的变化规律确定出每3次翻转为一个循环组依次循环是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 【跟踪专练2】如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】根据旋转，可得，，，过点作于点，可判定为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得，最后通过求得答案． 【详解】解：在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到， ，，． 如图，过点作于点， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ． ，， ． 【跟踪专练3】如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠C=75°，将△ABC绕着点C顺时针旋转，使得点B落在点处，A落在点处，若恰好落在△ABC的边上，则=______°． 【答案】45°或25° 【分析】分两种情况讨论，先通过旋转得到图像，当A´在AB上时，可利用△A´B´C与△BCB´全等，得到∠BB´A=∠A´CB=45°；当A´在BC上时， 【详解】解：当A´在AB上时，如图， 在等腰△ABC中，∠BAC=∠BCA=75°，即∠ABC=30°， 由旋转可得∠BCB´=30°=∠A´B´C， A´B´=BC，B´C为公共边， ∴△A´B´C≌△BCB´， ∴∠A´CB´=∠BB´C=75°， ∴∠BB´A´=∠A´CB=45°． 当A´在AB上时，如图， 由旋转可得BC=B´C，且∠BCB´=70°， ∴∠BCB´=∠B´CB=55°， ∵∠ABC=∠ABC=30°， ∴∠BB´A´=55°－30°=25°． 故答案为：45°或25°． 【点睛】本题主要考查图形的旋转、等腰三角形的性质、全等三角形的性质，分情况讨论，找准图像的位置并理清角度关系是解题的关键． 【跟踪专练4】.两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【详解】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 【跟踪专练5】如图，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；…．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称及点的坐标的规律．根据题意，先求出前几次跳跃后、、、、、、的坐标，可得出规律，继而可求点的坐标． 【详解】解：由题意得：点、、、、、、， ∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环， ∵， ∴点的坐标是． 故选：B． 【跟踪专练6】如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【详解】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【解答题】 1．如图1，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形． (1)请求出点B的坐标； (2)将沿着x轴向右平移到处，如图2，连接，交于点H．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）作高线，根据等边三角形的性质和勾股定理求和的长，写出点的坐标，注意象限的符号问题； （2）根据等边三角形性质和平移的性质，由可证． 【详解】（1）解：如图1，过作于，    ∵是等边三角形，且， ， ∴， ∴ （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵将沿着x轴向右平移到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 2．如图，平面直角坐标系中，的三个顶点，，． (1)画出先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到； (2)画出关于过点且平行于y的直线对称的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查平移作图，坐标与图形——轴对称变换： （1）将三个顶点分别先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到对应点后顺次连接即可； （2）作三个顶点关于过点且平行于y的直线对称点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵点，，，且先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到 ∴点，，， 则即为所求， （2）解：如图，即为所求． 3．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，将线段平移后得到线段，点在轴上，连接、，交轴于点，轴． (1)直接写出点、点的坐标； (2)点为线段上一点，点的横坐标为，连接、，用含的式子表示三角形的面积（不要求写出取值范围）； (3)在（2）的条件下，线段与线段重合（点与点重合，点与点重合），将线段沿轴向下平移，连接、、、、，当的面积比的面积大2时，，求点的坐标．（直接写出答案，无需解题过程） 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的平移、坐标与图形性质及三角形面积计算，解题关键是利用平移性质确定点的坐标，结合坐标特征分析图形关系并计算． （1）由轴得纵坐标与相同，结合平移后在轴，通过平移量确定、坐标； （2）根据的横坐标，结合、坐标，用三角形面积公式列式； （3）设平移距离，结合面积关系列方程求平移量，再利用建立等式求，得坐标． 【详解】（1）解：∵点平移后在轴上， ∴点先向右平移4个单位， ∵轴， ∴点纵坐标为2， ∴点向上平移2个单位， ∴平移规则为，先向右平移4个单位，再向上平移2个单位， ∴． （2）解：如图： ∵ ∴， ∵的横坐标为， ∴的面积为． （3）解：当在上时，如图： 设，则， 的面积比三角形的面积大2， 解得， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图： 设，则， ∵的面积比三角形的面积大2， ∴， 解得：， ∴， ∴， 综上：或． 4．如图，在长为，宽为的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为，其他部分均种植花草．试求出种植花草的面积是多少． 【答案】种植花草的面积是 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积， 本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，如图所示： 所以种植花草的面积为：， 故答案为：种植花草的面积是． 5．如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是． (1)将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出，并直接写出点的坐标为___________； (2)画出关于原点对称的，并直接写出点的坐标为___________． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】（1）将分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，再顺次连接即可得到； （2）找出关于原点的对称点，顺次连接即可，关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，由此可得点的坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求，点的坐标为； （2）解：如图，即为所求，点的坐标为． 6．如图，在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，点，，的对应点分别为，，． (1)请通过画图找到旋转中心，将其标记为点； (2)直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （1）连接，结合网格特点分别作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线交于点，则点即为所作； （2）根据旋转的性质，以及网格特点写出旋转角的度数即可． 【详解】（1）解： 所作旋转中心点如图所示： （2）解： 由图知，旋转角． 7．如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到，连接． (1)判断的形状为__________； (2)若，求的度数． 【答案】(1)等腰三角形 (2)的度数为 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质． （1）根据旋转的性质可推出结论； （2）根据旋转的性质得出，根据平行线的性质得出，从而得出结果． 【详解】（1）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴的形状为等腰三角形； （2）解：∵将绕点按逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 8．如图，和关于点成中心对称，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，中心对称图形的性质，根据中心对称图形的性质可得，，求出的长，进而得到的长，利用勾股定理求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵和关于点成中心对称， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．【问题发现】（1）如图1，在中，，以AB为边向外作等边三角形，连接，小明通过测量发现：．如图2，为了证明这一结论，小明决定延长到，使得，连接，通过证明，进而得证．请根据小明的分析思路完成证明过程． 【深入探究】 （2）如图3，在中，，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，则满足什么样的数量关系？并给出证明． 【启发应用】 （3）如图4，在等腰直角中，，，点是的中点，点在边上，且满足，在射线上取一点使得，直接写出的最小值 ． 【答案】（1）证明见详解；（2），证明见详解；（3） 【分析】（1）利用手拉手模型，结合等边三角形性质，证明，即可得证； （2）将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示，得到，，再由勾股定理求解即可得到答案； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示，可证明，则，得，再证明，得，推导出，在上截取，连接，可证明，得，当时，的值最小，此时的值最小，由勾股定理得，即可得到的最小值． 【详解】（1）证明：， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， 即； （2）满足的数量关系为， 证明如下： 将绕点逆时针旋转到使与重合，如图所示： 由旋转性质可得，， 在等腰中，由勾股定理可得， 即， ， 即； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接EQ，如图所示： ，，， ∴，， ∴， 则， ∵， ， 在中，由勾股定理可得， ∵， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 在上截取，连接，如图所示： 则， ∵， ∴， 在和中， ， ， ， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，根据知，此时的值最小，如图所示： ， ， ， 在等腰中，由勾股定理可得， 则， 解得， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何综合，重点考查旋转的性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $