利用数列递推关系解决概率问题 课件——2026届高三数学二轮复习

2026高考数学利用数列递推关系解决概率问题 解决概率问题需要比较强的分析推理能力，对于一些复杂的概 率问题,后一步的概率与前一步或前两步有关,通过建立概率的递推关 系,利用递推关系式构造数列,这样复杂的概率问题就可以迎刃而解. 2 例1 某品牌女装专卖店设计了摸球抽奖的促销活动，每位顾客每次 消费都有一次随机摸球的机会.已知顾客第一次摸球抽中奖品的概率 为 ；从第二次摸球开始，若前一次没抽中奖品，则这次抽中的概率 为，若前一次抽中奖品，则这次抽中的概率为 .记该顾客第 次摸球抽中奖品的概率为 . 类型一 一阶递推数列Pn=aPn-1+b(n≥2) 3 （1）求的值，并探究数列 的通项公式； 解：记该顾客第次摸球抽中奖品为事件 . 依题意知 ， . 当时，，， ， 且 ， 即 ， 4 所以，又因为 ， 所以数列是首项为，公比为 的等比数列， 所以 . （2）求该顾客第几次摸球抽中奖品的概率最大，请给出推导过程. 解：当为奇数时，. 当 为偶数时，， 此时随着的增大而减小，所以 . 综上，该顾客第二次摸球抽中奖品的概率最大. 6 变式题 甲、乙两名操作员对,, 三个电子信息传递元件进行随机 连接检测，并制定如下标准：第一次由 元件将信息传出，每次传递 时，传递元件都等可能地将信息传递给另外两个元件中的任何一个， 若第三次传递后，信息在 元件中，则该组检测成功，否则该组检测 失败.若该组检测成功，则由原操作员继续操作下一组检测；反之， 则由另一操作员按上述规则继续操作下一组检测. 7 （1）求一组随机连接检测成功的概率； 解：由题知，三次传递所有的传递方法有 , ,,, , ,, ，共8种， 其中第三次传递后，信息在 元件中的传递方法有2种， 所以第三次传递后，信息在元件中的概率为 ， 即一组随机连接检测成功的概率为 . 8 （2）若第1次从乙开始进行连接检测，求第 次由乙操作的 概率 . 解：若第1次从乙开始进行连接检测， 则第 次由乙操作有两种情况： （ⅰ）第次由乙操作，第 次继续由乙操作， 其概率为 . （ⅱ）第次由甲操作，第 次由乙操作， 其概率为 . 9 所以 ， 所以， 当时， ，所以数列是以为首项， 为公比的等比数列,所以,所以 . 例2 [2025·湖北武汉三模] 小华、小明、小红三人为某比赛制定了如 下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人时，该人可挑战另外两人. 经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为 .若小 华挑战小明，则下一次的挑战权属于小明，且小明再挑战小华、小 红的概率分别为， ；若小华挑战小红，则下一次的挑战权属于小 红，且小红再挑战小华、小明的概率分别为， . 类型二 二阶递推数列 11 （1）经过3次挑战后，小华已使用挑战权的次数记为，求 的分布 列及数学期望. 解：的可能取值为1，2，且 ， ，所以 的分布列为 1 2 . 12 （2）若经过 次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事 件,, . （ⅰ）证明： ； 证明：当时，. 当 时， ， ， 得 , 又，所以 ， 即 .综上所述， . 13 （ⅱ）求事件 发生的概率. 解：当时，， 得 ， 由③知 ， 所以 ， 所以， 14 又 , ， 所以数列是以为首项， 为公比的等比数列， 可得 ， 所以 . 变式题 “猜灯谜”是我国元宵节传统的文化活动.某地在元宵节举办形 式多样的猜灯谜比赛活动，比赛规则如下：以个人形式参加比赛， 每轮猜一个灯谜，猜中加1分，猜不中则减1分，每位参赛者的初始 积分均为1分.假设参赛者在每轮比赛中猜中与猜不中的概率均为 ， 参赛者会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才终止比赛：一种是 参赛者积分为0分；一种是参赛者积分达到10分.同时举办方规定积分 达到10分的参赛者可获得奖品一份. 16 （1）求参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率. 解：用1表示参赛者某轮猜中，用 表示参赛者某轮猜不中， 则4轮比赛后积分为3分的情况为1,1,1,或1,1,,1或1, ,1,1， 故参赛者参与4轮比赛后积分为3分的概率 . 17 （2）设参赛者积分为分 时，最终获得奖品的概 率为 . （ⅰ）求 ； 18 解： 当时，参赛者一定不能获得奖品，因此 . 当时，参赛者一定能获得奖品，因此 . 当，时， ， 所以 ， 所以是一个等差数列. 设公差为 ，则，解得， 所以 . 19 （ⅱ）求参赛者最终获得奖品的概率. 解：因为参赛者的初始积分为1分， 所以参赛者最终获得奖品的概率为 . 20 例3 现有根绳子，共有 个绳头，每个绳头只打一次结， 且每个结仅含2个绳头，所有绳头打结完毕视为结束. （1）当时，记随机变量为绳子围成的圈的个数，求 的分布 列与数学期望； ［思路点拨］依题意，先得到 的所有可能取值，再依次求得对应的 概率，即可得解； 类型三 an+1=anf(n)型 21 解：由题知，随机变量 的所有可能取值为1,2,3， , ， ， 所以 的分布列为 1 2 3 所以 . 22 （2）求证：这根绳子恰好能围成1个圈的概率为 . ［思路点拨］利用分步乘法计数原理，结合累乘法与古典概型的概 率计算公式即可得解. 证明：不妨令绳头的编号分别为1,2,3,4, , ，则可以与绳头1打结 围成1个圈的绳头除了1，2外有 种可能，假设绳头1与绳头3打 结，那么相当于对剩下 根绳子进行打结. 设根绳子打结后可围成1个圈的方法种数为 ，那么经过一 次打结后，剩下根绳子打结后可围成1个圈的方法种数为 ， 由此可得, ， 23 所以当时，,, , ， 所以!， ， 显然，满足上式，故 !； 另一方面，对 个绳头进行任意2个绳头打结，总共有 （种）方法， 所以这 根绳子恰好能围成1个圈的概率 . 变式题 一个书包中有标号为“1,1,2,2,3,3, ,,”的 张卡片. 一个人每次从中拿出1张卡片，并且不放回.若他拿出1张与已拿出的 卡片中有相同标号的卡片，则他将2张卡片都扔掉；若他手中有3张 单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中 张卡 片全部被拿走的概率为，则__， _____. [解析] 从张卡片中选取3张卡片的选法有 种，选取的3 张卡片中含有2张相同标号卡片的选法有种，故从 张卡 片中选取3张，其中有2张相同标号卡片的概率为 . 25 将2张相同标号的卡片拿走以后，相当于从 对相同标号 的卡片中已拿走了1对卡片，要使事件“书包中 张卡片全部被拿走” 发生，只需保证事件“书包中 张卡片全部被拿走”发生， 又书包中张卡片全部被拿走的概率为，故 ， 又，故， . ◆ 基础热身 ◆ 1.[2026·湖南长沙入学考] 某种电路开关闭合后,会出现闪动的红灯或 绿灯.已知开关第一次闭合后,出现红灯和出现绿灯的概率都是 . 从开 关第二次闭合起,若前一次出现红灯,则下一次出现红灯的概率是， 出现绿灯的概率是 ；若前一次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率 是，出现绿灯的概率是.记开关第 次闭合后出现红灯的概率为 . （1）求 ； 解：根据题意得，， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 27 （2）求 . 解：当，时，要研究开关第次闭合后出现红灯的概率 ， 只需考虑开关第 次闭合后出现红灯或绿灯的情况， 所以 . 令，整理比较可得 ， 所以是公比为 的等比数列，所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 28 2.设，数对按如下方式生成： ，抛掷一 枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若 ，则 ，否则 ； 当硬币的反面朝上时，若 ，则 ，否则 .抛 掷次硬币后，记的概率为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 29 （1）写出的所有可能情况，并求, ； 解：当抛掷1次硬币正面朝上时， ； 当抛掷1次硬币反面朝上时， ； 当抛掷2次硬币结果为（正，正）时， ； 当抛掷2次硬币结果为（正，反）时， ； 当抛掷2次硬币结果为（反，正）时， ； 当抛掷2次硬币结果为（反，反）时，. 所以, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 30 （2）求 . 解：由题知， . 当，且掷出反面时，有 ， 此时 ； 当，且掷出正面时，有 ， 此时 . 所以，可得， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 31 所以 是以为首项， 为公比的等比数列， 所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 ◆ 综合提升 ◆ 3.对于优秀毕业生的笔记本,设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买 资格”的竞买方式:统一以0元为初始叫价,通过掷骰子确定新叫价,若点 数大于2,则在已叫价格的基础上增加1元更新叫价,若点数小于3,则在 已叫价格的基础上增加2元更新叫价,重复上述过程,能叫到10元,即可 获得以10元为价格的购买资格,未出现叫价为10元的情况则失去购买 资格,并结束叫价.若甲同学已选中了其中一本笔记本,试估计其获得该 笔记本购买资格的概率（精确到 ）. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 33 解：由题意可得每次叫价增加1元的概率为 ,每次叫价增加2元的概率 为.设叫价为元的概率为,当时，叫价出现 元的情况 只有下列两种: ①叫价为元,且骰子点数大于2,其概率为 ; ②叫价为元,且骰子点数小于3,其概率为 . 所以,易得, , 作 业 手 册 1 2 3 4 5 34 因为 , 所以当时,数列是首项为,公比为 的等比数列, 所以 , 所以 , 故甲同学获得该笔记本购买资格的概率约为0.75. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 4.[2025·江苏部分学校调研] ,两人手中各有3张纪念卡片，其中 手中的3张卡片是1张红色和2张蓝色的， 手中的3张卡片都是红色的， 现在两人各从自己的卡片中随机取1张，去与对方交换，重复 次操 作后，记手中蓝色卡片有张，恰有2张蓝色卡片的概率为 ，恰 有1张蓝色卡片的概率为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 36 （1）操作几次后 手中蓝色卡片就可能首次出现0张？求出现这种情 况的概率 . 解：根据题意，表示重复2次操作后， 手中恰有2张蓝色卡片的概率，包含两种情况： 第一次取红色卡片去交换，第二次 还取红色卡片去交换； 第一次取蓝色卡片去交换，第二次 取红色卡片去交换， 取蓝色卡片去交换. 故, , . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 37 表示重复2次操作后， 手中恰有1张蓝色卡片的概率， 包含两种情况： 第一次取红色卡片去交换，第二次 取蓝色卡片去交换； 第一次取蓝色卡片去交换，第二次取蓝色卡片去交换, 取蓝色 卡片去交换,或第二次取红色卡片去交换, 取红色卡片去交换. 故 . 因为，所以操作一次后不会出现 的情况， 而，所以操作2次后 手中蓝色卡片就可能首次 出现0张，其概率 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 （2）记，证明：数列 为等比数列. 证明：由题意可得 ， ，则 ， ,所以,又,故数列是首项为 ,公比为 的等比数列. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 39 ◆ 能力拓展 ◆ 5.甲、乙、丙、丁相约进行台球比赛，约定每轮比赛均将四人分成两 组，进行一对一对打，第1轮比赛甲、乙对打，丙、丁对打，每轮比 赛结束后，两名获胜者组成一组在下一轮比赛中对打，两名负者组 成一组在下一轮比赛中对打，每组比赛均无平局出现.已知甲胜乙、 丙胜丁的概率均为 ，甲胜丙、甲胜丁、乙胜丙、乙胜丁的概率均为 ，每组比赛的结果相互独立. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 40 （1）求在第3轮比赛中，甲、丙对打的概率； 解：因为第1轮比赛甲、乙对打，所以第2轮比赛甲、乙不可能对打， 则第2轮比赛甲只能和丙或丁对打. 因为第3轮比赛甲、丙对打，所以第2轮比赛甲、丙不可能对打， 则第2轮比赛甲只能和丁对打. 第2轮比赛甲、丁对打的概率为 . 若第3轮比赛甲、丙对打，则第2轮比赛中甲胜丁、丙胜乙， 或丁胜甲、乙胜丙，故所求概率为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 41 （2）求在第 轮比赛中，甲、乙对打的概率及甲、丙对打的概率； 解：设在第轮比赛中，甲、乙对打的概率为 ，甲、丙对打的概率 为，甲、丁对打的概率为，则. 在第 轮比赛中，甲、乙对打的概率为，甲、丙对打的概率 为 ，甲、丁对打的概率为 ， 若在第轮比赛中，甲、乙对打，则在第 轮比赛中， 甲、丙对打，乙、丁对打，或者甲、丁对打，乙、丙对打， 所以 . 同理可得③， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 42 由①②可得，即 , 又,所以数列是以为首项, 为公比的等比数列， 所以,则. 由 得，设， 则 ，因为，所以， 即 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 $