专题10.1-10.2 二元一次方程与二元一次方程组的概念（知识梳理+5个考点讲练+真题演练+分层训练 共40题）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦二元一次方程与方程组的概念、解及参数问题，从二元一次方程的定义（含未知数个数与次数等易错点）到解的含义，再到方程组的构成与解的判断，构建递进式学习支架，帮助学生系统梳理知识脉络。 该资料以素养培养为核心，通过易错点剖析强化抽象能力，典例与变式训练结合购物、分组等生活情境发展模型意识，真题演练与分层训练兼顾基础夯实与创新拓展，课中辅助教师精准教学，课后助力学生查漏补缺，提升推理与应用能力。

2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.1-10.2 二元一次方程与二元一次方程组的概念 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共40题） 原卷版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 二元一次方程的概念 1 知识点二 二元一次方程的解 2 知识点三 二元一次方程组的概念 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 二元—次方程的定义 2 考点讲练二 二元一次方程的解 3 考点讲练三 判断是否是二元一次方程组 3 考点讲练四 判断是否是二元一次方程组的解 3 考点讲练五 已知二元一次方程组的解求参数 4 中考真题 实战演练 4 难度分层 闯关训练 5 【基础夯实 能力提升】 5 【创新拓展 拔尖冲刺】 7 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 考点讲练一 二元—次方程的定义 【典例分析】若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【变式训练1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 考点讲练二 二元一次方程的解 【典例分析】（25-26七年级下·山东济南·月考）若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式训练2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）小明计划用50元在母亲节送妈妈一束鲜花，花束由象征爱的康乃馨和玫瑰花两种花组成．已知康乃馨每朵3元，玫瑰花每朵5元，则在钱全部花完的前提下，可供小明选择的方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 考点讲练三 判断是否是二元一次方程组 【典例分析】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式训练1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 考点讲练四 判断是否是二元一次方程组的解 【典例分析】（23-24七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【变式训练1】若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【变式训练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 考点讲练五 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【变式训练2】【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【真题演练1】（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【真题演练2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【真题演练3】（2024·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【真题演练4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【真题演练5】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 5．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 6．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是_________． 7．（25-26七年级下·吉林长春·月考）二元一次方程的正整数解有______个． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 9．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 6．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 7． （25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 8．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 9．（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 10．（25-26七年级上·福建南平·期末）某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版（新教材）数学七年级下册重点难点同步培优【考点讲练】 专题10.1-10.2 二元一次方程与二元一次方程组的概念 （知识梳理+考点讲练+真题演练+分层训练 共40题） 解析版 【第十章 二元一次方程组】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 二元一次方程的概念 1 知识点二 二元一次方程的解 2 知识点三 二元一次方程组的概念 2 重点难点 考点讲练 2 考点讲练一 二元—次方程的定义 2 考点讲练二 二元一次方程的解 4 考点讲练三 判断是否是二元一次方程组 5 考点讲练四 判断是否是二元一次方程组的解 6 考点讲练五 已知二元一次方程组的解求参数 8 中考真题 实战演练 10 难度分层 闯关训练 12 【基础夯实 能力提升】 12 【创新拓展 拔尖冲刺】 17 知识点一 二元一次方程的概念 概念：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 【易错点剖析】 （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式. 知识点二 二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 【易错点剖析】 二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为 的形式. 知识点三 二元一次方程组的概念 概念：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组. 【易错点剖析】 （1）它的一般形式为（其中，，，不同时为零）． （2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组． （3）符号“”表示同时满足，相当于“且”的意思． 考点讲练一 二元—次方程的定义 【典例分析】若是关于、的二元一次方程，则的值是（    ） A．1 B．任何数 C．2 D．1或2 【答案】C 【思路引导】根据二元一次方程的定义求解，需要满足x，y的次数为1，x，y的系数不为0，据此列等式和不等式即可求出m的值． 【规范解答】解：∵原方程是关于x，y的二元一次方程， ∴需要满足两个条件： ① x的次数为1，即， 即或， 解得或； ② y的系数不能为0，即，得， ∴综上，. 【变式训练1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知方程，下列变形正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】此题主要考查了解二元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组时，用一个未知数的代数式表示另一个未知数是解决问题的关键． 对于方程，用含的代数式表示，得，由此可对选项A，B进行判断；用含的代数式表示，得，由此可对选项C、D进行判断，综上所述即可得出答案． 【规范解答】解：对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项A，B不正确，不符合题意； 对于方程，用含的代数式表示，得， 故选项C不正确，不符合题意；选项D正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练2】（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)二元一次方程的“关联系数”为______． (2)已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【规范解答】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 考点讲练二 二元一次方程的解 【典例分析】（25-26七年级下·山东济南·月考）若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【思路引导】先推导出，，得到，求出x，y的值，再代入求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴． 【变式训练1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在初中数学项目式学习活动中，张老师为更好促进学生开展小组合作，将全班名学生分成人或人学习小组，则分组方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【思路引导】设可以分成个人组，个人组，根据总人数为，可列出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，可得出分组方案有种． 【规范解答】解：设可以分成个人组，个人组，根据题意得： ， ， 又，均为非负整数， 或或或， 分组方案有种． 【变式训练2】（2026七年级下·福建泉州·专题练习）小明计划用50元在母亲节送妈妈一束鲜花，花束由象征爱的康乃馨和玫瑰花两种花组成．已知康乃馨每朵3元，玫瑰花每朵5元，则在钱全部花完的前提下，可供小明选择的方案有（　　） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】A 【思路引导】先设两种花的购买数量，根据总花费列出方程，再找出所有符合条件的整数解． 【规范解答】解：设购买康乃馨朵，玫瑰花朵，均为正整数， 根据题意得， 整理得 ， 和互质， 必为的倍数， 结合，列举得： 时，，符合要求； 时，，符合要求； 时，，符合要求； 时，，不符合要求； 共有3种符合条件的方案， 即可供小明选择的方案有3种． 考点讲练三 判断是否是二元一次方程组 【典例分析】下列方程组是二元一次方程组的有（    ） ①②③④ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【思路引导】二元一次方程组的定义：由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组．据此逐个判断即可． 【规范解答】①符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； ②中，未知数的次数为2，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ③方程组含x，y，z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，故不是二元一次方程组； ④符合二元一次方程组的定义，是二元一次方程组； 故是二元一次方程组的有①④，一共2个． 【变式训练1】下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程，据此逐一判断即可得答案． 【规范解答】A、符合二元一次方程组的定义，故本选项正确； B、本方程组中含有3个未知数，故本选项错误； C、第一个方程式的xy是二次的，故本选项错误； D、x2是二次的，故本选项错误． 故选：A． 【考点剖析】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握定义判断方程组是否是二元一次方程组是解题的关键. 【变式训练2】下列方程组中，是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的基本形式及特点． 【规范解答】解：A选项不是二元一次方程组，因为含有三个未知数； C选项中的次数是2，所以不是二元一次方程组； D选项中不是二元一次方程，因为分母中含有未知数； 只有B选项符合二元一次方程组的条件． 故选：B． 考点讲练四 判断是否是二元一次方程组的解 【典例分析】（23-24七年级下·全国·期末）小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，问小悦买书用了1元和5元的纸币各多少张？设所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，根据题意，列出方程组，并用列表尝试的方法求解． 【答案】小悦买书用了1元纸币3张，5元纸币9张． 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，由所用的1元纸币有x张，5元纸币有y张，x、y均必须取非零自然数，，买书共用48元，逐步取值，看符合条件的x、y值即为方程组的解． 【规范解答】解： 均必须取非零自然数， ∴列表尝试如下： x 1 2 3 4 5 y 11 10 9 8 7 56 52 48 44 40 ∴方程组的解为 答：小悦买书用了 1元纸币 3张，5元纸币9张． 【变式训练1】若和是某二元一次方程的解，则这个方程为（   ） A．x+2y= -3 B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据二元一次方程的解的定义判断即可． 【规范解答】解：、当，时，x+2y=-9≠-3, 故不是方程x+2y= -3的解，不符合题意； B、当，时，2x-y=2+2≠-3, 故不是方程的解，不符合题意； C、当，时，， 故不是方程的解，不符合题意； D、当和时，方程都成立， 故和是方程的解，故符合题意； 故选：． 【考点剖析】本题主要考查二元一次方程解的概念，使方程左右两边相等的一组未知数的值即为该方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等是解题的关键． 【变式训练2】现有一条长度为359mm的铜管料，把它锯成长度分别为39mm和29mm的两种不同规格的小铜管，（要求没有余料）．每锯一次损耗1mm的铜管料．为了使铜管料损耗最少，应分别锯成39mm的小铜管______段，29mm的小铜管______段． 【答案】 6 4． 【思路引导】本题的等量关系是截39的铜管的钢管料+截29的铜管的钢管料+据这两种钢管时损耗的钢管料=359，列出方程，求出未知数，然后将各种方案的损耗算出来，得出损耗最少的方案． 【规范解答】设应分别锯成39的小铜管段、29的小铜管段， 则损耗的钢管料应是， 根据题意， 得， ， ∵、都必须是正整数， ∴， 或， ∴锯成4段39的小铜管、3段29的小铜管损耗最少， 故答案为：6；4． 【考点剖析】本题考查了列方程解实际问题的运用，解答时关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，注意等量关系式是解题的关键． 考点讲练五 已知二元一次方程组的解求参数 【典例分析】（25-26七年级下·河南周口·月考）若 是方程组的解，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】将代入，得：，解方程组即可． 【规范解答】解：将代入， 得：， 解得， ∴， 【变式训练1】已知是方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C．5 D．-5 【答案】B 【思路引导】根据二元一次方程解的定义，将已知解代入原方程，得到关于k的一元一次方程，求解即可得到k的值． 【规范解答】解：∵是方程的一个解， ∴将，代入方程得， 移项整理得， 解得：． 【变式训练2】【观察思考】 第1个方程组为解为 第2个方程组为解为 第3个方程组为解为 …… 【发现规律】 （1）按照以上规律，写出第4个方程组为______，解为______． （2）写出你猜想的第个方程组______和它的解______（用含的式子表示） 【应用规律】 （3）已知方程组，且存在上面这样的方程组规律，求和的值． 【答案】（1），；（2），；（3）的值为15，的值为14 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的定义，数字规律，解二元一次方程组． （1）根据前3个方程组，找出系数和常数项存在的规律，依此类推，即可得到第4个方程组； （2）根据规律得出第n个方程组和它的解，解方程组检验，即可求解； （3）根据（2）中规律可得，再根据第个方程组第一个方程的系数为，即，即可求解． 【规范解答】解：（1）第4个方程组为解为． （2）由（1）得：第个方程组为解为． （3）由规律得， 解得． 根据第个方程组第一个方程的系数为，即， 代入，得． 根据第个方程组第二个方程的常数项为，即， 解得． 的值为15，的值为14． 【真题演练1】（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（   ） A．6 B．7 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数． 【规范解答】解：设购买足球x个，篮球y个， 根据题意得：，即， 则， ∵都是非负整数， 解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去）， ∴共有4种购买方案， 故选：C． 【真题演练2】（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解． 【规范解答】解：∵ ∴ 正整数解为：，；，；，共3个， 故选：C． 【真题演练3】（2024·江苏无锡·中考真题）下列4组数中，不是二元一次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】将选项中的的值分别代入方程的左边，进而即可求解． 【规范解答】解：A、当时，，则是二元一次方程的解，不合题意；     B、当时，，则是二元一次方程的解    ，不合题意； C、 当时，，则是二元一次方程的解，不合题意； D、当时，，则不是二元一次方程的解，符合题意； 故选：D． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程的解的定义，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 【真题演练4】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（   ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】B 【思路引导】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可． 【规范解答】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆， 由题意得：， ∴， ∵x、y均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案． 故选B． 【真题演练5】（2024·黑龙江大兴安岭·中考真题）国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【思路引导】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 设购买支笔记本，个碳素笔，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合，均为正整数，即可得出购买方案的个数． 【规范解答】解：设购买支笔记本，个碳素笔， 依题意得：， ． 又，均为正整数， 或或或， 共有4种不同的购买方案． 故选：B． 【基础夯实 能力提升】 1．（25-26七年级下·福建泉州·月考）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，则m的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【思路引导】将已知解代入原方程即可计算得到m的值． 【规范解答】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴将，代入方程得： ． 2．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：A．，不是方程的解； B．，不是方程的解； C．，是方程的解； D．，不是方程的解． 3．（25-26七年级下·四川内江·月考）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】能使方程组中两个方程都成立的未知数的值就是方程组的解，将代入各选项方程组验证即可． 【规范解答】解：A. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； B. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， 再代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴是该方程组的解，符合题意； C. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意； D. 把代入， ∵左边，右边，左边右边， ∴不是该方程组的解，不符合题意． 4．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】二元一次方程组需满足三个条件：①所有方程都是整式方程；②方程组总共只含两个未知数；③每个方程都是一次方程，据此逐一判断即可． 【规范解答】解：A. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； B. ，共含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义，符合题意； C. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，是二元一次方程组，不符合题意； D. ，共含x、y两个未知数，都是一次整式方程，系数为分数不改变次数，是二元一次方程组，不符合题意． 5．小亮解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数和，请你帮他找回这两个数，________，________． 【答案】 4 【思路引导】根据的解为得到，解关于和的二元一次方程组即可． 【规范解答】解：∵的解为， ∴， 解得：． 6．（23-24七年级下·四川南充·期中）已知是二元一次方程组的解，则的值是_________． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程组的解，把代入方程组，得到关于的方程组，求出的值，进而求出的值即可． 【规范解答】解：把代入，得：， 即：，解得：， ∴； 故答案为：． 7．（25-26七年级下·吉林长春·月考）二元一次方程的正整数解有______个． 【答案】3 【思路引导】写出使二元一次方程成立的所有符合条件的正整数解即可． 【规范解答】解：∵二元一次方程， ∴方程组的正整数解为， ∴二元一次方程的正整数解有3个． 8．（25-26八年级上·陕西西安·月考）若关于x，y的二元一次方程有一组解为，求k的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了二元一次方程的解． 将代入计算即可． 【规范解答】解：将代入， 得， 解得． 9．（25-26八年级上·甘肃甘南·月考）在平面直角坐标系中，若点的横、纵坐标满足关于x、y的方程组，则称点P为该方程组的关联点，如点的横、纵坐标满足方程组，点就是该方程组的关联点．若点为关于x、y的方程组的关联点，求a、b的值． 【答案】a，b的值分别为3，0 【思路引导】本题考查了二元一次方程组求解，准确的计算是解题的关键． 根据关联点的定义，把代入方程组中，即可求解． 【规范解答】解：由题意得，把代入方程组中， 得，， 解得． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·月考）运用整体思想解决数学问题，有时会使我们的解题更加简便快捷．例如：已知，求的值．解：，当时，原式．请你借鉴上面的解题经验，解决下列问题： (1)若，则 _________； (2)若关于x，y的方程组的解为现有关于m，n的方程组，求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)8 【思路引导】本题主要考查了代数式求值，平方差公式，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握整体思想的应用． （1）根据进行求解即可； （2）设，则关于s，t的方程组的解为，可得，再利用平方差公式求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴； （2）解：设， ∴关于m，n的方程组即为关于s、t的方程组， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴关于s，t的方程组的解为， ∴， ∴． 【创新拓展 拔尖冲刺】 1．（25-26七年级下·河南周口·月考）已知 ​是方程的解，则a的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【规范解答】解：∵​是方程的解， ∴ 解得： 2．若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据二元一次方程组的解得到，即可得到答案。 【规范解答】解：方程组的解为， 故中， 解得． 3．（25-26七年级下·河南周口·月考）下列各组数中，是方程的解的是（   ）. A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二元一次方程解的概念． 将选项中的分别代入方程的左边，将计算结果与方程右边的值对比，相等则为解，否则不是，选出符合条件的选项即可． 【规范解答】选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，A不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，B不符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，C符合题意； 选项：把代入方程，得：左边，右边，左边右边，D不符合题意； 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）方程是关于的二元一次方程，则的值为______． 【答案】 【规范解答】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴， 解得，，即或， 又∵， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏苏州·月考）若方程是关于x，y的二元一次方程，则的值________． 【答案】0 【思路引导】只含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做二元一次方程，据此求出m、n的值即可得到答案． 【规范解答】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级上·安徽淮北·期末）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则___________． 【答案】0 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解，掌握二元一次方程组的解的定义是关键．由于方程组的解互为相反数，因此，利用此条件与方程组联立求解． 【规范解答】解：由解互为相反数，得．与方程联立， 解得． 将代入方程， 得， 即2+5=3a+7，7=3a+7， 解得． 故答案为0． 7．（25-26七年级下·全国·周测）已知方程组是关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【思路引导】要使方程组是二元一次方程组，需要满足两个条件：①方程 中，未知数的次数必须为； ②方程中，未知数的系数不能为，否则方程组就只含有一个未知数，不符合二元一次方程组的定义． 【规范解答】解：方程组是关于，的二元一次方程组， 且， 由解得或， 又，即． ． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的定义和绝对值方程的解法，解题关键是牢记二元一次方程组的定义：方程组中含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是，并且都是整式方程．特别要注意第二个方程中未知数的系数不能为零． 8．（25-26八年级上·广东梅州·月考）甲、乙两人共同解关于x，y的方程组，甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求的值． 【答案】2 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，根据题意可知，甲所得的方程组的解满足方程②，乙所得的方程组的解满足方程①，分别把甲、乙所得的方程组的解代入方程②和方程①中求出a、b的值即可得到答案． 【规范解答】解：甲看错了方程①中的 满足题中的方程②， ， 解得． 乙看错了方程②中的 满足题中的方程①， ， 解得． ． 9．（25-26七年级下·全国·周测）若关于，的二元一次方程可变形为的形式（，是常数，），则其中一对常数，被称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如：二元一次方程可变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为_____________． (2)已知是关于，的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求这个二元一次方程． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程的变形，方程的解的概念，掌握将方程变形为指定形式，利用方程的解求参数是解题的关键． （1）将方程变形为的形式，通过系数化得到和的值，从而确定相伴系数对； （2）根据相伴系数对写出方程形式，再将已知解代入方程，解出的值，最后代入得到具体的二元一次方程． 【规范解答】（1）解：∵方程可变形为 ∴其“相伴系数对”为 （2）方程的“相伴系数对”为， 该方程为． 是该方程的一个解， ， 解得， 这个二元一次方程是． 10．（25-26七年级上·福建南平·期末）某白羽肉鸡生产企业，它的产品供应给许多餐饮品牌制作套餐．某餐厅向该企业订购两种类型的鸡肉产品（以箱为单位）： A产品：鸡翅，每箱装有20袋； B产品：鸡腿，每箱装有30袋． 餐厅后厨将1袋鸡翅和1袋鸡腿组合成一份“黄金鸡肉套餐”．为了不浪费食材，餐厅希望每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套． (1)每天A产品至少需订购_______箱，B产品至少需订购_______箱．（答案取整数） (2)已知餐厅今天已订购了48箱产品（即A箱数和B箱数之和为48），如果再增订A产品（鸡翅）2箱，那么两种产品刚好就能全部配套成“黄金鸡肉套餐”．问餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）各是多少箱？ 【答案】(1)3，2 (2)餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程的应用： （1）设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱，根据题意，列出方程，即可求解． 【规范解答】（1）解：设每天A产品需订购a箱，B产品需订购b箱， ∵每天订购的A产品（鸡翅）和B产品（鸡腿）的数量刚好配套， ∴， ∴， ∵a，b取正整数， ∴a最小为3，b最小为2， 答：每天A产品至少需订购3箱，B产品至少需订购2箱； 故答案为：3；2 （2）解：设餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）箱，则B产品（鸡腿）箱 ， 依题意，得 ， 解得， ． 答：餐厅今天最初订购的A产品（鸡翅）28箱，B产品（鸡腿）20箱． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $