精品解析：天津市静海区第一中学2024-2025学年高二下学期6月学生学业能力调研数学试卷

静海一中2024-2025第二学期高二数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人：邵荫芝 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（27分）两部分，卷面分3分，共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数 二项式定理 排列组合、概率分布列 条件概率、全概率公式、回归分析、独立性检验 集合、逻辑 不等式 易混易错 方法归类 分数 37 5 30 25 15 17 16 2 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 3. 命题“”否定为（ ） A. B. C. D. 4. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 17 B. 16 C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 9. 已知函数正数满足，则最小值为（   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______． 11. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 12. 设离散型随机变量X的分布列为，则=________． 13. 的二项展开式中，第4项的系数是_________.(用数字作答) 14. 子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有______.(用数字作答) 15. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 三、解答题 (本大题共3小题，共45分) 16. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 17. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若逐个抽选，求在第一次抽选到男生条件下第二次也抽到男生的概率； （4）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 18. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取名学生进行调查，其中上课转笔的有人经调查，得到这名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格. （1）请完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联.（单位：人） 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 优秀 10 合计 100 （2）现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中上课转笔的人数为，求的均值和方差. （4）结合以上两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 第Ⅱ卷 提高题（共27分） 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：在上恒成立； （3）证明：当时，. 20. 设函数，，其中，. （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 静海一中2024-2025第二学期高二数学（6月） 学生学业能力调研试卷 命题人：邵荫芝 审题人：陈中友 考生注意： 本试卷分第Ⅰ卷基础题（120分）和第Ⅱ卷提高题（27分）两部分，卷面分3分，共150分. 知 识 与 技 能 学习能力 内容 导数 二项式定理 排列组合、概率分布列 条件概率、全概率公式、回归分析、独立性检验 集合、逻辑 不等式 易混易错 方法归类 分数 37 5 30 25 15 17 16 2 第Ⅰ卷 基础题（共120分） 一、选择题（每小题5分，共45分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先解一元二次不等式及应用对数函数定义域求出集合A，B，最后应用交集定义计算求解. 【详解】由已知得，所以， 故选：B. 2. 函数的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过观察图象，利用函数值的正负和导数法求单调性一一排除得到答案. 【详解】，，解得或； ，解得；所以排除选项C. ，， 当或时，，在和上是增函数； 当时，，在上是减函数； 所以排除选项A和 D，选择B. 故选：B 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定，将原命题的任意改为存在，并否定原结论，即可得. 【详解】由全称命题的否定是特称命题，原命题的否定是. 故选：C 4. 下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是r1，r2，r3，r4，其中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点图变化趋势判断样本相关系数的正负，再由散点图的集中程度大小，即可判断. 【详解】由散点图变化趋势可知：且D的散点图更集中，接近于一条直线，所以相对于更趋近于，所以. 故选：D. 5. 函数有且只有一个零点的充要条件是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得函数的图象过点，把问题转化为：函数没有零点函数的图象与直线无交点，数形结合可得解． 【详解】因为时，，可知函数的图象过点， 所以函数有且只有一个零点 函数没有零点 函数的图象与直线无交点． 当时，， 由图可知，函数 的图象与直线无交点或． 即函数有且只有一个零点的充要条件是或． 故选：D． 6. 的展开式中的常数项为（ ） A. 17 B. 16 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式分别求出的指数为的项，再和中相应的系数相乘，即可得到所求的常数项. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 令，得，该项为， 令，得，该项为. 所以的展开式中的常数项为. 故选：A. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出、、，结合函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】设，其中，则， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 因为， ，， 因为，所以，即，所以， 故选：B 8. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到列联表，并由计算得： 参照附表，则下列结论正确的是（ ） A. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 B. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过 C. 根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别无关 D. 在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别无关 【答案】A 【解析】 【分析】根据独立性检验的原理逐项判断可得答案. 【详解】零假设为：爱好跳绳与性别无关. A.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关.选项A正确. B. ∵， ∴根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为爱好跳绳与性别无关，但无法判断这个结论犯错误的概率是否超过.选项B错误. C.∵， ∴根据小概率值的独立性检验，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项C错误. D. ∵， ∴在犯错误的概率不超过的前提下，我们认为爱好跳绳与性别有关.选项D错误. 故选：A. 9. 已知函数正数满足，则的最小值为（   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数判断函数单调性，根据函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】当时，为减函数，所以， 所以在上为增函数，且， 当时，， 所以在上为增函数，且， 综上，函数在上单调递增，且， 所以由可得， 解得或（舍去）， 所以的最小值为4. 故选：B 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. 元旦前夕天津-中图书馆举办一年一度“猜灯谜”活动，灯谜题目中逻辑推理占，传统灯谜占，一中文化占，小伟同学答对逻辑推理，传统灯谜，一中文化的概率分别为，，，若小伟同学任意抽取一道题目作答，则答对题目的概率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据全概率公式求解概率即可. 【详解】用表示任选一题选到灯谜题目中逻辑推理，传统灯谜，一中文化， 则， 记伟同学任意抽取一道题目答对为事件为， 则， 所以 . 故答案为：. 11. 某班有48名学生，一次考试的数学成绩X（单位：分）服从正态分布，且成绩在上的学生人数为16，则成绩在90分以上的学生人数为____________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】由X（单位：分）服从正态分布，知正态密度曲线的对称轴为，成绩在上的学生人数为16， 由对称性知成绩在80分上学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为. 故答案为：8 12. 设离散型随机变量X的分布列为，则=________． 【答案】 【解析】 【分析】根据期望公式求得，再根据期望的性质可求得. 【详解】因为离散型随机变量X的分布列为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 的二项展开式中，第4项的系数是_________.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的展开式的通项公式可求第4项的系数. 【详解】二项式的展开式的第4项为. 第4项的系数是. 故答案为：. 14. 子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5个字的卡片（颜色均不同）各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有______.(用数字作答) 【答案】 【解析】 【分析】第一空：将字相同的卡片看成—组，从5组中选出—组，再从剩下4组，选出2组，在各取一张，得到4张卡片，全排列即可. 【详解】先把字相同的卡片看成—组， 第一步：从这5组中选出—组， 第二步：再从余下的4组中选2组，这2组中，每组各选—张卡片， 第三步：把选出的4张卡片，分给4位同学， 所以不同的分配方案有种. 故答案： 15. 若直线为曲线的一条切线，则的最小值为_______． 【答案】-1 【解析】 【分析】首先对函数求导，利用导数的几何意义求出，然后构造新函数，对其求导判断单调性和最小值，从而求出的最小值. 【详解】对函数求导得：. 因为直线为曲线的一条切线， 设切点为，令，即①. 又②，用①除以②得：. 所以. 所以,所以. 设，则求导得. 当时，，所以，此时在上单调递增； 当时，，所以，此时在上单调递减. 所以，所以的最小值为-1. 故答案为：-1. 三、解答题 (本大题共3小题，共45分) 16. 为普及学生对工具的使用，某校开展了关于运用知识的竞赛活动，经过多轮比拼，甲乙两人进入决赛，在决赛中有两道题：一道为抢答题，且只能被一人抢到，甲、乙两人抢到的概率均为；另一道为必答题，甲、乙两人都要回答，已知甲能正确回答每道题的概率均为，乙能正确回答每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对互不影响． （1）求抢答题被回答正确的概率； （2）记正确回答必答题的人数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）设出合理事件，再利用全概率公式即可得到答案； （2）写出的可能取值有：0，1，2，再分别计算得到其分布列，最后利用期望公式计算即可. 【小问1详解】 设＂甲抢到抢答题＂为事件，＂抢答题被回答正确＂为事件， 由题意可知：， 由全概率公式可得， 所以抢答题被回答正确的概率为． 【小问2详解】 由题意可知：的可能取值有：0，1，2，则有： ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 期望． 17. 某社团共有12名成员，其中高一男生2人，女生4人，高二男生3人，女生3人．现从中随机抽选2人参加数学知识问答． （1）若逐个抽选，求恰好第一个抽选的是男生的概率； （2）若恰好抽选了 1名男生与1名女生，求这2人都是高二学生的概率； （3）若逐个抽选，求在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生的概率； （4）若恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，记抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，求的分布列与均值． 【答案】（1） （2） （3） （4）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）利用古典概型概率公式计算求解； （2）判断所求为条件概率，利用条件概率公式即可求解； （3）采用缩小样本空间的方法，利用古典概型概率公式计算即得； （4）列出所有符合的组合情况，计算的分布列与均值即可. 【小问1详解】 若逐个抽选，恰好第一个抽选的是男生的概率为男生在成员总人数中所占的比率，即； 【小问2详解】 记事件为恰好抽选了 1名男生与1名女生，事件为这2人都是高二学生.由题知男生总共5人，女生总共7人. 则，由条件概率可得： . 【小问3详解】 对于“在第一次抽选到男生的条件下第二次也抽到男生”的概率，可采用缩小样本空间的方法， 计算从去掉1个男生后的4个男生中抽取1人的方法数，除以从去掉1个男生后的11人中抽取1人的方法总数的比值， 即得其概率为. 【小问4详解】 因为恰好抽选了1名高一学生与1名高二学生，可能的情况包含“1名高一男学生与1名高二男学生” 、 “1名高一男学生与1名高二女学生”、 “1名高一女学生与1名高二男学生”、“1名高一女学生与1名高二女学生”. 抽选出来的男生与女生的人数之差的绝对值为，则的可能取值为0和2. 则，， 则的分布列为： 0 1 则均值为. 18. 在十余年的学习生活中，部分学生养成了上课转笔的习惯某研究小组为研究学生上课是否转笔与学习成绩好差的关系，从全市若干所学校的全部学生中随机抽取名学生进行调查，其中上课转笔的有人经调查，得到这名学生近期考试的成绩分数均在内的频率分布直方图如图所示分组区间为记总成绩不低于分的为优秀，其余为合格. （1）请完成下面的列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的成绩是否优秀与上课是否转笔有关联.（单位：人） 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 优秀 10 合计 100 （2）现按成绩采用比例分配的分层随机抽样的方法从这人中抽取人，再从这人中随机抽取人进行进一步调查，记抽到的人中成绩合格的人数为，求的分布列和均值； （3）若将频率视作概率，从全市所有在校学生中随机抽取人进行调查，记人中上课转笔的人数为，求的均值和方差. （4）结合以上两问，说明二项分布与超几何分布的区别与联系. 附：参考公式：，其中. 参考数据： 【答案】（1）列联表见解析，能 （2）分布列见解析， （3） （4）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图补全列联表，计算后，对照临界值即可得出答案； （2）由题意计算可得这100名学生中抽取的10人中，成绩合格的有7人，成绩优秀的有3人，的可能取值为，求出相应的概率，写出分布列，从而求出数学期望； （3）根据二项分布期望和方差计算公式计算即可； （4）根据两者的区别可写出它们的差与联系. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知，抽取的100名学生中成绩合格的有人，则成绩优秀的有人.  列联表如下表所示单位：人 成绩 转笔 合计 上课转笔 上课不转笔 合格 25 45 70 优秀 20 10 30 合计 45 55 100 零假设为：学生成绩是否优秀与上课是否转笔无关联， 计算得， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即可以认为学生成绩是否优秀与上课是否转笔有关联； 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知，这100名学生中成绩优秀的频率为，成绩合格的频率为， 故从这100名学生中抽取的10人中，成绩合格的有人，成绩优秀的有人，则的可能取值为， 依题意，服从超几何分布，则， 于是，，， ，， 故的分布列为： 2 3 4 5 ； 【小问3详解】 由题意知，从全市所有在校学生中随机抽取1人，其上课转笔的概率为， 故，则. 【小问4详解】 超几何分布描述不放回抽样，二项分布描述放回抽样. 超几何分布的参数是总体大小(N)、成功总数(K)、抽取次数(n)，二项分布的参数是试验次数(n)和成功概率(p)。 当N很大时，超几何分布近似于二项分布（因为不放回的影响可忽略）. 第Ⅱ卷 提高题（共27分） 19. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）当时，证明：在上恒成立； （3）证明：当时，. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为、；（2）证明见解析；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求得，求出函数的定义域，分析导数的符号变化，由此可求得函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析出函数为上的增函数，由此可得出，即可证得结论成立； （3）当时，将所证不等式变形为，利用导数证明得出，利用导数分析函数的单调性，结合函数的单调性可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，该函数的定义域为， . 由可得，由可得或. 所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为、； （2）当时，，其中， 对任意的恒成立， 所以，函数为上的增函数，则； （3）当时，要证，即证， 构造函数，即证. 当时，构造函数，则， 故函数在上为增函数，可得，即. ， 令，其中，则， 所以，函数为上的减函数，当时，， 故，即函数为上的减函数， 当时，，所以，，故原不等式得证. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 20. 设函数，，其中，. （1）求的单调区间； （2）若存在极值点，且，其中，求证： 【答案】（1）答案见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由极值点的定义可得出，再由以及结合作差法可证得. 【小问1详解】 因为函数， 所以，则， ①当时，对任意的，且不恒为零， 此时，函数在上单调递增的递增区间为，无减区间； ②当时，，由可得， 由可得或， 此时函数的增区间为，，减区间为. 综上所述，当时，的增区间为，无减区间； 当时，增区间为，，减区间为. 【小问2详解】 因为函数存在极值点，所以，，即. 由可得， 即， 因为， 所以 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $