2.2　运算路径选择能力 课件——2026届高三数学二轮复习

2.2　运算路径选择能力 运算路径选择能力与运算求解能力相辅相成,路径选择是合理运算的前提,要想把题解得出、做得对,路径与运算就要有高度的和谐与统一.若题目中只是某些数字改变,但它的分析思路不变,这时就要根据题目所给的条件通过分析与比较多种运算路径,做出合理的选择. 2.2　运算路径选择能力 例1　(2024新高考Ⅱ卷,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 2.2　运算路径选择能力 [思维路径] (1) 2.2　运算路径选择能力 (2) 2.2　运算路径选择能力 [解题过程] (1)[方法1]利用辅助角公式求解 由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1, 因为A∈(0,π), 所以A+(),故A+, 解得A= 2.2　运算路径选择能力 [方法2]利用同角三角函数的基本关系求解 由sin A+cos A=2,sin2A+cos2A=1,消去sin A,得4cos2A-4cos A+3=0, 即(2cos A-)2=0, 解得cos A=, 又A∈(0,π),故A= 2.2　运算路径选择能力 [方法3]利用极值点求解 设f(x)=sin x+cos x(0<x<π), 则f(x)=2sin(x+)(0<x<π), 显然当x=时,f(x)max=2, 又f(A)=sin A+cos A=2=2sin(A+),f(x)max=f(A),在开区间(0,π)内取到最大值,于是x=A必定是极值点,即f'(A)=0,即cos A-sin A=0,即tan A=, 又A∈(0,π),故A= 2.2　运算路径选择能力 [方法4]利用向量的数量积公式求解 设a=(1,),b=(sin A,cos A), 由题意得,a·b=sin A+cos A=2, 根据向量的数量积公式,a·b=|a||b|cos<a,b>=2cos<a,b>, 则2cos<a,b>=2,即cos<a,b>=1,此时<a,b>=0,即a,b同向共线, 根据向量共线条件,1·cos A=sin A, 即tan A=, 又A∈(0,π),故A= 2.2　运算路径选择能力 [方法5]利用万能公式求解 设t=tan,由万能公式,得sin A+cos A==2, 整理,得t2-2(2-)t+(2-)2=0, 即[t-(2-)]2=0, 解得t=2-, 由二倍角公式,得tan A=, 又A∈(0,π),故A= 2.2　运算路径选择能力 (2)由题设条件和正弦定理,可得sin Bsin C=2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得B=, 于是C=π-A-B=, 则sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=, 由正弦定理,得,即, 解得b=2,c=, 故△ABC的周长为2++3 2.2　运算路径选择能力 学友聊斋 2.2　运算路径选择能力 例2　(2023新高考Ⅰ卷,20)设等差数列{an}的公差为d,且d>1.令bn=,记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和. (1)若3a2=3a1+a3,S3+T3=21,求{an}的通项公式; (2)若{bn}为等差数列,且S99-T99=99,求d. 2.2　运算路径选择能力 [思维路径] (1) 2.2　运算路径选择能力 (2) 2.2　运算路径选择能力 [解题过程] (1)[方法1]因为3a2=3a1+a3, 所以3d=a1+2d, 解得a1=d,则an=nd. 所以S3=3a2=3(a1+d)=6d, 又T3=b1+b2+b3=, 所以S3+T3=6d+=21,即2d2-7d+3=0, 解得d=3或d=(舍去), 所以an=3n. 2.2　运算路径选择能力 [方法2]因为3a2=3a1+a3, 所以3d=a1+2d,解得a1=d, 所以an=a1+(n-1)d=nd, 所以bn=, 则bn-bn-1=, 则{bn}为等差数列, 所以S3+T3=3(a2+b2)=3(2d+)=21, 解得d=3或d=(舍去),所以an=3n. 2.2　运算路径选择能力 (2)[方法1]因为{bn}为等差数列,所以2b2=b1+b3,即, 所以6()=,即-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d. 因为d>1,所以an>0, 又S99-T99=99,由等差数列性质知,99a50-99b50=99,即a50-b50=1, 所以a50-=1,即-a50-2 550=0,解得a50=51或a50=-50(舍去). 当a1=2d时,a50=a1+49d=51d=51,解得d=1,与d>1矛盾,舍去; 当a1=d时,a50=a1+49d=50d=51,解得d= 综上,d= 2.2　运算路径选择能力 [方法2]因为{bn}为等差数列,所以2b2=b1+b3,即, 所以6()=,即-3a1d+2d2=0,解得a1=d或a1=2d. 当a1=d时,an=nd,bn=,所以数列{an-bn}是等差数列,公差是d-,首项是d-,所以S99-T99=99(d-)+(d-)=99,所以d=或d=-1(舍去). 当a1=2d时,an=(n+1)d,bn=,所以数列{an-bn}是等差数列,公差是d-,首项是2d-,所以S99-T99=99(2d-)+(d-)=99, 所以d=-(舍去)或d=1(舍去).综上,d= 2.2　运算路径选择能力 学友聊斋 2.2　运算路径选择能力 例3　(2024新高考Ⅱ卷,16)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 2.2　运算路径选择能力 [思维路径] (1) 2.2　运算路径选择能力 (2) 2.2　运算路径选择能力 [解题过程] (1)当a=1时,f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2), 切线斜率k=e-1,所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y-1=0. (2)[方法1]因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增,无极值,不符合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增, 2.2　运算路径选择能力 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值, 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0,即a2+ln a-1>0, 构建函数g(a)=a2+ln a-1,a>0,则g'(a)=2a+>0,可知g(a)在区间(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 2.2　运算路径选择能力 [方法2]因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a,若f(x)有极小值, 则f'(x)=ex-a有零点. 令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0. 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a, 可知f(x)在区间(-∞,ln a)上单调递减,在区间(ln a,+∞)上单调递增, 则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值,符合题意. 2.2　运算路径选择能力 由题意可得,f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0, 构建函数g(a)=a2+ln a-1,a>0, 因为y=a2,y=ln a-1在区间(0,+∞)上单调递增, 可知g(a)在区间(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0, 不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1), 解得a>1, 所以a的取值范围为(1,+∞). 2.2　运算路径选择能力 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 通过观察条件式的结构特点,准确选择等差数列公式进行求解 2 设出切点的坐标,正确求导,列出方程组,考查运算求解能力 3 考查直线和圆的位置关系,解题关键为求出点P的轨迹 4 合理选择正弦定理、余弦定理解三角形 2.2　运算路径选择能力 1.☆(2024全国甲卷,文5)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1, a3+a7=(　B　) A B C D 2.2　运算路径选择能力 [解题过程][方法1]∵S9=9a5=1, ∴a5=则a3+a7=2a5=故选B. [方法2]∵S9==1, ∴a1+a9= ∴a3+a7=a1+a9=故选B. [方法3]令d=0,则an=a1. 则S9=9a1=1⇒a1= ∴a3+a7=2a1=故选B. 2.2　运算路径选择能力 2.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,12)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　4　.  [解题过程]设切点P(x0,+x0+a). 因为y=ex+x+a, 所以y'=ex+1, 所以解得 2.2　运算路径选择能力 3.☆☆(2025广东深圳高级中学三模)已知A(2,0),B(10,0)两点,若直线 tx-4y+2=0上存在点P,使得=0,则t的取值范围为 [.  2.2　运算路径选择能力 [解题过程]设点P(x,y),已知A(2,0),B(10,0),则=(2-x,-y),=(10-x,-y). 因为=0,可得(2-x)(10-x)+(-y)(-y)=0,整理得(x-6)2+y2=16. 所以点P的轨迹是以(6,0)为圆心,4为半径的圆. 因为直线tx-4y+2=0上存在点P满足条件, 所以直线与圆(x-6)2+y2=16有公共点. 圆心(6,0)到直线tx-4y+2=0的距离d= 因为直线与圆有公共点,所以d≤4,则4. 两边同时平方可得16,即(6t+2)2≤16(t2+16),即5t2+6t-63≤0. 不等式5t2+6t-63≤0的解集为[-,3],即t的取值范围是[-,3]. 2.2　运算路径选择能力 4.☆☆(2025天津卷,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin B=bcos A,c-2b=1,a= (1)求A的值; (2)求c的值; (3)求sin(A+2B)的值. [解题过程](1)∵asin B=bcos A, ∴由正弦定理得sin Asin B=sin Bcos A. 又在△ABC中,sin B>0, ∴sin A=cos A,∴tan A= ∵A∈(0,π),∴A= 2.2　运算路径选择能力 (2)由余弦定理知a2=b2+c2-2bccos A,且A=,a=,∴b2+c2-bc=7.① 又c-2b=1,② 联立①②,解得故c=3. (3)cos B=, ∴sin B= ∴sin 2B=2sin Bcos B=2,cos 2B=2cos2B-1=2×()2-1=, ∴sin(A+2B)=sin(+2B)=sincos 2B+cossin 2B= 2.2　运算路径选择能力 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 密切观察函数解析式的特点,结合函数的奇偶性研究交点问题 2 对等式恰当地赋值,得出结论 3 合理选择正弦定理、余弦定理解三角形 4 以三角复合函数为背景,研究函数的单调性、恒成立问题 5 以椭圆为背景,考查椭圆的几何意义及直线与椭圆的位置关系,对运算路径和运算方法的选择要求较高 2.2　运算路径选择能力 1.☆(2024新高考Ⅱ卷,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　D　) A.-1 B C.1 D.2 2.2　运算路径选择能力 [解题过程][方法1]由f(x)=g(x),得a= 设h(x)=,h(x)在区间(-1,1)内为偶函数, 当x∈(0,1)时,h'(x)=<0,所以h(x)在区间(0,1)内单调递减,h(x)≤h(0)=2,要使y=a与y=h(x)只有一个交点,则a=2. 故选D. [方法2]h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x. 又x∈(-1,1),h(x)为偶函数,唯一零点只能是0,即h(0)=0=a-2,所以a=2. 故选D. 2.2　运算路径选择能力 2.☆(2025北京卷,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0=　1　; a1+a2+a3+a4=　15　.  [解题过程]令x=0,得a0=1.令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15. 2.2　运算路径选择能力 3.☆☆(2023全国甲卷,理16)在△ABC中,∠BAC=60°,AB=2,BC=,∠BAC的角平分线交BC于D,则AD=　2　.  2.2　运算路径选择能力 [解题过程][方法1]由题意,在△ABC中,AB=2,BC=,∠BAC=60°, 由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,解得AC=+1, 由正弦定理,得,解得∠C=45°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD=BAC=30°.(角平分线的性质) 如图,过点D作DE⊥AC于点E,设DE=t, 由几何知识得,AD=2t,AE=t,CE=DE=t, ∴AC=AE+CE=t+t=+1,解得t=1, ∴AD=2t=2. 2.2　运算路径选择能力 [方法2]由方法1知,AC=+1, ∵S△ABC=S△ABD+S△ACD, AB·ACsin 60°=AB·ADsin 30°+AC·ADsin 30°, +1)=AD+AD,∴AD=2. 2.2　运算路径选择能力 4.☆☆☆(2023全国甲卷,文20)已知函数f(x)=ax-,x∈(0,). (1)当a=1时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)+sin x<0,求a的取值范围. [解题过程](1)当a=1时,f(x)=x-, f'(x)=1- = = = 2.2　运算路径选择能力 当0<x<时,∵cos x-1<0, ∴cos2x+2cos x+2=(cos x+1)2+1>0, ∴f'(x)<0. 故当a=1时,f(x)在区间内单调递减. 2.2　运算路径选择能力 (2)设g(x)=f(x)+sin x=ax-+sin x, 则g'(x)=a-+cos x, 若g(x)=f(x)+sin x<0,且g(0)=f(0)+sin 0=0,则g'(0)=a-1+1=a≤0,解得a≤0. 当a=0时,∵sin x-=sin x(1-), 又x,∴0<sin x<1,0<cos x<1,则>1, ∴f(x)+sin x=sin x-<0,满足题意; 2.2　运算路径选择能力 当a<0时,由于0<x<,显然ax<0, 所以f(x)+sin x=ax-+sin x<sin x-<0,满足题意. 综上所述,若f(x)+sin x<0,等价于a≤0, 所以a的取值范围为(-∞,0]. 2.2　运算路径选择能力 5.☆☆☆(2025上海卷,20)已知椭圆=1(a>),其右顶点为A,点M(0,m)且m>0,点P在该椭圆上. (1)若该椭圆的右焦点坐标为(2,0),求其离心率e; (2)若a=4,=2,求m的值; (3)若线段MA的垂直平分线斜率为2,且交椭圆于C,D两点,∠CMD为钝角,求a的取值范围. [解题过程](1)由题意知b2=5,c=2,则a==3, 故该椭圆的离心率e= 2.2　运算路径选择能力 (2)由题意知点A坐标为(4,0),点M坐标为(0,m), 设点P坐标为(x0,y0),则=(x0,y0-m),=(4-x0,-y0). ∵2, 解得 ∴点P的坐标为(). ∵点P在椭圆上,=1⇔m2=10, 又m>0,∴m= 2.2　运算路径选择能力 (3)由题意知kAM==-m=, ∴线段AM的中点坐标为(), ∴线段MA的垂直平分线的方程为y-=2(x-),即y=2x-a. 设点C坐标为(x1,y1),点D坐标为(x2,y2), 则=(x1,y1-),=(x2,y2-), 由 得(4a2+5)x2-3a3x+a4-5a2=0, 2.2　运算路径选择能力 ∴x1+x2=,x1·x2=,Δ=(-3a3)2-4(4a2+5)(a4-5a2)=a4+25a2>0. ∵∠CMD为钝角, <0,即x1x2+(y1-)(y2-)<0, 即x1x2+(2x1-a-)(2x2-a-)<0⇔5x1x2-(x1+x2)+a2<0, ∴5a2<0, 解得a2<11,又a>, <a< 故所求a的取值范围是(). 2.2　运算路径选择能力 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 准确把握条件式的结构特点,准确求解向量的夹角 2 密切观察条件式的结构特点,灵活运用同角三角函数的基本关系和三角恒等变换公式求解问题 3 考查导数的几何意义,导数运算,用导数研究函数的零点 4 考查用导数研究函数的单调性,进而解不等式,由极值的情况求参数的取值范围 5 以椭圆为背景,考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系,对运算路径和运算方法的选择要求较高 2.2　运算路径选择能力 1.☆(2023全国甲卷,理4)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=1,|c|=,且a+b+c=0,则cos<a-c,b-c>=(　D　) A.- B.- C D 2.2　运算路径选择能力 [解题过程]由a+b+c=0,得a+b=-c, 所以(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2, 即|a|2+|b|2+2|a||b|cos<a,b>=|c|2. 又|a|=|b|=1,|c|=,所以2+2cos<a,b>=2, 解得cos<a,b>=0,则<a,b>= 不妨设a=(1,0),b=(0,1). 因为a+b+c=0,所以c=(-1,-1), 所以a-c=(2,1),b-c=(1,2), 所以cos<a-c,b-c>=故选D. 2.2　运算路径选择能力 2.☆(2024新高考Ⅱ卷,13)已知α为第一象限角,β为第三象限角,tan α+tan β =4,tan αtan β=+1,则sin(α+β)=　.  2.2　运算路径选择能力 [解题过程][方法1]tan(α+β)==-2 又2kπ+π<α+β<2kπ+2π,k∈Z,所以α+β为第四象限角. 由sin2(α+β)+cos2(α+β)=1,得sin2(α+β)+sin2(α+β)=1,所以sin2(α+β)= 又sin(α+β)<0,所以sin(α+β)=- [方法2]设tan α=m,tan β=n,m>0,n<0,则sin α=, cos α=,sin β=,cos β=, ∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β==- 2.2　运算路径选择能力 3.☆☆(2025山东名校高三4月校际联合检测)已知直线y=kx+7(k∈R)与曲线y=-ln x相切,则k=　-4　.  2.2　运算路径选择能力 [解题过程]由y=-ln x,得y'=-, 设切点坐标为(x0,y0),由导数的几何意义得k=-, 又点(x0,y0)既在直线上又在曲线上,所以kx0+7=-ln x0, 联立k=-和kx0+7=-ln x0,消去k,得ln x0-+6=0. 令h(x)=ln x-+6(x>0),则h'(x)=>0恒成立, 即函数h(x)=ln x-+6在区间(0,+∞)内单调递增, 又h(1)=0,所以x0=1,得到k=-=-4. 2.2　运算路径选择能力 4.☆☆☆(2025上海卷,19)已知函数f(x)=x2-(m+2)x+mln x,m∈R. (1)若f(1)=0,求不等式f(x)≤x2-1的解集; (2)若函数y=f(x)满足在区间(0,+∞)上存在极大值,求m的取值范围. [解题过程](1)由题意知f(1)=1-(m+2)=0, 可得m=-1,则f(x)=x2-x-ln x, 于是f(x)≤x2-1⇔x+ln x-1≥0. 设g(x)=x+ln x-1,x>0, ∵g'(x)=1+>0在区间(0,+∞)上恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递增. 又g(1)=0,∴g(x)≥0⇔g(x)≥g(1)⇔x≥1, ∴不等式f(x)≤x2-1的解集为{x|x≥1}. 2.2　运算路径选择能力 (2)∵f'(x)=2x-(m+2)+,x∈(0,+∞), ∴当m≤0时,f'(x)>0⇔x>1,f'(x)<0⇔0<x<1. ∴f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,此时f(x)无极大值. 当>1即m>2时,f'(x)>0⇔0<x<1或x>,f'(x)<0⇔1<x<, ∴f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,)内单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=1处取得极大值. 2.2　运算路径选择能力 当0<<1即0<m<2时,f'(x)>0⇔0<x<或x>1,f'(x)<0<x<1, ∴f(x)在区间(0,)内单调递增,在区间(,1)内单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增,此时f(x)在x=处取得极大值. 当=1即m=2时,f'(x)=0恒成立, 此时f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,函数无极值. 综上,可知m的取值范围为(0,2)∪(2,+∞). 2.2　运算路径选择能力 5.☆☆☆(2025天津卷,18)已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,P为直线x=a上一点,且直线PF的斜率为,△PFA的面积为,椭圆的离心率为 (1)求椭圆的方程; (2)若过点P的直线与椭圆有唯一的公共点B(点B异于点A),求证:直线PF平分∠AFB. 2.2　运算路径选择能力 [解题过程](1)设F(-c,0),则直线PF:y=(x+c). 当x=a时,y=(a+c),即P(a,). 由e=,知,∴a=2c.① 由S△PFA=,知|FA|·|PA|=, 即(a+c),即(a+c)2=9.② 由①②得c=1,a=2,∴b2=3. ∴椭圆的方程为=1. 2.2　运算路径选择能力 (2)证明:由(1)知P(2,1),直线PB存在斜率且不为0. 由题意知直线PB与椭圆相切. 设直线PB的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k). 设B(x0,y0),由 消去y,整理得(3+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-12=0, 则Δ=0,即64k2(1-2k)2-4(3+4k2)×4[(1-2k)2-3]=0, 即4k2(1-2k)2-(3+4k2)(1-2k)2+3(3+4k2)=0,解得k=- 2.2　运算路径选择能力 ∴x0=-=1,直线PB的方程为y=-x+2, ∴y0=,即B(1,). 由F(-1,0),B(1,)知直线BF的方程为y=(x+1),即3x-4y+3=0. ∴点P(2,1)到直线BF的距离d1==1, 又点P到直线AF的距离d2=1, ∴d1=d2,即点P到直线AF,BF的距离相等, ∴直线PF平分∠AFB. 2.2　运算路径选择能力 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 通过合理手段,准确计算不规则几何体的体积 2 以“数字通信”为背景,问题本质为全概率公式 3 综合考查双曲线与抛物线的定义及几何性质 4 以含有三角的函数为背景,研究函数的单调性、不等式的恒成立问题 5 综合考查直线与抛物线的位置关系、弦长问题及直线恒过定点问题,对运算路径及运算方法的选择要求较高 2.2　运算路径选择能力 1.☆(2024天津卷,9)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间的距离均为1,若AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为(　C　) A B C D 2.2　运算路径选择能力 [解题过程]如图,用一个和五面体ABC-DEF完全相同的五面体HIJ-LMN与五面体ABC-DEF拼在一起,其中顶点L,M,N分别与顶点D,E,F重合. 由题意可知,拼成的组合体是一个三棱柱. 该三棱柱的直截面(与侧棱垂直的截面) 是边长为1的等边三角形, 其面积为12=, 三棱柱的侧棱长为1+3=2+2=3+1=4, 所以VABC-DEF=VABC-HIJ=4=故选C. 2.2　运算路径选择能力 2.☆☆(2025河北石家庄一模)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时,接收为0和1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时,接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,已知接收的信号为0,则发送的信号是1的概率为(　B　) A B C D 2.2　运算路径选择能力 [解题过程]设A=“发送的信号为0”,B=“接收到的信号为0”, 则=“发送的信号为1”,=“接收到的信号为1”. 由题意得P(A)=P()=0.5,P(B|A)=0.9,P(|A)=0.1, P(B|)=0.05,P()=0.95, P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.05=0.475, P(|B)= 故选B. 2.2　运算路径选择能力 3.☆☆(2025天津卷,9)已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以F2为焦点的抛物线y2=2px(p>0)与双曲线在第一象限的交点为P.若|PF1|+|PF2|=3|F1F2|,则双曲线的离心率为(　A　) A.2 B.5 C D 2.2　运算路径选择能力 [解题过程]如图,由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a, 而|PF1|+|PF2|=3|F1F2|=6c,∴|PF1|=a+3c,|PF2|=3c-a. 又=c,∴p=2c,即y2=4cx. 设P(x0,y0),过点P作PH垂直于准线x=-,H为垂足. 由抛物线定义得|PF2|=x0+c=3c-a,∴x0=2c-a. 又|PH|=|PF2|,|PH|2+=|PF1|2, ∴|PF2|2+=|PF1|2,∴y0= 代入方程y2=4cx,得12ac=4c(2c-a). ∴2a=c,则e==2.故选A. 2.2　运算路径选择能力 4.☆☆☆(2023全国甲卷,理21)已知函数f(x)=ax-,x∈(0,). (1)当a=8时,讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)<sin 2x,求a的取值范围. [解题过程](1)a=8时,f(x)=8x-(0<x<),f'(x)=, 当f'(x)>0时,cos x>,0<x<; 当f'(x)<0时,cos x<<x< ∴f(x)在区间内为增函数,在区间内为减函数. 2.2　运算路径选择能力 (2)[方法1]令g(x)=f(x)-sin 2x=ax--sin 2x, 则g'(x)=a--2(2cos2x-1), 令t=cos2x,则t∈(0,1), 则h(t)=a--2(2t-1),h'(t)= 令φ(t)=-4t3-2t+6,则φ'(t)=-12t2-2<0, ∴φ(t)单调递减,φ(t)>φ(1)=0, ∴h'(t)>0,h(t)单调递增. 2.2　运算路径选择能力 又当x时,y=cos2x单调递减, ∴g'(x)在区间内单调递减. ∴g'(x)<g'(0)=a-3. 当a≤3时,g'(0)≤0,g(x)单调递减,g(x)<g(0)=0,满足题意. 当a>3时,g'(0)>0,且x时,g'(x)→-∞,∴存在x0使得g'(x0)=0. ∴当x∈(0,x0)时,g'(x)>0,g(x)单调递增, ∴此时存在x,使得g(x)>g(0)=0,不满足题意. 综上,a≤3. 2.2　运算路径选择能力 [方法2]f(x)=ax-=ax-tan3x-tan x, 令g(x)=sin 2x-f(x), 由f(x)<sin 2x,得g(x)>0, 即+tan3x+tan x-ax>0, ∴g'(x)=+3(tan2x+1)2-2(tan2x+1)-a. 令t=tan2x+1(t>1),则h(t)=+3t2-2t-a,h'(t)=, 令φ(t)=3t3-t2-2,则φ'(t)=9t2-2t,当t∈(1,+∞)时,φ'(t)>0, ∴φ(t)在区间(1,+∞)上单调递增, 2.2　运算路径选择能力 又φ(1)=0,∴φ(t)>0,∴h'(t)>0, ∴h(t)在区间(1,+∞)上单调递增,h(t)>h(1)=3-a, 当a≤3时,3-a≥0,h(t)>0, ∴g'(x)>0,g(x)在区间内单调递增,g(x)>0对x恒成立. 当a>3时,若g(x)>g(0)=0对x恒成立,则h(1)=3-a<0. 又h(t)在区间(1,+∞)上单调递增,且t→+∞时,h(t)→+∞, ∴存在t0∈(1,+∞)使得h(t0)=0, ∴存在x0使得g'(x0)=0.与g(x)>g(0)=0对x恒成立矛盾. 综上,a≤3. 2.2　运算路径选择能力 [方法3]由于∀x,f(x)<sin 2x, 则ax<, 即a<(2cos x+), 当x→0时,1,故猜想a≤3, 下证a≤3时,f(x)<sin 2x成立, 由a≤3得ax≤3x,即ax-3x-, 2.2　运算路径选择能力 令g(x)=3x--sin 2x,g(0)=0,只需证g(x)<g(0), g'(x)=3--2cos 2x = =<0, g(x)在区间内单调递减,g(x)<g(0)=0,∴3x--sin 2x<0成立. 综上,a≤3时,f(x)<sin 2x成立. 2.2　运算路径选择能力 5.☆☆☆(2025安徽六安毛坦厂中学考前适应性考试)已知抛物线W: y2=2px(p>0)的焦点为F,直线l1:x-y+1=0与W相切. (1)求W的方程. (2)过点F且与l1平行的直线l2与W相交于M,N两点,求|MN|. (3)已知点P(4,4),直线l与W相交于A,B两点(异于点P),若直线AP,BP分别和以F为圆心的动圆相切,试问直线l是否过定点?若是,请求出定点坐标;若不是,请说明理由. 2.2　运算路径选择能力 [解题过程](1)联立消去x,整理得y2-2py+2p=0. 因为l1与W相切,所以(-2p)2-8p=0,解得p=2或p=0(舍去), 故W的方程为y2=4x. (2)由(1)可知F(1,0). 因为l1∥l2,所以l2的方程为x-y-1=0. 设M(x1,y1),N(x2,y2). 联立消去x,整理得y2-4y-4=0,Δ>0显然成立, 则y1+y2=4,y1y2=-4,|MN|=x1+x2+p=y1+1+y2+1+2=8. 2.2　运算路径选择能力 (3)设A(4a2,4a),B(4b2,4b),则直线l的方程为x=(a+b)y-4ab,① 直线AP的方程为x=(a+1)y-4a,直线BP的方程为x=(b+1)y-4b. 设动圆F的半径为r. 因为直线AP和圆F相切, 所以=r, 整理得(16-r2)a2+(8-2r2)a+1-2r2=0, 同理可得(16-r2)b2+(8-2r2)b+1-2r2=0, 所以a,b是关于x的一元二次方程(16-r2)x2+(8-2r2)x+1-2r2=0的两个实数根, 2.2　运算路径选择能力 由Δ>0且16-r2≠0,易得r∈(0,4)∪(4,5),则a+b=,ab=, 代入①式整理得x= 由=16,得y=-,此时x=,故直线l恒过定点(,-). 2.2　运算路径选择能力 $