3.3　概率与统计模型 课件——2026届高三数学二轮复习

3.3　概率与统计模型 概率的研究对象是随机现象,为人们从不确定性的角度认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法.统计的研究对象是数据,核心是数据分析. 概率和统计模型以实际问题为背景,运用概率统计知识,抽象出其中的数量关系,建立合适的数学模型,描述问题的本质和规律,从而解决实际问题,突出考查概率与统计的思想和学生的数据处理能力及应用意识. 3.3　概率与统计模型 例1　(2025新高考Ⅱ卷,19)甲、乙两人进行乒乓球练习,每个球胜者得1分,负者得0分.设每个球甲胜的概率为p(<p<1),乙胜的概率为q,p+q=1,且各球的胜负相互独立,对正整数k≥2,记pk为打完k个球后甲比乙至少多得2分的概率.qk为打完k个球后乙比甲至少多得2分的概率. (1)求p3,p4(用p表示); (2)若=4,求p; (3)证明:对任意正整数m,p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 3.3　概率与统计模型 [思维路径] 3.3　概率与统计模型 [解题过程] (1)设Xk表示打完k个球后甲的得分,则此时乙的得分为Yk=k-Xk. 显然Xk~B(k,p).若甲的得分比乙的得分至少多2分, 则Xk-(k-Xk)≥2,即Xk+1. 当k=3时,p3=P(X3=3)=p3(1-p)3-3=p3. 当k=4时,p4=P(X4=3)+P(X4=4) =p3(1-p)4-3+p4(1-p)4-4 =4p3(1-p)+p4=p3(4-3p). 3.3　概率与统计模型 (2)由(1)得q3=q3,q4=q3(4-3q). p4-p3=p3(4-3p)-p3=3p3(1-p). q4-q3=q3(4-3q)-q3=3q3(1-q). 由=4,得=4, 又p+q=1,则=4,解得p= 3.3　概率与统计模型 (3)证明:当k是奇数时, pk=P(Xk=)+P(Xk=)+P(Xk=)+…+P(Xk=); 当k是偶数时, pk=P(Xk=)+P(Xk=)+P(Xk=)+…+P(Xk=). 则 p2m+1=P(X2m+1=m+2)+P(X2m+1=m+3)+P(X2m+1=m+4)+…+P(X2m+1=2m+1),p2m=P(X2m=m+1)+P(X2m=m+2)+P(X2m=m+3)+…+P(X2m=2m), p2m+2=P(X2m+2=m+2)+P(X2m+2=m+3)+P(X2m+2=m+4)+…+P(X2m+2=2m+2). 3.3　概率与统计模型 p2m+1=pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4qm-3+…+p2mq1 +p2m+1q0 =()pm+2qm-1+()pm+3qm-2+()pm+4qm-3 +…+()p2mq1+p2m+1q0=pm+2qm-1+pm+3qm-2 +pm+4qm-3+…+p2mq1+pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4qm-3 +…+p2mq1+p2m+1q0=q(pm+2qm-2+pm+3qm-3 +pm+4qm-4+…+p2mq0)+p(pm+1qm-1+pm+2qm-2 +pm+3qm-3+…+p2m-1q1+p2mq0)=q·p2m-qpm+1qm-1+p·p2m =p2m-pm+1qm,即p2m+1-p2m=-pm+1qm. 同理q2m+1-q2m=-qm+1pm, 3.3　概率与统计模型 则p2m+1-p2m-(q2m+1-q2m)=qm+1pm-pm+1qm=pmqm(q-p), 因为p+q=1,且<p<1, 所以q<p,所以p2m+1-p2m<q2m+1-q2m,即p2m+1-q2m+1<p2m-q2m. p2m+2=pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1 +p2m+2q0 =()pm+2qm+()pm+3qm-1+()pm+4qm-2+…+()·p2m+1q1+p2m+2q0 =pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1 +pm+2qm+pm+3qm-1+pm+4qm-2+…+p2m+1q1+ p2m+2q0 3.3　概率与统计模型 =q(pm+2qm-1+pm+3qm-2+pm+4qm-3+…+p2m+1q0) +p(pm+1qm+pm+2qm-1+pm+3qm-2+…+p2mq1+ p2m+1q0) =qp2m+1+p(pm+1qm+p2m+1)=p2m+1+pm+2qm. 3.3　概率与统计模型 又p2m+1-p2m=-pm+1qm,所以p2m+2-p2m=p2m+1-p2m+pm+2qm =-pm+1qm+pm+2qm=pm+1qm(p) =pm+1qm(p+p)=pm+1qm(p-q). 同理可得q2m+2-q2m=qm+1pm(q-p), 则q2m+2-q2m-(p2m+2-p2m)=qm+1pm(q-p)-pm+1qm(p-q) =pmqm+2-qm+1pm+1-pm+2qm+pm+1qm+1 =pmqm+2-pm+2qm=pmqm(q2-p2), 因为0<q<p,所以q2<p2,所以q2m+2-q2m-(p2m+2-p2m)<0,即q2m+2-q2m<p2m+2-p2m,即p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 综上,对任意正整数m,有p2m+1-q2m+1<p2m-q2m<p2m+2-q2m+2. 3.3　概率与统计模型 学友聊斋 3.3　概率与统计模型 例2　(2024北京卷,18)已知某险种的保费为0.4万元,前3次出险每次赔付0.8万元,第4次赔付0.6万元. 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 800 100 60 30 10 在总体中抽样1 000单,以频率估计概率: (1)求随机抽取一单,赔偿不少于2次的概率; (2)(ⅰ)毛利润是保费与赔偿金额之差.设毛利润为X,估计X的数学期望; (ⅱ)若未赔偿过的保单下一保险期的保费下降4%,已赔偿过的增加20%.估计保单下一保险期毛利润的数学期望. 3.3　概率与统计模型 [思维路径] 3.3　概率与统计模型 [解题过程] (1)设A为“随机抽取一单,赔偿不少于2次”, 则P(A)= 3.3　概率与统计模型 (2)(ⅰ)设ξ为赔偿金额,则ξ可取0,0.8,1.6,2.4,3. 由题意可得P(ξ=0)=, P(ξ=0.8)=, P(ξ=1.6)=, P(ξ=2.4)=, P(ξ=3)= ∴E(ξ)=0+0.8+1.6+2.4+3=0.278. 故E(X)=0.4-0.278=0.122(万元). 3.3　概率与统计模型 (ⅱ)由题设可知每一单保费变为0.496%+0.41.2=0.403 2, 设保单下一保险期毛利润为Y,则E(Y)=0.403 2-E(ξ)=0.125 2(万元). 3.3　概率与统计模型 学友聊斋 3.3　概率与统计模型 例3　(2022全国甲卷,文17)甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表: 公司 准点班次数 未准点班次数 A 240 20 B 210 30 (1)根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率; (2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关? 附:χ2= P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 3.3　概率与统计模型 [思维路径] 3.3　概率与统计模型 [解题过程] (1)根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次, 设A家公司长途客车准点事件为M, 则P(M)=; B共有班次240次,准点班次有210次, 设B家公司长途客车准点事件为N, 则P(N)= 所以A家公司长途客车准点的概率为,B家公司长途客车准点的概率为 3.3　概率与统计模型 (2)2×2列联表如下: 公司 准点班次数 未准点班次数 合计 A 240 20 260 B 210 30 240 合计 450 50 500 χ2=3.205>2.706, 根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 3.3　概率与统计模型 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 摸球活动接近大众文化,容易接受,条件概率也是学生的薄弱环节 2 借助投篮比赛考查独立事件、分布列、期望等常规知识 3 以乡村振兴、农业发展为背景考查统计相关知识以及概率的分布列、期望 4 借助实际情境考查学生超几何概型的理解和计算能力 3.3　概率与统计模型 1.☆☆(2025福建泉州阶段练习)甲、乙两个箱子中,各装有6个球,其中甲箱中有3个红球和3个白球,乙箱中有m(2≤m≤6)个红球,其余都是白球.掷一枚质地均匀的骰子,如果点数为1或2,则从甲箱中随机摸出2个球;如果点数为3,4,5,6,则从乙箱中随机摸出2个球.已知掷1次骰子后,摸出的球都是红球的概率是 (1)求m的值; (2)记“摸到红球的个数”为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)设事件A为“掷出骰子的点数为1或2”, 则事件为“掷出骰子的点数为3,4,5,6”,则P(A)=,P()= 设事件B为“摸出的球都是红球”, 则P(B|A)=,P(B|)=, 则P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=, 整理得m2-m-12=0,解得m=4,或m=-3(舍),所以m=4. 3.3　概率与统计模型 (2)由题意得,X的所有可能取值为0,1,2, 则P(X=0)=, P(X=1)=,P(X=2)=, 故X的分布列为 X 0 1 2 P 则E(X)=0+1+2 3.3　概率与统计模型 2.☆☆(2025江西师范大学附中模拟)甲、乙两人进行投篮比赛,甲先投2次,然后乙投2次,投进次数多者为胜,结束比赛,若甲、乙投进的次数相同,则甲、乙需要再各投1次(称为第3次投篮),结束比赛,规定3次投篮投进次数多者为胜,若3次投篮甲、乙投进的次数相同,则判定甲、乙平局.已知甲每次投进的概率为,乙每次投进的概率为,各次投进与否相互独立. (1)求甲、乙需要进行第3次投篮的概率; (2)若每次投篮投进得1分,否则得0分,求甲得分X的分布列与数学期望. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)设甲第i(i=1,2)次投进为事件Ai,乙第i(i=1,2)次投进为事件Bi, 则P(Ai)=,P(Bi)= 设甲、乙需要进行第3次投篮为事件C,则事件C包括以下两两互斥的三个事件: ①“甲、乙前2次都投进2次”,其概率为P(A1A2)·P(B1B2)=()2=; ②“甲、乙前2次都投进1次”, 其概率为P(A1A2)·P(B1B2)=22; ③“甲、乙前2次都投进0次”,其概率为P()·P()=则由互斥事件的概率加法公式,得P(C)= 3.3　概率与统计模型 (2)由题意可得X的所有可能取值为0,1,2,3, P(X=0)=[1-]+(1-)=, P(X=1)=[()2+(1-)]+, P(X=2)=[(1-)+()2]+, P(X=3)= 所以X的分布列为 所以E(X)=0+1+2+3 X 0 1 2 3 P 3.3　概率与统计模型 3.☆☆(2025江苏南京中华中学二模)某乡村合作社借助互联网直播平台,对本乡村的农产品进行销售,在众多的网红直播中,随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据,如下表所示: 观看人次 x/万次 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76 销售量 y/百件 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77 参考数据:=600,(yi-)2=768,=80. 3.3　概率与统计模型 (1)已知观看人次x与销售量y线性相关,且计算得相关系数r=,求经验回归方程x+; (2)规定:观看人次大于等于80(万次)为金牌主播,在金牌主播中销售量大于等于90(百件)为优秀,小于90(百件)为不优秀,对优秀赋分2,对不优秀赋分1.从金牌主播中随机抽取3名,若用X表示这3名主播赋分的和,求随机变量X的分布列和数学期望. 附:,相关系数r= 3.3　概率与统计模型 [解题过程]因为r=, 所以,所以(xi-)(yi-)=660, 所以 (80+87+…+77)=83,=83-80=-5, 所以经验回归方程为x-5. 3.3　概率与统计模型 (2)金牌主播有5人,2人赋分为2,3人赋分为1, 则随机变量X的可能取值为3,4,5, P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=, 所以X的分布列为 X 3 4 5 P 所以E(X)=3+4+5 3.3　概率与统计模型 4.☆☆☆(2025山东日照一模)随着科技的进步和人民生活水平的提高,电脑已经走进了千家万户,成为人们生活、学习、娱乐的常见物品,便携式电脑(俗称笔记本)也非常流行.某公司为了研究台式机与笔记本的受欢迎程度是否与性别有关,在街头随机抽取了50人做调查研究,调查数据如下表所示: 喜欢的电 脑种类 性别 合计 男性 女性 喜欢台式机 20 5 25 喜欢笔记本 10 15 25 合计 30 20 50 3.3　概率与统计模型 (1)依据α=0.01的独立性检验,能否认为喜欢哪种机型与性别有关? (2)该公司针对男性客户做了调查,某季度男性客户中有青年324人,中年216人,老年108人,用分层随机抽样的方法选出12人,再从中随机抽取3人进行答谢,设这3人中的中年人人数为随机变量X,求X的分布列和数学期望. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.10 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)零假设H0:喜欢哪种机型与性别无关. 由表中数据可得χ2=8.333>6.635, 所以依据α=0.01的独立性检验可以认为喜欢哪种机型与性别有关,此推断犯错误的概率不超过0.01. (2)由题意,324∶216∶108=3∶2∶1,则12人中有青年6人,中年4人,老年2人,所以X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)=,P(X=1)=, P(X=2)=,P(X=3)=, 所以E(X)=0+1+2+3=1. X 0 1 2 3 P 3.3　概率与统计模型 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 借助掷骰子模型考查概率、计数原理、二项式定理、数列相关知识,此题有一定难度 2 答题挑战是大家喜爱的活动,借助答题活动进行概率问题的考查 3 以汽车模型的选择为情境,考查事件的独立性和数学期望的求解 4 工资问题是人们隐秘而关心的问题,通过本题考查工资与性别的相关性问题 3.3　概率与统计模型 1.☆☆☆(2025山东泰安二模)抛掷一枚质地均匀的骰子n次,n∈N*,记ai为第i次抛掷得到的点数,i=1,2,…,n. (1)求a1+a2=7的概率; (2)若前m次点数之和为7的概率为Pm,m=2,3,…,7,且Pm=,t,r∈N*,t与r互质,设b=lot+log6r, (ⅰ)求b的值; (ⅱ)已知正项数列{cn}的前n项和为Sn,c1=,Sn+1-Sn=,i∈N*, 证明: 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)a1+a2=7即“前两次点数之和为7”,设为事件A, ∵样本空间Ω={(a1,a2)|a1,a2∈{1,2,3,4,5,6}},∴n(Ω)=6×6=36. ∵7=1+6=2+5=3+4, ∴A={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}, ∴n(A)=6,∴P(A)=,即a1+a2=7的概率为 3.3　概率与统计模型 (2)(ⅰ)当m=2时,由(1),P2=, 当m=3时,7=1+1+5=1+2+4=1+3+3=2+2+3,∴P3==15, 当m=4时,7=1+1+1+4=1+1+2+3=1+2+2+2,∴P4==20, 当m=5时,7=1+1+1+1+3=1+1+1+2+2,∴P5==15, 当m=6时,7=1+1+1+1+1+2,∴P6==6,当m=7时,P7=, 3.3　概率与统计模型 Pm= +…+]- ∵6,7互质,t,r互质,∴t=76,r=67, ∴b=lo76+log667=-6+7=1. 3.3　概率与统计模型 (ⅱ)证明:∵c1=,∴c2=, ∵Sn+1-Sn=+…+=cn+1, ∴当n≥2时,+…+=cn, ∴cn+1-cn=, ∴cn+1=+cn=cn(cn+1), ,n≥2, +…++…+ ∵cn+1>0, 3.3　概率与统计模型 2.☆☆☆(2025陕西西安三模)甲、乙两人参加某答题挑战赛,规则如下:每次由其中一人答题,若答对了,则此人继续答题,若未答对,则换对方答题,每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题,给出文学题的概率为,给出科学题的概率为已知甲答对文学题与科学题的概率分别为,乙答对文学题与科学题的概率均为,且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选,第1次答题的人是甲、乙的概率各为 (1)已知第1次甲答题,求甲答对题目的概率; (2)求第2次答题的人是乙的概率; (3)求第i次答题的人是甲的概率. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)甲答对题目的概率为 (2)乙答对题目的概率为 记“第i次答题的人是甲”为事件Ai,“第i次答题的人是乙”为事件Bi, 所以P(B2)=P(A1B2)+P(B1B2) =P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1) =(1-)+ 3.3　概率与统计模型 (3)设P(Ai)=pi,依题可知,P(Bi)=1-pi, 则P(Ai+1)=P(AiAi+1)+P(BiAi+1)=P(Ai)P(Ai+1|Ai)+P(Bi)P(Ai+1|Bi), 即pi+1=pi+(1-)×(1-pi)=pi+ 设pi+1+λ=(pi+λ),解得λ=-, 则pi+1-(pi-). 又p1=,p1-=-0,所以是首项为-,公比为的等比数列, 所以pi-=-()i-1,即pi=()i-1. 3.3　概率与统计模型 3.☆☆☆(2025湖北十一校联盟模拟)在某次汽车模型展览会上,已知某汽车模型公司共有25个汽车模型,其外观和内饰的颜色分布如下表所示: 内饰颜色 外观颜色 红色外观 蓝色外观 棕色内饰 12 8 米色内饰 2 3 3.3　概率与统计模型 (1)若小明从这些模型中随机拿一个模型,记事件A为小明取到红色外观的模型,事件B为小明取到棕色内饰的模型,求P(B)和P(B|A),并判断事件A和事件B是否相互独立; (2)该公司举行了一个抽奖活动,规定在一次抽奖中,每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型,给出以下假设: 假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色以及仅外观或仅内饰同色; 假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高; 假设3:该抽奖活动的奖金额为一等奖600元,二等奖300元,三等奖150元; 请你分析奖项对应的结果,设X为奖金额,写出X的分布列并求出X的数学期望. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)若小明取到红色外观的模型,则分棕色内饰12个,米色内饰2个,则对应的概率P(A)=,若小明取到棕色内饰的模型,分红色外观12个,蓝色外观8个,则对应的概率P(B)=取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个,即P(AB)=, 则P(B|A)=, 因为P(A)P(B)=, 所以P(A)P(B)≠P(AB),即事件A和事件B不相互独立. 3.3　概率与统计模型 (2)由题意知X=600,300,150,则外观和内饰均为同色的概率P=,外观和内饰都异色的概率P=,仅外观或仅内饰同色的概率P=1-, 因为,所以P(X=150)=,P(X=300)=,P(X=600)=, 则X的分布列为 则E(X)=150+300+600 =277(元). X 150 300 600 P 3.3　概率与统计模型 4.(2025湖北华大新高考联盟模拟)为了了解某地25~40岁居民的工资情况,研究人员随机抽取了部分居民进行调查,所得数据统计如表所示: 性别 工资情况 合计 工资超过3 500 工资不超过3 500 男性居民 200 180   女性居民 280 240   合计       3.3　概率与统计模型 (1)完善上述表格并依据小概率值α=0.05的独立性检验,能否认为工资的多少与居民的性别具有相关性? (2)以频率估计概率,若在该地所有居民中随机抽取3人,求至少2人工资超过3 500的概率. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)完善表格如下表所示: 性别 工资情况 合计 工资超过3 500 工资不超过3 500 男性居民 200 180 380 女性居民 280 240 520 合计 480 420 900 零假设H0:工资的多少与居民的性别不具有相关性, 则χ2=0.13<3.841,故依据小概率值α=0.05的独立性检验,假设成立,即工资的多少与居民的性别不具有相关性. 3.3　概率与统计模型 (2)由题意知,工资超过3 500的概率为P= 记至少2人工资超过3 500为事件A, 所以P(A)= 3.3　概率与统计模型 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 通过产品的尺寸问题进行经验回归方程的考查,以及借助方程对未来进行预测 2 借助校庆活动,进行经验回归方程、期望、方差等知识的考查 3 借助学生运动时间的问题进行频率分布直方图、期望等知识的考查 4 以冰雕为主题考查期望、概率、决策等问题 3.3　概率与统计模型 1.☆☆☆(2025山东淄博实验中学模拟)某工厂生产一种产品测得数据如下: 尺寸x/mm 38 48 58 68 78 88 质量y/g 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 (1)若按照检测标准,合格产品的质量y(单位:g)与尺寸x(单位:mm)之间近似满足关系式y=c·xd(c,d为大于0的常数),求y关于x的回归方程; (2)已知产品的收益z(单位:千元)与产品尺寸和质量的关系为z=2y-0.32x,根据(1)中回归方程分析,当产品的尺寸x约为何值时(结果用整数表示),收益z的预报值最大? 3.3　概率与统计模型 附:①参考数据: (ln xi·ln yi)≈75.3,(ln xi)≈24.6,(ln yi)≈18.3,101.4. ②参考公式:对于样本(vi,ui)(i=1,2,…,n),其经验回归方程u=v+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ,e≈2.718 2. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)对y=c·xd(c,d>0)两边取自然对数得ln y=ln c+dln x. 令vi=ln xi,ui=ln yi,则u=d·v+,其中=ln c. 根据所给统计量及最小二乘估计公式有: d==, -d-d=1, 又=ln c≈1,所以c≈e,所以y关于x的回归方程为y=e 3.3　概率与统计模型 (2)由(1)得y=e,所以z=2e-0.32x=-0.32()2+2e 令t=,则当t=时,z取得最大值,此时x=t2≈72 mm, 所以当产品的尺寸约为72 mm时,收益z的预报值最大. 3.3　概率与统计模型 2.☆☆☆☆(2025江苏南通三模)某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友人数(单位:千人)如下: 日期 10月 1日 10月 2日 10月 3日 10月 4日 10月 5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 3.3　概率与统计模型 (1)由上表数据看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数r加以说明(保留小数点后两位)(若|r|>0.75,则认为y与x的线性相关性很强),并求出y关于x的经验回归方程; (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入,校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率分别为,且出学校与进学校选择相同门的概率为,选择与入校不同两门的概率各为假设校友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响,现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动,设X为4人中从2号门出学校的人数,求X的分布列、期望及方差. 3.3　概率与统计模型 附参考数据:xiyi=72,=55,=4,=95.86,12.59. 参考公式:经验回归方程x+,其中 相关系数r= 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)依题意,=3, 而xiyi=72,=55,=95.86,=4, 则r===0.95. 因为r≈0.95>0.75,所以y与x的线性相关性很强,可以用线性回归模型拟合. =1.2,=4-1.2×3=0.4, 所以回归方程为=1.2x+0.4. 3.3　概率与统计模型 (2)记“甲从2号门出学校”为事件A,“甲从1号门进学校”为事件B,“甲从2号门进学校”为事件C,“甲从3号门进学校”为事件D,由题意可得P(B)=,P(C)=,P(D)=, P(A|B)=P(A|D)=,P(A|C)=, 由全概率公式得P(A)=P(BA+CA+DA)=P(BA)+P(CA)+P(DA) =P(B)P(A|B)+P(C)P(A|C)+P(D)P(A|D)=, 同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为,X为4人中从2号门出学校的人数,则X~B(4,), 3.3　概率与统计模型 P(X=0)=, P(X=1)=, P(X=2)=, P(X=3)=, P(X=4)=, 故X的分布列为 E(X)=4=1,D(X)=4 X 0 1 2 3 4 P 3.3　概率与统计模型 3.☆☆(2025河北名校联合二调)为了落实健康第一教育理念,实施学生体质强健计划,现对某高中学生每天的运动时间进行调查,随机抽取了100名学生进行调查.下面是根据调查结果绘制的学生每天平均运动时间(单位:分钟)的频率分布直方图,将每天平均运动时间不低于80分钟的学生称为“运动爱好者”. 3.3　概率与统计模型 (1)试求频率分布直方图中a的值; (2)用样本估计总体,已知某学生每天平均运动时间不低于60分钟,求该学生是“运动爱好者”的概率; (3)从样本里的“运动爱好者”学生中随机选取两位同学,用随机变量X表示每天平均运动时间在100~120分钟之间的学生数,求X的分布列及期望. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)由题中频率分布直方图可知, 20×(0.005+0.009+0.011+0.012 5+0.010+a)=1,解得a=0.002 5. (2)设“该学生每天平均运动时间不低于60分钟”为事件A, “该学生是‘运动爱好者’”为事件B, 则P(A)=20×(0.012 5+0.010+0.002 5)=0.5, P(AB)=20×(0.010+0.002 5)=0.25, 所以在该学生每天平均运动时间不低于60分钟的条件下是“运动爱好者”的概率为P(B|A)= 3.3　概率与统计模型 (3)由题意可知,样本中共有“运动爱好者”学生25人,运动时间在100~120分钟之间的学生有5人,所以X的所有可能取值是0,1,2. P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)= 则X的分布列为 X 0 1 2 P 则E(X)=0+1+2 3.3　概率与统计模型 4.☆☆☆(2025新高考Ⅰ卷模拟)2025年冰雪节来临之际,搭建冰雕主题乐园需要大量的冰块,A,B,C三个工程队负责从冰冻的江中采出尺寸相同的冰块.在雕刻的过程中,有时会导致冰块碎裂,且一旦有裂痕冰块就不能使用了.A,B,C三个工程队所采冰块总数之比为6∶7∶5,冰块利用率即所使用冰块数占所采冰块总数的比例分别为0.8,0.6,0.6.在计算以上数值的过程中忽略了少量冰块对计算结果的影响,这种思路可用于整个问题求解的过程中.现在从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取冰块,用频率估计概率. (1)若只取1块,求它是由B队所采的概率. (2)若抽取2块,其中由A队采出的冰块数记为ξ,求ξ的分布列和数学期望. (3)假设每年使用的冰块数一样多,已知往年任意一块冰被利用的概率为0.65,那么能否判断今年冰块的利用率有显著提升?你有什么好的建议? 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)由题意知,冰块之间是没有差异的,所以从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取一块,抽到每一块冰的可能性可以看作是相等的.因为A,B,C三个工程队所采冰块总量之比为6∶7∶5,所以若只取1块,它是B队所采的概率为P= (2)据题意知在计算过程中可以忽略少量冰块对计算结果的影响,即可以将“从三个工程队采出的所有冰块中随机抽取”看作是有放回地抽取. 设事件A,B,C分别表示随机抽取的一块冰是由A,B,C三个工程队分别采回的,与(1)同理可求得若只取1块,则P(A)=, 由B,C两队所采的概率为P()=1-P(A)= 3.3　概率与统计模型 依题意可知ξ的取值为0,1,2,且ξ~B(2,). 所以P(ξ=0)=, P(ξ=1)=, P(ξ=2)=,所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 数学期望E(ξ)=1+2 3.3　概率与统计模型 (3)设事件D表示冰块被利用,由(2)知P(B)=,P(C)=, 所以P(D|A)=0.8,P(D|B)=0.6,P(D|C)=0.6. 又P(D)=P(AD∪BD∪CD) =P(A)·P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=0.8+0.6+0.6=0.67, 即今年冰块的利用率约为0.67. 可见,今年冰块的利用率比往年提升了约0.67-0.65=2%. 但依据该数据还不能判断今年冰块的利用率有显著提升.若要判断提升是否显著,可以进一步查阅数据,构造相关统计量再进行判断. 3.3　概率与统计模型 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 借助实际情境对概率分布列、期望及数列问题进行考查 2 借助商场冰箱的销售进行经验回归方程、期望的考查 3 通过对春节档6部电影的评分来进行二项分布及期望的考查 4 借助实际情境对概率、期望进行考查 3.3　概率与统计模型 1.☆☆☆☆(2025江西一模)某公司为提升员工身体素质,鼓励员工参与“健康帮,活力无限”健身打卡活动.公司将参与健身打卡活动的员工分成了X,Y,Z三组进行健身竞赛,其规则:竞赛发起权在任何一组,该组都可向另外两组发起竞赛,首先由X组先发起竞赛,挑战Y组、Z组的概率均为,若X组挑战Y组,则下次竞赛发起权在Y组.若竞赛发起权在Y组,则挑战X组、Z组的概率分别为;若竞赛发起权在Z组,则挑战X组、Y组的概率分别为 (1)经过3次挑战赛后,求竞赛发起权在Y组的次数M的分布列与数学期望; (2)定义:已知数列{an},若对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N0,使得当n>N0时,|an-A|<ε(A是一个确定的实数),则称数列{an}为“聚点数列”,A称为数列{an}的聚点.经过n次竞赛后,竞赛发起权在X组的概率为an,证明数列{an}为“聚点数列”,并求出聚点A的值. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)由题可知M的取值为0,1,2, 则P(M=0)=, P(M=1)=, P(M=2)=, 所以M的分布列为 所以E(M)=0+1+2 M 0 1 2 P 3.3　概率与统计模型 (2)第n次挑战后挑战权在Y,Z组的概率分别是bn,cn,n≥2, 则an+bn+cn=1, ②+③得bn+cn=an-1+(bn-1+cn-1),由①得bn-1+cn-1=an,所以1-an=an-1+an,所以1-an=an-1+an,所以an=1-an-1,所以an=an-1,所以an-=-(an-1-),其中a1=0,所以{an-}是以-为首项,-为公比的等比数列,所以an-=-(-)n-1,所以an=(-)n-1, 3.3　概率与统计模型 由聚点数列的定义,得|(-)n-1-|=|(-)n-1|=()n-1,由指数函数的单调性可知,当n→+∞时,()n-1→0,所以对于任意给定的正数ε,总存在正整数N0,使得当n>N0时,|an-|<ε,所以数列{an}为“聚点数列”,聚点A= 3.3　概率与统计模型 2.☆☆(2025安徽师范大学附属中学二模)某地A,B,C,D四个商场均销售同一型号的冰箱,经统计,2024年10月份这四个商场购进和销售该型号冰箱的台数如下表(单位:十台): 商场名称 A商场 B商场 C商场 D商场 购进该型冰箱数x 3 4 5 6 销售该型冰箱数y 2.5 3 4 4.5 3.3　概率与统计模型 (1)已知可用线性回归模型拟合y与x的关系,求y关于x的经验回归方程x+; (2)假设每台冰箱的售价均定为4 000元.若进入A商场的甲、乙两人购买这种冰箱的概率分别为p,3p-2(<p<1),且甲、乙是否购买冰箱互不影响.若两人购买冰箱总金额的期望不超过6 000元,求p的取值范围. 参考公式:回归方程x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 xiyi=66.5,=86. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)=4.5,=3.5, 所以=0.7, 则=3.5-0.7×4.5=0.35, 故y关于x的经验回归方程为=0.7x+0.35. 3.3　概率与统计模型 (2)设甲、乙两人中选择购买这种冰箱的人数为X,则X的所有可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1-p)(3-3p)=3(1-p)2, P(X=1)=p(3-3p)+(1-p)(3p-2)=-6p2+8p-2,P(X=2)=p(3p-2)=3p2-2p, 所以E(X)=4p-2, E(4 000X)=4 000(4p-2). 令E(4 000X)≤6 000,即4 000(4p-2)≤6 000,解得p, 又<p<1,所以<p所以p的取值范围是(]. 3.3　概率与统计模型 3.☆☆(2025北京通州二模)某艺术研究中心对春节档6部影片的观众满意度进行调查,评分如下: 观众 评分 电影序号 第一部 第二部 第三部 第四部 第五部 第六部 普通观 众评分 87.2 85.4 84.9 84.9 84.7 83.6 专业观 众评分 88.7 80.0 81.6 77.4 76.1 72.2 3.3　概率与统计模型 (1)从这6部影片中随机选取1部,恰好选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的概率; (2)现有4名观众,每位观众从这6部影片中各随机选取1部观看. (i)若不同观众可选相同影片(假设每位观众的选择相互独立),记X为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数,求X的分布列及数学期望E(X). (ⅱ)若任意2名观众不能选看相同影片,记Y为选到普通观众评分与专业观众评分都低于85分的影片的人数,试比较这种情况下数学期望E(Y)与(i)中E(X)的大小关系.(结论不要求证明) 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)设事件A为“抽到的影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分”. 根据题中数据,有4部影片普通观众评分与专业观众评分都低于85分. 所以P(A)= 3.3　概率与统计模型 (2)(i)依题意,X的可能取值为0,1,2,3,4. P(X=0)=()4=, P(X=1)=)()3=, P(X=2)=)2()2=, P(X=3)=)3()=, P(X=4)=)4= 所以X的分布列为 E(X)=0+1+2+3+4 (ⅱ)E(X)=E(Y). X 0 1 2 3 4 P 3.3　概率与统计模型 4.☆☆☆☆(2025河北邯郸一模)某班举办诗词大赛,比赛规则如下:参赛选手第一轮回答4道题,若答对3道或4道,则通过初赛,否则进行第二轮答题,第二轮答题的数量为第一轮答错的题目数量,且题目与第一轮的题不同,若全部答对,则通过初赛,否则淘汰.已知甲同学参加了这次诗词大赛,且甲同学每道题答对的概率均为p(p<1).假设甲同学回答每道题相互独立,两轮答题互不影响. (1)已知p= ①求甲同学第一轮答题后通过初赛的概率; ②求甲同学答对1道题的概率. (2)记甲同学的答题个数为X,求E(X)的最大值. 3.3　概率与统计模型 [解题过程](1)①由题意,甲同学第一轮答题后通过初赛的概率为P=)3×(1-)1+)4(1-)0= ②甲同学答对1题的情况如下,第一轮答对1题,第二轮答对0题, 则概率为P1=)1·(1-)3)0(1-)3=; 第一轮答对0题,第二轮答对1题, 则概率为P2=)0(1-)4)1(1-)3= 所以甲同学答对1道题的概率为P1+P2= 3.3　概率与统计模型 (2)由题意,X=4,6,7,8,则P(X=4)=p3(1-p)1+p4(1-p)0=4p3(1-p)+p4, P(X=6)=p2(1-p)2=6p2(1-p)2, P(X=7)=p1(1-p)3=4p(1-p)3, P(X=8)=p0(1-p)4=(1-p)4, 所以E(X)=4[4p3(1-p)+p4]+36p2(1-p)2+28p(1-p)3+8(1-p)4 =16p3-12p4+36p2(1-p)2+28p(1-p)3+8(1-p)4 =4p4-4p3-4p+8, 3.3　概率与统计模型 又p<1,令f(p)=4p4-4p3-4p+8,p<1,则f'(p)=4(4p3-3p2-1),令g(p)=4p3-3p2-1,p<1,则g'(p)=6p(2p-1),当p<时,g'(p)<0,即g(p)在[)上单调递减;当<p<1时,g'(p)>0,即g(p)在(,1)上单调递增;又g()=-<0,g(1)=0,则在[,1)上g(p)<0,所以在[,1)上f'(p)<0恒成立,即f(p)在[,1)上单调递减,所以f(p)max=f()=,故E(X)的最大值为 3.3　概率与统计模型 $