2.3　估值与近似计算能力 课件——2026届高三数学二轮复习

2.3　估值与近似计算能力 估值与近似计算采用近似处理的手段简化问题,是一种数学运算的方法技巧.它是以正确的算理为基础,采用近似的计算公式和方法等,使问题迅速、快捷地解决.估值与近似计算能力是一种较高层次的数学能力. 2.3　估值与近似计算能力 例1　(2023新高考Ⅰ卷,12,多选题)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　　) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体 2.3　估值与近似计算能力 [思维路径] 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程] 对于A选项,正方体内切球直径为1 m.因为1>0.99,故A正确; 对于B选项,如图,正方体内部最大的正四面体棱长为BA1= m,>1.4,故B正确; 2.3　估值与近似计算能力 对于C选项,如图,因为圆柱的底面直径为0.01 m(可忽略不计),故可将高为1.8 m的圆柱看作长为1.8 m的线段,而正方体的体对角线AC1长为 m,且<1.8,故C错误; 2.3　估值与近似计算能力 对于D选项,如图①,因为圆柱体的高为0.01 m(可忽略不计),可以将该圆柱体看作直径为1.2 m 的圆.设E,F,G,H,I,J为各棱的中点,六边形EFGHIJ为正六边形,如图②,其棱长为 m,其内切圆直径的长等于FH的长, ∠GFH=∠GHF=30°,所以FH=FG=GH=(m).因为>1.2,故D正确.故选ABD. 图① 图② 2.3　估值与近似计算能力 学友聊斋 2.3　估值与近似计算能力 例2　(2023北京卷,18)为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示.在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高;用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低;用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同. 时段 价格变化 第1天到 第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 + 第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - + 2.3　估值与近似计算能力 用频率估计概率. (1)试估计该农产品价格“上涨”的概率. (2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的.在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率. (3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响.判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大.(结论不要求证明) 2.3　估值与近似计算能力 [思维路径] 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程] (1)根据表格数据可以看出,40天里有16个+,也就是有16天是上涨的, 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为=0.4. (2)在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨、下跌、不变的概率分别是0.4,0.35,0.25,于是未来任取4天,2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率是0.420.35×0.25=0.168. (3)由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次,不变的有9次,下跌的有2次,因此估计第41天不变的概率最大. 2.3　估值与近似计算能力 学友聊斋 2.3　估值与近似计算能力 例3　(2025新高考Ⅰ卷,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1 000人,得到如下列联表: 组别 检查结果 合计 正常 不正常 患该疾病 20 180 200 未患该疾病 780 20 800 合计 800 200 1 000 2.3　估值与近似计算能力 (1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为P,求P的估计值; (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果是否与患该疾病有关. 附:χ2= P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 2.3　估值与近似计算能力 [思维路径] 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程] (1)超声波检查结果不正常者有200人,这200人中患该疾病的有180人, 所以P= (2)零假设为H0:超声波检查结果与是否患该疾病无关. 根据列联表中的数据, 经计算得到χ2==765.625>10.828=x0.001. 根据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为超声波检查结果与是否患该疾病有关. 2.3　估值与近似计算能力 学友聊斋 2.3　估值与近似计算能力 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 通过频率分布直方图,考查百分位数 2 借助问题情境,对满足正态分布的变量的概率进行合理估计 3 以遗忘曲线为背景,结合对数运算法则,考查基本运算能力 4 考查经验回归直线的有关知识 2.3　估值与近似计算能力 1.☆(2025湖北省十一校一模)某工厂生产了500件产品,质检人员测量其长度(单位:厘米),将测量数据分成6组,整理得到如图所示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过a厘米,根据直方图估计,下列最接近a的数是(　C　) A.93.5 B.94.1 C.94.7 D.95.5 [解题过程]观察频率分布直方图, 得1-0.05×1=0.95,1-(0.05+0.15)×1=0.8, 0.8<0.9<0.95, 则a∈(94,95),(a-94)×0.15+0.8=0.9, 所以a≈94.67,与94.67最接近的数为94.7.故选C. 2.3　估值与近似计算能力 2.☆(2025江西师范大学附属中学三模)为弘扬我国的优秀传统文化,某市教育局对全市所有中小学生进行了语言表达测试,经过大数据分析,发现本次语言表达测试成绩服从N(70,64),据此估计,测试成绩大于94的学生所占的百分比约为(　A　) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3. A.0.135% B.0.27% C.2.275% D.3.173% [解题过程]依题意μ=70,σ=8,94=μ+3σ,所以测试成绩大于94的学生所占的百分比为100%=0.135%.故选A. 2.3　估值与近似计算能力 3.☆(2025江西重点中学盟校高三下学期第二次联考)某同学根据自己记忆100个英语新单词的经历,用画图软件拟合了自己的遗忘曲线,得到其记忆率y(记住的单词个数占总单词数的百分比)与初次记忆经过的时间x(单位:小时)的函数关系式为y=1-0.5x0.06,当记住的单词仅剩25个时,离初次记忆经过了约(　C　) 参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48. A.100小时 B.300小时 C.1 000小时 D.3 000小时 [解题过程]由题意得100(1-0.5x0.06)=25,所以1-0.5x0.06=,即x0.06=,两边同时取以10为底的对数,得0.06lg x=lg 3-lg 2≈0.48-0.3=0.18,所以lg x≈3,x≈1 000.故选C. 2.3　估值与近似计算能力 4.☆(2025上海卷,17)中国队获得2024年巴黎奥运会男子4×100米混合泳接力金牌.以下为获得近十届奥运会该项目金牌队的成绩,数据按照升序排列如下(单位:s): 206.78　207.46　207.95　209.34　209.35 210.68　213.73　214.84　216.93　216.93 (1)求该数据的极差和中位数; (2)从这10个数据中抽3个数据,求恰有2个数据在211以上的概率; (3)若比赛成绩y关于年份x的回归直线方程为y=-0.311x+,年份x的平均数为2 006,预测2028年该项目金牌队的成绩. 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)由题意知,所给数据的极差为216.93-206.78=10.15, 中位数为=210.015. (2)P(恰有2个数据在211以上)= (3)由题意知,(206.78+207.46+207.95+209.34+209.35+210.68+213.73+214.84+216.93+216.93)=211.399,=2 006,把=211.399代入y=-0.311x+, 解得=835.265. 将x=2 028代入y=-0.311x+835.265,可求得y=204.557. 故预测2028年该项目金牌队的成绩为204.557 s. 2.3　估值与近似计算能力 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 借助问题情境,对满足正态分布的变量进行合理概率估计 2 以“光伏太阳能板的保有量”为背景,结合指数运算法则,考查基本运算能力 3 考查独立性检验,及依据偏差系数进行合理估计 4 依托真实生活情境,综合考查相互独立事件的概率计算以及概率分布列,对满足正态分布的变量进行合理估计 2.3　估值与近似计算能力 1.☆(2024新高考Ⅰ卷,9,多选题)为了解某种植区推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　BC　) (若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.841 3) A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程]由题意知,X~N(1.8,0.12),Y~N(2.1,0.12). ∵P(X<1.8+0.1)≈0.841 3, ∴P(X>1.8+0.1)≈1-0.841 3=0.158 7. ∴P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1)≈0.158 7,∴A错误. P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,∴B正确. ∵P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3, ∴C正确,D错误. 故选BC. 2.3　估值与近似计算能力 2.☆(2025湖北武汉四调)为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1 020万块,那么2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约　36　万块.  (结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.6≈0.55) 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程]根据题意,所给模型中y0=20,N=1 020,p=10%=0.1,x=6, 则2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量为 y=, 因为e-0.6≈0.55, 所以y=36, 所以2030年年底该地区光伏太阳能板的保有量约36万块. 2.3　估值与近似计算能力 3.☆☆(2025山东齐鲁名校教研共同体第五次联考)某校开设农耕劳动教育课,共设置了两类课程:农作物种植和田间管理,学校对选择这两类课程的学生人数进行了统计,数据记录在如下表格中. 课程种类 性别 合计 男生 女生 农作物种植课程 160 80 240 田间管理课程 40 120 160 合计 200 200 400 2.3　估值与近似计算能力 (1)根据小概率值α=0.001的独立性检验,判断男生和女生在选择课程的偏好上是否有差异. (2)选择农作物种植课程的学生被分为6个小组,各小组种植的农作物存活率xi%(i=1,2,3,4,5,6)分别为50%,70%,60%,66%,72%,84%.学校为了解存活率的偏差情况,需计算偏差系数w,其值越大,对大偏差数据的体现越明显.现给出两种计算偏差系数的方式:①w1=|xi-|,②w2=,请比较哪一种方式对大偏差数据的体现更明显. 附:χ2= α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)零假设为H0:男生和女生在选择课程的偏好上无差异. 由已知得χ2=66.667>10.828, 所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,推断零假设H0不成立,即可以判定男生和女生在选择课程的偏好上有差异,此推断犯错误的概率不大于0.001. 2.3　估值与近似计算能力 (2)(50+70+60+66+72+84)=67, 根据①:w1=|xi-|=(17+3+7+1+5+17)= 根据②:w2= 因为,所以,w1<w2,所以方式②对大偏差数据的体现更明显. 2.3　估值与近似计算能力 4.☆☆(2025江西省部分高中(上进联考)二模改编)某公司引入人工智能系统,并对员工进行了相关技能培训.公司规定:只有培训合格才能上岗,否则将补训. (1)若员工甲、乙、丙培训合格的概率分别为,求甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率; (2)为了激发员工的培训积极性,该公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛的员工的竞赛成绩Z近似服从正态分布N(90,9),若该集团共有2 000名员工,试估计这些员工中成绩超过93分的人数;(结果精确到个位) 2.3　估值与近似计算能力 (3)参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢大奖活动,活动规则如下:共有3道题,每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为,且每题答对与否都相互独立,记甲获得的总奖金为X元,求X的分布列与数学期望E(X). 参考数据:若Z~N(μ,σ2), 则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.682 7, P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.954 5, P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997 3. 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)分别记甲、乙、丙培训合格为事件A,B,C, 则甲、乙、丙三人中至少有一人不需要补训的概率 P=1-P()=1-(1-)×(1-)×(1-)= (2)由已知得μ的近似值为90,σ的近似值为3, 所以P(Z>93)=P(Z>μ+σ)=0.158 65, 而2 000×0.158 65=317.3≈317, 所以估计这些员工中成绩超过93分的人数为317. 2.3　估值与近似计算能力 (3)X的所有可能取值为0,800,1 600,2 400, P(X=0)=()3=, P(X=800)=()×()2=, P(X=1 600)=()2, P(X=2 400)=()3=, 所以X的分布列为 E(X)=0+800+1 600+2 400=1 800. X 0 800 1 600 2 400 P 2.3　估值与近似计算能力 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 结合实际问题情境,研究随机变量的概率分布列 2 求解随机变量的概率分布列,并结合数列知识综合考查概率知识,多模块知识点融合 3 求解经验回归方程,并应用概率知识对实际问题进行决策 2.3　估值与近似计算能力 1.☆☆(2025浙江台州二模)某市为了推广垃圾分类,在全市范围内开展了一系列宣传活动.为了评估宣传效果,市环保部门随机抽取了1 000名市民进行调查.假设该市成年人口为100万,且调查结果可以代表全市成年人口的情况.调查结果为 了解情况 非常了解 一般了解 不了解 人数/人 580 320 100 2.3　估值与近似计算能力 (1)从该市成年人中随机抽取1人,求其对垃圾分类知识“不了解”的概率; (2)该市环保部门计划对“不了解”垃圾分类知识的市民进行重点宣传.假设经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变.经过重点宣传后,从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,求X的分布列及数学期望. [解题过程](1)已知随机抽取了1 000名市民进行调查,其中“不了解”的人数为100,根据古典概型概率公式可得P==0.1, 所以从该市成年人中随机抽取1人,对垃圾分类知识“不了解”的概率P=0.1. 2.3　估值与近似计算能力 (2)原来“不了解”的市民占比为10%, “非常了解”的市民占比为=58%, “一般了解”的市民占比为=32%, 经过重点宣传后,“不了解”的市民中有50%转变为“一般了解”,有20%转变为“非常了解”,其余保持不变, 所以重点宣传后“非常了解”的概率为58%+10%×20%=0.58+0.02=0.6. 从该市成年人口中随机抽取3人,记X为其中对垃圾分类知识“非常了解”的人数,因为每次抽取是相互独立的,且抽取到“非常了解”的概率都为0.6,所以X~B(3,0.6), 2.3　估值与近似计算能力 根据二项分布的概率公式P(X=k)=0.6k×(1-0.6)3-k,k=0,1,2,3. P(X=0)=0.60×(1-0.6)3-0=1×1×0.43=0.064, P(X=1)=0.61×(1-0.6)3-1=3×0.6×0.42=0.288, P(X=2)=0.62×(1-0.6)3-2=3×0.36×0.4=0.432, P(X=3)=0.63=0.63=0.216. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288 0.432 0.216 因为X~B(3,0.6),根据二项分布的数学期望公式可得E(X)=3×0.6=1.8. 2.3　估值与近似计算能力 2.☆☆☆(2025江西宜春十校三模)某电视台为迎接2025年新春佳节的到来,特举办一个有奖竞猜节目,问题有生活类、益智类两类.每位参赛者回答n(n≥3)次,每次回答一个问题,每位参赛者回答的第1个问题均从生活类题库中随机抽取,规定:对所有的问题,若答对,则下一题从益智类题库中随机抽取;若答错,则下一题从生活类题库中随机抽取.已知答对一个生活类问题得10元,答错得0元;答对一个益智类问题得20元,答错得0元.已知李明答对每个生活类问题的概率均为,答对每个益智类问题的概率均为,且每次回答正确与否相互独立. (1)记李明前两个问题累计获奖为X元,求X的分布列及数学期望; (2)记李明第i个问题回答正确的概率为Pi(i=1,2,…,n),证明:为等比数列,并求{Pi}的通项公式. 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)依题意,随机变量X的可能取值为0,10,30,李明答对每个生活类题目的概率均为,答对每个益智类题目的概率均为, 当X=0时,两道生活类题目都答错,P(X=0)=(1-)×(1-)=; 当X=10时,第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答错或者第1道生活类题目答错且第2道生活类题目答对,即P(X=10)=(1-)+(1-); 当X=30时,第1道生活类题目答对且第2道益智类题目答对, P(X=30)=, 所以随机变量X的分布列为 所以E(X)=0+10+30 X 0 10 30 P 2.3　估值与近似计算能力 (2)若李明第i道题目回答正确,则第i+1道回答益智类题目,此时他回答正确的概率为, 若李明第i道题目回答错误,则第i+1道回答生活类题目,此时他回答正确的概率为,所以Pi+1=Pi+(1-Pi)=-Pi+, 则Pi+1-=-Pi+=-(Pi-),而P1-, 因此是首项为,公比为-的等比数列,即Pi-(-)i-1, 所以Pi=(-)i-1, 所以{Pi}的通项公式是Pi=+(-1)i-1 2.3　估值与近似计算能力 3.☆☆☆(2025广东一调)近年来,中国新能源汽车产业,不仅技术水平持续提升,市场规模也持续扩大,取得了令人瞩目的成就,国产新能源汽车正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流.某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研,数据如下: 时间 2023年 12月 2024年 1月 2024年 2月 2024年 3月 2024年 4月 月份代码x 1 2 3 4 5 销量y/千辆 14 15 16 18 19 (1)若y与x线性相关,求y关于x的线性回归方程,并估计该地区新能源汽车在2025年1月份的销量; 2.3　估值与近似计算能力 (2)该企业为加强新能源汽车宣传推广,计划引进人工智能工具,并对宣传部门员工进行人工智能工具使用培训.为节约培训成本,需要将宣传部门部分员工调整至其他部门,剩余宣传部门员工全部参加培训.培训分为四期,每期培训的结果是否“优秀”相互独立,且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为,员工至少两期培训达到“优秀”标准,才能使用人工智能工具.该企业宣传部门现有员工100人,开展培训前,员工每人每年平均为企业创造净利润12万元,开展培训后,能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造净利润18万元,本次培训费每人1万元(计入年度部门成本).若要确保调整后第一年,宣传部门员工创造的年净利润不低于调整前,请应用概率知识进行决策,预计最多可调整多少人去其他部门? 参考公式: 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)由题意得=3,=16.4, xiyi=1×14+2×15+3×16+4×18+5×19=259, =12+22+32+42+52=55, 所以=1.3,=16.4-1.3×3=12.5, 所以y关于x的线性回归方程为=1.3x+12.5, 由题意得,2025年1月份的月份代码为14,当x=14时,=1.3×14+12.5=30.7, 所以估计该地区新能源汽车在2025年1月份的销量为30.7千辆. 2.3　估值与近似计算能力 (2)记事件M为“员工经过培训后,能使用人工智能工具”, 则P(M)=1-)4-)1()3=, 设宣传部门调至其他部门人数为n(n∈N*), 则参加培训的人数为100-n, 设ξ为培训后能使用人工智能工具的人数, 则ξ~B(100-n,), 故E(ξ)=, 2.3　估值与近似计算能力 调整后年净利润预计为 18+(1-)×(100-n)×12-(100-n)=万元, 由题意得100×12, 解得n26.5, 所以预计最多可调整26人去其他部门. 2.3　估值与近似计算能力 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 透过生活情境,结合正态分布对实际问题进行合理估计 2 新定义“似然函数”,结合导数知识对实际问题进行最大似然估计 3 考查数据平均数、方差,并结合新定义对伸缩率进行合理评估 4 结合实际问题情境,对变量进行独立性检验并在二项分布背景下研究概率最大值 2.3　估值与近似计算能力 1.☆☆(2025湖北七市州高三下学期3月联合统一调研,多选题)若小明坐公交上班的用时X(单位:分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位:分钟)分别满足X~N(30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在t=38分钟时相交,则下列说法正确的是(　BD　) A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t1,则t1<30 D.若要在34分钟内上班不迟到,小明最好选择坐公交 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程]由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大,即X的密度曲线较矮胖,Y的密度曲线更瘦高,则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方,可在同一坐标系中作出密度曲线,易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误; 由3σ原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2),故B正确; 2.3　估值与近似计算能力 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为f(x)=, g(x)=, 建立方程=3, 整理可得8x2-552x+9×342-302=72ln 3, 则t1+38==69⇒t1=31>30,故C错误; 易知P(X≤34)>0.5=P(Y≤34),故D正确. 故选BD. 2.3　估值与近似计算能力 2.☆☆(2025湖北武汉武昌区三模)已知服从二项分布的似然函数为L(p)=pk(1-p)n-k(其中p表示成功的概率,n为样本总数,k为成功次数).现有一个研究团队研究发现概率p与参数θ(0<θ<1)的取值有关,该团队提出函数模型为p(θ)=(log2θ+5).在统计学中,若参数θ=θ0时使得概率L(p)最大,则称θ0是θ的最大似然估计.若n=20,k=5,根据这一原理和该团队提出的函数模型可以求出θ的最大似然估计,其最大似然估计θ0为(　B　) A B C D 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程]对函数L(p)两边取自然对数, 得函数f(p)=ln +kln p+(n-k)ln(1-p), 对其求导可得f'(p)=(kln p)'+[(n-k)ln(1-p)]'=+(n-k) 令f'(p)=0,即=0,即, 所以k(1-p)=(n-k)p,解得p= 令f'(p)>0,则0<p<,令f'(p)<0,则<p<1. 则函数f(p)在(0,)内单调递增,在(,1)内单调递减,所以f(p)在p=时取极大值,即最大值,则函数L(p)当p=时取最大值. 2.3　估值与近似计算能力 已知k=5,n=20,则 已知函数模型p(θ)=(log2θ+5),且p(θ)在(0,1)内单调递增. 令p(θ0)=,即(log2θ0+5)=,可得log2θ0=2-5=-3. 所以θ0=2-3=,所以θ0=是θ的最大似然估计. 故选B. 2.3　估值与近似计算能力 3.☆☆(2023全国乙卷,文17)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应,进行10次配对试验,每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品,随机地选其中一个用甲工艺处理,另一个用乙工艺处理,测量处理后的橡胶产品的伸缩率,甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi,yi(i=1,2,…,10),试验结果如下: 试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548 伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536 2.3　估值与近似计算能力 记zi=xi-yi(i=1,2,…,10),记z1,z2,…,z10的样本平均数为,样本方差为s2. (1)求,s2. (2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高.(如果2,则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高,否则不认为有显著提高) 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)∵zi=xi-yi, ∴z1=9,z2=6,z3=8,z4=-8,z5=15,z6=11,z7=19,z8=18,z9=20,z10=12, 则(9+6+8-8+15+11+19+18+20+12)=11, s2=[(9-11)2+(6-11)2+(8-11)2+(-8-11)2+(15-11)2+(11-11)2+(19-11)2+(18-11)2+(20-11)2+(12-11)2]=(4+25+9+361+16+0+64+49+81+1)=61. (2)∵2=2<11,即2, ∴可判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高. 2.3　估值与近似计算能力 4.☆☆☆(2025四川宜宾三模)为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果,需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组,甲组200只,乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内,一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体,其中该项指标值不小于60的占;没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的. 2.3　估值与近似计算能力 (1)填写如下的列联表,并根据列联表及α=0.001的独立性检验,判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关; 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体       没有抗体       合计       2.3　估值与近似计算能力 (2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率,记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为X,当P(X=k)(0≤k≤100,k∈N)取最大值时,求k. 参考公式:χ2=(其中n=a+b+c+d为样本容量) 参考数据: α 0.1 0.05 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 7.879 10.828 2.3　估值与近似计算能力 [解题过程](1)由题可得,2×2列联表如下: 抗体 指标值 合计 小于60 不小于60 有抗体 25 125 150 没有抗体 20 30 50 合计 45 155 200 零假设为H0:注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60无关联.根据列联表中的数据,得χ2=11.708>10.828=x0.001, 根据小概率值α=0.001的独立性检验,推断H0不成立,即认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关,此推断犯错误的概率不大于0.001. 2.3　估值与近似计算能力 (2)由题知每只小白鼠在注射疫苗后产生抗体的概率的估计值为, 所以随机变量X~B(100,), 所以P(X=k)=()k×()100-k(k=0,1,2,…,100),要使P(X=k)最大, 则 解得k(k∈N), 所以k=75. 2.3　估值与近似计算能力 $