精品解析：云南大理白族自治州民族中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试题

大理白族自治州民族中学2027届高二4月月考 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算计算即可. 【详解】. 故选：A. 2. 已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题对进行分类讨论，根据不同的值验证是否满足集合元素互异性即可. 【详解】由得： ， ①若  时， ，此时，，满足  ，符合题意； ②若  时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去； ③若 时，则有 ，解得  或 ， 当 时，， ，满足  ，符合题意； 当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去. 综上，实数 的取值集合为 . 故选：B 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对函数两边同时求导，再由赋值法代入计算可得结果. 【详解】由可得， 令可得，解得. 故选：C 4. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 5. 设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用双曲线的离心率，求出的关系式，然后求渐近线方程. 【详解】解：双曲线的离心率是3， 可得，则. 则双曲线的渐近线的方程为：. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力. 6. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，则，所以的最小值，应选答案C． 7. 三棱锥 中 平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意画出图形，结合图形找出的外心及外接圆的半径，结合题意，找到三棱锥 外接球的球心，求出外接球的半径，再计算它的表面积. 【详解】因为， 所以的外接圆的半径3，其外接圆的圆心为其斜边的中点， 三棱锥 中， 平面ABC， 所以，作 平面，并且取， 所以点是三棱锥 的外接球的球心， 连结，则有， 所以三棱锥外接球的表面积为， 故选：C. 【点睛】方法点睛：求外接球半径的常用方法： （1）补形法：侧面为直角三角形或正四面体或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解； （2）利用球的性质：几何体在不同面均对直角的棱必然是球的直径； （3）定义法：到各个顶点距离均相等的点为球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可. 8. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求得直线过定点，再根据当定点与圆心连线垂直于直线l时，被圆截得的弦长最短，结合勾股定理即可求解. 【详解】由题意，直线l：过定点， 圆心，半径， 因为， 所以点P在圆内， 当直线CP与弦垂直时，弦长最短，  且， 所以最短弦长为 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则； B. 若 ，，，则； C. 若，，则； D. 若， ，，则； 【答案】BC 【解析】 【分析】由题意结合线线、线面、面面位置关系，逐项判断即可得解. 【详解】若，，则m可能在平面内，故A不正确； 若 ，，，则，故B正确； 若，，则，故C正确； 若， ，，则m与n有可能平行，故D不正确； 故选：BC. 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 【答案】AD 【解析】 【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论． 【详解】由图知，则， ，所以 ，则 ， 即 因为，所以， ，即， 因为，得，所以 所以 对于选项A：当时，，故A对 对于选项B： 的单调递增区间为， 解得， 当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错 对于选项C：，故C错 对于选项D：， 所以是偶函数，故D对， 故选：AD． 11. 已知为坐标原点，， 是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（） A. 若，则点 的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由双曲线方程求得双曲线的焦点坐标，求得，利用抛物线的定义和焦半径公式，可判定A正确；联立方程组，求得交点的坐标，可判定B错误；求出外接圆的半径，求得圆的面积，可判定C正确；利用抛物线的定义转化，结合三角形两边之和大于第三边，可判定D正确． 【详解】双曲线的右焦点坐标为，， 抛物线的标准方程为 ， 抛物线的准线方程为． 对于A，设点，由抛物线的性质知，所以点 的横坐标为，A正确； 对于B，联立，解得两交点的坐标分别为，， 所以抛物线的准线被双曲线截得的线段长度为，B错误； 对于C，根据抛物线的概念知圆心到准线的距离等于到点的距离，所以圆心 在抛物线上， 由三角形的外接圆性质知圆心到，的距离相等，所以圆心 又在线段的垂直平分线上， 故圆心 的横坐标为，进而求得圆心 的纵坐标为， 所以圆的半径为圆心 到的距离为，该圆的面积为 ，C正确； 对于D，过点作准线的垂线交抛物线于，连接， 则的周长的最小值为点到准线的距离与之和， ，所以周长的最小值为，D正确， 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处取得极大值-1，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】 利用函数的极值点的定义列方程，解方程组即可. 【详解】因为，所以， 则，解得 ，，则. 故答案为：5 【点睛】本题考查了极值点以及极值的定义，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题. 13. 设的内角，，所对的边分别为，，，若， ，，则的周长为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦定理求出，再结合 可求. 【详解】因为 ，，， 由余弦定理，得，即， 故，解得， 故的周长为. 故答案为：. 14. 已知函数有个不同的零点，则实数的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】当时，即 恒有1个零点；当 时，得到相切时 的值，即可求解． 【详解】解：令， 当时，恒有1个交点，即 恒有1个零点． 如图所示，当 时，且的左半支与相切时，此时只有2个交点，且，解得 ，故当时，两个函数才恒有3个交点，即函数 有3个不同的零点． 综上所述，当时，函数 有个不同的零点． 故答案为 【点睛】本题考查零点个数问题，通常转化为函数的交点个数问题，属于基础题． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）最大值与最小值分别为与． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率即可求出结果； （2）利用导数研究函数的单调性，进而结合函数的单调性即可求出最值. 【详解】（1）因为，所以 所以． 所以的图象在点处的切线方程为，即． （2）由（1）知 令，则 ；令，则 ． 所以在上单调递减，在上单调递增．所以 又，所以． 所以在上的最大值与最小值分别为与． 16. 已知数列是等差数列，首项，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比中项的性质得到，即可求出，从而求出通项公式； （2）由（1）可得，再利用错位相减法计算可得. 【小问1详解】 因为，，成等比数列，又， 所以，即，解得 或 ， 当 时数列的通项公式； 当 时数列的通项公式； 所以或. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 所以. 17. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 【答案】（1） （2） （3）92分； 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各组的频率之和为1，即可求解； （2）根据分层抽样确定两组抽取的人数，再根据古典概型的概率公式，即可求解； （3）先求出第80%分位数，即可确定答案. 【小问1详解】 根据题意可得，解得； 【小问2详解】 因为，两组的频率之比为， 所以在，两组中分别抽人，人， 所以再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析， 则两人中至少有一人成绩来自的概率为； 【小问3详解】 因为各组的频率依次为0.1，0.15，0.2，0.3，0.25， 故第80%分位数位于内， 所以第80%分位数为； 所以拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，则估计优胜成绩的分数线为92分； 18. 已知底面是平行四边形， 平面， ， ， ，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明如下： 在中， ，，， 则 ，可得， 所以，所以. 因为 平面， 平面，所以 ， 又因为 ，平面 ， 平面 ，所以 平面 ， 因为 ，所以平面 ， 又因为平面，所以平面平面. （2）存在，或. 【解析】 【分析】（1）由，得到，再由 平面，证得 ，进而证得 平面 ，结合 ，得到平面 ，利用面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. （2）以为原点，建立空间直角坐标系，设，求得向量和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是平行四边形， 平面， ， ， ，且. 假设线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是， 以为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则 ， 可得，， 设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，可得 ，所以， 设直线与平面所成角的大小为， 故， 整理得 ，解得或，所以或 . 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）由，点在椭圆上，解方程可得； （2）①设直线的方程为．代入椭圆方程得．设，，利用斜率计算公式、一元二次方程的根与系数的关系即可证明； ②由判别式解得范围，利用弦长公式、三角形面积计算公式、二次函数的单调性即可得出． 【小问1详解】 由题意知：，，， ∴椭圆的方程为，把点代入方程得：， ，， ，所以椭圆的方程为 ． 【小问2详解】 ①由（1）可得右焦点，易知直线的斜率存在， 设的方程为． 代入椭圆方程得． 设，， 则，. ， 为定值． ②． 由判别式，解得． ，， 点到直线：， 即的距离为， 则， ． 令，（）， 则， 所以当，即时， 有最大值为． 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大理白族自治州民族中学2027届高二4月月考 数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（   ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 设双曲线的离心率是3,则其渐近线的方程为 A. B. C. D. 6. 若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是 A. B. C. 5 D. 6 7. 三棱锥 中 平面ABC，，则三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆C：，直线l：，则直线l被圆C截得的最短弦长为（ ） A. B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则； B. 若 ，，，则； C. 若，，则； D. 若， ，，则； 10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ） A. 是的一条对称轴 B. 在上单调递增 C. 的一个对称中心为 D. 是偶函数 11. 已知为坐标原点，， 是抛物线：上的一点，为其焦点，若与双曲线的右焦点重合，则下列说法正确的有（） A. 若，则点 的横坐标为 B. 该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数在处取得极大值-1，则______. 13. 设的内角，，所对的边分别为，，，若， ，，则的周长为____________. 14. 已知函数有个不同的零点，则实数的取值范围为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）求在上的最大值与最小值． 16. 已知数列是等差数列，首项 ，公差为d且，，成等比数列. （1）求的通项公式； （2）若，数列满足，求数列的前n项和. 17. 某校高一年级对一个教学单元进行阶段测试，满分为100分．现通过简单随机抽样，从中抽取100名学生的成绩作为样本进行质量分析，进行适当分组后，画出如下图所示的频率分布直方图． （1）请根据频率分布直方图，求出图中t的值； （2）在按比例分配分层随机抽样中，从成绩在内的学生中抽取5人，再从这5人中随机挑出两人进行卷面问题分析，求两人中至少有一人成绩来自的概率； （3）在本次测试中，拟将排在前20%的学生成绩，定为优胜成绩，试估计优胜成绩的分数线． 18. 已知底面是平行四边形， 平面， ， ， ，且. （1）求证：平面平面； （2）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 19. 已知椭圆（）的离心率为，且过点． （1）求椭圆E的方程； （2）设椭圆E的右焦点为F，过点作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为，． ①求证：为定值； ②求的面积S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $