解题方法信息提取 2.1数学抽象能力 课件-2026届高三数学二轮复习

第二节　数学抽象能力 能力阐释 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表达. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.1　数量与数量关系的数学抽象 通过高中数学课程的学习,学生能够从具体情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系,积累从具体到抽象的活动经验;培养在日常生活中和实践中进行一般性思考问题的习惯,把握事物的本质,以简驭繁;运用数学抽象的思维方式来思考和解决问题. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 能力表现 数学抽象贯穿于数学产生、发展、应用的全过程,是数学的基本思想,也是形成理性思维的重要基础,反映了数学的本质特征.数学抽象使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统.进行数学抽象的思维路径如下: 2.1　数量与数量关系的数学抽象 下面通过示例阐述数学抽象的表现: 示例:(2022新高考Ⅰ卷,7)设a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9,则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 第一步:获得数学概念和规则 观察三个数的共同特征:a=0.1e0.1,b=,c=-ln 0.9=-ln(1-0.1). 2.1　数量与数量关系的数学抽象 第二步:提出数学命题和模型 将0.1抽象成x,构造函数:f(x)=xex,g(x)=,h(x)=-ln(1-x). 比较大小常用作差法: f(x)-g(x)=xex-=x(ex-),x∈(0,1), f(x)-h(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,1), 作差后构造出新函数φ(x)=ex-,x∈(0,1),F(x)=xex+ln(1-x),x∈(0,1),利用导数判断函数单调性比较a,b,c的大小. 还可以优化以上解题过程. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 构造函数优化1: 第1步,比较a,b的大小.f(x)=xex=,g(x)=,分子相同,只需比较分母大小,根据指数切线不等式ex≥x+1,有e-x≥-x+1,当且仅当x=0时,等号成立,所以当x∈(0,1)时,e-x>-x+1>0,,故a<b. 第2步,比较b,c的大小.二者中均含1-x,g(x)==-1+,h(x)=ln,根据对数切线不等式可得h(x)=ln-1,当且仅当x=0时,等号成立,则当x∈(0,1)时,h(x)<g(x),故c<b. 第3步,比较a,c的大小.a,c的大小比较同上,但运算量大,可以稍微优化. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 构造函数优化2: 根据指数切线不等式ex≥x+1(当且仅当x=0时,等号成立),得e0.1>0.1+1=1.1. c=-ln 0.9如何处理? 我们来看对数平均不等式,当m>0,n>0,且m≠n时,有. 当x>1时,令m=x,n=,有1<,化简可得2ln x<x-.由此可构造函数 G(x)=2ln x-x+,x>1,则G'(x)=-1-=-<0,所以G(x)在区间(1,+∞)上单调递减,故G(x)<2ln 1-1+1=0,即2ln x<x-,取x=,得ln×()=<0.11,c=-ln 0.9<0.11<a,所以c<a.综上,c<a<b. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 第三步:形成数学方法与思想 函数思想是通过建立函数关系式或构造新函数,利用函数的单调性解决大小比较的问题. 第四步:认识数学结构与体系 2.1　数量与数量关系的数学抽象 能力评价 水平 质量描述 水平一 能够在熟悉的情境中直接抽象出数学概念和规则,能够在特例的基础上,归纳并形成简单的数学命题,能够模仿学过的数学方法解决简单问题. 能够解释数学概念和规则的含义,了解数学命题的条件与结论;能够在熟悉的情境中抽象出数学问题. 能够了解用数学语言表达的推理和论证;能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法,体会其中的数学思想. 在交流的过程中,能够结合实际情境解释相关的抽象概念 2.1　数量与数量关系的数学抽象 水平 质量描述 水平二 能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则,能够将已知数学命题推广到更一般的情形,能够在新的情境中选择和运用数学方法解决问题. 能够用恰当的例子解释抽象的数学概念和规则;理解数学命题的条件与结论;能够理解和构建相关数学知识之间的联系. 能够理解用数学语言表达的概念、规则、推理和论证;能够提炼出解决一类问题的数学方法,理解其中的数学思想. 在交流的过程中,能够用一般的概念解释具体现象 2.1　数量与数量关系的数学抽象 水平 质量描述 水平三 能够在综合的情境中抽象出数学问题,并用恰当的数学语言予以表达;能够在得到的数学结论基础上形成新命题;能够针对具体问题运用或创造数学方法解决问题. 能够通过数学对象、运算或关系理解数学的抽象结构,能够理解数学结论的一般性,能够感悟高度概括、有序多级的数学知识体系. 在现实问题中,能够把握研究对象的数学特征,并用准确的数学语言予以表达;能够感悟通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想. 在交流的过程中,能够用数学原理解释自然现象和社会现象 2.1　数量与数量关系的数学抽象 高考链接 数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象得到数学研究对象的素养.作为六大数学核心素养之首,数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的基础.在众多数学关键能力中,数学抽象作为数学学习的基础,是形成数学概念、构建数学模型、提升数学思想、完成命题推演的必备能力.在高考中它常在函数与导数、平面解析几何、数列、概率统计等多个知识模块中进行考查.近三年高考中,考查数学抽象的试题分布情况如下: 2.1　数量与数量关系的数学抽象 关键能力 2025年 2024年 2023年 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 全国 乙卷 数学 抽象 数量与数量关系的数学抽象 3,5,6,8 10 6,11 5,6 理12, 理18 11,19 4,6, 11,18 理12, 理17, 理21 理10, 理16, 理21 2.1　数量与数量关系的数学抽象 关键能力 2025年 2024年 2023年 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 新高 考Ⅰ卷 新高 考Ⅱ卷 全国 甲卷 全国 乙卷 数学 抽象 图形与图形关系的数学抽象 7,10 6,11 5,7,12 7,10 文3,理3, 理7,文10, 理14 6,14, 15 5,14, 16 理10, 理11, 理15 理5, 理8, 理9, 理11 生活实践情境的数学抽象 6 14   4,18 理17 10 12     2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.1　数量与数量关系的数学抽象 数量与数量关系的抽象是根据认识目的,从研究对象中抽取或建构若干构成要素之间的数量关系,舍弃其他无关特征或物理现实意义的抽象方法.在处理问题过程中经常用到数量与数量关系的抽象,有时解题的关键就在于一个关系的抽取或建构.如“比较1 0012 001与2 001!的大小”,这道题可以直接证明,但是通过考虑它的一般情况来证明更为简便.首先,观察1 0012 001与 2 001!的结构和联系可以发现,1 001=,所以问题转化为比较()2 001与2 001!的大小.将2 001抽象成正整数n,将其一般化,即比较()n与n!的大小,联想不等式()n>n!(n>1)以及1+2+3+…+n=,即得到结果.所以在解决问题中,观察条件、结论的结构和联系是非常重要的. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 例1　(2025天津卷,11)在(x-1)6的展开式中,x3的系数为　　　　　.  [思维路径] 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] (x-1)6展开式的通项Tr+1=x6-r(-1)r. 当6-r=3,即r=3时,T4=x3(-1)3=-20x3,即(x-1)6展开式中x3的系数为-20. [答案] -20 2.1　数量与数量关系的数学抽象 学友聊斋 2.1　数量与数量关系的数学抽象 例2　(2025新高考Ⅰ卷,3)已知双曲线C的虚轴长为实轴长的倍,则C的离心率为(　　) A. B.2 C. D.2 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [思维路径] 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 由题可知,b=a,于是a2+b2=c2=a2+7a2=8a2,则c=2a,故e==2.故选D. [答案] D 2.1　数量与数量关系的数学抽象 学友聊斋 2.1　数量与数量关系的数学抽象 例3　(2023全国甲卷,理17)记Sn为数列{an}的前n项和,已知a2=1,2Sn=nan. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列的前n项和Tn. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [思维路径] 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] (1)∵2Sn=nan, 当n=1时,2a1=a1,即a1=0; 当n=3时,2(1+a3)=3a3,即a3=2; 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-1, ∴2(Sn-Sn-1)=nan-(n-1)an-1=2an, 化简得(n-2)an=(n-1)an-1, 当n≥3时,=…==1,即an=n-1, 当n=1,2,3时都满足上式, ∴an=n-1(n∈N*). 2.1　数量与数量关系的数学抽象 (2)由(1)可知an=n-1(n∈N*), ∴an+1=n, ∴=n·, ∴Tn=1×+2×+3×+…+n·, Tn=1×+2×+…+(n-1)·+n·, 两式相减得,Tn=-n·,∴Tn=2-(2+n)·. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 学友聊斋 2.1　数量与数量关系的数学抽象 能 力 训 练 A组　基础性题组 题号 选题理由 1 通过数据,利用平均数和中位数定义,进行相关计算 2 利用周期性和奇偶性把待求自变量转化为[2,3]的范围中求解 3 以分段函数为载体,由解析式抽象出图形,由图形得性质,利用性质解不等式 4 以复合函数为载体,抽象出同增异减法则,得出结果 5 利用赋值法可求a0,利用换元法结合赋值法可求a1+a2+a3+a4的值 2.1　数量与数量关系的数学抽象 1.☆(2025东北三省联考)某同学测得连续7天的最低气温(均为整数)分别为-6,1,-2,t,2,1,5(单位:℃),若这组数据的平均数与中位数相等,则t=(　B　) A.5 B.6 C.10 D.11 [解题过程] 这组数据的平均数为 .除t外,将剩余的6个数据由小到大排列依次为-6,-2, 1,1,2,5,若t≤1,则这组数据的中位数为1,若t>1,同理可知,这组数据的中位数也为1. 因为这组数据的中位数和平均数相等,故=1,解得t=6.故选B. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,5)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f=(　A　) A.- B.- C. D. [解题过程] 由题知f(x)=f(-x),f(x+2)=f(x),于是f(-)=f()=f()=5-2×=-. 故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 3.☆☆(2025山东济南一模)已知函数f(x)=则f(2x)+f(x-3)>0 的解集是(　A　) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-3) D.(-3,+∞) [解题过程] 当x>0时,f(x)=1-ex,-x<0,f(-x)=e-(-x)-1=ex-1=-f(x); 当x<0时,f(x)=e-x-1,-x>0,f(-x)=1-e-x=-f(x); 且当x=0时,f(x)=0,所以f(x)为奇函数.易知f(x)为R上的递减函数, 则f(2x)+f(x-3)>0⇔f(2x)>-f(x-3)=f(3-x)⇒2x<3-x⇒x<1, 所以原不等式的解集为(-∞,1).故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 4.☆☆(2025江苏泰州一模)设函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)上单调递减,则a的最大值为(　C　) A.2 B.3 C.4 D.5 [解题过程] 令u(x)=x2-ax+3,g(x)=log3u(x),则f(x)可视为由u(x)和g(x)构成的复合函数.由对数函数性质得g(x)在区间(0,1)上单调递增,因为f(x)在区间(0,1)上单调递减,所以由复合函数性质得u(x)在区间(0,1)上单调递减.由二次函数性质得u(x)=x2-ax+3的对称轴为直线x=,显然u(x)开口向上, 故解得2≤a≤4,则a的最大值为4.故选C. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 5.☆(2025北京卷,12)已知(1-2x)4=a0-2a1x+4a2x2-8a3x3+16a4x4,则a0= 　1　;a1+a2+a3+a4=　15　.  [解题过程] 令x=0,得a0=1.令x=-,得16=a0+a1+a2+a3+a4,把a0=1代入上式,得a1+a2+a3+a4=15. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 B组　综合性题组 题号 选题理由 1 根据正切函数的对称中心的结论抽象出算法,解决问题 2 抽象函数为载体,根据它运算,抽象出性质,利用性质比较大小 3 以抽象函数为载体,通过赋值法,抽象出性质,利用性质做出判断 4 结合指数、对数的运算,抽象出指对函数,利用它们的图象解题 2.1　数量与数量关系的数学抽象 1.☆(2025新高考Ⅰ卷,4)已知点(a,0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心,则a的最小值为(　B　) A. B. C. D. [解题过程] 根据正切函数的性质,y=2tan(x-)的图象的对称中心的横坐标满足x-,k∈Z,即y=2tan的图象的对称中心是,k∈Z,即a=,k∈Z,又a>0,则k=0时,a取最小值,故a的最小值为.故选B. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.☆☆(2025江苏泰州一模)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(x)在[-2,2]上单调递增.设a=f,b=f,c=f(-13),则(　D　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),则f(x)的图象的对称轴是x=2,f(x+4)=f(-x)=-f(x), 则f(x+8)=-f(x+4)=f(x), 所以f(x)的周期是8, 所以b=f=f=f,c=f(-13)=f(3)=f(1). 因为f(x)在[-2,2]上单调递增,所以b=f<c=f(1)<a=f. 故选D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 3.☆☆☆(2025江西南昌一模,多选题)已知f(x)是R上的连续函数,满足∀x,y∈R,有f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(1)=1.则下列说法中正确的是 (　BCD　) A.f(0)=0 B.f(x)为偶函数 C.f(x)的一个周期为6 D.是f(x)的一个对称中心 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),且f(x)的定义域为R,关于原点对称. 对于选项A,令x=y=0,则2f(0)=f2(0),解得f(0)=0或f(0)=2,若f(0)=0,当y=0时,f(x)+f(x)=2f(x)=f(x)f(0)=0,则f(x)=0,这与f(1)=1矛盾,故f(0)=2,故A错误; 对于选项B,令x=0,则f(y)+f(-y)=f(0)f(y)=2f(y),即f(-y)=f(y),可知f(x)是偶函数,故B正确; 对于选项D,因为f(0)=2,f(1)=1,当x=1,y=1时,f(2)+f(0)=f(1)f(1),故f(2)=-1; 当x=2,y=1时,f(3)+f(1)=f(2)f(1),故f(3)=-2; 当x=y=时,f(3)+f(0)=f2,故f=0. 当x=时,f+f=ff(y)=0, 所以f+f=0,所以是f(x)的一个对称中心,故D正确; 2.1　数量与数量关系的数学抽象 对于选项C,因为f+f=0, 即f=-f, 即f=-f, 则f(x+3)=-f(x), 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),故f(x)是以6为周期的周期函数,故C正确. 故选BCD. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 4.☆☆☆(2025江苏七市二模,多选题)已知2a=loa,log2b=,则(　AD　) A.a+2a=b+2-b B.a+b=2b+2-a C.2b+1> D.2a> 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 对于A,由图可知,y=2x与y=lox交点为A(a,2a)(0<a<1), y=log2x与y=的交点为B(b,2-b)(b>1). 根据指数函数与对数函数为一对反函数知, A,B关于直线y=x对称,故a+2a=b+2-b, 故A正确; 对于B,由A知a+b=2-b+2a,故B错误; 2.1　数量与数量关系的数学抽象 对于C,由a=2-b知2b=,则2b+1=+1,设f(x)=ex-x-1,x∈R, 则f'(x)=ex-1,则当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减; 当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,此时f(x)单调递增,则f(x)≥f(0)=0,则ex-x-1≥0恒成立,即x+1≤ex,当x=0时,等号成立. 令x=,则有+1≤,因为≠0,则+1<,即2b+1<,故C错误; 2.1　数量与数量关系的数学抽象 对于D,设h(x)=ln x+1-x,x∈(0,+∞),则h'(x)=,则当x∈(0,1)时,f'(x)>0, 此时f(x)单调递增; 当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,此时f(x)单调递减;则h(x)≤h(1)=0,即ln x+1-x≤0在(0,+∞)上恒成立,即ln x≤x-1在(0,+∞)上恒成立,当x=1时,等号成立. 令x=,则ln-1,即ln b≥1-. 因为b>1,则ln b>1-,则b>,故2a=b>,故D正确. 故选AD. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 C组　应用性题组 题号 选题理由 1 在实际生活中考查百分位数的定义 2 根据实际问题抽象出数学模型,结合对数的运算性质即可求解 3 在实际问题中抽象出向量,考查向量的图形运算和坐标运算 4 实际问题中的分组分配问题,应用排列组合知识解题 5 以天文学中天体明暗程度为背景,考查对数的运算 2.1　数量与数量关系的数学抽象 1.☆(2025河北邯郸一模)某校举办校园歌手大赛,决赛中12名参赛选手的得分(满分:10分)分别为9.5,8.1,7.8,8.5,8.8,9.1,7.5,9.6,8.6,8.8,9.3,9.0,则这组数据的第75百分位数是(　D　) A.8.6 B.8.8 C.9.1 D.9.2 [解题过程] 将决赛中12名参赛选手的得分从小到大排列: 7.5,7.8,8.1,8.5,8.6,8.8,8.8,9.0,9.1,9.3,9.5,9.6. 12×0.75=9, 所以这组数据的第75百分位数是第9位数和第10位数的平均数, 即=9.2.故选D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.☆☆(2025北京卷,9)在一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时)(　B　) A.2 B.4 C.20 D.40 [解题过程] 由题意,得klog2(1.024×109)-klog2106=20,即klog2=20, ∴klog21 024=20,∴10k=20,解得k=2,即T=2log2N. ∴2log2(4.096×109)-2log2(1.024×109)=2log24=4.故选B. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 3.☆☆(2025新高考Ⅰ卷,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s), 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 图2 2.1　数量与数量关系的数学抽象 则该时刻的真风为(　A　) A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 [解题过程] 由题可知,视风风速为(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速为(3,3)-(2,0)=(1,3). 因为船行风风速与船速大小相等,方向相反,则船行风风速为(-1,-3). 又视风风速是真风风速和船行风风速的和向量, 所以真风风速为(-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2), 故真风风速大小为=2≈2.828.故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 4.☆☆(2025河南郑州二模)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲,每所学校至少安排1人,其中甲、乙安排在同一所学校的概率为(　A　) A. B. C. D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,若教师人数为3,1,1,1, 则不同的安排方法种数为=480; 若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为=1 080, 故不同的安排方法共有480+1 080=1 560种. 将这6名教师分成四组,再分配到不同的学校,甲、乙安排在同一所学校, 若教师人数为3,1,1,1,则不同的安排方法种数为=96; 若教师人数为2,2,1,1,则不同的安排方法种数为=144,故不同的安排方法共有96+144=240种. 所以所求事件的概率为.故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 5.☆☆(2025北京顺义一模)在天文学中,天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等m是在地球上看到的星体亮度等级,视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距(10秒差距≈32.6光年)时的视星等,这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等m和绝对星等M满足m-M=5lg,其中d是与地球的距离,单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年,恒星B距离地球约326光年,恒星A,B的视星等满足mB-mA =4,则(　C　) A.MB=MA+4 B.MB=MA+6 C.MA=MB+1 D.MA=MB+6 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 由题意,mA-MA=5lg,mB-MB=5lg, 两式相减可得mA-MA-mB+MB=5lg-5lg=-5, 又mB-mA=4,所以MB-MA=-1,所以MA=MB+1.故选C. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 D组　创新性题组 题号 选题理由 1 由表格数据抽象出数学模型,进而做出判断 2 根据条件抽象出点P的轨迹方程,利用图形求最值 3 抽象出曲线C,再应用三角换元,结合点到直线距离公式及三角函数值域得出最大距离 4 根据题意作图时,根据点与圆的位置关系进行讨论,结合各曲线定义,得出轨迹方程 5 第(2)问由题目条件得2m+3m-10=0,抽象出对应函数,结合函数的单调性可得结果 2.1　数量与数量关系的数学抽象 1.☆☆(2025甘肃一模)某班研究小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力,设计了一种活性炭污水净化装置.现污水中该种污染物含量为W0,测得污水通过长度为l(单位:m)的净化装置后污染物的含量W如下表: 研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型,则与表格中数据吻合的函数模型是(　D　) A.W=W0+0.5l B.W=W0·log0.5(l+1) C.W=0.5W0l D.W=W0·(0.5)l l 0 1 2 3 W W0 0.5W0 0.25W0 0.125W0 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 由图表中数据可知函数模型满足:第一,定义域为[0,3];第二,在定义域单调递减且单位减少率变慢;第三,函数图象过(0,W0). 函数W=W0·log0.5(l+1)和W=0.5W0l图象不过(0,W0),不符合条件,故B,C错误; 函数W=W0+0.5l单调递增,故A错误; D选项,W=W0·(0.5)l满足上述条件,故D正确. 故选D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 2.☆☆☆(2025河北石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中,点A(0,-1),B(-2,3),向量=s+t,且s-t+3=0(s,t∈R),若Q为抛物线x2=-2y上一点,则|PQ|的最小值为(　A　) A. B. C. D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 设P(x,y),因为=s+t,且s-t+3=0(s,t∈R), 所以(x,y)=(t-3)(0,-1)+t(-2,3),即 消去t得x+y=3,即x+y-3=0. 因为抛物线x2=-2y,即y=-x2,则y'=-x, 由-x=-1,解得x=1,此时y=-. 因为点到直线x+y-3=0的距离为,即为|PQ|的最小值. 故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 3.☆☆☆(2025湘豫名校联考)已知集合M={(x,y)|(x-1)2+y2=4},曲线C上的点构成集合N={|(x,y)∈M},则曲线C上的点到直线y=x+2的最大距离为(　A　) A. B. C. D. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 因为M={(x,y)|(x-1)2+y2=4}, 曲线C上的点构成集合N={|(x,y)∈M}, 设曲线C上的点P(x1,y1), 则x1=x-1,y1=, 所以x=x1+1,y=2y1, 所以+4=4,即=1. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 设x1=2cos θ,y1=sin θ, 则曲线C上的点P到直线y=x+2的最大距离为 d=, 其中tan φ=. 因为cos(θ+φ)∈[-1,1], 所以d=,当且仅当cos(θ+φ)=1,即θ=-φ时取等号,曲线C上的点到直线y=x+2的最大距离为. 故选A. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 4.☆☆☆☆(2025吉林长春三模,多选题)在平面内,存在定圆M和定点A,点P是圆M上的动点,若线段PA的中垂线交直线PM于点Q,关于点Q轨迹叙述正确的是(　ABD　) A.当点A与圆心M重合时,点Q的轨迹为圆 B.当点A在圆M内且不与圆心M重合时,点Q的轨迹为椭圆 C.当点A在圆M上时,点Q的轨迹为抛物线 D.当点A在圆M外时,点Q的轨迹为双曲线 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] 设圆M的半径PM=r. 当点A与圆M的圆心重合时,线段PA的中垂线与直线PM的交点Q即为PM的中点, 此时MQ=PM=r,因此点Q的轨迹是以M为圆心,r为半径的圆, 故选项A正确; 当点A在圆M内且不与圆心M重合时,如图所示. ∵点Q是线段PA的中垂线与直线PM的交点, ∴|QP|=|QA|,|QM|+|QP|=|PM|=r, ∴|QM|+|QA|=r>|AM|(其中r为圆M的半径), ∴点Q的轨迹为椭圆,故选项B正确; 2.1　数量与数量关系的数学抽象 当点A在圆M上时,如图所示,根据圆的性质可知线段PA的中垂线与直线PM的交点Q即为圆心M,轨迹为一个点,故选项C错误; 2.1　数量与数量关系的数学抽象 当点A在圆M外时,如图所示. ∵点Q是线段PA的中垂线与直线PM的交点, ∴|QP|=|QA|,|QM|-|QP|=|PM|=r或|QP|-|QM|=|PM|=r, ∴|QM|-|QA|=r或|QA|-|QM|=r, 即||QM|-|QA||=r<|AM|, ∴点Q的轨迹为双曲线,故选项D正确. 故选ABD. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 5.☆☆☆(2025河北邯郸一模)已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且a1=1,a2=b1,2a5=b3+2,a4=b2. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)若bm+3am-10=0,求m的值; (3)若cn=,求数列{cn}的前n项和Sn. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 [解题过程] (1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q. ∵a1=1,a2=b1,2a5=b3+2,a4=b2, ∴ 由b1≠0,得d≠-1,由①③得q=,④ ①④代入②得,8d=(1+d)·, 解得d=1,故b1=2,q==2, ∴an=1+(n-1)×1=n,bn=2×2n-1=2n. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 (2)∵bm+3am-10=0, ∴2m+3m-10=0. 令f(x)=2x+3x-10, 由函数y=2x和y=3x-10在R上为增函数,得f(x)在R上为增函数, ∵f(2)=22+6-10=0,∴m=2. (3)由(1)得,cn=, ∴Sn=+…+[]=1-. 2.1　数量与数量关系的数学抽象 $